Pré-mecânica. Lição 3

Lição 3

Pré-mecânica

1A mecânica clássica estuda o movimento dos corpos materiais no espaço de nossa percepção sensorial, descrito pela geometria euclidiana. A restrição aos corpos qualicados como materiais visa excluir de nosso estudo radiações, como a luz. O espaço de nossa percepção sensorial, idealizado na geometria euclidiana exclui de nossas considerações regiões de dimensões inacessíveis à nossa percepção, como as dimensões cósmicas ou atômicas, demasiadamente grandes ou pequenas, respectivamente, para nossa percepção.

1.1A mecânica clássica pressupõe a geometria euclidiana e regras de uso de instrumentos de medição no espaço descrito por essa geometria. A seguir listamos os pressupostos que dão origem aos conceitos primitivos e postulados da mecânica clássica. Vários conceitos desta aula, como espaço, tempo e movimento, não são denidos e são usados com seus signicados intuitivos, obtidos a partir de algumas situações concretas, particularmente aquelas que descrevem procedimentos práticos para realizar observações e medições.

1.2Muitos conceitos desta aula, bem como das próximas, referem-se a objetos que não existem exatamente como denidos, mas apenas em conformidade aproximada com as denições. Contudo, a m de não sobrecarregar o texto com ressalvas, raramente se menciona esse caráter aproximado. Também as leis da mecânica clássica e da física em geral são enunciadas como relações exatas, embora na prática possam ser vericadas apenas aproximadamente.

2Supomos disponíveis réguas idênticas para medições de distâncias e comprimentos em qualquer lugar do espaço. Denotamos por E o espaço euclidiano, o conjunto de todos os pontos do espaço de nossa percepção sensorial. As réguas denem uma função distância d, que associa a cada par de pontos um número real bem denido,

d :E × E −→ R

2.1A função distância satisfaz às propriedades

d1) d(P, Q) ≥ 0, d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q , d2) d(P, Q) = d(Q, P ),

d3) d(P, Q) ≤ d(P, M) + d(M, Q) . (2)

3Supomos disponíveis relógios idênticos e sincronizados para medições de durações e intervalos de tempo em qualquer lugar do espaço. Os relógios associam a cada evento, em um dado ponto do espaço, um número real bem denido que denominamos instante do evento.

4Nos conceitos de régua e relógio estão incluídos, além dos instrumentos que comumente recebem esses nomes, as regras de seu uso. A disponibilidade dos instrumentos com suas regras de uso precedem a mecânica, são pressupostos por ela e a inuenciam.

5Partícula é um corpo cujas dimensões são desprezíveis em um dado problema; em mêcânica isso signica que as dimensões são desprezíveis na descrição de seu movimento. Geometricamente, uma partícula é um ponto.

5.1O conceito de partícula é relativo ao problema considerado; um mesmo corpo pode ser considerado como partícula em um dado problema e não ser considerável como tal em outro problema.

5.2Exemplo. Podemos considerar a Terra como uma partícula em seu movimento anual em torno do Sol, mas não em seu movimento de rotação diário em torno de seu eixo.

6Qualquer corpo ou sistema é considerado como sendo um conjunto de partículas. Com isso, pressupomos que qualquer corpo pode ser considerado como um conjunto de partes sucientemente pequenas para que cada uma possa ser considerada como uma partícula.

6.1O objetivo de se considerar qualquer sistema como um conjunto de partículas é poder aplicar as leis da mecânica clássica a essas partículas e com isso entender o sistema, suas propriedades e seus movimentos.

6.2Essa abordagem analítica da mecânica clássica, de usar suas leis para entender o todo a partir de suas partes, não funciona sempre pois, ao

considerarmos partes de um corpo cada vez menores, extrapolamos os limites da mecânica clássica; nesse caso, não são suas leis que regem essas partes, mas as da mecânica quântica.

7Corpo rígido é um sistema de partículas que mantêm entre si distâncias constantes. Salvo menção explícita em contrário, quando nos referimos a um corpo rígido entendemos que é formado ao menos por quatro partículas não coplanares.

7.1Exemplo Um bloco de granito.

7.2Exemplo O conjunto formado pelo piso, paredes e teto de uma sala.

8Usando réguas e relógios podemos denir um ponto do espaço como sendo xo em relação a um corpo rígido se as distância entre ele e os pontos do corpo rígido permanecem constantes; qualquer subconjunto do espaço é dito xo em relação ao corpo rígido ou xo no corpo rígido se todos os seus pontos são xos em relação a ele. O conjunto de todos os pontos do espaço xos em relação a um corpo rígido é chamado corpo rígido estendido. Salvo se o contrário estiver explícito ou claro pelo contexto, ao nos referirmos a um corpo rígido, entendemos o corpo rígido estendido.

9Já usamos os conceitos de réguas e relógios para garantir que as distâncias entre os pontos de um corpo rígido permaneçam constantes. Entendemos que esses conceitos envolvem as prescrições de seu uso e que nelas está envolvida a idéia de que as réguas e relógios estão xos no corpo rígido. Para expressar o fato de que estão xas em um dado corpo rígido as réguas e relógios a serem usados nas medições de quaisquer distâncias e durações, diremos que há um observador munido de réguas e relógios nesse corpo rígido. Também se entende nessa expressão que estão disponíveis innidades de réguas

10Referencial é um corpo rígido no qual um observador está munido de réguas e relógios e no qual está xo um dado sistema de eixos coordenados.

CORPO

RÍGIDO O

X

Y Z

10.1Exemplo. Um referencial que usa a Terra como corpo rígido; um tal referencial é chamado terrestre.

10.2Exemplo. Um que usa a o Sol e as estrelas xas como corpo rígido, com o Sol na origem do sistema de eixos coordenados; um tal referencial é chamado copernicano.

10.3Tomaremos a liberdade de nos referirmos ao sistema de eixos como se fosse o referencial. Nesse caso, cam subtendidos o corpo rígido no qual está xo o sistema de eixos e o observador munido dos instrumentos de medição. Assim, podemos nos referir ao referencial ilustrado na gura anterior como sendo o referencial OX YZ. Dentro desse mesmo espírito, normalmente, representamos nas guras um referencial apenas por seu sistemas de eixos, como na gura seguinte.

10.4De um modo geral, em Mecânica Newtoniana usamos, por conveniência, sistemas de eixos ortogonais.

11Por meio do sistema de eixos OX YZ do referencial, associamos a cada ponto P do espaço euclidiano E uma única trinca de números reais (x, y, z), as coordenadas de P relativas a OX YZ. Com isso ca denida a função bijetora do exemplo 1.1.5, M : E → R3 _{com M : P 7→ (x, y, z). Desse modo o}

referencial estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço euclidiano e as trincas de R3_.

O Y Z P

x

y

z