Incompletude em Sistemas Formais - Parte 2: Indecidibilidade

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Incompletude em Sistemas Formais - Parte 2:

Indecidibilidade

Vin´ıcius A. de Souza

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Fevereiro de 2015

Nesta apresenta¸cão falarei um pouco sobre o cap´ıtulo 3 do livro Godel’s theo-rem - an incomplete guide to its use and abuse, de Torkel Franzén, que trata um pouco sobre a teoria da computabilidade e sua aplica¸cão no estudo dos funda-mentos da matemática, mais precisamente, na obten¸cão de propriedades de in-decidibilidade de certos conjuntos numéricos e de incompletude de sistemas for-mais espec´ıficos (veremos adiante o que eu quero dizer com “espec´ıfico”) outrora reveladas principalmente por Gödel e Turing. Cabe aqui a observa¸cão de que du-rante todo o texto o leitor encontrará uma bibliografia adicional para que possa realizar um poss´ıvel aprofundamento, caso julgue interessante. Sendo assim, abordarei introdutoriamente alguns tópicos como sistemas formais, máquina de Turing e no¸cão formal de computabilidade, conjuntos recursivamente enu-meráveis, decid´ıveis e indecid´ıveis, indecidibilidade do problema da parada e a incompletude de sistemas formais. O leitor também encontrará alguns resulta-dos para serem demonstraresulta-dos, caso queira um pouco de atividade.

1 Sistemas Formais

Simplificadamente falando, um sistema formal é um sistema de manipula¸cão de s´ımbolos no qual se explicita as regras de deriva¸cão que permitirão produzir novas cadeias de s´ımbolos, por assim dizer, e onde se pode formalizar o conceito de prova. Minha exposi¸cão aqui sobre sistemas formais segue principalmente os livros do Elliot Mendelson [6] e do Adonai Sant’Anna [7].

Um sistema formal S ´e definido quando s˜ao satisfeitas as seguintes pro-priedades:

1. Existe um conjunto contável de s´ımbolos. Uma sequência qualquer de s´ımbolos de S é chamada de expressão.

2. Existem um subconjunto de expressões de S chamadas de fórmulas bem formadas (abreviarei por fbf no singular e fbfs no plural) e um procedi-mento efetivo que determina quais expressões são fórmulas bem formadas.

∗_{Graduando em Matem´}_{atica Computacional pela Universidade Federal de S˜}_{ao Paulo}

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3. Do conjunto de fbfs, extrai-se um conjunto de axiomas de S. Quando existe um procedimento efetivo para decidir quais fórmulas bem formadas são axiomas dizemos que S é um sistema formal axiomático.

4. Existe um conjunto finito de rela¸c˜oes R1, R2, . . . , Rn entre fbfs chamadas

de regras de inferˆencia. Para cada Ri, existe um ´unico inteiro positivo j tal

que para todo conjunto de j fbfs e para cada fbf B, podemos decidir se as j fbfs est˜ao na rela¸c˜ao Ricom B. Se este for o caso, dizemos que B segue

das tais fbfs por uso da regra de inferência Ri ou que B é consequência

direta das fbfs por virtude de Ri.

Podemos agora definir os importantes conceitos de prova e teorema de um sistema formal. Uma prova ou demonstra¸cão em S é uma sequência finita B1, B2, . . . , Bkde fbfs tal que, para cada i, ou Bié um axioma ou é consequência

direta de alguma(s) fbf(s) anterior(es) a Bi por virtude de alguma regra de

inferência do sistema. Sendo assim, um teorema de S é uma fbf B de S tal que B é a última fbf de alguma prova em S. Tal prova é dita, portanto, prova de B em S. Você pode dizer, então, que B é um teorema de S ou é demonstrável em S se existe uma prova em S onde B é a última fbf desta prova.

Exemplo 1 Vejamos um sistema formal L para o c´alculo proposicional1_.

1. Os s´ımbolos de L s˜ao ¬, ⇒, (, ) e letras Ai com inteiros positivos i como

subscritos. Os s´ımbolos ¬ e ⇒ s˜ao chamados de conectivos primitivos e as letras Ai s˜ao chamadas de letras sentenciais.

2. As fbfs s˜ao dadas por:

• Todas as letras sentenciais s˜ao fbfs.

• Se B e C são fbfs, então (¬B) e (B ⇒ C) também são fbfs.

• Uma fbf de L ´e uma senten¸ca constru´ıda por meio dos conectivos primitivos a partir de letras sentenciais.

3. Se B, C e D são fbfs de L, então são axiomas de L: • (A1) (B ⇒ (C ⇒ B))

• (A2) ((B ⇒ (C ⇒ D)) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ (B ⇒ D))) • (A3) (((¬C) ⇒ (¬B)) ⇒ (((¬C) ⇒ B) ⇒ C))

4. Há uma única regra de inferência denominada Modus Ponens (MP): C é consequência direta de B e (B ⇒ C).

No próximo exemplo, vamos demonstrar um teorema no sistema L. Lembre-se de que devemos partir de algum axioma e ir obtendo conLembre-sequências por meio da regra de inferência MP.

1_{Este exemplo ´}_{e retirado do livro do Mendelson [6].} _{Certamente poder´}_{a haver outros}

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Exemplo 2 Para toda fbf B, (B ⇒ B) é teorema de L. A prova é dada pela seguinte sequência:

1. ((B ⇒ ((B ⇒ B) ⇒ B)) ⇒ ((B ⇒ (B ⇒ B)) ⇒ (B ⇒ B))) 2. (B ⇒ ((B ⇒ B) ⇒ B))

3. (B ⇒ (B ⇒ B)) ⇒ (B ⇒ B) 4. (B ⇒ (B ⇒ B))

5. B ⇒ B

Note que a primeira e a segunda fbfs são instâncias, respectivamente, dos axi-omas (A2) e (A1). A terceira fbf segue da segunda e da primeira por meio de MP. A quarta fbf é uma instância do axioma (A1) e, por fim, a última fbf da demonstra¸cão segue da quarta e da quinta fbf por MP.

Há três propriedades sobre sistemas formais que devem ser mencionadas. Primeiramente, dizemos que um sistema formal é decid´ıvel se existe um proce-dimento efetivo que decida se uma dada fbf qualquer de S é um teorema de S. Caso não exista tal procedimento efetivo, o sistema é dito, então, indecid´ıvel. Assumindo que a linguagem do sistema formal possui um operador de nega¸cão (digamos, representado por ¬), ele será consistente se não existe nenhuma fbf α tal que α e ¬α são ambas teoremas deste sistema. Caso contrário, é dito inconsistente. Por fim, um sistema formal será completo se toda fbf possui demonstra¸cão ou refuta¸cão, isto é, se β é uma fbf qualquer, então ou β ou ¬β possui demonstra¸cão neste sistema. Caso contrário, será dito incompleto. Quando um sistema formal é incompleto, isto significa, portanto, que existe uma fbf γ indecid´ıvel, no sentido de que tanto γ quanto ¬γ não possuem demonstra-¸

c˜ao neste sistema.

Cabe aqui fazermos algumas observa¸cões sobre nossas defini¸cões iniciais que envolvem algumas imprecisões principalmente no que se refere a axiomas2_.

Primeiramente, note que os axiomas de um sistema formal podem, de certa forma, ser escolhidos arbitrariamente do conjunto de fbfs. Nenhuma exigˆencia foi realizada no sentido de eles serem consistentes, nem que formem um conjunto finito ou mesmo que sejam imediatamente intuitivos.

Há ainda duas frases imprecisas que às vezes ouvimos. A primeira diz que “axiomas são sempre verdadeiros”. Este é um tópico que necessita de um pouco mais de ferramentas da lógica. Primeiramente, você pôde notar que, em nossa defini¸cão de sistema formal, não fizemos nenhuma referência à no¸cão de ver-dade. Sant’Anna diz que “se o sistema formal for uma teoria de primeira or-dem e se estivermos falando de verdade no sentido de Tarski, um dado axioma pode ser verdadeiro ou falso em uma dada interpreta¸cão”3_{. Tentarei explicar}

2_{Sobre isto, veja o cap´ıtulo 2 do livro do Sant’Anna [7].}

3_P´_{agina 92 do livro O que ´}_{e um axioma [7]. Ele inclusive fornece um exemplo deste fato}

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isto em outras palavras. Quando se constroi um sistema formal, estabelecemos inicialmente no¸cões sintáticas, isto é, no¸cões que se aplicam a sequências de s´ımbolos isentos de significado. Por outro lado, a semântica formal vai permitir atribuir valores verdade às fórmulas de um sistema formal. Sendo assim, uma interpreta¸cão é algo que nos fornecerá um exemplo ou realiza¸cão daquela parte sintática, e pode ser feita de tal modo que um axioma seja falso.

Por fim, a segunda diz que “axiomas são verdades aceitas sem demonstra-¸cão”. De acordo com a defini¸cão apresentada do conceito de prova, o próprio leitor pode demonstrar que em um sistema formal todo axioma é demonstrável.

2 M´

aquinas de Turing

Quando dizemos intuitivamente que um problema ou objeto é computável ou calculável, imaginamos que seja poss´ıvel resolver este problema ou construir este objeto de forma automática, apenas seguindo uma série de instru¸cões. En-tretanto, para responder certas questões oriundas inicialmente da lógica e da matemática, precisamos de uma no¸cão formal de computabilidade, pois, pelo menos na matemática, me parece que nossas respostas não devem depender da sua ou da minha ideia em particular.

Alan Turing foi um dos primeiros a estabelecer uma no¸cão formal de com-putabilidade (1936/1937), formaliza¸cão esta que ficou conhecida por máquina de Turing, publicada no artigo On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem4. A aplica¸cão a qual este artigo se refere, o Entschei-dungsproblem, trata do problema de decisão da lógica de primeira ordem (pro-posto por Hilbert). Este problema pergunta, basicamente, se existe um método automático para decidir se uma senten¸ca qualquer da lógica de primeira ordem possui demonstra¸cão ou não.

Em computable numbers Turing responde de forma negativa ao problema da decisão. Alonso Church, lógico americano, também anunciou este resultado de forma independente, utilizando uma formaliza¸cão do conceito de computabili-dade denominada λ-definibilicomputabili-dade. O próprio Turing demonstrou que as duas no¸cões são equivalentes. Aliás, outras no¸cões de computabilidade foram pro-postas, sendo todas elas provadas como equivalentes. Este é o principal argu-mento em favor da denominada Tese de Turing, onde se estabelece que não há uma no¸cão mais poderosa de computabilidade do que a máquina de Tu-ring. Sendo assim, se assumirmos como verdadeira a tese mencionada, estamos considerando que qualquer procedimento calculável (no sentido intuitivo) é com-putável por máquina de Turing.

4_{Uma digitaliza¸}_c˜_{ao deste artigo est´}_{a dispon´ıvel no projeto Turing Digital Archive, no link}

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Vale mencionar que, aparentemente, a máquina de Turing causa um maior fasc´ınio do que a λ-definibilidade de Church (é uma opinião minha, é claro, mas também de muitos outros). Ela não só forneceu um aparato teórico para a constru¸cão dos próprios computadores f´ısicos, mas talvez inaugura também todo um pensamento comtemporâneo a respeito da própria mente humana, com implica¸cões não somente na lógica e na matemática, mas também na filosofia5_.

Feitas estas observa¸cões, introduziremos inicialmente algumas defini¸cões e, em seguida, formalizaremos a máquina de Turing com base em [1] e [2].

Uma Máquina de Turing (MT) é um dispositivo constitu´ıdo por uma fita potencialmente infinita, isto é, uma fita que pode ser infinitamente prolongada `

a esquerda e à direita, que está dividida em quadrados. Cada quadrado está vazio ou contém algum s´ımbolo de uma lista finita s1, s2, . . . , sn de s´ımbolos

(conjunto este chamado de alfabeto da MT). A MT ainda possui uma cabe¸ca de leitura, que realiza a leitura de um ´unico s´ımbolo de um quadrado da fita e pode fazer o seguinte:

1. Apagar o s´ımbolo do quadrado lido e escrever neste quadrado um s´ımbolo qualquer do alfabeto.

2. Mover a cabe¸ca de leitura um quadrado à direita ou à esquerda do quadrado que está sendo lido.

Em qualquer instante de tempo, a MT está em um estado oriundo de um número finito de estados, representados por q1, q2, . . . , qm. A a¸cão a ser tomada

pela MT depende de seu estado atual e do s´ımbolo que está sendo lido no momento. Sendo assim podemos especificar suas a¸cões por um conjunto finito Q de quádruplas (podemos chamá-las de instru¸cões), que podem assumir uma das formas abaixo:

(qi, sj, sk, ql)

(qi, sj, D, ql)

(qi, sj, E, ql)

para 1 ≤ i, l ≤ m, 0 ≤ j, k ≤ n.

Vejamos o significado das instru¸c˜oes. Uma qu´adrupla (qi, sj, α, ql) ∈ Q

in-forma `a MT, quando ela est´a no estado qi e realiza a leitura do s´ımbolo sj, que

deve realizar as seguintes a¸c˜oes: 1. Verifique as condi¸c˜oes abaixo:

(a) Se α = sk, apague sj e escreva sk no quadrado que est´a sendo lido.

(b) Se α = D, mova a cabe¸ca de leitura um quadrado para a direita. (c) Se α = E, mova a cabe¸ca de leitura um quadrado para a esquerda.

5_{Para saber um pouco mais sobre a filosofia de Turing, recomendo a leitura do livro Turing}

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2. Modifique o estado atual para ql e vá para a próxima instru¸cão.

Até este ponto, aprendemos então como criar um “programa” em uma máquina de Turing. Um programa, então, nada mais é do que uma sequência finita de instru¸cões que obedecem às especifica¸cões acima. No próximo tópico, estabelecemos como uma MT realiza uma computa¸cão.

2.1 Turing-computabilidade

Para realizar uma computa¸cão, a máquina deve ser inicializada com uma fita (que já pode conter determinados s´ımbolos em seus quadrados - seria o input da máquina). A máquina deve estar em um estado inicial e a cabe¸ca de leitura deve estar posicionada em determinado quadrado. Vamos ainda estabelecer algumas conven¸cões:

1. Uma MT sempre come¸ca no seu estado de menor n´umero, que chamaremos de q1.

2. Se não houver instru¸cão a seguir, a máquina interrompe a computa¸cão, isto é, a máquina para se, quando estiver no estado qie realizando a leitura

do s´ımbolo sj, n˜ao houver uma qu´adrupla da forma (qi, sj, α, β) em Q.

3. Não deve haver confilto entre instru¸cões, isto é, não deve haver duas quádruplas com os dois primeiros valores iguais mas um dos dois últimos diferentes.

Uma configura¸cão de uma MT passa a ser então uma tripla ordenada da forma (conteúdo da fita, quadrado examinado, estado atual ).

Para representarmos números naturais, utilizamos o alfabeto Σ = {0, 1}, onde ‘0’ representa que o quadrado está em branco e ‘1’ será nosso s´ımbolo para marca¸cão. Assim, x ∈ N será representado como x+1 apari¸cões em sequência do s´ımbolo ‘1’ (que denotaremos por 1x+1_{), cada s´ımbolo escrito em um quadrado}

da fita de uma MT (logo adiante h´a exemplos desta representa¸c˜ao).

Uma fita estará na configura¸cão padrão se está em branco ou contém somente uma cadeia da forma 1k, para algum natural k ≥ 1. Podemos ainda representar n-uplas de números naturais (x1, x2, . . . , xn) como uma lista das representa¸cões

de cada xi separados pelo s´ımbolo ‘0’.

Exemplo 3 As fitas abaixo mostram, por exemplo, as representa¸c˜oes para os naturais 0 e 3 e para a tripla (1, 3, 2), respectivamente:

. . . 1 . . . . . . 1 1 1 1 . . .

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Dizemos que uma fun¸cão f : Nk−→ N ( k ∈ N, k ≥ 1) é parcial se não está necessariamente definida para todos os valores de seu dom´ınio. Caso contrário, ou seja, se f está definida para todos os valores de seu dom´ınio, então dizemos que f é total.

Podemos definir agora a computabilidade de uma fun¸c˜ao parcial f : Nk_−→

N ( k ∈ N, k ≥ 1) por uma m´aquina de Turing. Primeiramente, estabelecemos como uma MT computa uma fun¸c˜ao f :

• Considere uma computa¸cão de uma MT cuja fita contém somente as rep-resenta¸cões de x1, x2, . . . , xk (o restante da fita está em branco), inicia

no estado de menor número e sua cabe¸ca de leitura está posicionada no quadrado que possui o primeiro s´ımbolo ‘1’ à esquerda;

• Então, após uma sequência finita de instru¸cões de Q, f (x1, x2, . . . , xk)

será igual ao número de ocorrências do s´ımbolo ‘1’ na configura¸cão final da fita (caso a computa¸cão termina) ou será indefinida, caso a MT nunca atinja seu estado final. Observe que a representa¸cão do valor da fun¸cão no final da computa¸cão difere da representa¸cão dos valores de entrada representados inicialmente na fita;

• Quando poss´ıvel, a MT para em seu estado de maior número e sua fita está na configura¸cão padrão.

Logo, definimos que uma fun¸cão parcial f é Turing-computável se existe uma máquina de Turing que a computa conforme especificado acima. Perceba que uma mesma fun¸cão pode ser computada por diferentes máquinas de Turing, mas, no entanto, uma máquina de Turing computa apenas uma determinada fun¸cão. Vou te dar um exemplo de uma fun¸cão Turing-computável:

Exemplo 4 A fun¸c˜ao f : N2 _{→ N dada por f (a}

1, a2) = (a1+ a2) ´e

Turing-comput´avel. Considere uma MT com as representa¸c˜oes de a1 e a2 em sua

fita, inicializando no estado q1 e examinando inicialmente o quadrado mais `a

esquerda:

. . . 1 1 . . . 1 1 B 1 1 . . . 1 1 . . .

Como a configura¸c˜ao inicial da fita apresenta (a1+ 1) + (a2+ 1) = a1+

a2+ 2 ocorrˆencias do s´ımbolo ‘1’, temos simplesmente que apagar as duas

primeiras ocorrências deste s´ımbolo. Dessa forma, a fita possuirá exatamente a1+a2ocorrências do s´ımbolo ‘1’. Para fazermos a fita finalizar na configura¸cão

padrão, a máquina irá escrever ‘1’ no quadrado em branco, irá para a esquerda e apagará três s´ımbolos ‘1’. A sequência de instru¸cões que realiza este processo pode ser dada por

(q1, 1, D, q1), (q1, 0, 1, q2), (q2, 1, E, q2), (q2, 0, D, q3), (q3, 1, 0, q4)

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As duas primeiras quádruplas buscam pelo quadrado em branco e escreve o s´ımbolo ‘1’ neste quadrado. A terceira e a quarta quádruplas movem a cabe¸ca de leitura para o primeiro ‘1’ à esquerda. As quádruplas restantes apagam os três primeiros s´ımbolos ‘1’. A máquina para a execu¸cão no estado q9, já que

não há nenhuma quádrupla que informe à MT o que fazer quando estiver neste estado.

Caso o leitor não esteja convencido de que as 10 instru¸cões dadas são capazes de calcular a soma de dois números inteiros, convido-o a utilizá-las para fazer uma soma qualquer (tente 2+3, por exemplo).

3 Computabilidade, Sistemas Formais e

Incom-pletude

3.1 O Problema da Parada

Neste ponto você já consegue perceber que senten¸cas, axiomas, provas e teo-remas de um sistema formal podem ser vistos, em última instância, como sequências de s´ımbolos. Do ponto de vista da matemática, strings e números são, de certa forma, intercambiáveis, já que através de um processo chamado de numera¸cão de Gödel, podemos representar strings arbitrárias de forma un´ıvoca por números. Aliás, esta é uma das duas propriedades mais importantes de uma numera¸cão:

1. Dada uma string, podemos computar seu n´umero de G¨odel e

2. Dado um número inteiro, podemos descobrir se este número é o número de Gödel de alguma string e qual é esta string.

Dizemos que um conjunto E de strings é recursivamente enumerável se e-xiste um procedimento mecânico que produza e escreva os elementos de E e é dito decid´ıvel se existe um algoritmo que decida, dada qualquer string s de s´ımbolos, se s pertence ou não a E. Vale ressaltar que agora estamos utilizando os termos “procedimento mecânico” e “algoritmo” para diferenciar um procedi-mento automático que não para, isto é, que pode permanecer executando sua tarefa indefinidamente (o primeiro) de um procedimento automático que para sua execu¸cão (o último). Finalmente, tais defini¸cões podem ser estendidas a conjuntos de números naturais ou quaisquer objetos matemáticos que podem ser representados por números.

Exerc´ıcio 1 Prove que todo conjunto finito de strings ´e decid´ıvel.

Não obstante, vale ressaltar ainda que existe de fato uma conexão entre os sentidos de decidibilidade quando aplicados a conjunto de strings e quando aplicado a senten¸cas de um sistema formal (neste último caso, dizemos que uma senten¸ca α em um sistema formal é decid´ıvel se α ou a nega¸cão de α é demons-trável neste sistema, caso contrário, α é dita indecid´ıvel), pois podemos usar

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o fato de que certos conjuntos s˜ao indecid´ıveis para provar que certos sistemas formais possuem senten¸cas indecid´ıveis.

Há duas rela¸cões básicas entre enumerabilidade recursiva e decidibilidade. A primeira é que todo conjunto decid´ıvel é recursivamente enumerável e a se-gunda é que um conjunto E é decid´ıvel se e somente se os conjuntos E e o seu complemento são recursivamente enumeráveis. Dito isto, passemos a investigar um importante resultado da teoria de computabilidade (o teorema e os lemas seguem [5]):

Teorema 1 Nem todo conjunto recursivamente enumerável é decid´ıvel. O formalismo das máquinas de Turing nos permite afirmar que um programa (conjunto de instru¸cões) é, em si mesmo, uma string de s´ımbolos (aliás, isto vale para qualquer linguagem de programa¸cão que você conhe¸ca) e, desde que exista um conjunto de regras para escrever tais programas, o conjunto de programas é decid´ıvel (tente provar isto como um lema). Sendo assim, consideremos uma enumera¸cão apenas do subconjunto daqueles programas que recebem uma string como entrada e ou ficam executando para sempre ou terminam sua execu¸cão e fornecem uma string como sa´ıda, digamos,

P0, P1, P2, . . .

Chamemos o n´umero i de ´ındice do programa Pi. Seja K o conjunto daqueles

´ındices i tais que o programa Pi termina sua execu¸c˜ao e imprime uma string

qualquer quando recebe como entrada o seu próprio ´ındice i. Queremos mostrar, então, que este conjunto K é recursivamente enumerável e indecid´ıvel.

Lema 1 O conjunto K ´e recursivamente enumer´avel.

Demonstra¸cão. Inicialmente, observamos que sempre podemos decidir se um programa Pi, ao receber determinada entrada k, encerra sua execu¸cão após,

digamos, n passos – basta gerar este programa, executá-lo e esperar no máximo esta quantidade de passos serem realizados. Sendo assim, o conjunto das sen-ten¸cas verdadeiras da forma “a computa¸cão realizada por Pi com entrada k

termina após de, no máximo, n passos”, onde k e n são numerais, é decid´ıvel. Logo, para enumerarmos K, passamos pelas strings da forma indicada anterior-mente e adicionamos i à lista de elementos de K sempre que encontrarmos para k = i uma senten¸ca verdadeira, o que encerra a demonstra¸cão.

Lema 2 O conjunto K n˜ao ´e decid´ıvel.

Demonstra¸cão. Se K fosse decid´ıvel, existiria um algoritmo G que, dado qual-quer ´ındice i, decide se o i-ésimo programa para ou não sua execu¸cão ao receber i como entrada. Da´ı, poder´ıamos definir um procedimento H que faz o seguinte: 1. Recebe qualquer input i e, através de G, decide se i pertence ou não a K. 2. Se i não pertece a K, nosso algoritmo H fornece 0 como sa´ıda.

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3. Se i pertence a K, nosso procedimento executa Pi. A sa´ıda do nosso

procedimento H ser´a a sa´ıda do programa Pi adicionada de um s´ımbolo

qualquer ao fim.

Nosso procedimento H é de fato um algoritmo da mesma natureza do que aqueles da enumera¸cão inicial, já que recebe uma string de entrada e computa outra string como sa´ıda. Sendo assim, H deve ser idêntico a Pm para algum

m da enumera¸cão, mas, no entanto, difere de todos os programas em m – con-tradi¸cão. Portanto, nossa hipótese inicial é falsa, logo, K não é decid´ıvel, como quer´ıamos demonstrar.

O leitor atento percebeu que esta última demonstra¸cão se utiliza de algo parecido com o argumento diagonal de Cantor. De fato, sua percep¸cão está agu¸cada. Veja se concorda comigo: vimos que a hipótese de K ser decid´ıvel nos permitiu supor a existência de um programa G que consegue saber se dado i pertence ou não a K, em outras palavras, se qualquer programa Pi encerra ou

não sua execu¸cão ao receber o próprio i como entrada, algo, digamos, assim:

G Entrada Programa 0 1 2 3 . . . 0 ”para” . . . 1 ”n˜ao para” . . . 2 ”para” . . . 3 ”para” . . . .. . ... ... ... ... . . .

O que fizemos foi construir um procedimento H que difere de todos os pro-gramas da suposta enumera¸c˜ao exatamente na diagonal. Por fim, como H deve ser tamb´em um algoritmo da lista, digamos H = Pm, encontramos uma

con-tradi¸cão, pois, de acordo com as instru¸cões de H, se Pmnão para (instru¸cão 2),

ent˜ao Pmpara e fornece 0 e se Pmpara, ent˜ao Pm fornece uma sa´ıda diferente

do que ela mesmo deveria fornecer (instru¸c˜ao 3), e da´ı H 6= Pm, ou seja,

con-clu´ımos que H deve ser igual e diferente de Pm ao mesmo tempo! Isto mostra

que a decidibilidade de K ´e absurda.

De maneira geral, não existe um algoritmo G que decida se um dado pro-grama qualquer para ou não sua execu¸cão ao receber um dado input, fato este conhecido como a insolubilidade do problema da parada e demonstrado por Tur-ing. A prova é análoga à apresentada anteriormente para o problema sobre o conjunto K.

3.2 Indecidibilidade e Incompletude

Como já mencionado anteriormente, a ideia agora é utilizarmos o fato de que existem conjuntos recursivamente enumeráveis que são indecid´ıveis para obter-mos uma demonstra¸cão de que certos sistemas formais possuem senten¸cas

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inde-cid´ıveis, em outras palavras, de que certos sistemas formais são incompletos. De acordo com o livro do Franzén (mais precisamente na página 74), é poss´ıvel construirmos uma versão do primeiro teorema da incompletude baseando-se no fato citado anteriormente, de tal modo que não se faz necessária a for-maliza¸cão de senten¸cas autorreferentes (núcleo do argumento técnico de Gödel). Tudo o que precisamos é que o sistema formal em questão contenha um m´ınimo de aritmética e satisfa¸ca certa propriedade (já veremos mais à frente). Não obstante, se utilizarmos como base da demonstra¸cão o conjunto das equa¸cões diofantinas solúveis (que devemos, é claro, demonstrar ser recursivamente enu-merável e indecid´ıvel), Franzén ressalta ainda que temos a vantagem de não ser necessária a preocupa¸cão com a artimetiza¸cão da linguagem, já que serão manipuladas apenas senten¸cas aritméticas simples.

Sendo assim, inicialmente apresentarei os argumentos do Franzén, que são in-teressantes também pela sua conexão com o 10◦problema de Hilbert. É poss´ıvel empreendermos uma generaliza¸cão deste resultado de incompletude como con-sequência da indecidibilidade de conjuntos. Para saber mais sobre isto, re-comendo a leitura do artigo [4] de Martin Davis, que pode ser encontrado no site da American Mathematical Society (http://www.ams.org/notices/200604/). 3.2.1 Equa¸cões Diofantinas e Incompletude

Uma equa¸cão diofantina é uma equa¸cão da forma D(x1, x2, . . . , xn) = 0, onde

D é um polinômio com coeficientes inteiros. O 10◦ problema de Hilbert consis-tia em determinar se existe ou não um algoritmo para decidir se uma equa¸cão diofantina qualquer possui solu¸cão nos inteiros6.

´

E poss´ıvel estabelecer a enumerabilidade recursiva e a indecidibilidade do conjunto das equa¸cões diofantinas solúveis. Não irei demonstrar tais resultados, limito-me aqui a direcionar o leitor interessado ao artigo de Martin Davis [3] que fala sobre a insolubilidade do 10◦ problema de Hilbert7_{. Vamos ent˜}_{ao apenas}

formalizar isto:

Teorema 2 O conjunto D das equa¸cões diofantinas solúveis é recursivamente enumerável e indecid´ıvel.

Observa¸cão 1 Antes de adentrarmos propriamente ao problema da incomple-tude, vale ressaltar uma consequência do teorema anterior. Como o conjunto das equa¸cões diofantinas solúveis é indecid´ıvel, isto implica que o seu complemento não é recursivamente enumerável, ou seja, o conjunto das equa¸cões diofantinas que não possuem solu¸cão não é recursivamente enumerável.

6_Vocˆ_{e pode encontrar as notas da conferˆ}_{encia proferida por Hilbert em 1900 neste link:}

http://www.rbhm.org.br/vo3-no5.html

7_{Pode ser lido aqui:}

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Consideremos agora um sistema formal S cujos axiomas e regras de inferência são tais que o conjunto de teoremas de S é recursivamente enumerável8. Além disso, S é um sistema formal que contém artimética necessária para provarmos as senten¸cas verdadeiras da forma “D(x1, . . . , xn) = 0 possui solu¸cão x1 =

k1, . . . , xn= kn”. Vamos nos concentrar nos teoremas de S da forma

“D(x1, . . . , xn) = 0 n˜ao possui solu¸c˜ao”.

Observa¸cão 2 Observe que se S é consistente, então, todo teorema destacado acima (senten¸cas da forma acima que possuem demonstra¸cão) é verdadeiro. Esta passagem foi rápida. Mas pense o seguinte: não pode haver uma demons-tra¸cão de uma senten¸ca falsa da forma “D(x1, . . . , xn) = 0 não possui solu¸cão”,

pois, se houvesse, isto significaria que tal equa¸cão possui solu¸cão e este fato seria demonstrável em S (pelas nossas hipóteses iniciais sobre S), implicando na inconsistência do sistema, pois S possibilitaria demonstrar uma senten¸ca e sua nega¸cão.

Vejamos agora nosso primeiro teorema de incompletude:

Teorema 3 Considerando as hipóteses anteriormente apresentadas sobre S, existe uma equa¸cão D(x1, . . . , xn) = 0 que não possui solu¸cão porém este fato

não é demonstrável em S, em outras palavras, existem senten¸cas “D(x1, . . . , xn) =

0 não possui solu¸cão” verdadeiras que não são teoremas de S.

Demonstra¸cão. Se para toda equa¸cão D(x1, . . . , xn) = 0 que não possui solu¸cão

houvesse demonstra¸cão deste fato em S, isto tornaria D decid´ıvel, pois caso D(x1, . . . , xn) = 0 possua solu¸cão, isto pode ser encontrado pela própria

enu-mera¸cão de D (lembre-se de que D é recursivamente enumerável), caso contrário, o fato de D(x1, . . . , xn) = 0 não possuir solu¸cão poderia então ser listado como

um teorema de S (podemos confiar que a equa¸cão de fato não tem solu¸cão pela observa¸cão 2), já que supomos que o conjunto de teoremas de S é recursivamente enumerável. Como sabemos que D é indecid´ıvel, segue que, portanto, que nem toda equa¸cão D(x1, . . . , xn) = 0 que não possui solu¸cão encontra demonstra¸cão

deste fato em S.

Exerc´ıcio 2 Mostre que a união de dois conjuntos recursivamente enumeráveis é recursivamente enumerável.

Exerc´ıcio 3 Se A é o conjunto das equa¸cões para as quais existe prova de que não possuem solu¸cão e B o conjunto das equa¸cões que não possuem solu¸cão, mostre que o conjunto das senten¸cas verdadeiras da forma “D(x1, . . . , xn) = 0

não possui solu¸cão” que não possuem prova em S não é recursivamente enu-merável.

Considerando o primeiro teorema, vamos refor¸car as hip´oteses sobre S e investigar o segundo teorema de incompletude:

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Teorema 4 Se assumirmos adicionalmente que S possui a propriedade de que senten¸cas demonstráveis são verdadeiras, então podemos concluir que existe uma equa¸cão D(x1, . . . , xn) = 0 indecid´ıvel em S, em outras palavras, que existe uma

senten¸ca “D(x1, . . . , xn) = 0 n˜ao possui solu¸c˜ao” indecid´ıvel.

Demonstra¸c˜ao. Anteriormente, obtemos que existe uma equa¸c˜ao D(x1, . . . , xn) =

0 que não possui solu¸cão e que não podemos demonstrar este fato em S. Se α é uma dessas equa¸cões (só para frisar, α é, portanto, uma equa¸cão que não possui solu¸cão e cuja demonstra¸cão deste fato é imposs´ıvel), então, é claro que também não podemos demonstrar que α possui solu¸cão pois, neste caso, S es-taria demonstrando uma senten¸ca falsa, a saber, aquela que diz que α possui ao menos uma solu¸cão, e vimos que isto é bloqueado pela hipótese de que senten¸cas demonstráveis em S são verdadeiras.

Portanto, podemos afirmar que um sistema formal S consistente, cujo con-junto de teoremas é recursivamente enumerável e possui um m´ınimo de aritm´ eti-ca necessária para trabalharmos com equa¸cões diofantinas, possui uma senten¸ca numérica, digamos, β, dada por “D(x1, . . . , xn) = 0 não possui solu¸cão”

ver-dadeira porém não demonstrável em S. Se adicionarmos a hipótese de que as senten¸cas demonstráveis em S são verdadeiras, então a nega¸cão de β também não é demonstrável.

4 Conclus˜

ao

Come¸camos investigando estes dois objetos matemáticos, por assim dizer: sis-temas formais e máquinas de Turing. Numa perspectiva hilbertiana, poder´ıamos nos perguntar então se seria poss´ıvel, por meio de um sistema formal, gerarmos mecanicamente todos os teoremas verdadeiros da matemática. Os resultados aqui apresentados, cujo motor inicial provém principalmente de Gödel e Tur-ing, nos revelam que o formalismo (constru¸cão da matemática por meio de sistemas formais) possui limita¸cões, pois um sistema formal, sob determinadas condi¸cões espec´ıficas (deve ser principalmente consistente e possuir um m´ınimo de aritmética), apresentará senten¸cas que são verdadeiras mas indemonstráveis neste sistema. Cabe ressaltar que a existência de tais senten¸cas não significa em absoluto que existirão verdades matemáticas que nunca serão demonstradas, significam apenas que não possuem demonstra¸cão em um dado sistema formal espec´ıfico.

A teoria da computabilidade nos permite provar a existência de certos con-juntos que possuem a propriedade de serem recursivamente enumeráveis e inde-cid´ıveis. Isto quer dizer que se B é um conjunto com tais propriedades, é poss´ıvel listarmos mecanicamente os elementos de B mas, no entanto, não podemos sem-pre decidir se um dado elemento pertence ou não a B. Da´ı segue também que o complemento de B não é recursivamente enumerável.

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A incompletude pode ser estabelecida em um sistema formal S com certas propriedades espec´ıficas por meio de um conjunto como B. Seguindo a linha de racioc´ınio de Franzél, tomamos B como o conjunto das equa¸cões diofanti-nas solúveis, que é recursivamente enumerável e indecid´ıvel, para podermos trabalhar apenas com senten¸cas artiméticas simples. Como coloca o próprio autor anteriormente citado, poder´ıamos escolher qualquer outro conjunto que seja recursivamente enumerável e indecid´ıvel. Perceba que a existência destes conjuntos nos permite concluir, então, um importante resultado para os funda-mentos da matemática: não existe um sistema formal G onde toda a verdade matemática sobre números pode ser mecanicamente derivada, ou, em outras palavras, o método axiomático aplicado à teoria dos números não é capaz de es-gotar toda a verdade aritmética, pois se assim fosse, poder´ıamos sempre decidir se um dado elemento pertence a B (através da enumera¸cão do próprio conjunto) ou não (pela enumera¸cão dos teoremas de G), tornando contraditoriamente de-cid´ıvel um conjunto indede-cid´ıvel.

Espero nesta apresenta¸cão ter ajudado o leitor a conhecer um pouco mais os incr´ıveis resultados oriundos da teoria da computabilidade e sua consequência sobre a no¸cão de incompletude em sistemas formais. Meu método de trabalho foi apenas fornecer-lhes uma leitura particular das referências aqui citadas, por-tanto, para quem quiser saber mais sobre o assunto, recomendo fortemente os livros e artigos aqui citados.

Referˆ

encias

[1] W. Carnielli and R. L. Epstein. Computabilidade, Fun¸cões Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática. UNESP, 2009.

[2] N. Cutland. Computability: An Introduction to Recursive Function Theory. Cambridge University Press, 1980.

[3] M. Davis. Hilbert’s tenth problem is unsolvable. The American Mathematical Monthly, 80(3):233–269, 1973.

[4] M. Davis. The incompleteness theorem. Notices of the AMS, 53(4):414–418, 2006.

[5] T. Franz´en. G¨odel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse. A K Peters/CRC Press, 2005.

[6] E. Mendelson. Introduction to Mathematical Logic. Chapman-Hall, 1997. [7] A. Sant’Anna. O que ´e um axioma. Manole, 2003.