Ano Lectivo de Tópicos de Relatividade e Cosmologia. Séries de Problemas

(1)

Departamento de F´ısica Universidade da Beira Interior

Ano Lectivo de 2003-2004

T´

opicos de Relatividade e Cosmologia

Aulas Te´

orico-Pr´

aticas

(2)

1

a

_S´

_erie

1.1

Considere a equa¸c˜ao seguinte que fornece a matrizhΛµ0

ν

i

respeitante à transforma¸cão de Lorentz (“boost”) na direçcão do eixo dos xx (onde γ−1 ₌

q 1 − V2_/c2_):      ct0 x0 y0 z0     =      γ −V γ/c 0 0 −V γ/c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1           ct x y z     

Qual ´e a forma da matriz inversa? Qual ´e a velocidade correspondente a esse referencial inercial?

1.2

Mostre que quando V /c ¿ 1 as transforma¸c˜oes de Lorentz se re-duzem a t0 _{= t, x}0 _{= x − V t, y}0 _{= y, z}0 _{= z.}

1.3

Tomando tanh ψ ≡ V /c escreva as equa¸cões para a transforma¸cão de Lorentz. A matriz correspondente possui semelhan¸cas com outras presentes em outro tipo de transforma¸cões? Quais são essas transforma¸cões?

1.4

Se uma astronauta informa que a sua viagem espacial durou 3 dias enquanto que uma observadora na Terra informa que durou 3.000 000 015 dias, qual ´e a velocidade que podemos estimar para a nave da astronauta?

1.5

Os mesões-π (o “piões”) têm um tempo de meia-vida de cerca de 1.77 × 10−8_{s no referencial inercial de repouso. Se sensores laboratoriais}

informam que um feixe de piões é emitido com velocidade V = 0.99c e decai para metade da sua intensidade a 37.3 m de distância do ponto de emissão, são estes dados consistentes?

1.6

Verifique a invariância do cone de luz sob açcão de uma trans-forma¸cão de Lorentz (“boost”) mostrando que

x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= c}2_t2 _{→ x}0₂

+ y02_{+ z}0₂

= c2_t0₂

(3)

1.7

Descreva através de diagramas espacio-temporais os fenómenos de dilata¸cão do tempo e contraçcão de comprimentos.

1.8

Usando a lei da transforma¸c˜ao relativista de velocidades U = V +W

1+V W/c2,

mostre que se V < c e W < c ent˜ao U < c.

1.9

Se um laser num laborat´orio tem um comprimento de onda de 632.8

nm, que comprimento de onda ´e registado por um observador que se aproxima

directamente para ele com velocidade c/2?

1.10

Um feixe de luz propaga-se num cristal o qual tem um ind´ıce de refra¸cão n. Se o cristal se move com velocidade constante V na mesma direçcão que o feixe, qual é a velocidade da luz no cristal tal como registado por um observador no laboratório?

1.11

Considera uma fonte luminosa que se move num referencial inercial

S com velocidade V no plano XY na direc¸c˜ao positiva do eixo dos xx e de

forma não colinear com esse eixo. Num dado instante um observador na origem das coordenadas em S recebe um fotão que viaja numa direçcão que faz um ângulo θ com o eixo dos xx. Se à fonte luminosa corresponde um outro referencial inercial (próprio) S0 _{que tem eixos x}0_x0 _{paralelos com o eixo}

dos xx e eixo y0_y0 _{paralelo com o eixo dos yy, mostre que o ˆangulo θ}0 _com

que o fotão é emitido da fonte (como registado em S0_{) é dado por}

tan θ0 ₌ tan θ

γ [1 − (V /c) sec θ]

1.12

Analise o caso da colisão de um fotão com uma particula esta-cionária (efeito de Compton). Usando a lei de conserva¸cão de massa-energia e de momento linear, mostre que a frequência do fotão após a colisão se escreve como

¯

ν = ν

1 + (hν/mc2_{) (1 − cos θ)}

onde m é a massa da particula, ν é a frequência inicial do fotão antes da colisão e θ é o ângulo de saida do fotão.

1.13

Usando a invariˆancia de Pµ_P

µ sob a açcão de transforma¸cões de

Lorentz, mostre que de Pµ_{≡ (E/c, ~p) se obtem E = (p}2_c2_{+ m}2_c4₎1/2_.

(4)

1.14

Uma mulher tem cerca de 70Kg de peso e está em repouso num referencial inercial de laboratório. Determine a sua energia cinética e mo-mento linear relativamente a um observador que se move com V = c/2 na direçcão do eixo dos xx.

1.15

Um mu˜ao tem em repouso um tempo de vida de cerca de 10−6_s

e uma massa de 100Mev. Qual deve ser a energia total de um mu˜ao para alcan¸car a superficie da Terra, se fˆor produzido a cerca de 104_{m acima (na}

atmosfera)?

1.16

Uma particula K0 _{(com uma massa de 498Mev) decai em repouso}

para dois mesões−π0 _{(com massa de 135Mev). Escolha a direçcão do eixo}

dos xx como a direc¸c˜ao do movimento de uma das particulas π0_{. Em que}

direçcão se move a outra particula emitida? Quais são as velocidades e energias cinéticas das duas particulas emitidas?

1.17

Considera a colis˜ao γ + e−

repouso → e−+ e− + e+. Assuma que a

direçcão do fotão inicial e das particulas resultantes (que por simplicidade tomamos a moverem-se juntas com igual velocidade) é o eixo dos xx. Mostre que o quadri-momento se conserva se o fotão possui uma determinada energia. Determine o valor dessa energia.

1.18

No referencial de um laborat´orio, escreva uµ _{para o caso de:}

a)

Uma cadeira estacion´aria

b)

Uma bala muito veloz (movimento uniforme rectilineo)

c)

Um fot˜ao

1.19

Em mecˆanica relativista a segunda lei de Newton escreve-se como

dPµ

dτ = Fµ, onde Fµ s˜ao as componentes do quadri-vector for¸ca. Mostra que

Fµ_u

µ = 0 onde uµ= dx

µ

dτ .

1.20

Determine a forma das matrizes [Fµµ_{] e [F}µ

ν], em que [Fµν] =     

0 −E1_{/c −E}2_{/c −E}3_/c

E1_/c ₀ _B3 _−B2 E2_/c _−B3 ₀ _B1 E3_/c _B2 _−B1 ₀     

1.21

Determine como se transformam as componentes do campo el´ectrico

~

E e do campo magnético ~B sob açcão de uma transforma¸cão de Lorentz

(5)

(“boost”) no eixo dos xx.

1.22

Uma distribui¸cão uniforme de carga com densidade própria ρ0 está

em repouso num referencial inercial S. Um observador que se mova com ve-locidade V relativamente a S determina que valor determina para a densidade de carga e densidade de corrente?

1.23

Mostre que as equa¸c˜oes de Maxwell podem-se escrever como

Fµν_,ν = Jµ Fµν,σ+ Fνσ,µ+ Fσµ,ν = 0 com [Fµν] =     

0 −E1_{/c −E}2_{/c −E}3_/c

E1_/c ₀ _B3 _−B2 E2_/c _−B3 ₀ _B1 E3_/c _B2 _−B1 ₀     , J µ₌³_ρc,~j´

e que são covariantes sob açcão da transforma¸cão de Lorentz.

1.25

Verifique se a lei de Ohm se escreve como Jµ_{− u}µ_u

νJν = σuνFµν

onde σ ´e a condutividade do material e uν _{a sua quadri-velocidade.}

(6)

2

a

_S´

_erie

2.1

Numa análise de medidas de comprimento espacial num referencial em rota¸cão uniforme (e.g., disco), usa-se uma régua padrão L. Obtém através de inequa¸cões como o quociente entre o número NL de réguas padrão

(corre-spondente ao comprimento de uma circunferência de raio R concêntrica com o disco) e o número NR de réguas padrão (correspondente ao comprimento

do raio), varia se o valor de R aumentar de 0 para Rext (raio exterior limite

do disco em rota¸c˜ao).

2.2

Suponhamos que colocamos um relógio A a uma distância de 10 cm do centro de um disco com uma rota¸cão de 33 rpm. De quanto a progressão desse relógio irá diferir da progressão de um relógio idêntico B, colocado junto à extremidade (mas não no disco), tal como registado por um observador em repouso em B?

2.3

Suponhamos que colocamos dois relógios A e B, num disco com rota¸cão uniforme, em que A está a uma distância r e B a uma distância

r/2 do centro do disco (como visto de um referencial inercial). Prove que o

rel´ogio em r progride mais lentamente com respeito ao rel´ogio colocado em

r/2.

2.4

Prove que relógios idênticos em diferentes localiza¸cões de um ref-erencial em rota¸cão uniforme progridem a taxas diferentes se estiverem a diferentes distâncias da origem. Não fa¸ca uso de qualquer outro referencial, incluindo inercial.

2.5

Mostre que no caso de movimento com acelera¸cão própria constante, um corpo satisfaz x2_{− c}2_t2 _{= c}4_/α2_{, onde α é a acelera¸cão própria.}

2.6 a)

Qual dos seguintes objectos está em queda livre (justifique a resposta): planeta Plutão ou uma aluna da UBI que pratica paraquedismo (quase!)-suicida para vigiar de perto o namorado (que é também paraquedista mas não suicida)?

b)

Um feixe luminoso é emitido da Terra para o espa¸co exterior. Um astronauta em queda livre a uma distancia R da Terra como irá registar o espectro dessa radia¸cão luminosa?

(7)

2.7

Explique como uma vela acesa colocada na base de um elevador em queda livre se apaga

2.8

Suponha a constru¸cão de uma nave espacial com a forma de um “doughnut” oco (e sem a¸cúcar pois também não há dinheiro para luxos...). Essa nave espacial irá ser colocada no espa¸co inter-estelar/galáctico, ficando em rota¸cão em torno de um eixo central (que pode ser o eixo dos zz), perpen-dicular ao plano xOy, o qual intersecta a nave-“doughnut” em dois circulos concêntricos. Analise e discuta como um observador (colocado na nave e que define a direçcão vertical ”cabe¸ca→pés” como uma direçcão qualquer no plano xOy, apontando para fora do centro do “doughnut”-nave) poderá estudar o Pr´ıncipio da Equivalência, através de experiências em que larga vários objectos.

2.9

Suponha que um berlinde é largado acima da superficie da Terra, em direçcão à qual acelera.

a)

Como é que este fenómeno é observado do ponto de vista Newtoniano

b)

Como ´e que pode ser descrito usando a primeira lei de Newton e o Princ´ıpio da Equivalˆencia?

2.10 a)

Descreva a experiência de Pound-Rebka e analise as suas im-plica¸cões para com o principio da equivalência.

b)

Mostre que nesta experiˆencia o desvio espectral ´e de cerca de 2.46 × 10−15_.

2.11

Considere um observador A onde um campo gravitacional é mais intenso e outro observador B, mais afastado, onde o campo é mais fraco. O observador A emite um fotão para B. Determine a varia¸cão de comprimento de onda do fotão como registado em B, em fun¸cão da massa M e a distância do centro da Terra (que cria esse campo gravitacional).

2.12. a)

Um átomo, cujo centro de massa é afectado pela gravita¸cão, orbita a uma distância R de uma estrela de massa M. De acordo com o Princ´ıpio da Equivalência, como serão as linhas espectrais desse átomo tal como medidas por observador em repouso (co-móvel) com o átomo em órbita? Justifique a sua resposta.

b)

Suponha que o ´atomo est´a agora na superficie da estrela de raio R0.

As linhas espectrais são registadas por um observador em R. Que frequências são observadas neste caso (com respeito às frequências que se registariam se

(8)

n˜ao existisse campo gravitico)?

c)

Assuma de novo que o átomo orbita a estrela a uma distância R. Como o átomo não tem volume nulo, as linhas espectrais medidas por observador co-orbitando o átomo são alteradas com respeito a uma situa¸cão na ausência de campo grav´ıtico. Explique porque o facto do átomo ter volume não nulo é importante e fa¸ca uma estimativa para a magnitude desse desvio espectral em termos do raio atómico.

2.13

Considere um raio de luz viajando em linha recta, aproximando-se da superficie do Sol numa trajectória aproximadamente tangente. Usando o Princ´ıpio da Equivalência determine quanto a trajectoria será encurvada pela gravita¸cão solar.

2.14

Na zona da Torre, no topo da Serra da Estrela a cerca de 2000m de altitude (acima do n´ıvel do mar), uma pessoa que lá sempre residiu vive 75 anos (tal como medido por observador a uma grande distância da Terra). De quanto mais viveria (com a dilata¸cão do tempo gravitacional) essa pessoa se ele ou ela se tivesse mudado após o nascimento para a praia do Guincho?

2.15

Um fotão perto da superficie da Terra viaja ao longo de uma linha “horizontal” de 1Km. Durante o tempo do percurso de quanto é a queda correspondente do fotão?

(9)

3

a

_S´

_erie

3.1

Considere coordenadas esf´ericas (r, θ, φ).

a)

Identifique as superf´ıcies r = r0, θ = θ0, φ = φ0.

b)

Identifica a intersec¸c˜ao de cada duas dessas superf´ıcies.

c)

Determine a base vectorial {er, eθ, eφ} ≡ {~er, ~eθ, ~eφ} em fun¸c˜ao dos

vectores unit´arios usuais i, j, k do espa¸co Euclidiano.

d)

Determine o comprimento da curva dada por r = a (a ´e uma con-stante) e θ = t, φ = 2t − π, onde 0 ≤ t ≤ π.

3.2

Considere coordenadas el´ıpticas (u,v,w) no espa¸co Euclidiano, definidas por x = au sin v cos w, y = bu sin v sin w, z = cu cos v, onde a, b, c s˜ao con-stantes positivas e 0 ≤ u ≤ ∞, 0 ≤ v ≤ π, 0 ≤ w ≤ 2π. Note que o caso

a = b = c = 1 corresponde a coordenadas esf´ericas.

a)

Obtenha a base eu, ev, ew assim como a sua dual eu, ev, ew em fun¸c˜ao

dos vectores unit´arios usuais i, j, k do espa¸co Euclidiano.

b)

Que pode dizer de ei_{· e}

j para i, j = u, v, w?

3.3 a)

Determine a transforma¸c˜ao (em forma de matriz Jacobiana) entre coordenadas esf´ericas e cilindricas.

b)

Escreva o elemento de linha em coordenadas cilindricas

c)

Verifique como o vector i em coordenadas esf´ericas se relaciona com a sua decomposi¸c˜ao em coordenadas cilindricas.

3.4

Mostre que numa transforma¸c˜ao de coordenadas entre o sistema xi

e xj0 , se tem que

a)

Uk0 iUi j0 = δk 0 j0 onde Uk 0 i = ∂x k0 ∂xi

b)

µi = Uj 0 i µj0 se µ_i0 = Uj_i0 µ_j

c)

Uk i0Ui 0 j = δkj

3.5

Mostre que

a)

λj = ~λ · ~ej ≡ λ · ej

b)

~ei = gij ~ej ≡ ei = gij ej

c)

~ei _{= g}ij_~e j ≡ ei = gijej

3.6

Simplifique as express˜oes

a)

λj_δi jλi viii

(10)

b)

µigijgkjλk

c)

gijλiµj− λkµk

3.7

Considere a m´etrica de Schwarzschild escrita na forma

[gµν] ≡      c2_{(1 − 2m/r)} ₀ ₀ ₀ 0 −(1 − 2m/r)−1 ₀ ₀ 0 0 −r2 ₀ 0 0 0 −r2_sin2_θ     

para as coordenadas x0 _{= t, x}1 _{= r, x}2 _{= θ, x}3 _{= φ. Determine o}

compri-mento e ˆangulo entre os vectores seguintes, indicando quais s˜ao ortogonais

a)

λµ_{= δ}µ 0

b)

µν _{= δ}ν 1

c)

αµ_{= δ}µ 0 + c(1 − 2m/r)δ1µ

3.8

Mostre que as componentes Ti

j de um tensor T se obtˆem de ~ei· T (

~ej) ≡ ei· T( ej) e relacione Ti

0

j0 com Ti_j (relativos `as bases {~e_j0} ≡ {e_j0} e

{~ej} ≡ {ej}, respectivamente).

3.9

Considere o sistema de coordenadas (u, v, w) definido por x = u +

v, y = u − v, z = 2uv + w, onde −∞ < u, v, w < +∞.

a)

Determine as bases de vectores associadas a (u, v, w) em fun¸c˜ao dos vectores unit´arios usuais i, j, k do espa¸co Euclidiano.

b)

Determine se a base ´e ortogonal e se os vectores contravariantes e covariantes s˜ao paralelos.

c)

Obtenha a equa¸cão que determina as linhas geodésicas (com o com-primento de arco como parâmetro) para w = 0 e mostre que as curvas coor-denadas são geodésicas.

d)

Determine as componentes do tensor da m´etrica

e)

Determine as componentes do vector i na base covariante {eu, ev, ew} ≡

{~eu, ~ev, ~ew}

f)

Determine o elemento de linha ds2 _{nas coordenadas (u, v, w).}

g)

Para w = 0, determine a m´etrica na superficie correspondente assim como uma base de vectores satisfazendo eA_{· e}

B = δBA (A, B = 1, 2).

3.10

Considere uma curva que passa por um ponto P de uma variedade diferenciavel M, descrita pelas equa¸c˜oes xi _{= x}i_{(λ), i = 1, ..., n e λ ∈ <.}

Assuma que em M est´a definida uma fun¸c˜ao diferenciavel f (xi_{). Determine}

o vector tangente `a curva, d

dλ, em fun¸c˜ao da base coordenada ∂x∂bi.

(11)

3.11

Mostre que a base de vectores {er, eθ, } para coordenadas polares

no plano <2 _{constitui uma base n˜ao-coordenada.}

3.12

Mostre que o comutador de dois vectores V = d

dλ e W = d

dµ ´e ainda

um vector cujas componentes n˜ao s˜ao em geral nulas (numa base coordenada para decompor V e W)

3.13

Considere o espa¸co-tempo da Relatividade Restrita. Ao sistema de coordenadas (ct, x, y, z) podemos associar a base {ect, ex, ey, ez}, tangente a

cada uma das “curvas” coordenadas. Obtenha uma express˜ao que relacione

{ect0, e_x0, e_y0, e_z0} em termos da base anterior, tal que ct0 = γ(ct − xV /c2),

x0 _{= γ(x − V t/c), y}0 _{= y, z}0 _{= z. Se {e}

ct, ex} s˜ao representados como um

eixo vertical e horizontal, respectivamente, qual é a direçcão de ect0 e e_x0?

3.14

Mostre que numa transforma¸c˜ao conformal da m´etrica, em que

gµν(x) → f (x) gµν(x) ≡ ˆgµν, os ˆangulos entre vectores mantˆem-se invariantes

(nota: use cos θ = A·B

|A||B|).

3.15

Mostre que

a)

Se σab = −σba e Tab = Tba, ent˜ao σabTab = 0.

b)

Qualquer tensor do tipo (2, 0) ou (0, 2) pode-se escrever como a soma de um tensor sim´etrico com um tensor anti-sim´etrico.

c)

A defini¸cão de tensor simétrico ou antisimétrico é independente da escolha de coordenadas.

3.16

Considere um tensor do tipo (2, 2) de componentes Tab

cd e forme

a partir dele o objecto σa

d ≡ Tabbd. Demonstre que σad ´e um tensor do tipo

(1, 1).

3.17

Mostre que se usarmos como parâmetro para uma curva o seu comprimento de arco s (medido ao longo da curva, a partir de um dado ponto) então em qualquer ponto da curva o vector tangente tem norma unitária.

3.18

Mostre que

a)

Numa esfera de raio a o equador é o único circulo de latitude que é uma geodésica.

b)

Nenhum outro circulo de latitude o ´e.

c)

Os circulos de longitude s˜ao ge´odesicas.

3.19

Mostra que a equa¸c˜ao da geod´esicas se pode obter com uso do

(12)

método de Euler-Lagrange. Analise o que sucede se a métrica não depende de uma coordenada particular.

3.20

Mostre que:

a)

Se um parâmetro t = f (s) é usado para parametrizar uma geodésica, obtemos um termo extra da forma −d2_t

ds2 ³ dt ds ´_{2 du}_i ds na equa¸c˜ao da geod´esica

b)

Apenas se tem a forma can´onica com t = As + B

c)

Nesse caso o comprimento do vector tangente à geodésica é constante.

3.21

Mostre que o comprimento de um vector tangente a uma geod´esica afim ´e constante.

3.22

Se em coordenadas esf´ericas fixarmos θ = θ0 como um valor

qual-quer entre 0 e π/2, obtemos uma superficie cónica, onde r, φ são os parâmetros.

a)

Mostre que o elemento de linha correspondente ´e ds2 _{= dr}2_{+ ω}2_r2_dφ2

onde ω = sin θ0.

b)

Mostre que ¨r − ω2_{r ˙φ}2 _{= 0, ˙φ = k/r}2 _{onde k ´e uma constante, s˜ao as}

equa¸c˜oes das geod´esicas.

c)

Mostre que as geodésicas têm a forma 1 = Ar cos(ωφ) + Br sin(ωφ) onde A, B são constantes.

d)

Mostre que se o cone é “cortado” ao longo de uma geratriz e projectado num plano então as geodésicas são linhas rectas nesse plano.

3.23

Verifique que em coordenadas esf´ericas, com m´etrica Euclidiana

ds2 _{= dr}2_{+ r}2_dθ2_{+ r}2_sin2_θdφ2_{, uma curva parametrizada com r = a sec t,}

θ = t + b, φ = c, é uma geodésica (a, b, c são constantes e t o parâmetro da

curva).

3.24

Considere o espa¸co-tempo associado aos modelos cosmológicos de FLRW, correspondente a um Universo em expansão. A sua métrica é tal que o elemento de linha é

ds2 _{= dt}2_{− a}2_(t)h_{(1 − kr}2₎−1_dr2_{+ r}2_dθ2 _{+ r}2_sin2_θdφ2i_,

onde a = a(t) é uma fun¸cão de t, k = 0, ±1, e com uma coordenatiza¸cão

x0 _{= t, x}1 _{= r, x}2 _{= θ, x}3 _{= φ. Determine em termos das vari´aveis atr´as}

indicadas a equa¸cão das geodésicas correspondente. Mostre então que a curva (onde r0, θ0, φ0 são constantes)

xµ_{(u) = uδ}µ

0+ r0δµ1 + θ0δµ2+ φ0δµ3

(13)

´e uma geod´esica. Mostra igualmente que a2_r2_sin2_{θ ˙φ = C (C como}

con-stante) constitui um integral da equa¸c˜ao geod´esica que contem ¨φ.

3.25

Mostrea que se uma geodésica é do tempo, espa¸co ou tipo-nulo num dado ponto P, então também o será ao longo do seu comprimento.

3.26

Considere coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) ≡ (u1_{, u}2_{, u}3_{), onde a base}

de vectores er, eθ, eφ é redefinida com a nota¸cão e1, e2, e3. Indique através

de um integral (que não tem que calcular!) qual é a expressão para o comprimento de uma curva γ parametrizada como u1 _{= a, u}2 _{= θ = t,}

u3 _{= φ = 2t − π, onde 0 ≤ t ≤ π.}

3.27

Considere um c´ırculo de latitude constante (paralelo ao equador) numa esfera. Determine o quociente entre o per´ımetro de uma circunferência presente na superf´ıcie da esfera e o seu raio também na superf´ıcie da esfera. Analise e interprete fisicamente também o que ocorre quando o angulo de (co)latitude θ → 0.

3.28

Mostre que as conex˜oes (simbolos de Christoffel) se transformam de acordo Γa0 b0_c0 = Γd_{f g}Xa 0 dXfb0Xg_c0 + Xd_c0_b0Xa 0 d

3.29

Mostre que a derivada covariante do tensor da m´etrica gab ´e igual

a zero. Mostre igualmente que a derivada covariante de gab _{e δ}a

b ´e nula.

3.30

Mostre que a derivada covariante para o tensor Tab _{tem a forma}

DTab du ≡ ∂Tab ∂u − Γ c adTcb ∂xd ∂u − Γ c bdTac ∂xd ∂u

3.31

Mostre que Aab ≡ λa;b− λb;a= λa,b− λb,a.

3.32

Numa esfera com m´etrica ds2 _{= dθ}2_{+ sin}2_θdφ2_{, considere o vector}

A ≡ eθ na posi¸c˜ao coordenatizada com θ = θ0 e φ = φ0. Se esse vector for

transportado paralelamente em torno de θ = θ0, qual é a direçcão/sentido e

magnitude de A no fim do transporte?

3.34

Considere uma esfera de raio a.

(14)

a)

Determine o que acontece a um vector λ transportado paralelamente em torno do circulo θ = θ0 e com componentes λ1 = a−1cos α e λ2 =

(a sin θ0)−1sin α.

b)

Para que circulo de latitude a direçcão final do vector é a oposta?

3.35

Mostre que a equa¸c˜ao de transporte paralelo ´e independente das coordenadas

3.36

No plano usando coordenadas polares (ρ, φ)

a)

Verifique que φ = φ0 ´e uma geod´esica

b)

Mostre que se um vector λA _{´e transportado paralelamente ao longo}

de φ = φ0 ent˜ao λ1 = λ10 e λ2 = ³ ρ0 ρ ´ λ2 0.

3.37

Mostre que a derivada de Lie satisfaz

a)

[ÃLV, ÃLW] = ÃL[V,W]

b)

ÃLV(f U) = (ÃLVf ) U + f ÃLVU

c)

(ÃLVU)i = Vj ∂_∂xjUi− Uj ∂_∂xjVi (numa base coordenada)

3.38

Para o espa¸co Euclidiano tridimensional determine os vectores de Killing correspondentes.

(15)

4

a

_S´

_erie

4.1

Mostre que Rabcd = 1 2(∂d∂agbc− ∂d∂bgac+ ∂c∂bgad− ∂c∂agbd) − g ef_(Γ eacΓf bd− ΓeadΓf bc)

4.2

Prove a identidade de Bianchi para o tensor de Riemann Ra

bcd;e+

Ra

bde;c+ Rabec;d = 0,

4.3

Prove para o tensor de Riemann que

a)

Ra

acd= 0.

b)

Rabcd = −Rbacd, Rabcd = −Rbadc, Rabcd = Rcdab,

4.4 a)

Prove que o tensor de Riemann satisfaz a seguinte rela¸c˜ao

Ra

bcd+ Racbd+ Radbc = 0.

b)

Prove que o tensor de Ricci ´e sim´etrico Rbc= Rcb.

4.5

Mostre que

a)

λa

;bc − λa;cb = −Radbcλd

b)

Tab

;cd− Tab;dc = −RaecdTeb− Rb ecdTae

c)

Como ser´a para um tensor Uab

c?

4.6

Considere mat´eria representada pelo tensor de energia-momento de um fluido perfeito Tµν _{= (ρ + P/c}2_)uµ_uν _{− P g}µν_{. No espa¸co de Minkowski}

obtenha

a)

A equa¸c˜ao de continuidade

b)

Equa¸c˜ao do movimento

[Sugestão: Considere a equa¸cão de divergência nula do fluido]

4.7

Mostre que no sistema Cartesiano de coordenadas onde um fluido está em repouso num ponto P (i.e., no referencial instântaneo de repouso do fluido em P) as componentes do tensor energia-momento são Tµν ₌

(ρc2_{, P, P, P ) .}

4.8

Verifique que uµ_u

µ= c2 ⇒ uν ;µuν = 0.

4.9

Um fluido de “poeira” sem a presen¸ca de pressão ou tensões internas tem um tensor energia-momento dado por Tµν _{= ρU}µ_Uν_{, onde U}µ_{é o}

(16)

vector velocidade e ρ a densidade de energia. Mostre que Tµν

;µ = 0 implica

que as particulas desse fluido sigam geod´esicas.

4.10

Usando a equa¸cão relativista do movimento de um fluido perfeito analise o efeito da pressão P nas geodésicas respectivas do fluido.

4.11

Qual é a forma da extensão “global” da primeira lei de Newton do movimento no contexto da Relatividade Geral? Identifique os termos dessa equa¸cão e mostre qual a correspodência entre essa equa¸cão do movimento e a primeira lei de Newton.

4.12

Esquematize a deriva¸cão das equa¸cões de Einstein, partindo da hipótese que as leis da gravita¸cão tomam a forma Kµν = 8πGTµν. Em

par-ticular,

a)

Indique as condi¸c˜oes que Kµν deve satisfazer e

b)

Encontre a combina¸c˜ao ´unica em que Rµν e R (o tensor e escalar de

curvatura de Ricci, respectivamente) satisfazem essas condi¸c˜oes, a menos de uma constante de proporcionalidade.

c)

Encontre essa constante utilizando o limite n˜ao relativista do campo grav´ıtico.

4.13

Usando as equa¸c˜oes de Einstein mostre que

a)

R = −T

b)

Rµν _{= κ(T}µµ_{− T g}µν_/2)

4.14

Mostre que com gµν = ηµν + hµν onde ηµν ´e a m´etrica do

espa¸co-tempo de Minkowski e |hµν| ¿ 1 se tem que

a)

gµν _{= η}µν_{− h}µν

b)

Γµ

νσ = 12ηµρ(∂νhσρ+ ∂σhνρ− ∂ρhνσ)

4.15

Considere o transporte paralelo de um vector unit´ario λa

0 definido

na superficie de uma esfera, decorrido em torno de uma linha fechada O →

Q → R → ←-S em torno de um ponto P. Assuma que inicialmente λa

0 aponta

para “sul”, i.e., λ1

0 = a−1 e λ20 = 0. Determine ent˜ao a curvatura Riemaniana

R1212 no ponto P.

4.16

Mostre que num espa¸co bidimensional todas as compomentes do tensor RABCD s˜ao zero ou ±R1212. No caso da esfera bidimensional com

m´etrica gAB = diag

³

a2_{, a}2_sin2_θ´_{, mostre que R}

1212 = a2sin θ, RAB =

diag³−1, − sin2_θ´ _{e R = −2/a}2_.

(17)

4.17

Considere um paralelogramo de v´ertices O → B → C → ←-A com coordenadas xa_{, x}a_{+ ξ}a_{, x}a_{+ η}a_{, x}a_{+ ξ}a_{+ η}a_{, respectivamente, onde ξ}a_{, η}a

s˜ao pequenos em magnitude. Mostre que ∆λa _{= λ}a [C→via A]− λa[C→via B] ' − 1 2(R a bcd)OλbO ³ ξc_ηd_{− ξ}d_ηc´

4.18

Explique de forma breve porque na Relatividade Geral a radia¸c˜ao gravitacional n˜ao pode ter uma caracterisitica de monopolo ou d´ıpolo.

4.19

Considere a transforma¸c˜ao de coordenadas xµ0

= xµ_+ξµ_{(x). Mostre}

que com gµν = ηµν+ hµν onde ηµν ´e a m´etrica do espa¸co-tempo de Minkowski

e |hµν| ¿ 1 se tem

a)

hµ0_ν0 = hµν_{− ξ}µ,ν _{− ξ}µ,ν

b)

¯hµ0_α0 ,α0 = ¯hµα _,α− ξµ_,α α onde ¯h_µν = h_µν− 1₂hη_µν.

4.20

Mostre que ¯h α µν,α = 2κTµν se ¯hµα ,α = 0. xvi

(18)

5

a

_S´

_erie

5.1

O elemento de linha de um espa¸co-tempo estático com simetria esférica é

c2_dτ2 _{= A(r)dt}2_{− B(r)dr}2_{− r}2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´

Use as equa¸cões de Euler-Lagrange para obter as equa¸cões das geodésicas e mostre que as únicas conexões não nulas são (em coordenadas x0 _{= t, x}1 _{= r,}

x2 _{= θ, x}3 _{= φ e onde “}0 _{” representa d/dr)} Γ0 01 = dA/dr2A Γ100 = dA/dr2B Γ111= dB/dr2B Γ1 22= −Br Γ133= −r sin 2_θ B Γ212= 1r Γ2

33= −r sin θ cos θ Γ313= 1r Γ223= − cot θ

5.2

Mostre que as componentes do tensor de Ricci de um espa¸co-tempo estático com simetria esférica são dadas por

0 = R00 = −A 00 2B + A 0 4B µ A0 A + B 0 B ¶ − A0 rB 0 = R22= B1 − 1 + 2Br µ A0 A − B 0 B ¶ 0 = R11 = A 00 2A − A 0 4A µ A0 A +B 0 B ¶ − B0 rB 0 = R33 = R22sin2θ

5.3

O elemento de linha da geometria espacio-temporal de uma estrela com simetria esf´erica ´e

ds2 _{= e}2Φ(r)_dt2₋ dr2

1 − r2_{Y (r)} − r

2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´

onde Φ e Y são fun¸cões de r. Determine a equa¸cão para o desvio espectral no centro da estrela tal como determinado por um observador fixo a grande distância.

5.4

O comprimento de onda de um laser medido numa esta¸cão espacial flutuando livremente no espa¸co distante é de cerca de 632.8 nm. Qual é o comprimento de onda que um observador registará se:

a)

Ele e o laser estiverem ambos em queda livre para uma estrela de neutr˜oes (muito!!) densa?

(19)

b)

Ela estiver junto do laser na superficie dessa estrela de neutr˜oes (muito!!) densa?

c)

Ela estiver na esta¸c˜ao espacial mas o laser enviasse luz radialmente desde a superficie dessa estrela de neutr˜oes?

d)

Ela estiver na superficie dessa estrela de neutrões mas o laser está na esta¸cão espacial?

e)

Determine o desvio espectral medido na Terra para luz emitida por uma estrela de neutrões com massa M = 1030_{Kg, sendo que fotões são}

emitidos da sua superficie com raio de 1000Km.

5.5 a)

Se uma r´egua de 1m estiver colocada radialmente no campo gravitico de uma estrela com massa M e onde m/r ∼ 10−2 _{onde m ≡ GM/c}2_,

qual ´e a “distˆancia-coordenada” que ela ocupa?

b)

Uma régua ainda maior é igualmente colocada. Se as coordenadas radiais são r1 e r2 com r1 < r2, qual é o seu comprimento?

5.6

Considerando a conserva¸cão de energia e momento angular, mostre que a trajectória de uma particula movendo-se no plano equatorial sob açcão de uma for¸ca gravitacional Newtoniana devido a um objecto esférico de massa

M ´e dada por ³du

dφ

´₂

+ u2 _{= E +} 2GM u

h2 , u = 1/r, h ´e momento angular por

unidade de massa e E ´e uma constante. Compare com a deriva¸c˜ao presente na Relatividade Geral e analise ambos os casos.

5.7

A métrica de Schwarszchild que descreve o espa¸co-tempo forma de um corpo esférico com massa M é dada por

ds2 = µ 1 −2GM c2_r ¶ c2dt2 − µ 1 − 2GM c2_r ¶−1 dr2− r2³dθ2+ sin2θdφ2´.

a)

Determine o raio com que um fotão pode descrever uma órbita circular (Sugestão: use θ = π

2 e r = 1/u).

b)

O que um observador fixo nessa posi¸cão radial med´ıria como per´ıodo da órbita do fotão?

c)

Se esse observador emitisse um sinal luminoso cada vez que o fot˜ao passasse por si, com que intervalo mede um observador estacion´ario no in-finito esses impulsos?

d)

Será que a órbita circular de fotões é estável para pequenas per-turba¸cões?

(20)

5.8

Considere um corpo negro com simetria esférica a uma temperatura constante e com uma massa M, a cuja superficie se associa a coordenada radial r = R. Um observador localizado na superficie da esfera e outro a grande distância da superficie registam a radia¸cão de corpo negro emitida pela esfera.

a)

Se o observador na superficie da esfera mede uma luminosidade L, determine o valor da luminosidade que um observador a grande distˆancia regista.

b)

Determine como as temperaturas registadas para o corpo negro por esse observador se relacionam entre si.

c)

Usando a lei de Stefan-Boltzmann, determine como esses dois obser-vadores registam o raio do corpo negro.

5.9 a)

Na m´etrica de Schwarzschild usa coordenadas x0 _{= ct, x}1 ₌

r sin θ cos φ, x2 _{= r sin θ sin φ, x}3 _{= r cos θ e determina a forma de g}

µν.

b)

Mostre que a m´etrica de Schwarzschild pode ser escrita na forma isotr´opica c2_dτ2 _{= c}2 Ã 1 −GM 2ρc2 !₂Ã 1 + GM 2ρc2 !₋₂ dt2₋ Ã 1 + GM 2ρc2 ! ³ dρ2_{+ ρ}2_dθ2_{+ ρ}2_sin2_θdφ2´ onde r ≡ ρ³1 + GM 2ρc2 ´₂

5.10

Mostre que para r < 2m a m´etrica de Schwarzschild se pode escr-ever como c2_dτ2 ₌ µ 1 − 2m r ¶ dv2_{− 2dvdr − r}2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´

onde r, θ, φ se mantˆem mas t ´e substituida por v ≡ ct + r + 2m ln³ r

2m− 1

´

, constituindo as coordenadas de Eddington-Finkelstein e usa-se m ≡ GM/c2_.

5.11.

Mostre que a m´etrica de Schwarzschild se pode escrever tamb´em como c2dτ2 = −32m 3 r e −r/2m³_du2_{− dv}2´_{− r}2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´ onde u ≡³ r 2m− 1 ´_1/2 er/4m_cosh ct 4m e v ≡ ³ r 2m− 1 ´_1/2 er/4m_sinh ct 4m e u2− v2 ₌³ r 2m− 1 ´

er/2m_{, constituindo as coordenadas de Kruskal-Szekeres.}

(21)

5.12

Mostre que θ = π/2 na métrica de Schwarzschild satisfaz a equa¸cão das geodésicas. Mostre também que o plano equatorial θ = π/2 n˜ao é plano.

5.13

Usando r = r0sin2ψ mostre que o tempo pr´oprio envolvido na

queda radial vertical de objecto largado do repouso em r0 ´e finito.

5.14

No quadro da Relatividade Geral determine e analise quantitativa-mente o efeito do avan¸co do perihélio de planetas como é o caso de Mercúrio.

5.15

Mostre que a distância própria de um horizonte de acontecimentos até uma coordenada radial r é dada por

` = r r 1 − rS r + rS 2 ln  1 + q 1 − rS/r 1 −q1 − rS/r  

e que quando r À 1, ` ' r. Como podemos interpretar fisicamente este resultado?

5.16

Descreva qualitativamente os efeitos nas ´orbitas dos planetas se o Sol s´ubitamente se tornasse um buraco negro.

5.17

Verifique que a ´area correspondente a um horizonte de acontecimen-tos de um buraco negro ´e 4πr2

S, onde rS = 2GM_c2 ´e o raio de Schwarzschild.

5.18

Um fotão passa junto de um corpo com massa M. Que podemos dizer acerca da varia¸cão total (integral) do tempo próprio τ ao longo da trajectória do fotão no espa¸co-tempo?

5.19

Analise como varia a distˆancia de uma nave espacial caindo num buraco negro relativamente ao tempo pr´oprio de um observador a bordo e comparativamente ao tempo usado por um observador muito distante.

5.20

Determine a distância própria radial entre dois circulos centrados num buraco negro e no mesmo plano, correspondente a circunferências com

C1 = 2πnrS e C2 = 2π(n + 1)rS onde n ∈ ℵ e rS ´e o raio de Schwarzshild.

Use o resultado obtido para n = 10 e n = 20. O que fisicamente ocorre quando n → ∞?

(22)

6

a

_S´

_erie

6.1

Mostre que a rela¸c˜ao F = L

4πr2, onde F ´e o fluxo medido a uma

distância r da fonte luminosa com uma luminosidade L, não resolve o para-doxo de Olbers. Para tal considere uma distribui¸cão uniforme de n estrelas por unidade de volume, cada com luminosidade L. Tome então duas camadas esféricas finas, com raios r1 e r2 e espessura ∆r, centradas na Terra. Calcule

ent˜ao qual o fluxo de energia que chega `a Terra proveniente de cada camada.

6.2

Analise se há presentemente qualquer evidência directa que o universo seja espacialmente homogéneo e isotrópico hoje?

6.3

Considere três observadores A, B, C que estão bastante afastados um do outro. Mostre que se o movimento de B e C relativamente a A é consistente com a lei de Hubble para a expansão do universo, então o movimento de B relativamente a C também é consistente com essa lei.

6.4

Considere os modelos cosmol´ogicos de FLRW. Determine a veloci-dade da coordenada radial ¯¯¯dr_dt

¯ ¯

¯ da luz nesses modelos.

6.5

Considere os modelos cosmol´ogicos de FLRW.

a)

Nesses modelos, luz ´e emitida de uma estrela com coordenadas rs, θs, φs,

viajando radialmente at´e um receptor na origem. Mostre que λ λ0 =

a(t2)

a(t1), onde

a(t) é o factor de escala, t1 e t2 são os instantes de emissão e recep¸cão, com λ

e λ0 sendo os comprimentos de onda observado e pr´oprio, respectivamente.

b)

Se ∆t = t2−t1 ¿ 1, mostre que z definido por 1+z = λ/λ0 vem dado

por z ' H(t1)∆t ' H(t2)∆t. Deduza que V ' H(t2)d, onde d ´e a distˆancia

e V a velocidade de recess˜ao.

c)

Para K = 0 mostre que Rt2

t1 dt a(t) = 3 ³ 2 3A ´_2/3³ t1/3₂ − t1/3₁ ´ com A2 ₌ R3

0H02 e que correntemente s´o podemos ver aquelas gal´axias que satisfizerem

at´eRt2 t1 dt a(t) ≤ 2 a0H0.

6.6

Suponha que o Universo ´e descrito por um espa¸co-tempo de FLRW com k = +1 e m´etrica dada por

ds2 _{= −dt}2_{+ a}2_(t)h_dx2 _{+ sin}2_x³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´i

(23)

onde a(t) = a0t2/3 . Um observador em t = t1 regista uma gal´axia distante,

tendo luz sido emitida em t = t0. Qual ´e a express˜ao para o desvio espectral

cosmol´ogico?

6.7

Construindo solu¸cões para as equa¸cões de Maxwell no espa¸co-tempo de Minkowski obtenha uma fórmula para o desvio espectral cosmológico da radia¸cão luminosa emitida por uma galáxia em t = t1 e registada por um

observador em t = t2. Tome tanto a fonte como o observador em repouso

com respeito `a coordenada temporal co-m´ovel t.

6.8

Assuma que o Universo é espacialmente plano e isotrópico. A métrica tem a forma

ds2 _{= −dt}2_{+ a}2_(t)h_dr2_{+ r}2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´i

onde r, θ, φ são variaveis comóveis, i.e., qualquer galáxia terá valores con-stantes de r, θ, φ. Do facto que a luz se propaga ao longo de geodésicas tipo-nulo, mostre o desvio espectral para a radia¸cão emitida em tE e

rece-bida em tO definido por z = λE_λ−λ_EO ´e dado por z = a_aO_E − 1 onde aO = a(tO)

e aE = a(tE).

6.9

O desvio espectral z ´e definido como z = ∆λ

λ0 =

λ−λ0

λ0 onde λ e λ0 s˜ao

o comprimento de onda observados e próprio respectivamente. Se z é devido a uma velocidade de recessão V mostre que z ∼ V /c quando V ¿ c.

6.10

O elemento de linha da m´etrica de FLRW para o espa¸co vazio (i.e.,

Tµ

ν = 0 = Λ) ´e dado por

ds2 _{= dt}2_{− a}2_(t) " dx2 1 + x2 + x 2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´ #

onde a(t) ' t. Mostre que esta m´etrica corresponde ao espa¸co-tempo plano e encontra uma transforma¸c˜ao de coordenadas para a forma usual de Minkowski.

6.11

A m´etrica de um espa¸co-tempo de LFRW plano ´e escrita como

ds2 _{= −c}2_dt2₊

µ_t

t0

¶_2/3_³

dx2_{+ dy}2_{+ dz}2´

Mostre que este espa¸co-tempo ´e conformal com o espa¸co-tempo de Minkowski.

(24)

6.12

Considere a métrica do espa¸co homogéneo e isotrópico correspon-dente a um modelo de LFRW: (gij) =    (1 − kr2₎−1 ₀ ₀ 0 r2 ₀ 0 0 r2_sin2_θ   

Encontre uma transforma¸c˜ao de coordenadas r → χ tal que para k > 0 se obt´em (gij) = 1 k    1 0 0 0 sin2_χ ₀ 0 0 sin2_{χ sin}2_θ   

6.13

Considere a métrica do espa¸co homogéneo e isotrópico correspon-dente a um modelo de LFRW: (gij) =    (1 − kr2₎−1 ₀ ₀ 0 r2 ₀ 0 0 r2_sin2_θ   

Encontre uma transforma¸c˜ao de coordenadas r → χ tal que para k < 0 se obt´em (gij) = ¯ ¯ ¯ ¯ 1 k ¯ ¯ ¯ ¯    1 0 0 0 sinh2_χ ₀ 0 0 sinh2_{χ sin}2_θ   

Encontre também um sub-espa¸co do espa¸co de Minkowski cuja métrica é dada por gij acima.

6.14

Mostre que o espa¸co tridimensional com m´etrica dr2

1−Kr2+r2

³

dθ2 _{+ sin}2_θdφ2´

tem curvatura espacial igual a −6K.

6.15

Determine as solu¸c˜oes de ˙a2 ₋ 8πG 3 ρ0

1

a = −kc2, onde k > 0 e ρ0 ´e

constante. Obtenha uma express˜ao equivalente onde ρ0´e substituido por Ω0.

6.16

Determine as solu¸c˜oes de ˙a2 ₋ 8πG

3 ρ0a1 = −kc2, onde k < 0 e ρ0 ´e

constante. Obtenha uma express˜ao equivalente onde ρ0´e substituido por Ω0.

6.17

Num modelo de FLRW mostre que a área própria, (i.e., com t = 0) de uma superficie esférica centrada na origem e coordenada comóvel r, é dada por 4π (a(t)r)2.

(25)

6.18

A m´etrica de FLRW ds2 = −dt2+ a2(t) " dr2 1 − Kr2 + r 2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´ #

(onde K = 0, ±1 de acordo se a curvatura espacial tridimensional é nula, positiva ou negativa) leva à obten¸cão da equa¸cão ˙a2_{+ K =} 8πG

3 ρa2 e ρa3 = C

para um universo dominado por matéria com densidade de energia ρ. Calcule a distância Lr(t) da origem r = 0 até uma particula com coordenada r no

tempo t, em termos de r e a(t).

6.19 a)

Considere um volume esférico com raio pequeno e ignorando a curvatura negligivel no interior, i.e., o espa¸co a´ı é plano e que qualquer distribui¸cão isotropica de matéria fora do espa¸co não tem efeito na curvatura interior. Escreve em termos Newtonianos a equa¸cão para a acelera¸cão de particulas para a origem desde uma distância L, assumindo uma distribui¸cão uniforme da matéria dentro da esfera de raio L.

b)

Para conservar mat´eria tamb´em temos que ter ρa3 _{= C. Usando este}

resultado com o de b), determine as equa¸cões que o parâmetro de expansão

a(t) deve satisfazer e compara com as equa¸c˜oes de Einstein.

6.20

Assuma que a geometria do Universo ´e descrita pela m´etrica de FLRW com ds2 _{= −dt}2_{+ a}2_(t) " dr2 1 − Kr2 + r 2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´ #

Uma nave espacial inicia uma viagem com velocidade V relativa a obser-vadores cosmol´ogicos. Num tempo particular quando o Universo tiver ex-pandido de um factor de escala representado por 1+z, determine a velocidade

V0 _{com respeito a esse observador.}

6.21

Mostre que um universo de FLRW finito tem um raio m´aximo rmax

e um tempo de vida proporcional a πrmax.

6.22

Considere um modelo de FLRW espacialmente plano dominado pela radia¸c˜ao onde a(t) ' t1/2_.

a)

Mostre que a press˜ao satisfaz P = c2

32πGt12.

b)

Determine a expressão correspondente para o parâmetro de desacel-era¸cão q.

(26)

c)

Encontre uma espress˜ao para a idade t deste universo em termos de

H(t).

6.23

A m´etrica de um Universo em expans˜ao tem a forma de

ds2 = −dt2+ a2(t)hdx2+ dy2+ dz2i

onde a curvatura espacial foi ignorada. A forma especifica da fun¸c˜ao a(t) depende do conte´udo material do Universo.

a)

Uma particula com massa m tem energia E0 e momento P0 num

instante de tempo t0. Assuma que a(t0) = a0. A particula move-se livremente

desde esse ponto, com excep¸c˜ao dos “efeitos da m´etrica” acima. Determine a sua energia e momento.

b)

Suponha que o Universo primitivo contém um gás (não interactivo) de particulas sem massa (i.e., fotões) sujeitos à açcão apenas do campo gravitico. Mostre que se em t0 existir uma distribui¸cão térmica com temperatura T0,

também estará em equil´ıbrio térmico um per´ıodo de tempo depois mas a uma temperatura que depende do tempo que decorreu.

c)

Suponha que o Universo também contém um gás não interactivo de particulas com massa m. Suponha que num tempo t os fotões e essas partic-ulas estavam em equilibrio térmico com temperatura KT = mc2 _{para ambos.}

No Universo actual os fotões têm uma distribui¸cão térmica KT ' 3×10−4_{eV .}

Em termos da massa m, qual ser´a a velocidade tipica e a energia cin´etica das particulas hoje se m À 3 × 10−4_{eV .}

6.24

Mostre que as componentes do tensor de Ricci do espa¸co-tempo FLRW com m´etrica ds2 _{= −dt}2_{+ a}2_(t) " dr2 1 − Kr2 + r 2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´ #

s˜ao dadas por

R00= 3¨_aa R11= −a¨a+2 ˙a

2_+2K

1−Kr2 R22 = − (a¨a + 2 ˙a2+ 2K) r2 R33= R22sin2θ

onde Rµν = 0 para µ 6= ν.

6.25

Mostre que a equa¸c˜ao (ρ + P )uν

;µuµ = (gµν − uµuν) P,µ ´e sempre

verdadeira.

(27)

6.26

Para as equa¸c˜oes de Einstein com constante cosmol´ogica

Rµν−

1

2Rgµν+ Λgµν = κTµν

mostre que as equa¸c˜oes para o espa¸co-tempo vazio tˆem a forma Rµν = Λgµν.

6.27 a)

Mostre que nos casos K = 0, ±1 as constantes de integra¸c˜ao em ˙a2_{+ K = A}2_/a2 _{s˜ao dadas por A}2 _{= a}3

0H02 no caso K = 0 e 2a0q0 ³ K 2q0−1 ´ ou 2q0 H0 ³ K 2q0−1 ´_3/2 para K = ±1.

b)

Determine para (i) H0 ' (13 × 109anos)−1 e q0 ' 1 a idade de um

Universo fechado e (ii) com H0 ' (13 × 109anos)−1 e q0 ' 0.014 a idade de

um universo espacialmente aberto.

6.28

Determine o tempo de existˆencia (idade) de um universo FLRW fechado expresso como multiplo de tH = 1/H0 e do parˆametro de densidade

Ω0.

6.29

Se o universo fôr fechado, tomando o Sol com 4.5 biliões de anos e o universo em expansão, qual o limite que se poderá colocar em Ω0 para os

casos em que h = 0.5 e h = 1?

6.30

Da equa¸c˜ao de Friedman obtenha a equa¸c˜ao Ω = 1 + kc2_{/ ˙a}2_.

6.31

Uma das rádiogaláxias mais distantes, 8C1435 + 63, tem um valor de z = 4.25. Assumindo que o universo é como um modelo de FLRW espa-cialmente plano

a)

Qual era a idade do universo para este valor de z. Considera h = 0.5 e

h = 1 e exprima o resultado como uma frac¸c˜ao da idade presente do universo

b)

Qual é a distância própria corrente (para h = 0.5 e h = 1) até essa galáxia.

c)

Qual era a distância própria (para h = 0.5 e h = 1) quando essa radia¸cão foi emitida?

6.32

Num canal de televisão podemos identificar em casa ondas de rádio com comprimento de onda entre 341nm e 366nm. Considere que a esta¸cão de TV tem 25, 000W de potência e está localizada a 70 km de casa. Determine o quociente do número de fotões correspondente a esse canal relativamente ao número de fotões proveniente da radia¸cão cósmica de fundo que a antena em casa capta.

(28)

6.33

Determine (para h = 0.5 e h = 1) o tempo correspondente `a fase de desacoplamento, tdec, para um Universo de FLRW plano, assumindo que

tal ocorre para z = 1100.

6.34

No contexto do efeito de Doppler relativista mostre que se tem o seguinte resultado para a temperatura da radia¸c˜ao c´osmica de fundo Tmov '

Trep ³ 1 + V c cos θ ´ quando V ¿ c.

6.35

Mostre que a varia¸cão em temperatura na radia¸cão cósmica de fundo se relaciona com as flutua¸cões de matéria bariónica como δρ/ρ0 '

3δT /T0.

6.36

Assumindo um universo de FLRW espacialmente plano determine o diâmetro angular da maior região causalmente conexa na radia¸cão cósmica de fundo.

6.37

Mostre que quando Λ 6= 0, os parˆametros correntes de desacelera¸c˜ao e densidade relacionam-se como

q0 = 1 2Ω0− Λc2 3Ω2 0

6.38

Determine (em unidades da massa solar) a massa de matéria bariónica contida numa região causalmente conexa no periodo de transi¸cão da época de radia¸cão para a época de dominio da matéria. Assuma que Ω0 = 1 e h = 1.

6.39

Assumindo que a densidade presente de matéria bariónica é dada por ρB

0 ∼ 3 × 10−31g cm−3, qual era a densidade da mat´eria no periodo de

nucleosintese quando T ∼ 1010_K?

6.40

Mostre que se as perturba¸cões na densidade bariónica no tempo presente são da ordem de (δρ/ρ)₀ ' 1, então o seu valor para um z qualquer

durante a época de dominio da matéria é (δρ/ρ) ' (1 + z)−1.

6.41

No contexto do modelo cosmológico padrão qual era o valor do factor de escala, a(t), para uma fase de radia¸cão no instante de Planck (tP = 5.39 × 10−44seg.)? Se o cenário inflacionário fôr considerado (tomando

t/τinf ' 100) qual era o valor do factor de escala quando t ' tP? Em ambos

as situa¸c˜oes qual era o tamanho do universo observado presentemente no instante de Planck?

(29)

6.42

Assumindo que o per´ıodo inflacion´ario tem uma dura¸c˜ao de 10−32_seg.

e que a densidade de energia correspondente era de 1094_Jm−3 _{(flutua¸c˜oes do}

v´acuo) determine o factor de quanto o Universo se expandiu durante a in-fla¸c˜ao.