Uma Análise sobre a Igualdade Matemática
Vanessa Vasconcelos Cosme Lígia Arantes Sad Programa de Pós-graduação em Educação Universidade Federal do Espírito Santo
Introdução
No presente artigo nossa intenção é mostrar parte do trabalho investigativo que estamos realizando como projeto de mestrado. Ele tem como centro um estudo das relações de igualdade matemática e significados a ela atribuídos por professores e alunos de 5ª e 6ª séries do ensino fundamental. Nesse momento estaremos apresentando os resultados de um projeto piloto no sentido de observar como professores e alunos possam trabalhar a igualdade e seus significados, inclusive fora da matemática. Além disso, trazemos um panorama histórico com intuito de refletir sobre construção e desenvolvimento de símbolos que foram usados para representar a igualdade matemática.
Os interesses em estudar a respeito de igualdade matemática vieram da preocupação primeira com a linguagem matemática, enquanto parte constituinte e importante da matemática. Esses interesses serão descritos e exemplificados no decorrer desse texto. Outro fator, umbilicalmente ligado ao anterior e de grande influência na decisão de estudar esse tema, foi a experiência como professora perante as questões relativas a escrita matemática dos alunos.
Justificativa
Os seres humanos são, desde pequeninos, iniciados no processo de inserção numa comunidade, numa sociedade, com hábitos, culturas e linguagem próprios. Dentro dos costumes desta sociedade, os indivíduos desenvolvem habilidades que os permitem manterem-se no grupo a que pertencem ou ao qual pretendem fazer parte. Entre estas
habilidades, uma que nós seres humanos consideramos indispensável é o aprendizado da linguagem, pois é fundamentalmente por meio dela que se processa a inserção social, nos entendemos e nos fazemos entender. Com o uso da língua materna atingimos nossos objetivos de comunicação, mesmo se tratando de matemática. De modo geral, empregamos a simbologia própria da língua portuguesa (nossa língua materna falada e escrita), que inclui descrições e palavras pertinentes à matemática.
Essa necessidade de conhecimento dos símbolos de uma linguagem e de como empregá-los dentro dos padrões é exigida, mesmo na linguagem matemática. Bem cedo, a partir do letramento (literacia matemática), as crianças mantém contato com os símbolos próprios da matemática, devendo aprender quais são eles, para quê e em que situações são usados, como devem ser entendidos, interpretados, em diferentes situações. Para Bruner (1997, p. 67), aprender uma língua é mais que aprender simplesmente o que dizer, é aprender “como, onde, para quem e sob que circunstâncias” se diz. Logo, na matemática não basta somente saber fazer contas e identificar os seus símbolos ou regras, mas também aprender a ler, escrever e falar matematicamente, sabendo compreender1 e fazendo-se compreender de acordo com o ambiente em que estiver. Concordamos com Luiz Heinzen (2000) ao defender, em sua dissertação de mestrado sobre significados de termos matemáticos, a “necessidade da apresentação dos termos matemáticos utilizados em sala de aula com seu significado etimológico”. Ele diz ainda que o uso da etimologia das palavras torna-se mais eficaz ao fazê-lo acompanhado de sinônimos que fazem parte do vocabulário do aluno. Certamente esta não é a única, mas é uma das maneiras pelas quais a comunicação entre professores e alunos pode ser facilitada, com chances de tornar a matemática mais atrativa e significativa2, com aproximações da linguagem do professor ao vocabulário de seus aprendizes. O uso de metáforas é um outro recurso empregado para que essas aproximações das linguagens ocorram.
As pessoas trazem consigo registros cognitivos que lhes permitem constituir significados para as palavras presentes em sua vida. Ao principiarem no universo escolar elas são muitas vezes apresentadas a um novo significado atribuído a termos usados na língua materna, mas agora
1 O compreender a que me refiro é a ação consciente de pensar e refletir sobre expressões de forma semelhante a que outros indivíduos fazem delas, sendo, portanto, capaz de continuar uma dada elaboração com base numa afirmação prévia e em seus significados. O compreender é uma ação do sujeito que se faz pelo construir de uma significação para um objeto, uma situação ou relacionamento entre eles.
2 Entendo o termo “significativa” no sentido de o aluno produzir significados à matemática, fazendo uso consciente de seus conceitos, definições e resultados.
com uma conotação diferente. Podemos tomar como exemplo expressões como função, relação, igualdade, semelhança, diferença e equivalência, que a princípio têm um significado novo e específico na linguagem matemática e que pode não ser o mesmo em outras áreas ou linguagens. A compreensão desse novo significado, o de igualdade, por exemplo, é influenciada pelo sentido atribuído a essa palavra na língua materna, como também reforça Heinzen (2000). Porém, ao se falar em igualdade é comum observar-se idéias distintas em matemática e em língua materna, representadas inclusive por signos lingüísticos distintos: “=” e “igualdade”. Quando escrevemos “π =3,14...”, o símbolo “=” é usado com sentido tão exato que não se admite retirar as reticências. Por outro lado, freqüentemente falamos e escrevemos que “gêmeos são iguais”, mas o fazemos sem o rigor exigido ao termo igual em matemática, mesmo sabendo que quaisquer pessoas jamais serão iguais.
Minha preocupação com o uso que os estudantes e os professores fazem ou deixam de fazer dos símbolos (signos) matemáticos fez-se presente a partir do ensino médio, pois tive um professor que alertava-nos para um entendimento do que nos diziam as expressões matemáticas. Foi só nessa etapa que percebi haver sentidos em expressões como “2x=10”, tais como equilíbrio e frases que podem ser reescritas de outras maneiras, e que não se tratava simplesmente de uma equação em que deveria encontrar o valor de “x”. Até então a matemática que conhecia era mecanizada, apresentada por regras mas não sabia por quê. Foi a partir do ensino médio que pude perceber uma linguagem por trás daqueles símbolos e dar mais atenção ao que diz respeito às conexões existentes entre as linguagens materna e matemática.
Foi com essa inquietação inicial que desenvolvi a problemática desse projeto de pesquisa, centrado nas relações de igualdade matemática. As questões que envolvem igualdade estão bem explícitas nos estudos de equações que aparecem geralmente a partir da 6ª série do ensino fundamental, mas também aparecem em situações anteriores, mais elementares, como as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão, por exemplo,
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2+ = ). Isso nos levou a escolher como sujeitos de pesquisa professores e alunos de 5ª e 6ª séries. Um reforço a essa escolha foi uma palestra do sociólogo da educação Angel Pino (2005)3. Segundo ele, fora da matemática e dentro dos domínios da justiça, o sentido de igualdade pode sofrer variações consideráveis na mente de adolescentes que tem idade
3 Durante palestra intitulada Natureza e cultura na constituição humana do homem, ocorrida em 27/11/2005 no auditório do prédio IC-IV do Centro de Educação da UFES.
próxima aos 13-14 anos. Pino comentou que o conceito de igualdade (aqui afirmada com significados sociais) ainda não foi suficientemente desenvolvido nessa idade e ela é vista como algo comum a todos, se referindo a direitos, princípios e regras, que são igualmente atribuídas a todos os indivíduos. Em sua palestra, Pino ressaltou que “o conceito de igualdade deve ser muito trabalhado”.
Olhando para o trabalho docente, não nos cabe aqui questionar a competência dos professores em ensinar matemática dentro de um modelo padrão exigido pelos currículos e instituições, mas observamos professores que por vezes fazem opção por um caminho não adequado às exigências da aprendizagem da linguagem matemática. Para exemplificar, lembro de ter “aprendido” a resolver equações, em aulas de matemática, por um procedimento no qual “passávamos” os números de um lado para o outro da igualdade e trocávamos o sinal que os acompanhavam até que o “x” ficasse sozinho. Seguindo esse procedimento, para resolver a equação 2x+3=11, deveríamos “passar” o 3 para depois da igualdade e trocar seu sinal, assim teríamos 2x=11−3, que após efetuar a subtração ficaria 2x=8. Agora, como o 2 está multiplicando por x, “passamos” ele para depois da igualdade dividindo o 8, ou seja, x=8:2. Logo x=4. Assim deixando velada a justificação matemática do “passar” e do princípio básico de equilíbrio inerente à igualdade que posteriormente compreendi.
Notamos que para certos alunos a crença de ter aprendido matemática por meio de regras e modelos que deram certo e levaram ao sucesso nessa disciplina escolar, direciona o aluno a se fechar e não querer compreender de outro modo ou com outras argumentações. Assim, a matemática, com sua linguagem, pode ajudar a constituir um obstáculo psicológico difícil de ser transposto. Um outro tipo de dificuldade epistemológica se refere a situações em que para os professores os símbolos parecem de compreensão simples devido a familiaridade, mas que para os aprendizes requerem muita atenção a seus significados precisos. Podemos tomar como exemplo o uso dos símbolos (=), (≅), (⇒) e (⇔) em questões como:
1. na solução de expressões como “10−3+4−6” aparecerem representações do tipo “10−3=7+4=11−6=5”, que apesar de mostrar uma idéia correta sobre operações a serem feitas e encontrar o resultado certo, faz uso incorreto do símbolo “=”, pois
3
2. expressar que o triângulo ABC é igual ao triângulo DEF (∆ABC=∆DEF), quando em geometria dizemos que eles são congruentes e representamos por ∆ABC≡∆DEF; 3. expressar que duas ou mais sentenças como “
d c b a = ” e “a.d =b.c” são iguais, ou seja, ad bc d c b
a = = . = . , quando o correto é dizer que elas podem ser equivalentes (desde que b e d não sejam nulos) e escrever ad bc
d c b
a = ⇔ . = . ;
4. escrever π =3,14 dizendo que esse é seu valor exato, omitindo uma aproximação que deveria ser representada por π ≅3,14;
5. escrever o símbolo “=” entre duas sentenças como 5
2 = + + +b c d a e 5 2× = + + +b c d a , ou seja, 5 2 = + + +b c d a = a+b+c+d =2×5, quando na verdade a primeira pode implicar na segunda ( 5
2 = + + +b c d a ⇒ 5 2× = + + +b c d
a ), ou mesmo serem equivalentes.
Igualdade: uma busca
Em nosso trabalho, temos questionamentos como:
Na História da Matemática, do século XVI até o século XVIII, como a igualdade matemática foi abordada e representada?
A escolha desse período justifica-se pela introdução da linguagem simbólica no século XVI e pela instituição sistemática de uso do símbolo “=” (para igualdade) no inicio do século XVIII.
Que significados podem ser produzidos e externados por professores e alunos de 5ª e 6ª séries do ensino fundamental em relação à igualdade matemática?
Os significados e usos hoje atribuídos à igualdade matemática são reflexos das maneiras como esse termo e seus significados e símbolos foram abordados e representados no decorrer da história. Portanto, a história da igualdade matemática nos ajudará a perceber os diferentes conceitos de igualdade presentes na matemática.
Nosso estudo terá como referenciais teóricos autores que estudaram o ser humano e suas relações com a linguagem e suas simbologias. Nesse artigo não nos aprofundaremos em suas teorias, mas destacaremos nossos principais interesses em estudá-los. O lingüista e filósofo Michail Bakhtin nos dará base em questões que perpassam a linguagem verbal. Apoiaremos-nos em discussões sobre a formação de conceitos, mediação e linguagem do psicólogo Lev Vygotski4. No tratamento dos signos e suas significações são pertinentes A filosofia das formas simbólicas, do filósofo Ernst Cassirer e Atos de significação, do psicólogo Jerome Bruner. Para referenciar nossas argumentações sobre a linguagem matemática recorreremos principalmente a José Nilson Machado.
Como nossa pesquisa é de cunho qualitativo, utilizaremos, além de pesquisa bibliográfica, um estudo de caso direcionado a um grupo de professores e alunos de 5ª e 6ª séries do ensino fundamental do município de Vitória. Nela aprofundaremos os aspectos que permeiam as relações de igualdade matemática por meio da análise de conteúdo, buscando a tipificação do material coletado para desvelar os significados advindos desse contexto de ensino. Por enquanto já temos resultados de um estudo piloto e estamos em fase de trabalho relativa a pesquisa de campo em quatro turmas neste nível de ensino.
No ambiente escolar estamos atentos principalmente a quando, onde e como professores e alunos usam o símbolo “=” e como são tratadas outras relações de igualdade. Por isso estamos assistindo e gravando as aulas, copiando e fotografando lousa, cadernos e outros materiais, tanto de alunos quanto de professores. Simultaneamente, estamos analisando os livros que são por eles usados, tanto o livro texto quanto outros livros didáticos de matemática que os professores costumam consultar.
Para conhecer um pouco mais sobre a evolução matemática das relações de igualdade, e até mesmo saber como ela chegou a ser matematicamente aceita e trabalhada, recorremos à investigação histórica do desenvolvimento dos significados e representações da igualdade matemática. Nesse sentido, estamos analisando os livros listados a seguir.
4 A tradução para as línguas latinas que mais se aproxima de seu sobrenome russo é Vygotski. Devemos portanto ressaltar que estamos estudando em traduções brasileiras desse autor que optaram por reescrever seu nome como Vigotski.
Titulo Autor Local e data (edição pesquisada) Elementos de Geometria
(vol. I de Os Elementos) Euclides São Paulo, 1945
La Géométrie Descartes França, 1637
Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria (vol. VI de Obras)
Pedro Nunes Portugal, 1564
Exame de Artilheiros Jozé Fernandes Pinto
Alpoym Brasil, 1744
Álgebra Fundamental
(vol. I do Curso Elementar de Matemática)
Aarão Reis Brasil, 1902
Diophantus of Alexandria: A study in the history on greek Algebra
Sir Thomas & L.
Heath New York, 1985
Notations in elementary mathematics
(vol. I de A history of mathematical notation)
Florian Cajori Califórnia, 1928
No século XV “todos os teoremas ainda tinham de ser expressos por palavras [...], diferindo dos nossos textos atuais, basicamente, porque a nossa notação não existia” (Struik, 1989, p. 143). A igualdade era representada por palavras como aequantur, aequales, esgale, faciunt, ghelijck ou gleich, ou ainda por abreviações como aeq. O símbolo “=” foi criado para igualdade aproximadamente em 1557, por Robert Recorde, um matemático inglês que nasceu Tenby (Pembrokeshire) no início do século XVI e faleceu em Londres, em 1558. Mas a instituição definitiva deste símbolo só ocorreu no século XVIII, devido principalmente a influência de Leibniz.
Entre os séculos XVI e XVIII, além do símbolo “=” e variações em sua forma ( , , ,= =, , ═══, etc.), outros símbolo foram usados para representar igualdade, como “]”, “||”, “|” e “ ”, e a linguagem retórica ainda se fazia presente na maioria dos
trabalhos. Era comum encontrar um misto das linguagens retórica e simbólica em um mesmo escrito de um mesmo autor.
Não sabemos dizer os motivos que levaram a variações no emprego de símbolos representativos da igualdade e nem às alterações na forma do “=”. Acreditamos que os matemáticos da época seguiam outros matemáticos, inclusive no uso das notações empregadas em trabalhos que julgassem importantes. Por outro lado, os símbolos poderiam ser criados a partir de objetos que possibilitassem associações ao significado do símbolo. Por exemplo o símbolo “ ”, que pode ter sido criado por Descartes através da associação à abreviação “ae” da palavra aequales (igual), escrita com as letras a e e justapostas.
Mas os únicos obstáculos para a instituição do símbolo “=” não os diferentes símbolos usados para representar igualdade. O símbolo “=” não foi empregado apenas significando igualdade, ele adquiriu pelo menos esses cinco significados diferentes entre escritores distintos: diferença aritmética, mais ou menos (±), retas paralelas, separação entre as partes inteira e decimal de números racionais e separação entre números que ocorriam em problemas aritméticos. O sinal “=” estava então sob o risco de ser rejeitado completamente e substituído por outro que estivesse sendo empregado com significado único.
Passando os séculos de confusão no uso dos símbolos, no final do século XVII são apresentados os primeiros trabalhos de cálculo diferencial e integral, principalmente por Leibniz e Newton. Assim, considerando que Recorde não propôs nenhum outro símbolo, que o cálculo diferencial e integral estava em fase de grande desenvolvimento e que Leibniz empregou o símbolo “=” em seus trabalhos, podemos concluir que a adoção geral desse símbolo foi principalmente por ele influenciada. Struik (1989, p. 185) confirma essa idéia ao dizer que “devido a sua influência [de Leibniz], o sinal = é usado para a igualdade e × para a multiplicação”.
Com esse breve passeio pela história dos símbolos que representaram a igualdade matemática podemos perceber que a igualdade se presta a diferentes significados, específicos em situações diversas na matemática. Pretendemos continuar investigando esses significados ao longo da história da matemática e relaciona-los aos significados e usos feitos por alunos, professores e em livros didáticos de 5ª e 6ª séries do ensino fundamental.
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