Rafael de Vasconcellos Clarim

Instituto de Física Armando Dias Tavares

Rafael de Vasconcellos Clarim

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor

nemático

Rio de Janeiro

2012

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci

Rio de Janeiro 2012

C591 Clarim, Rafael de Vasconcellos

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático / Rafael de Vasconcellos Clarim. - 2012.

85f. : il.

Orientador: Daniel Gustavo Barci.

Dissertação - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.

1. Supercondutividade - Teses.2. Transformações de fase (Física matemática) - Teses.3. Cristais líquidos - Teses. I. Barci, Daniel Gustavo. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando Dias Tavares. III. Título

CDU 537.31

Autorizo, apenas para fins acadêmicos ou científicos, a reprodução total ou parcial desta disser-tação, desde que citada a fonte.

Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

Aprovado em 03 de Abril de 2012.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Daniel Gustavo Barci (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Prof. Dr. Pedro Jorge Von Hanke Perlingeiro Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Prof. Dr. Mauro Melchiades Doria Universidade Federal do Rio de Janeiro

Prof. Dr. Daniel Lorenzo Reyes López

Instituto de Física Armando Dias Tavares - UERJ

Prof. Dr. Luca Roberto Augusto Moriconi Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro 2012

A meus pais, Hamilton de Jesus Clarim e Rita de Cássia Jesus de Vasconcellos e aos meus avós, José Rangel e Ondina e Wilson e Inês

À meus pais, Hamilton e Rita de Cássia, e à meus avós, Wilson, Inês, José Rangel e On-dina, por terem me dado toda estrutura familiar essencial para meu desenvolvimento pessoal e profissional.

À minha namorada, Jéssica Furtado, que sempre me apoiou e colaborou para que eu pudesse alcançar os meus objetivos.

Ao meu orientador, Dr. Daniel Gustavo Barci, que me orientou de maneira excelente, sempre com muita paciência para passar o conhecimento, dando total apoio para produção do trabalho e também por toda a confiança que tem depositado em mim nos últimos anos.

À todos os meus amigos, próximos ou distantes, recentes ou antigos, pelo carinho e amizade que foram muito importantes nesses últimos anos. Em especial gostaria de agradecer à Thiago Gaddini, Bruno Cabral, Alan Michel Rangel, Jorge Ricardo (com sua brilhante teoria sobre vetores), Gustavo Luiz, Paula Ribeiro, Bruno Alho, Gustavo Vicente, Leonardo Rodrigues e aos diversos outros amigos que peço desculpas por não ter acrescentado o nome nesta lista.

Ao Instituto de física da UERJ e à todos os professores, antigos e recentes, pois sem eles seria impossível alcançar o conhecimento que me permitiu desenvolver este trabalho.

Don Ramon.

"Com a força da sua mente, seu instinto e, também com sua experiência você pode voar alto." Ayrton Senna.

"Se você quer fazer do mundo um lugar melhor, olhe para si mesmo e faça uma mudança." Michael Jackson.

"Enquanto tiverem os livros nas mãos serão pessoas honradas, serão gente de bem. Em outras palavras, serão como eu..." Rubén Aguirre.

CLARIM, Rafael de Vasconcellos. Teoria de Landau-Ginzburg para o estado

supercondutor nemático. 2012. 83f. Dissertação (Mestrado em Física) -

In-stituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de

Janeiro, Rio de Janeiro, 2012.

O objetivo geral deste projeto é propor um modelo bidimensional que

de-screva o novo estado supercondutor, que apresenta simetria de cristal líquido,

chamado de supercondutor nemático. O estudo começa com uma introdução

sobre a teoria de Landau-Ginzburg das transições de fase, onde são

discuti-dos conceitos como parâmetro de ordem e as ordens das transições de fase,

que são essenciais para o desenvolvimento deste projeto. Em seguida, é feita

uma discussão sobre as principais características dos supercondutores como a

resistência zero, o efeito Meissner-Ochsenfeld, os tipos de supercondutores, o

surgimento de vórtices e uma análise sobre a teoria de Landau-Ginzburg para

transição de fase metal-supercondutor. Após isto, é feita uma abordagem

so-bre os principais tipos de cristais líquidos, com destaque ao cristal líquido

nemático, onde é desenvolvida a teoria de Landau-Ginzburg para transição de

fase isotrópica-nemática e um estudo sobre o surgimento de disclinações no

cristal líquido nemático em duas dimensões. Por fim, é apresentado o modelo

proposto para descrever o estado supercondutor nemático, com a construção da

teoria de Landau-Ginzburg, o estudo do acoplamento entre as fases e os defeitos

topológicos presentes nesse estado.

Palavras-chave: Supercondutividade. Transformações de fase (Física matemática). Cristais líquidos.

CLARIM, Rafael de Vasconcellos. Landau-Ginzburg theory for the nematic

su-perconductor state. 2012. 83f. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto de

Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio

de Janeiro, 2012.

The objective of this project is to propose a two-dimensional model that

de-scribes the new superconducting state, which has liquid crystal symmetry, called

nematic superconductor. The study begins with an introduction to the

Ginzburg-Landau theory of phase transitions, which are discussed concepts such as order

parameter and the orders of phase transitions, which are essential for the

de-velopment of this project. Then, there is a discussion of the main

characteris-tics of superconductors such as zero resistance, the Meissner effect-Ochsenfeld,

the types of superconductors, the appearance of vortex and an analysis of the

Landau-Ginzburg theory to metal superconductor phase transition. After this,

an approach is made on the main types of liquid crystals, especially the

ne-matic liquid crystal, which is developed Ginzburg-Landau theory for nene-matic-

nematic-isotropic phase transition and a study about the disclinations in the two

dimen-sional nematic liquid crystal. Finally, the proposed model is presented to

de-scribe the nematic superconductor state, with the construction of the

Ginzburg-Landau theory, the study of coupling between the phases and the topological

defects present in this state.

Figura 1 - Transição de fase de primeira ordem . . . 21

Figura 2 - Transição de fase de segunda ordem . . . 23

Figura 3 - Resistividade de um Metal Típico em função da Temperatura . . . 28

Figura 4 - Efeito Meissner-Ochsenfeld . . . 30

Figura 5 - Diamagnetismo Perfeito . . . 31

Figura 6 - Supercondutor tipo I . . . 32

Figura 7 - Supercondutor tipo II . . . 33

Figura 8 - Diagrama H x T dos supercondutores tipo I e tipo II . . . 33

Figura 9 - Densidade energia livre, fs− fn, em função de ψ . . . 39

Figura 10 - Anel supercondutor com campo magnético aplicado . . . 46

Figura 11 - Ângulo α entre o vetor diretor e o eixo maior da molécula em um cristal líquido . . . 49

Figura 12 - Moléculas de um Cristal Líquido Nemático . . . 50

Figura 13 - Moléculas de um Cristal Líquido Colestérico . . . 50

Figura 14 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético A . . . 51

Figura 15 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético B . . . 51

Figura 16 - Moléculas de um Cristal Líquido Esmético C . . . 52

Figura 17 - Configuração das moléculas de um material através da variação da tem-peratura . . . 52

Figura 18 - Energia Livre de Landau para um cristal líquido nemático em três dimen-sões . . . 55

Figura 19 - Energia Livre de Landau-Ginzburg para um cristal líquido nemático em duas dimensões . . . 57

Figura 22 - J · ˆn= 0 em todos os pontos . . . 75 Figura 23 - Vórtice e Disclinação separados por uma distância R . . . 76 Figura 24 - Diagrama de Fase para a aproximação de London . . . 77

INTRODUÇÃO . . . 12

1 TRANSIÇÕES DE FASE . . . 15

1.1 Introdução . . . 15

1.1.1 Física Estatística . . . 15

1.2 Teoria de Landau . . . 17

1.2.1 Procedimentos para a construção da teoria . . . 17

1.2.2 Relação com a Física Estatística . . . 18

1.2.3 Transição de fase de primeira ordem . . . 19

1.2.4 Transição de fase de segunda ordem . . . 22

2 SUPERCONDUTIVIDADE . . . 24

2.1 Modelo de Drude . . . 24

2.1.1 Resistividade e Condutividade elétrica nos metais . . . 25

2.2 Características dos Supercondutores . . . 28

2.2.1 Resistência Zero . . . 28

2.2.2 Efeito Meissner-Ochsenfeld . . . 29

2.2.3 Diamagnetismo Perfeito . . . 30

2.3 Supercondutores: Tipo I e Tipo II . . . 32

2.3.1 Supercondutores Tipo I . . . 32

2.3.2 Supercondutores Tipo II . . . 32

2.4 Equação de London . . . 34

2.5 Pares de Cooper . . . 35

2.7.1 Descrição da Teoria . . . 38

2.7.2 Sistemas Não-Homogêneos . . . 40

2.7.3 Superfície dos Supercondutores . . . 41

2.7.4 Teoria de Landau-Ginzburg com campo magnético . . . 42

2.7.5 Simetrias . . . 44

2.7.6 Quantização do Fluxo Magnético . . . 46

3 CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO . . . 48

3.1 Cristais Líquidos . . . 48

3.1.1 Tipos de Cristais Líquidos . . . 49

3.1.1.1 Cristais Líquidos Nemático . . . 50

3.1.1.2 Cristais Líquidos Colestéricos . . . 50

3.1.1.3 Cristais Líquidos Esméticos . . . 51

3.2 Teoria de Landau-Ginzburg para os Cristais Líquidos Nemáticos . . . 52

3.2.1 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 3 Dimensões . . . 52

3.2.2 Transição de Fase Isotrópica - Nemática em 2 Dimensões . . . 55

3.2.2.1 Teoria de Landau-Ginzburg . . . 55

3.2.2.2 Disclinações . . . 59

4 O ESTADO SUPERCONDUTOR NEMÁTICO . . . 63

4.1 Supercondutores High Tc . . . 63

4.2 O Estado Supercondutor Modulado . . . 65

4.3 Teoria de Landau-Ginzburg para o estado supercondutor nemático . . . 69

4.3.1 Aproximação de London . . . 74

5 CONCLUSÕES . . . 78

INTRODUÇÃO

A primeira teoria bem sucedida sobre transições de fase foi introduzida por van der Waals antes do surgimento da Mecânica Estatística [1]. Esta teoria trazia um pensamento inédito de que um único tipo de interação entre moléculas poderia descrever distintas fases termodinâmi-cas. Nas teorias e os modelos atuais que descrevem as transições de fase e os fenômenos críticos têm como base a Mecânica Estatística, mas incorporam a idéia de van der Waals.

A Mecânica Estatística foi sistematizada por Gibbs. De acordo com a teoria de Gibbs, as propriedades de um sistema em equilíbrio termodinâmico a uma determinada temperatura po-dem ser obtidas a partir da distribuição canônica de probabilidades que está relacionada com a hamiltoniana que descreve o sistema. As propriedades termodinâmicas em questão são determi-nadas a partir da energia livre, que é proporcional à função de partição. Uma transição de fase ou um ponto crítico manifesta-se como uma singularidade na energia livre a qual é observada quando se toma o limite termodinâmico. O cálculo da energia livre do modelo de Ising por Onsager mostrou explicitamente essa propriedade pela primeira vez.

Antes de Onsager as transições de fase haviam sido estudadas do ponto de vista teórico em teorias aproximadas como a teoria de Weiss para o ferromagnetismo, a teoria de Bragg-Williams para a transição ordem-desordem em ligas metálicas e a teoria de van der Waals para a transição líquido-vapor. Essas teorias clássicas ou de campo médio podem ser vistas de forma unificada através da teoria de Landau.

Uma transição de fase que podemos destacar nas pesquisas em Física da matéria conden-sada é a transição de fase metal-supercondutor. Os Metais ocupam uma posição muito especial no estudo dos sólidos, apresentando uma impressionante variedade de propriedades que outros sólidos não possuem [2]. Eles são excelentes condutores de calor, de eletricidade, entre outras propriedades interessantes. O desafio da inclusão desses recursos dos metais deu o impulso inicial para a teoria moderna dos sólidos.

Kamerlingh Onnes observou que a resistividade do mercúrio, abaixo da temperatura de 4,15 K, caia para zero. Este foi o início dos Estudos dos Supercondutores.

Em 1950, Landau e Ginzburg propuseram uma Teoria para o estudo da transição de fase metal-supercondutor. A Teoria de Landau-Ginzburg é uma teoria que não explica os mecânis-mos microscópicos que dão origem a supercondutividade. Em vez disso, a teoria analisa as propriedades macroscópicas de um supercondutor com o auxílio de termodinâmica. Inicial-mente esta teoria era introduzida como uma teoria fenomenológica, mas Gor´kov mostrou que era possível obter esta teoria através da teoria microscópica de Bardeen Cooper e Schrieffer (BCS) no limite adequado.

Outro tipo de material que ocupa uma posição importante nos estudos das transições de fase são os cristais líquidos [3]. A descoberta do primeiro cristal líquido foi devido ao estudo do botânico austríaco Friedrich Reinitzer, em 1888. Ao realizar sua pesquisa no estudo da função do colesterol nas plantas, ele observou a existência de dois pontos de fusão em um éster. Aumentando a temperatura do sistema, ele percebeu que o composto variava do estado cristalino para um líquido opaco e, aumentando novamente a temperatura, o líquido opaco tornava-se um líquido transparente.

Após realizar essas observações, Reinitzer enviou algumas amostras a Otto Lehmann, físico alemão, que as estudou com um microscópio equipado com um polarizador e um controlador de temperatura. Lehmann verificou que a fase em que o líquido era opaco, a substância era um líquido homogêneo, mas, que o seu comportamento na presença de uma luz polarizada era igual ao comportamento de um cristal. Esta é a origem da denominação Cristal Líquido.

Impulsionado por essa descoberta muitos estudos foram realizados. Entre esses estudos destacamos: Daniel Vorlander, com o seu trabalho que mostrou a tendência das moléculas lineares em formarem fases líquido-cristalinas; Georges Friedel, que em 1922 publicou um trabalho descrevendo as 3 fases do cristal líquido: nemático, esmético e colestérico, expli-cando a razão pela existência de variações da orientação das moléculas e concluiu que para o caso de cristais líquidos esméticos existia uma estrutura de camadas; Carl Oseen e F.C. Frank realizaram, entre 1920 e 1958, um estudo teórico denominado como "Teoria Contínua"que descreve as propriedades elásticas nos cristais líquidos; V. Tsevtkov introduz o parâmetro de

ordem em 1942; Glenn Brown, químico norte-americano, publicou um trabalho de revisão so-breas fases líquido-cristalinas em 1957; Wilhelm Maier e Alfred Saupe, dois físicos alemães, em 1961 formularam pela primeira vez uma teoria microscópica que relaciona as características moleculares com as fases líquido-cristalinas.

As pesquisas de transições de fase em sistemas de matéria condensada ainda estão em pleno desenvolvimento. Recentemente foi observado em alguns materiais supercondutores de alta temperatura um novo estado supercondutor [4], [5], [6], [7], que apresenta simetria de cristal líquido nemático, algo que até então não havia sido observado e, consequentemente, ainda não possui uma teoria completa para descrever esse estado. Este trabalho propõe um modelo que visa estudar as principais características desse novo estado supercondutor através da teoria de Landau-Ginzburg para as transições de fase.

A presente dissertação é estruturada da seguinte forma:

• Capítulo 1: Refere-se a construção da teoria de Landau-Ginzburg das transições de fase, onde são discutidos conceitos como parâmetro de ordem e as ordens das transições de fase, que são essenciais para o desenvolvimento deste projeto.

• Capítulo 2: São apresentadas as principais características dos supercondutores como a resistência zero, o efeito Meissner-Ochsenfeld, os tipos de supercondutores, o surgimento de vórtices e a teoria de Landau-Ginzburg para transição de fase metal-supercondutor. • Capítulo 3: É feita uma abordagem sobre os principais tipos de cristais líquidos, com

destaque ao cristal líquido nemático, onde é desenvolvida a teoria de Landau-Ginzburg para transição de fase isotrópica-nemática e um estudo sobre o surgimento de disclinações no cristal líquido nemático em duas dimensões.

• Capítulo 4: É proposto um modelo para descrever o estado supercondutor nemático, com a construção da teoria de Landau-Ginzburg, o estudo do acoplamento entre as fases e a análise dos defeitos topológicos presentes nesse estado.

1

TRANSIÇÕES DE FASE

Neste capítulo apresentaremos os principais conceitos que serão abordados nessa disser-tação. Inicialmente descreveremos o conceito de energia livre e de parâmetro de ordem, que servirão como base para o estudo principal deste trabalho: a teoria de Landau-Ginzburg para as transições de fase.

1.1

Introdução

As transições de fase são muito comuns na natureza [8]. Essas transições ocorrem quando o estado de equilíbrio de um sistema sofre um alteração em suas condições de simetria devido a variação dos parâmetros externos do mesmo, como por exemplo temperatura, pressão, campo magnético. Compreender e descrever a existência dessas transições, bem como seu caráter e consequências para fenômenos cotidianos, é um dos papeis mais importante do estudo da física matéria condensada e da física estatística.

Para descrever um sistema, de um ponto de vista microscópico, temos que analisar o Hamil-toniano do mesmo. O HamilHamil-toniano apresenta invariância sobre determinadas operações de simetrias, que nos permite tirar importantes conclusões sobre a estrutura e o comportamento em determinadas condições. Em geral, se o sistema estiver sob alta temperatura ou diluído, o sistema está em uma fase desordenada na qual é invariante frente a operações do mesmo grupo de invariância do Hamiltoniano. Quando ocorre uma transição de fase, alguma invariância é quebrada. As quantidades que não permanecem invariantes através de uma transição de fases são chamadas de parâmetros de ordem.

Vamos agora analisar as transições de fase do ponto de vista da Física Estatística.

1.1.1

Física Estatística

Uma das aplicações da Física Estatística (além de nos ajudar a entender a natureza) é calcular propriedades fundamentais da natureza, incluindo as transições de fase. Através dos

estudos de Boltzmann podemos definir uma quantidade chamada de Função de Partição. Esta quantidade codifica as propriedades de um sistema em equilíbrio termodinâmico. Ela é uma função de parâmetros como a temperatura e, a maioria das variáveis termodinâmicas do sistema, como por exemplo a energia livre, entropia e pressão, podem ser obtidas em termos da função partição e de suas derivadas. A sua expressão matemática é dada por:

Z= X

γ

e−H[γ]/κBT =X

γ

e−H[γ]β (1.1)

Onde γ se refere a todos os microestados do sistema ( como por exemplo todas as configurações possíveis dos spins em um material magnético), β é igual a 1/κBT e H[γ] é a Hamiltoniana. Boltzmann mostrou também que a energia livre de Helmholtz é dada por:

F = −1

βln(Z) (1.2)

Obtendo a expressão da energia livre, podemos obter também quantidades termodinâmicas importantes, como por exemplo a entropia, através de suas derivadas em relação a determinados parâmetros do sistema.

Com base no que discutimos até agora e no que veremos no decorrer desse estudo, podemos dizer que a energia livre F(T) é, matematicamente, uma função não analítica da temperatura. Uma função não analítica é aquela que apresenta derivadas não definidas em certos pontos ou singularidades. Quando aparecem esses pontos que apresentam singularidades nas derivadas, dizemos que ocorreu uma transição de fase.

É interessante tentar e entender como obter o comportamente não analítico fora de uma soma de exponências, cada qual separado analíticamente em uma temperatura finita qualquer:

F = −κBT ln " X γ e−H[γ]/κBT # (1.3)

A existência de singularidades em F é um resultado direto da existência do limite termod-inâmico, ou seja, a presença de um número essencialmente infinito de graus de liberdade em um sistema termodinâmico.

Podemos pensar que a energia livre possa apresentar uma descontinuidade na sua primeira derivada ou nas derivadas de ordem superior. Definimos então que, quando a primeira derivada é descontínua, trata-se de uma transição de fase de primeira ordem. No caso da segunda derivada ser descontínua, trata-se de uma transição de fase de segunda ordem. Esses dois casos serão estudados com mais detalhes na sessão seguinte, no qual definiremos a teoria de Landau para as transições de fase.

1.2

Teoria de Landau

A partir da teoria das funções analíticas estamos familiarizados com o fato de que uma quantidade surpreendente de informação está contida em singularidades. Então, se podemos de alguma forma vir a nos deparar com uma singularidade na energia livre, então pode-se elaborar uma teoria para tornar possível a compreensão da física das transições de fase. Este é o objetivo da Teoria de Landau.

Landau fez uma série de pressupostos para a energia livre aproximada de um sistema, de tal forma que a energia livre exibe a não analiticidade de uma transição de fase e nos fornece grande parte da física envolvida neste processo. Existem essencialmente quatro etapas neste proced-imento: vamos estudar esses primeiros passos, e depois explorá-los novamente em termos da função de partição.

1.2.1

Procedimentos para a construção da teoria

Inicialmente temos que definir um parâmetro de ordem ψ para o sistema. Como já haviamos falado anteriormente, esta quantidade deve ser zero na fase desordenada (acima da temperatura crítica Tc) e diferente de zero da fase ordenada (abaixo da temperatura crítica Tc). Feito isso, assumimos um funcional da energia livre, cujo a energia livre é determinada minimizando o funcional:

˜

F = F0(T )+ FL(T, ψ) (1.4)

Onde F0(T) é uma função analítica da temperatura e FL(T, ψ) contém toda a informação sobre a dependência do parâmetro de ordem ψ.

O funcional de Landau é assumido como sendo uma função analítica de ψ, que obedece to-das as simetrias possíveis associato-das com ψ, o que geralmente inclui a invariância de translação e rotação. Na fase desordenada, assumimos que ψ seja igual a zero. Então, perto da transição de fase, é esperado que ψ seja pequeno, ou seja, podemos construir o funcional de Landau através de uma expansão polinomial do parâmetro de ordem (essa expansão só é válida quando ψ pe-queno). Assumimos também que toda dependência não trivial da temperatura no funcional de Landau está presente no termo de menor ordem da expansão polinomial de FL(T, ψ), que tem a forma: FL(T, ψ)= Z dV" 1 2a0(T − Tc)ψ 2_{+ ...} # (1.5) Onde a0 é uma constante. Desde que FL(T, ψ) seja construído como uma expansão, haverão outras constantes desonhecidas. Em um sistema físico, essas constantes têm dependência da temperatura, mas, em geral, elas tem efeito desprezível perto da transição de fase.

Após a construção do funcional de Landau e minimizando-o como uma função da temper-atura, a natureza da transição de fase pode ser determinada. O sistema neste nível é especificado como tendo um estado uniforme ou um estado médio. Por isso a teoria de Landau é dita uma teoria de campo médio.

1.2.2

Relação com a Física Estatística

e−F/κBT =X

γ

e−H[γ]/κBT _(1.6)

Relacionando (1.6) com (1.4) temos que:

e−F/κBT _{' e}−F0/κBT

Z

Dψe−FL[T,ψ]/κBT _(1.7)

ψ, ao invés da integral sob todos os microestados. Calculando esta integral, obtemos a relação:

F = E − TS (1.8)

Onde E representa a energia interna do sistema, T a temperatura e S a entropia. A entropia é dada por:

S = κBln[g(ψ)] (1.9)

Onde g(ψ) representa a degenerescência de ψ, ou seja, o número de microestados acessíveis do sistema. Expandindo a energia livre temos:

F ' E0− E∗ψ2+ ... − T[S0− aψ2+ ...] = F0+ a(T − E∗

a )ψ 2_{+ ...}

(1.10)

Onde a é uma constante. Identificamos a dependência da temperatura no termo quadrático da expansão. Veremos na próxima sessão que E_a∗ assumirá o papel de uma temperatura do sistema em que, nos exemplos que serão apresentados, esta temperatura será a temperatura crítica para a transição de fase de segunda ordem.

1.2.3

Transição de fase de primeira ordem

F = F0+ 1 2a(T − T0)ψ 2₋ 1 4bψ 4₊ 1 6cψ 6 _(1.11)

Onde T0é uma temperatura diferente da temperatura crítica. Calculando os mínimos para essa energia livre fazemos a primeira derivada igual a zero:

∂F

∂ψ =a(T − T0)ψ − bψ3+ cψ5 = 0 (1.12)

Com isso obtemos os valores:

ψ = 0, ψ2₌ b ± p

b2_{− 4ca(T − T} 0)

Para definir a temperatura crítica fazemos T = Tc. Com isso temos: F − F0= 1 2a(Tc− T0) − 1 2bψ 2₊ 1 3cψ 4 _{= 0 (1.14)}

Calculando a derivada primeira obtemos:

ψ2 ₌ 3b 4c (1.15) Substituindo (1.15) em (1.14): a(Tc− T0) − b 3b 4c + c 3b 4c !2 = 0 (1.16)

Ou seja, Tc é dado por:

Tc = T0+ 3b2

16ac (1.17)

Comparando (1.11) com (1.8), identificamos a Entropia como sendo:

S = ∂F ∂T =− 1 2aψ 2 _{= −}1 2a 3b 4c ! = −a3b 8c (1.18)

Podemos identificar também a existência de um Calor Latente L, em T = Tc, que tem a forma: L= Tc 1 2aψ 2 _{= T} ca 3b 8c = −TcS (1.19)

A existência do calor latente em uma transição de fase é caracterizada por uma descon-tinuidade na primeira derivada da energia livre quando T = Tc, o que nos leva a concluir que esta energia livre corresponde a uma transição de fase de primeira ordem..

Um gráfico típico de uma transição de fase de primeira ordem [9] é apresentado na figura 1. Nesta figura vemos que para T > Tc existe um mínimo estável em ψ = 0, porém existem também dois mínimos metaestáveis. Os estados metaestáveis correspondem a qualquer estado do sistema diferente do estado de equilíbrio mais estável, que tenham consigo associado uma restrição que impeça a transição imediata deste para o estado mais estável sem alguma pertur-bação significativa de origem geralmente externa ao sistema. Quando T = Tc, vemos que a

energia livre apresenta 3 mínimos estáveis, sendo um deles em ψ = 0. Para T < Tc, temos que em ψ = 0, que anteriormente era um ponto de mínimo, passa a ser agora um ponto de máximo e o sistema apresenta dos mínimos estáveis.

Figura 1: Transição de fase de primeira ordem

Está associado a transição de fase de primeira ordem um fenômeno chamado de Histerese [10]. Basicamente, podemos definir a histerese como sendo a situação na qual o sistema fica "preso"em um mínimo local de energia do sistema e, em consequência disto, não consegue al-cançar o equilíbrio termodinâmico. Ainda não existe formalmente um tratamento da histerese baseado na metaestabilidade e na termodinâmica fora do equilíbrio. Portanto, para fazer esse es-tudo devemos utilizar aproximações, como por exemplo a histerese independente do passo, que consiste basicamente em uma aproximação a temperatura zero, onde o sistema fica indefinida-mente em qualquer mínimo local que ele possa ocupar inicialindefinida-mente, a histerese dependente do passo, onde algum mecanismo dissipativo limita a resposta do sistema a ações externas e a relaxação térmica, pelo qual o sistema se aproxima do equilíbrio termodinâmico auxiliado pelas relaxações térmicas. Em Física, a histerese é encontrada no ferromagnetismo, ferroeletri-cidade, supercondutividade, absorção e recentemente foi estudada em materiais com memória de forma.

1.2.4

Transição de fase de segunda ordem

Vamos supor agora que temos uma energia livre da forma:

F = F0+ 1 2a(T − Tc)ψ 2₊ 1 4bψ 4 (1.20)

Onde vamos assumir que a e b são constantes independentes da temperatura. Calculando os pontos de mínimo:

∂F

∂ψ =a(T − Tc)ψ+ bψ3 = 0 (1.21)

Com isso obtemos os valores:

ψ = 0, ψ2 ₌ a(Tc− T )

b (1.22)

Comparando (1.20) e (1.8) vemos que a entropia é dada por:

S = −1 2aψ 2_{= −}1 2a 2(Tc− T ) b (1.23)

Deste resultado podemos obter a expressão do calor específico:

C = ∂ 2_F ∂T2 = T ∂S ∂T =            0, se T > Tc a2 2bT, se T < Tc (1.24)

O Calor específico apresenta uma descontinuidade finita, um salto na temperatura crítica, o que nos mostra que essa energia livre corresponde a uma transição de fase de segunda ordem.

Um gráfico típico de uma transição de fase de segunda ordem [9] é apresentado na figura 2. Nesta figura vemos que para T > Tc existe um mínimo estável em ψ = 0. Quando T = Tc, vemos que a energia livre continua apresentando um mínimo estável em ψ = 0. Para T < Tc, temos que em ψ = 0, que anteriormente era um ponto de mínimo, passa a ser agora um ponto de máximo e o sistema apresenta dos mínimos estáveis, semelhante ao que ocorre na transição de fase de primeira ordem.

2

SUPERCONDUTIVIDADE

Nesse capítulo apresentaremos inicialmente uma breve descrição do modelo de Drude para a condução em metais, que consiste em uma analogia com a teoria cinética dos gases, con-siderando o metal como sendo um gás de elétrons. Feito isso, descreveremos as principais car-acterísticas da supercondutividade: o efeito Meissner-Ochsenfeld e a resistência zero, através de um modelo teórico simples, a equação de London, e as consequências desta equação, como a existência de vórtices nos supercondutores e a diferença entre os supercondutores tipo I e tipo II. Por fim, uma discussão sobre a transição de fase metal supercondutor através da teoria de Landau-Ginzburg, com aplicações em sistemas uniformes, sistemas não-homogêneos, sistemas na presença do campo magnético, no estudo da superfície dos supercondutores e na quebra espontânea de simetria.

2.1

Modelo de Drude

Em 1897, J.J. Thomson descobriu o Elétron. [11] Esta descoberta teve um vasto e imediato impacto nas teorias da estrutura da matéria e definiu o mecanismo de condução nos metais. Aproximadamente 3 anos depois da descoberta de Thomson, Drude construiu uma teoria para condução térmica e elétrica aplicando a Teoria Cinética para um metal, considerando-o como um gás de elétrons.

A teoria cinética dos gases fornece informações sobre as grandezas macroscópicas do gás, descrevendo-o como um grande número de moléculas em movimento caótico, que colidem elasticamente entre si. Entre as colisões sucessivas, o movimento das moléculas é retilíneo e cada colisão tem duração desprezível. Podemos supor que as forças aplicadas estão distribuídas em todas as direções, ou seja, se cancelam globalmente, sendo nula a sua resultante. Drude adaptou essa teoria para desenvolver um modelo para a condutividade em metais e com isso foi capaz de descrever e prever uma série de propriedades desses materiais.

com-pensação das cargas positivas nos metais, afim de garantir a neutralidade elétrica do material, estaria ligada à partículas muito pesadas que são consideradas imóveis.

Fazendo uma comparação com o que conhecemos hoje sobre a estrutura da matéria, pode-mos dizer que os elétrons do gás proposto por Drude são os elétrons que se localizam na ca-mada de condução dos átomos, e as partículas pesadas e imóveis de carga positiva são os íons metálicos, compostos por núcleos atômicos e elétrons fortemente ligados a eles, que chamamos de elétrons do núcleo. Quando esses átomos isolados estão condensados formando um metal, os életrons do núcleo continuam ligados ao núcleo formando o íon metálico, mas os elétrons de valência podem deslocar-se para muito longe do átomo de origem. Nesse contexto, isto é chamado de Condução Elétrica.

De maneira resumida, as hipóteses do modelo são:

• Na ausência de campos eletromagnéticos externos, os elétrons movem-se em movimento retilíneo uniforme. Quando existe um campo externo atuando, o elétron move-se de acordo com as Leis de Newton, livre de qualquer influência de íons ou de outros elétrons. • As colisões de elétrons com os íons no modelo de Drude, como na Teoria Cinética, são

eventos instantâneos que alteram a velocidade do elétron.

• Um elétron escolhido aleatoriamente, em média, pode deslocar-se por um tempo τ, que é chamado de tempo livre médio ou tempo de relaxamento, antes da sua próxima colisão. • Os elétrons alcançam o equilíbrio térmico com o meio somente através das colisões e

quanto maior for a temperatura onde ocorre a colisão, mais rápido um elétron emerge dessa colisão.

2.1.1

Resistividade e Condutividade elétrica nos metais

A resistividade ρ é definida como sendo a constante de proporcionalidade entre o campo elétrico E em um ponto no metal e a densidade de corrente que é induzida neste metal. Ou seja:

A densidade de corrente j é um vetor, paralelo ao fluxo de cargas, cuja magnitude é a quantidade de cargas por unidade de tempo que circula por uma área perpendicular ao fluxo.

Supondo que n elétrons por unidade de volume V movem-se em um metal com velocidade v. O número total de elétrons que atravessam uma seção transversal de área A, em um intervalo de tempo dt, é:

N = nV = n(vdt)A (2.2)

Como cada elétron possui carga −e, a densidade de corrente pode ser escrita como:

j= −eN

Adt = −env (2.3)

De acordo com a primeira hipótese do modelo vemos que a velocidade dos elétrons após uma colisão, na presença de um campo externo, pode ser escrita em função da aceleração imposta por este campo, ou seja:

− eE= mdv dt −→ v= − eEt m −→ v= − eEτ m (2.4)

Onde substituímos t por τ pois o tempo em questão é o tempo livre médio. Se aplicarmos a equação (2.4) em (2.3) obtemos:

j= ne 2τ

m E (2.5)

Este resultado é usualmente representado em termos do inverso da resistividade, que chamamos de Condutividade, e representamos por σ:

σ = ne2τ

m (2.6)

Isto estabelece a dependência linear de j em E e dá uma estimativa da condutividade em termos de quantidades conhecidas, exceto para o tempo de relaxamento. Logo, podemos escrever a resistividade como:

ρ = m ne2τ

−1

(2.7) Onde a resistividade é proporcional a τ−1que chamamos de frequência de espalhamento.

Em um metal típico existem 3 tipos de espalhamentos: espalhamento por impurezas τ−1 imp, por interação elétron-elétron τ−1

el−ele pelas colisões elétron-fônon τ −1

el− f. Como eles são processos independentes, então a taxa de espalhamento total deve ter a forma:

τ−1 _{= τ}−1 imp+ τ −1 el−el+ τ −1 el− f (2.8) Onde τ−1

imp não depende da temperatura, τ −1

el−el é proporcional ao quadrado da temperatura, T 2_, e τ−1_{el− f} é proporcional a T5_{. Portanto, podemos representar a resistividade um metal á baixas} temperaturas, através de:

ρ = ρ0+ aT2+ ... (2.9)

Onde, de acordo com essa equação, a resistividade a temperatura zero, ρ0, dependeria ape-nas da concentração de impurezas no material. Contudo, para alguns metais observou-se algo completamente diferente. Após resfriarmos o metal, a resistividade inicialmente seguia um comportamento simples, como descrito em (2.9). Mas, em um determinado momento, ela de-saparece totalmente, como pode ser observado na figura 3. A temperatura onde a resistividade desaparece é chamada de temperatura crítica, que usaremos a notação Tc. Abaixo dessa temper-atura a resistividade não é apenas pequena, mas é exatamente zero. Esse fenômeno é conhecido como Supercondutividade.

Figura 3: Resistividade de um Metal Típico em função da Temperatura

2.2

Características dos Supercondutores

O fenômeno da supercondutividade foi um completa surpresa e, ainda hoje, se apresenta como uma das grandes fronteiras para o conhecimento científico. A teoria de Bardeen, Cooper e Schrieffer fornece uma explicação microscópica para esse fenômeno, porém ela só é aplicável a supercondutores de baixas temperaturas.

Nesta sessão, vamos expor as principais características dos supercondutores[2] [13] [12] [14], independente de qualquer modelo proposto para estudá-los.

2.2.1

Resistência Zero

Como havíamos citado anteriormente, em um supercondutor a resistividade ρ é zero e a condutividade σ é infinita para temperaturas abaixo de Tc. Outra característica do supercondutor é que para ser consistente com a equação (2.5), temos que o campo elétrico dever ser nulo, E=0, ou seja, há circulação de corrente sem a presença do campo elétrico.

A resistência nula no supercondutor é representada por uma transição de fase termod-inâmica, como um líquido passando para o estado gasoso, por exemplo. As propriedades de cada fase são completamente diferentes. Aqui nós temos duas fases diferentes denominadas “estado normal”, para temperaturas acima da temperatura crítica, e “estado supercondutor”, para temperaturas abaixo da temperatura crítica. No estado normal, a resistividade e as out-ras propriedades se comportam como um metal normal, enquanto que no estado supercondutor

várias propriedades físicas são diferentes, incluindo a resistividade.

Um grande obstáculo que encontramos é ter a noção precisa para distinguir uma resistência muito pequena de uma resistência nula. Este problema ocorre pois geralmente, quando med-imos uma resistência de uma amostra supercondutora, o multímetro também apresenta uma resistência nos fios de medição, o que nos dá uma resposta de uma resistência muito pequena, mas diferente de zero. Uma boa técnica para saber distinguir entre uma resistência muito pe-quena e uma resistência nula é a observação da existência de uma corrente chamada Corrente Persistente. Se aplicarmos uma corrente I circulando em um anel feito por um fio supercon-dutor, por exemplo, a energia armazenada no campo magnético do anel permanecerá constante e, como não há resistência, esta corrente irá circular sem perda alguma. Se houver alguma re-sistência no anel, ocorrerá uma dissipação de energia, consequentemente a corrente I irá decair com o tempo.

2.2.2

Efeito Meissner-Ochsenfeld

Ao observar amostras supercondutoras de Estanho submetidas a um campo magnético ex-terno, Walther Meissner e seu assitente, Robert Ochsenfeld, descobriram, em 1933, a prova fun-damental que caracteriza um material ser supercondutor, o chamado Efeito Meissner-Ochsenfeld.

Esse efeito consiste na expulsão do campo magnético do interior do supercondutor e é descrito pela equação de Maxwell:

∇ × E = −∂B

∂t (2.10)

Com o fato do campo elétrico ser nulo, E=0, no supercondutor, temos que: ∂B

∂t =0 (2.11)

Em todos os pontos do supercondutor, ou seja, ao aplicarmos um campo magnético em um supercondutor, este campo não consegue penetrar no seu interior, como é visualizado na figura 4.

Existem muitas razões para que a existência do efeito Meissner-Ochsenfeld seja a principal prova da supercondutividade. A razão mais fundamental é que o efeito Meissner-Ochsenfeld

Figura 4: Efeito Meissner-Ochsenfeld

é uma propriedade do equilíbrio térmico, enquanto a resistividade é um efeito de transporte que não está em equilíbrio. Chegamos ao mesmo estado final do sistema se nós, inicialmente, resfriamos o material até a temperatura crítica e depois aplicamos o campo, ou o inverso. Por-tanto, o estado final do sistema não depende do estado inicial da amostra, que é uma condição necessária para o equilíbrio térmico.

2.2.3

Diamagnetismo Perfeito

Para manter o campo magnético nulo dentro do supercondutor, como foi definido pelo efeito Meissner-Ochsenfeld, deve existir uma corrente de blindagem circulando na borda do supercondutor. Isto produz um campo magnético igual em módulo, mas oposto ao campo mag-nético externo aplicado no supercondutor, ou seja, o campo magmag-nético resultante é zero.

Para descrever as correntes de blindagem, basta usar as equações de Maxwell e analisar as densidades de corrente de blindagem. A densidade total de corrente é separada em 2 partes: a parte externa e a parte interna, ou seja:

j= jext+ jint (2.12)

As correntes de blindagem geram uma magnetização por unidade de volume, M, no super-condutor, que é definida por:

Definindo o campo magnético H em termos da densidade de corrente externa, temos:

∇ × H= jext (2.14)

Os vetores M, H e B são relacionados por:

B= µ0(H+ M) (2.15)

Impondo a condição de Meissner-Ochsenfeld, B=0, na equação (2.15), obtemos:

M= −H (2.16)

A susceptibilidade Magnética é definida, em um aspecto de resposta linear, por:

χ = dM dH    _H=0 (2.17)

Assim, temos que para os supercondutores, χ = -1. O gráfico do comportamento da suscepti-bilidade magnética é apresentado na figura 5.

Materiais com valores negativos de χ são chamados de Diamagnéticos (quando χ é positivo o material pode ser chamado de paramagnético ou ferromagnético). Os diamagnéticos blindam parte do campo magnético externo, e se magnetizam em oposição ao campo magnético externo. Nos supercondutores o campo magnético externo é totalmente blindado. Por isso podemos dizer que os supercondutores são Diamagnéticos Perfeitos.

2.3

Supercondutores: Tipo I e Tipo II

A susceptibilidade χ é definida no limite de campos magnéticos fracos. A medida que o campo fica mais forte, podem ocorrer 2 situações que serão descritas nos tópicos a seguir.

2.3.1

Supercondutores Tipo I

Figura 6: Supercondutor tipo I

Neste caso o campo magnético H continua sendo nulo no interior do supercondutor até a supercondutividade ser destruída. O valor do campo em que ocorre a destruição do estado supercondutor é chamado campo crítico Hc. A magnetização obedece a relação descrita na equação (2.16) para todos os campos menores que Hce torna-se nula para campos maiores que Hc, como é indicado na figura 6.

2.3.2

Supercondutores Tipo II

Este é o caso mais comum nos supercondutores. No supercondutor tipo II existem dois campos críticos diferentes, denotados por: Hc1, que é o campo crítico inferior, e Hc2, que é o campo crítico superior. Para pequenos valores do campo magnético H aplicado no supercondu-tor, o supercondutor continua apresentando o efeito Meissner-Ochsenfeld, M=-H, e não existe campo no interior do supercondutor. Contudo, se o campo magnético H chegar a um valor maior que o campo crítico inferior, o fluxo magnético começa a entrar no interior do supercondutor e o campo no seu interior fica diferente de zero. Com isso, a magnetização começa tender a zero a medida que aumentamos o campo magnético H. A magnetização atinge o valor zero quando

Figura 7: Supercondutor tipo II

o campo H chega ao valor do campo crítico superior, destruindo assim o estado supercondutor do material. Este comportamento é descrito na figura 7.

A explicação física para a fase termodinâmica entre Hc1e Hc2foi feita por Abrikosov. Ele mostrou que o campo magnético pode penetrar no supercondutor na forma de vórtices. Os vór-tices consistem em uma região onde circula uma supercorrente ao redor de um pequeno núcleo, que é essencialmente um metal normal. Os vórtices serão estudados com maiores detalhes na sessão 2.6.

A figura 8 descreve o comportamento dos supercondutores tipo I e tipo II através de um diagrama campo magnético H x Temperatura T. Nesta figura vemos claramente as regiões de Meissner e de Abrikosov no caso do supercondutor do tipo II.

2.4

Equação de London

A primeira teoria que descreve a existência do efeito Meissner-Ochsenfeld foi desenvolvida por dois irmãos, F. London e H. London, em 1935. Nesta teoria eles assumiram que uma fração dos elétrons tornam-se supercondutores e podem mover-se livremente, sem dissipação, enquanto que o restante dos elétrons continuam no estado condutor normal, ou seja, tendo uma resistividade finita. Os elétrons supercondutores anulam a resistividade dos elétrons normais, fazendo com que a resistividade total seja nula. Para definir a densidade de elétrons chamamos de: nsa densidade dos elétrons supercondutores, nna densidade dos elétrons condutores normais e n a densidade total dos elétrons, ou seja, n = ns+ nn.

Apesar desse modelo ser bem simples, ele é bem eficaz. Este modelo nos leva a Equação de London, que relaciona a densidade de corrente elétrica dentro do supercondutor, j, com o potencial vetor magnético, A, na forma:

j= −nse 2 me

A (2.18)

Esta é uma das mais importantes equações que descrevem a supercondutividade. Aproxi-madamente 20 anos após essa teoria ser elaborada, Bardeen, Cooper e Schrieffer desenvolveram uma teoria chamada de Teoria BCS, que reproduz a teoria de London em um limite adequado.

Podemos escrever a equação de London de uma outra forma:

j= − 1 µ0λ2 A (2.19) Onde o fator λ = me µ0nse2 !1/2

é a Profundidade de Penetração, que define o quanto o campo magnético pode penetrar na superfície do supercondutor.

Outra maneira de relacionar j e B é utilizar a equação de Maxwell, ∇ × B = µ0j. A partir dessa equação de Maxwell e utilizando a equação (2.19), sabendo que B = ∇ × A, podemos obter a relação:

∇ × (∇ × B)= −1

Na qual podemos obter o valor do campo magnético.

Vale também ressaltar que se a corrente for contínua, a equação de continuidade se reduz a ∇ · j= 0. Se aplicarmos isto na equação de London, obtemos o calibre de London:

∇ · A= 0 (2.21)

Em resumo, a equação de London permite descrever o efeito Meissner-Ochsenfeld, indica a profundidade de penetração de campos externos, substitui a relação j= σE em supercondutores e prevê o comportamento do campo magnético dos vortex nos supercondutores.

2.5

Pares de Cooper

Antes de apresentar uma definição formal sobre os vortex de London e a teoria de Landau-Ginzburg, é importante enunciar um fenômeno que foi explicado pela teoria BCS: a formação dos Pares de Cooper. [15] A ideia dos pares de Cooper foi proposta por Cooper em 1956. Cooper mostrou que, nos supercondutores, dois elétrons interagem formando um par e esse par é responsável pela supercorrente a baixa temperatura.

Em uma situação normal, seria improvável pensar nessa formação de pares, devido a forte repulsão coulombiana entre os elétrons (pois possuem carga de mesmo sinal). Contudo, Cooper mostrou que para ocorrer a formação desses pares, os elétrons contam com a ajuda de uma excitação da rede cristalina conhecida como Fônon.

O fônon, de um ponto de vista quântico, se equivalem a um movimento especial vibracional, conhecido como modos normais de vibração na mecânica clássica. Esse movimento caracteriza-se por cada parte da rede oscilar com a mesma frequência. Em geral, essa excitação, que se desloca como uma onda pelo material, é causada pela agitação natural existente em todo sistema sujeito a uma temperatura finita, apresentando um pequeno deslocamento dos átomos da rede.

Os átomos que formam a rede cristalina do metal não são eletricamente neutros, como vimos anteriormente na sessão 2.1. Os elétrons de condução deslocam-se para muito longe do átomos de origem, fazendo com que esses átomos fiquem carregados positivamente. Quando

um elétron desloca-se no material, ele perturba os átomos da rede, sendo atraído pela força coulombiana. Essa pertubação do elétron gera um fônon e, consequentemente, a interação elétron-fônon na rede.

Como consideramos o fônon como uma onda de átomos positivos deslocados, esses fônons podem atrair outro elétron que esteja próximo, ou seja, com essa configuração conseguimos fazer a "atração"entre os elétrons, formando o que chamamos de Pares de Cooper.

Algumas características importantes devem ser citadas nos pares de Cooper como por ex-emplo se aumentarmos consideravelmente a temperatura do sistema, a agitação térmica faz com que a interação elétron-fônon seja desfeita e com isso deixamos ter os pares, ou seja, essa configuração dos pares de Cooper só é possível a baixas temperaturas. Outra característica im-portante é que os elétrons isolados possuem spin 1/2, ou seja, são Férmions, mas, quando o par é formado, um spin aponta para cima (+1/2) e outro para baixo (-1/2), consequentemente o spin do par de Cooper é 0, logo ele é um Bóson.

Cooper originalmente só considerou o caso de um par isolado formado em um metal. Quando se considera o estado mais realista consistindo em muitos elétrons formando pares faz parte do estudo da Teoria BCS.

2.6

Vórtice de London

A teoria proposta pelos irmãos London relaciona a densidade de corrente com campos magnéticos externos.[13][12] Esses campos conseguem penetrar na superfície dos supercon-dutores formando os vórtices. Através da equação de London podemos encontrar um modelo matemático que descreve os vórtices nos supercondutores.

Os vórtices são definidos como um núcleo cilíndrico na amostra supercondutora, com pro-priedades de condutores normais, cujo raio é ξ0, que é conhecido como comprimento de co-erência. O comprimento de coerência está intimamente relacionado ao gap de energia (energia necessária para retirar um elétron do átomo e colocá-lo na banda de condução) , cuja interpre-tação é representar o tamanho físico do par de Cooper.

Vamos descrever como o campo magnético decresce até um valor nulo quando partimos de uma região dentro do núcleo do vórtice (ou seja, onde temos um condutor normal) até a área

onde ocorre novamente a supercondutividade.

Dentro do núcleo existe um campo magnético radial finito, B=(0,0, Bz(r)). O rotacional, em coordenadas cilíndricas, desse campo magnético é dado por:

∇ × B= −∂Bz

∂r ˆeφ (2.22)

Aplicando (2.22) em (2.20), podemos escrever (2.22) como:

1 r d dr r dBz dr ! = Bz λ2 (2.23)

Para solucionar essa equação temos que analisar as seguintes situações: • Para r muito pequeno, r << λ, a equação (2.23) apresenta a solução:

Bz(r)= Φ0 2πλ2ln r λ  (2.24)

OndeΦ0 é o fluxo magnético quantizado do vortex. • Para r grande, r ∼ λ, a equação (2.23) apresenta a solução:

Bz(r)= Φ 0 2πλ2r

p

e−λr _(2.25)

Onde p pode assumir os valores p=0 e p =-1/2.

Com base nos valores do campo nesses limites, podemos ter uma boa estimativa de como é seu comportamento no vórtice de London. Na região r < ξ0, estamos no interior do núcleo do vórtice, ou seja, B = Φ0

2πλ2. Em ξ0 < r << λ, o campo decai logaritmicamente. Em r ∼ λ, o campo decai exponencialmente, semelhante ao campo magnético na superfície de um supercondutor.

Supondo que uma supercorrente circule no vórtice com uma velocidade v, cuja forma é j = −ensve a energia cinética correspondente é E = 1₂mv2ns. Com isso, podemos determinar a energia total do vórtice, que é dada por:

E = Φ 2 0 4πµ0λ2 ln λ ξ0 ! (2.26)

2.7

Teoria de Landau-Ginzburg para a Supercondutividade

Nessa sessão, vamos fazer uma descrição completa das propriedades macroscópicas de um supercondutor, através da teoria proposta por Landau-Ginzburg [13] [12] [2].

2.7.1

Descrição da Teoria

A Teoria de Landau-Ginzburg da supercondutividade foi desenvolvida como uma aproxi-mação da teoria de Landau para transição de fase de segunda ordem, em 1950.

Para supercondutividade Ginzburg e Landau (GL) postularam a existência de um parâmetro de ordem, denotado por ψ. No estado normal metálico, acima da temperatura crítica do super-condutor Tc, ψ é zero. Enquanto que no estado supercondutor, abaixo Tc, ψ é diferente de zero. Portanto presume-se a obedecer:

ψ =            0, se T > Tc ψ(T ) , 0, se T < Tc (2.27)

GL postulou que o parâmetro de ordem ψ deveria ser um número complexo, como uma função de onda macroscópica para o supercondutor. Com o desenvolvimento da teoria BCS, podemos mesmo identificar |ψ|2 como sendo a densidade dos pares de Cooper presentes na amostra.

GL postulou que a energia livre dos supercondutores depende somente do parâmetro ψ. Como ψ é complexo e a energia livre tem que ser real, a energia deve depender então de |ψ|. Como ψ vai para zero na temperatura crítica, Tc, podemos fazer uma expansão em Série de Taylor da Energia livre. Para temperaturas próximas à Tc, somente os 2 primeiros termos são considerados, então temos que a densidade de energia livre (f=F/V) é:

fs(T )= fn(T )+ a(T)|ψ|2+ 1

2b(T )|ψ| 4_{+ · · ·}

(2.28)

Com |ψ| pequeno. Neste caso, fs(T) e fn(T) são as densidade de energia livre no estado supercondutor e condutor normal, respectivamente. Os parâmetros a(T) e b(T) são parâmetros fenomenológicos da teoria, dependentes da temperatura. Assumimos que b(T) deve ser

posi-tivo, pois caso contrário, a densidade de energia livre não teria mínimo globais e sim máximos globais, o que não apresentaria sentido físico.

Plotando o gráfico de fs− fn como função de ψ é possível observar duas curvas possíveis, dependentes do sinal de a(T), como vemos na figura 9.

Figura 9: Densidade energia livre, fs− fn, em função de ψ

No caso de a(T)>0, a curva tem um mínimo em ψ=0. Para a(T)<0, existem mínimos |ψ|2 = - a(T)/b(T). Acima da Temperatura crítica, no estado normal, a(T) é positivo, abaixo da temperatura crítica, estado supercondutor, temos que ψ ,0. Na temperatura crítica, a(Tc)=0.

Perto da Temperatura crítica, podemos fazer uma expansão em série de Taylor:

a(T ) ≈ c × (T − Tc)+ · · · (2.29)

b(T ) ≈ b+ · · · (2.30)

Onde c e b são duas constantes fenomenológicas. Em termos dos parâmetros ˙a e b temos que:

|ψ| =            0, se T > Tc (c_b)1/2_(T c− T )1/2, se T < Tc (2.31)

O valor mínimo da energia livre é facilmente obtido pela figura (9) e tem o valor -a(T )2/2b(T), que pode ser reescrita na forma:

fs(T ) − fn(T )= −

c2_{(T − T} c)2

A partir da energia livre podemos obter quantidades físicas relevantes como por exemplo entropia. Derivando f com relação a T, obtemos a entropia por unidade de volume, s=S/V, abaixo de Tc:

ss(T ) − sn(T )= − c2

b(Tc− T ) (2.33)

Na temperatura crítica, não existe descontinuidade na entropia, confirmando que o Modelo GL corresponde a uma transição de fase de segunda ordem.

2.7.2

Sistemas Não-Homogêneos

A Teoria GL completa da Supercondutividade também permite a possibilidade do parâmetro de ordem depender da posição, ψ(r). Quando isso acontece, devemos considerar o termo de gra-diente vindo da energia cinética. Como a energia livre não pode assumir valores complexos, o termo contendo o gradiente de ψ(r) tem que ser real. Portanto, a energia livre deve ser função do módulo do gradiente de ψ(r). fs(T )= fn(T )+ ~2 2m∗|∇ψ(r)| 2_{+ a(T)|ψ(r)|}2₊ b(T ) 2 |ψ(r)| 4 (2.34) Onde o novo parâmetro m∗ determina o custo de energia associado com gradientes de ψ(r). Tem dimensões de massa e desempenha o papel de uma massa efetiva para o sistema quântico com a função de onda macroscópica ψ(r).

Integrando a expressão (2.34) em 2 dimensões, obtemos:

Fs(T )= Fn(T )+ Z ~2 2m∗|∇ψ(r)| 2_{+ a(T)|ψ(r)|}2₊ b(T ) 2 |ψ(r)| 4 ! d2r (2.35)

O que indica que Fs(T ) é um funcional de ψ(r). Para minimizar este funcional, podemos fazer uso da derivada funcional na forma:

δFs[ψ] δψ(r) =0,

δFs[ψ]

δψ∗_(r) = 0 (2.36)

r. Portanto, a energia é a integral das contribuições das duas derivadas, ou seja: δFs= Z δF s[ψ] δψ(r) δψ(r) + δFs[ψ] δψ∗_(r)δψ ∗ (r) ! d2r (2.37)

Outra forma de minimizar o funcional é fazendo uma variação infinitesimal no parâmetro de ordem na forma:

ψ(r) → ψ(r) + δψ(r) (2.38)

E aplicar esta variação na energia livre. Com isso obtemos que:

δFs= Z δψ∗ − ~ 2 2m∗∇ 2_{ψ + aψ + bψ|ψ}2_| d3r+ Z  − ~ 2 2m∗∇ 2_{ψ + aψ + bψ|ψ}2_|∗ δψd2 r (2.39)

Onde identificamos a equação de movimento que minimiza a energia livre:

− ~ 2 2m∗∇

2_{ψ(r) + (a + b|ψ(r)|}2

)ψ(r)= 0 (2.40)

Que é uma equação do tipo Schrödinger não linear, ou seja, não pode ser aplicado o princípio da superposição neste caso.

2.7.3

Superfície dos Supercondutores

A equação efetiva de Schrödinger não-linear tem várias aplicações úteis. Em particular, ela pode ser usado para estudar a resposta do parâmetro de ordem supercondutor quando exposto à perturbações externas. Exemplos importantes disso são as propriedades das superfícies e interfaces de supercondutores.

Considerando um modelo simples de interface entre um estado normal e um supercondutor, em 3 dimensões. Suponha que a interface se situa no plano yz separa o metal normal, em x<0, do supercondutor, na região x>0. No lado metal normal da interface o parâmetro de ordem, ψ(r), para o supercondutor deve ser zero. Partindo do princípio que ψ(r) deve ser contínuo, por isso, devemos resolver a equação de Schrödinger não-linear:

− ~ 2 2m∗ d2ψ(x) dx2 + a(T)ψ(x) + b(T)ψ 3 (x)= 0 (2.41)

Na região x>0, com a condição de contorno ψ(0)=0, cuja solução é: ψ(x) = ψ0tanh  x √ 2ξ(T )  (2.42)

Onde ξ(T) é um parâmetro chamado Comprimento de Coerência de Landau-Ginzburg, que é dado pela expressão:

ξ(T ) = ~2 2m∗_{|a(T )|}

!1/2

(2.43) Isto é um importante parâmetro físico que caracteriza o supercondutor. ξ(T) é uma medida da distância da superfície sobre a qual o parâmetro de ordem retorna ao seu valor máximo.

O comprimento de coerência de Landau-Ginzburg aparece em quase todos os problemas de supercondutores inomogêneos, incluindo superfícies, interfaces, defeitos e vortíces.

2.7.4

Teoria de Landau-Ginzburg com campo magnético

Como já havíamos discutido anteriormente, o efeito Meissner-Ochsenfeld é a principal car-acterística dos supercondutores. Para estudar esse efeito através da teoria de Landau-Ginzburg, temos que incluir um termo de campo magnético na energia livre. Esse termo de campo mag-nético entra como se ψ(r) fosse a função de onda de partículas carregadas, ou seja, com a substituição usual na mecânica quântica:

~ i∇ →

~

i∇ − qA (2.44)

Onde q é a carga e A é o potencial vetor magnético. Para todos os supercondutores conhecidos verifica-se que a carga adequada é −2e, devido a formação dos pares de Cooper.

Com esta substituição a densidade de energia livre de GL do supercondutor torna-se:

fs(T )= fn(T )+ 1 2m∗     _~ i∇+ 2eAψ     2 + a|ψ|2₊ b 2|ψ| 4 (2.45)

Integrando em todo o espaço, incluindo o termo proveniente da energia do campo magnético

Fs(T )= Fn(T )+ Z 1 2m∗     _~ i∇+ 2eAψ     2 + a|ψ|2₊ b 2|ψ| 4 ! d2r+ 1 2µ0 Z B(r)2d2r (2.46)

A primeira integral é realizada em pontos r no interior da amostra, enquanto o segundo é executada através de todo o espaço.

Para encontrar o mínimo de energia fazemos o mesmo procedimento utilizado na sessão (2.7.2). Com isso obtemos a equação de Schrödinger não linear na forma:

− ~ 2 2m∗  ∇+ 2ei ~ A 2 ψ(r) + (a + b|ψ|2 )ψ(r)= 0 (2.47)

A Supercorrente devido ao campo magnético pode ser encontrada a partir da derivada da energia livre de GL em relação ao potencial vetor

js= − ∂Fs

∂A(r) (2.48)

O que nos leva à

js= − 2e~i 2m∗(ψ ∗_{∇ψ − ψ∇ψ}∗ ) − (2e) 2 m∗ |ψ| 2 A (2.49)

Se ψ(r)=ψ=cte e ψ∗(r)=ψ∗=cte, então temos que o primeiro termo de (2.49) é nulo, pois os gradientes de ψ e ψ∗serão nulos, ou seja, a equação (2.49) fica:

js= − (2e)2

m∗ |ψ|

2_{A (2.50)}

Que é a equação de London. Onde ns = 2|ψ|2e m∗ = 2me. Os valores de nse m∗comprovam a formação de pares de Cooper nos supercondutores, como era previsto pela teoria BCS.

Com isso podemos expressar o comprimento de penetração de London em termos das variáveis de Landau-Ginzburg. λ = " bm∗ µ0e2˙a(T − Tc) #1/2 (2.51) Que diverge na temperatura crítica.

2.7.5

Simetrias

O parâmetro de ordem GL para supercondutores tem uma amplitude e uma fase complexa:

ψ(r) = |ψ(r)|eiθ(r)

(2.52)

Considere o termo na densidade de energia livre GL contendo o operador momentum canônico

ˆp= ~

i∇+ 2eA (2.53)

Aplicando (2.53) em (2.52) obtemos:

ˆpψ(r)eiθ(r) = eiθ(r)~

i∇+ 2eAψ(r) + ψ(r)e iθ(r) ~∇θ(r) = eiθ(r) ~ i∇+ 2e  A+ ~ 2e∇θψ(r) (2.54)

Disto resulta que a energia livre não será alterada quando mudarmos simultaneamente ψ(r) para ψ(r)eiθ(r) e o potencial vetor de acordo com

A(r) → A(r)+ ~

2e∇θ (2.55)

Isso mostra que a teoria satisfaz invariância de gauge local. Tanto a fase do parâmetro de ordem e do potencial vetor magnético depende da escolha do gauge, mas todos os observáveis físicos (energia livre, B o campo magnético, etc) são invariantes de gauge.

Contudo essas transformações alteram o parâmetro de ordem. Inicialmente consideramos o parâmetro de ordem constante no estado fundamental. Fora do estado fundamental, deve haver uma rigidez de fase, ou uma perda de energia associada com a mudança de θ de uma parte do sólido para o outro. Se considerarmos um supercondutor no limite de London, ou seja, no limite em que o parâmetro de ordem tem uma magnitude constante, |ψ|, e uma fase θ(r), que varia muito lentamente com a posição r, obtemos a energia livre total:

Fs= Fn+ Z d2r " ρs  ∇θ + 2e ~ A2+ a|ψ|2+ b 2|ψ| 4 # + 1 2µ0 Z B(r)2d2r (2.56)

Onde, o termo de rigidez é dado por:

ρs= ~2 2m∗|ψ|

2 _(2.57)

Agora se escolhermos um gauge particular para A(r), como o gauge de London, ∇·A = 0, em seguida, dentro desta gauge fixo, há uma perda de energia livre associada com gradientes de θ(r). Para minimizar o gradiente de energia, temos de minimizar os gradientes, fazendo θ(r) o mais constante possível em todo o sistema. No caso de ausência de campo aplicado, podemos escolher A = 0 e, claramente, então θ(r) será constante em todo o sistema. Desde que o sistema efetivamente escolhe um parâmetro de ordem constante arbitrário para todo o sistema, podemos dizer que o sistema exibe uma ordem de longo alcance, da mesma forma como um material ferromagnético varia na sua magnetização M(r).

Devido a ordem de longo alcance está em fase variável, dizemos que o sistema teve uma quebra espontânea da simetria global de gauge. O ponto é que a simetria global do gauge refere-se à mudança de θ(r) por um valor constante em todo o sólido (que não implica em qualquer variação em A). Isto está em contraste com a simetria de gauge local em que θ(r) e A(r) são alterados simultâneamente.

Considerando que a magnitude também possa variar com a posição, temos que a energia livre é dada por:

Fs= Fn+ Z d2r " ~2 2m∗ h ∇|ψ|2 + |ψ(r)|2 ∇θ +2e ~ A2i + a|ψ(r)|2+ b 2|ψ(r)| 4 # + 1 2µ0 Z B(r)2d2r (2.58) Fazendo o procedimento descrito anteriormente na equação (2.36) ou pela equação (2.38), obtemos a equação de movimento para |ψ(r)|:

− ~ 2 2m∗ " ∇+ i∇θ(r) + 2eA ~  #2 |ψ(r)| + (a + b|ψ(r)|2)|ψ(r)|= 0 (2.59) e também a equação de movimento para θ(r):

− ~ 2 2m∗ " ∇ · " ∇θ(r) +2eA ~ ! |ψ(r)|2 ## = 0 (2.60)

Que serão estudadas com maiores detalhes no capítulo 4.

2.7.6

Quantização do Fluxo Magnético

Consideraremos agora a quantização do fluxo magnético em um anel supercondutor, no qual iremos fazer uma analogia com a quantização do fluxo em um vórtice. [13][12] Em um anel supercondutor, é aplicado um fluxo magnético conforme a figura 10.

Figura 10: Anel supercondutor com campo magnético aplicado

Utilizando coordenadas cilíndricas, podemos expressar a simetria do parâmetro de ordem:

ψ(r, θ, z) = ψ(r, θ + 2π, z) (2.61)

Podemos considerar que o parâmetro de ordem não varia ao longo da sessão transversal do anel. Com isso, torna-se uma função exclusivamente de θ.

ψ(θ) = ψ0einθ (2.62)

É possível escrever o potencial vetor magnético A em termos do fluxo magnéticoΦ através de: Φ = Z B · dS = I A · dr= Aθ2πR (2.63) Substituindo (2.63) em (2.46) obtemos: Fs(T )= F0s+ 1 2µ0 Z B(r)2d3r+ Z 1 2m∗ " ~2(∇ψ∗)(∇ψ)+eh_iπRΦ[(∇ψ)ψ∗− (∇ψ∗)ψ]+e 2_Φ2 π2_R2ψ ∗_ψ # d3r (2.64)

Onde F0

s é a energia no interior do supercondutor. Calculando as derivadas em relação a ψ e ψ∗_{obtemos que:}

(∇ψ)ψ∗− (∇ψ∗)ψ= 2inψ∗ψ (2.65)

Utilizando as equações (2.65) e (2.62), podemos reescrever a equação (2.64) como:

Fs(T )= F0s+ Φ2 2L + V 4e2 2π2_m∗_R2|ψ| 2 [Φ + nΦ0]2 (2.66)

Onde V é o volume total do anel supercondutor, L é a indutância do anel eΦ0é o quantum do fluxo magnético. O quantum de fluxo magnético é expresso por:

Φ0 = h

2e = 2.7x10 −15

Wb (2.67)

A partir da expressão (2.66) e (2.67) podemos obter conclusões importantes. Uma delas é que o segundo termo de (2.66) é a energia de vácuo, dependente deΦ2. Mas a principal con-clusão que obtemos nesse resultado é que o fluxo magnético é quantizado. Se fizermos uma analogia deste anel supercondutor como um vórtice, a estrutura de ambos é bastante semelhante, o que nos permite concluir também que o fluxo magnético de um vórtice é quantizado. Para o caso dos vórtices, o fator n que multiplica o quantum do fluxo é chamado de carga topológ-ica do vórtice. Outra conclusão importante é que a energia terá um mínimo em Φ = −nΦ0. Escrevendo a energia livre em termos deΦ obtemos:

F(Φ) − F(0) = C(Φ − nΦ0)2+ DΦ2 (2.68)

Onde C e D são constantes. Vemos que essa função possui um mínimo absoluto em Φ = 0 e mínimos metaestáveis emΦ = −nΦ0. Podemos considerar a possibilidade de pares de elétrons passarem de um mínimo metaestável para outro, porém a nível macroscópico, vamos desconsiderar estes eventos.

3

CRISTAL LÍQUIDO NEMÁTICO

Nesse capítulo vamos fazer inicialmente uma introdução sobre cristais líquidos, apresen-tando suas 3 principais configurações: Nemático, Esmético e Colestérico, onde daremos uma ênfase maior no estudo dos cristais líquidos nemáticos, aplicando a teoria de Landau-Ginzburg para descrever a transição de fase líquido isotrópico-cristal líquido nemático.

3.1

Cristais Líquidos

Os estados da matéria mais usuais são: sólido, líquido e gasoso. [3] Estes estados diferem um dos outros pelo arranjo das moléculas do sistema, ou seja, pelos diferentes graus de ordem das moléculas que compõem o sistema.

Os líquidos e os sólidos são dois casos extremos de ordem e simetria. [16] Os líquidos ap-resentam simetria de rotação e translação arbitrárias em R3e eles exibem apenas ordem de curto alcance, visto que são maximamente desordenados. Os sólidos cristalinos, por sua vez, exibem ordem de longo alcance e são invariantes perante um conjunto discreto de translações, que são compatíveis com a periodicidade da rede, e um conjunto discreto de rotações. Definimos en-tão que quando nos referimos a ordem posicional, estamos nos referindo a invariância perante translações, e quando nos referimos a ordem orientacional, estamos nos referindo a invariância perante rotações.

Existem materiais que exibem um espectro de simetria e de ordem intermediários se com-pararmos com as fases líquida e sólida e um exemplo disso são os cristais líquidos. Os cristais líquidos são formados por moléculas anisométricas, ou seja, não possuem simetria esférica. As moléculas que formam os cristais líquidos podem ser de dois tipos: alongadas (em forma de bastão), que chamamos de moléculas calamíticas, ou em forma de disco, que chamamos de moléculas discóticas. Em geral, observamos que a parte interna das moléculas de um cristal líquidos é rigida e a parte externa é fluída. Devido a esse caráter duplo da estrutura das molécu-las, deu origem a interações, conhecidas como interações estéricas, que conduzem a diversos