Choques transicionais com perfil reto nas soluções de problemas de Riemann

Texto

(1)Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática. Choques transicionais com perfil reto nas soluço˜ es de problemas de Riemann por. Maryane da Silva Moreira Figueiredo. 2007.

(2) Aos meus pais e a` Tathiana, minha irmã.. ii.

(3) Agradecimentos. Agradeço, primeiramente a Deus pela orientaça˜ o espiritual, por estar presente em meu coraça˜ o em todos os momentos de minha vida abrindo portas para que eu alcance meus objetivos. Agradeço a toda minha fam´ılia, em especial, aos meus pais, Laércio e Conceiça˜ o, que lutaram juntos para oferecer-me a melhor educaça˜ o poss´ıvel, pelo apoio, paciência, dedicaça˜ o e amor concedidos a mim. Agradeço a minha irmã Tathiana pela amizade incondicional, por estar sempre me apoiando, pelos momentos de descontraça˜ o e, também, ao meu cunhado Marco Antônio por alegrar nossa fam´ılia e participar de minha vida nestes dois anos. Sem estas pessoas eu não teria como tornar poss´ıvel este sonho. Agradeço a todos que trabalham no departamento de matemática da Universidade de Bras´ılia, a todos os professores que contribu´ıram com minha formaça˜ o acadêmica. Agradeço, em especial, ao meu orientador Arthur Vicentini, não apenas pela orientaça˜ o, mas pela disponibilidade, paciência, bons conselhos, bom humor, pelo enriquecimento matemático que me proporcionou, enfim pela verdadeira amizade que surgiu entre nós. Agradeço aos professores César Eschenazi, UFMG, e Carlos Alberto Pereira, UnB, pela participaça˜ o na banca examinadora e. iii.

(4) pelo tempo dispensado ao meu trabalho. Agradeço a minha amiga Grazi que acompanhou cada momento de minha caminhada não só esses dois anos mas durante grande parte de minha vida. Igualmente agradeço a amiga L´ıgia pelos bons conselhos e risadas que me proporcionou. Não posso deixar de agradecer aos amigos que fiz na universidade. Agradeço ao Ewerson pelo constante incentivo durante a graduaça˜ o e amizade mesmo distante. E, e´ claro, agradeço a Bel, a Lu, ao Magno, ao Miguel e ao Léo pelas horas de estudo, por caminharmos juntos, por superarmos etapas juntos, pelo apoio quando desanimávamos, pelas risadas e choros. Também agradeço aos colegas Vagner, Flávia, Karise, Manu, Jorginho, Gi, Tertu dentre outros que também participaram deste processo. Enfim, agradeço a todos que de certa forma contribu´ıram para que eu conclu´ısse este trabalho. Muito obrigada.. iv.

(5) Resumo. Problemas de Riemann modelam escoamentos de fluidos trifásicos em meios porosos. Estudamos as noço˜ es básicas de alguns tipos de problemas de Riemann e de suas soluço˜ es, utilizando o critério de entropia de viscosidade. Obtemos uma forma normal para o sistema 2 × 2 de leis de conservaça˜ o [14] e examinamos o papel dos choques transicionais nas soluço˜ es de Riemann, verificando em que circunstâncias estes choques possuem perfil reto [9]. Por fim, verificamos que o conjunto de soluço˜ es está associado a uma variedade que se assemelha a um helicóide, para um exemplo de problema em que a matriz de viscosidade e´ a identidade [1]. Em seguida, modificamos uma das entradas nulas da matriz de viscosidade identidade e comprovamos que o helicóide de soluço˜ es ainda existe. A maior parte desta dissertaça˜ o está baseada em [1], [9] and [14].. Palavras-chaves: problema de Riemann, critério de entropia, choques transicionais, helicóide.. v.

(6) Abstract. Riemann Problems model three phase flow in porous media. We study the basic notions of some type of Riemann problems and their solutions, using the viscous profile criterium. We obtain a normal form to the 2 × 2 system of conservation laws [14] and we examine the role of the transicional shocks in Riemann solutions checking in which circunstances these shocks posses straight line profiles [9]. Finally, we verify that the set of solutions is associated to a manifold that looks like an helicoid, for an example in which the viscosity matrix is the identity [1]. Next, we modify one of the zero entries of the identity viscosity matrix and we confirm that the helicoid of solutions still exists. The main part of this dissertation is based on [1], [9] and [14].. Key words: Riemann problem, profile criterium, transicional shocks, helicoid.. vi.

(7) ´ SUMARIO. Introduça˜ o. 1. 1 Modelagem e aplicaço˜ es. 4. 1.1. Conservaça˜ o da massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Modelo de fluido trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2 O problema de Riemann. 11. 2.1. Teoria para uma u´ nica lei de conservaça˜ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.2. Soluço˜ es Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.3. Noço˜ es básicas sobre o problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.4. Critérios de entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.5. Classificaça˜ o dos pontos cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3 A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o vii. 30.

(8) 3.1. Alguns resultados para modelos quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.2. A forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4 Ondas transicionais. 40. 4.1. Modelos quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.2. ´ Orbitas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.3. Região transicional e soluça˜ o do problema de Riemann contendo choques transicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 O helicóide de soluço˜ es. 50 53. 5.1. O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 5.2. Classes de soluço˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 5.3. O helicóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 5.4. Perturbaça˜ o da matriz de viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. viii.

(9) Introduça˜ o. Neste trabalho, consideraremos problemas de Riemann, que e´ um caso particular de um problema de Cauchy, para o sistema 2 × 2 de leis de conservaça˜ o Ut + F (U)x = 0 , onde U = U(x, t) ∈ R2 , F : R2 −→ R2 , −∞ < x < ∞ e t > 0; e sujeito a` condiça˜ o inicial   U , para x < 0 L U(x, 0) = ,  U , para x > 0 R. onde, UL , UR ∈ R2 , são constantes.. No decorrer do trabalho, faremos um estudo de sistemas com comportamento hiperbólico e, também, consideraremos um exemplo de problema de Riemann para um sistema de leis de conservaça˜ o com comportamento misto, sendo el´ıptico para certos estados e hiperbólico para outros. Tais sistemas têm origem no escoamento de fluidos trifásicos em meios porosos, como ocorre na recuperaça˜ o de petróleo. Começaremos o trabalho descrevendo a origem das equaço˜ es conhecidas como leis de conservaça˜ o e um pouco das ferramentas matemáticas usadas para estudá-las. Em seguida, apresentaremos a teoria da soluça˜ o para um problema de Riemann. Essa soluça˜ o se compõe de 1.

(10) Introduça˜ o soluço˜ es cont´ınuas ou clássicas (rarefaço˜ es) e descont´ınuas (choques). Os choques satisfazem a equaça˜ o F (UR ) − F (UL ) − s(UR − UL ) = 0 , onde s e´ a velocidade de propagaça˜ o da descontinuidade, conhecida como relaça˜ o de RankineHugoniot. Com UL fixo, esta relaça˜ o tem como soluça˜ o a equaça˜ o de uma curva em R3 , chamada curva de Hugoniot. Por surgir multiplicidade de soluço˜ es quando utiliza-se choques para compor as soluço˜ es e´ que consideramos restriço˜ es adicionais chamadas critérios de entropia, que objetiva selecionar de modo u´ nico as soluço˜ es fisicamente relevantes. O primeiro critério introduzido por Lax, em [11], para leis de conservaça˜ o estritamente hiperbólicas e genuinamente não-lineares, conhecido por critério de Lax, torna-se insuficiente para modelos em que falha a hiperbolicidade estrita. Surge então, o critério de viscosidade, introduzido por Gel’Fand em [6] e Courant e Friedrichs em [5], que considera admiss´ıveis, os choques que são limites de ondas viajantes de um sistema associado parabólico de equaço˜ es diferenciais parciais. Em [14], Schaeffer e Shearer mostraram como transformar um sistema de duas leis de conservaça˜ o com funça˜ o fluxo F quadrática em um sistema com funça˜ o fluxo com apenas dois parâmetros livres. Para isto, eles demostraram, entre outras coisas, um teorema que afirma que existe um polinômio cúbico da forma C(x, y) =. 1 ax3 3. + bx2 y + xy 2 , tal que C(x, y) e´ um. potencial da funça˜ o de fluxo. Com isso, verificou-se, fazendo uma análise em torno do ponto umb´ılico isolado (isto e´ , um ponto onde os autovalores da matriz jacobiana de F são iguais, com DF (U) = λI), que podemos obter uma forma normal para o sistema de leis de conservaça˜ o. Esta forma e´ u´ til para a investigaça˜ o do comportamento local da soluça˜ o de um problema de Riemann. No Cap´ıtulo 3 desta dissertaça˜ o, daremos uma idéia do trabalho desenvolvido por Schaeffer e Shearer em [14]. Com este modelo, estudaremos o papel das ondas transicionais na resoluça˜ o de problemas de Riemann, no Cap´ıtulo 4. Soluço˜ es de problemas de Riemann contêm choques que podem ser associados a sistemas dinâmicos. Com o estudo do sistema dinâmico associado, sob o critério de perfis vis2.

(11) Introduça˜ o cosos, veremos, ainda no Cap´ıtulo 4, que as o´ rbitas do sistema dinâmico ligando os estados UL e UR são segmentos de reta. Parametrizaremos a Hugoniot de U0 por coordenadas polares centrada em U0 por um aˆ ngulo ϕ. Escreveremos as equaço˜ es da Hugoniot Hu0 ,v0 (u, v) e da velocidade de propagaça˜ o da descontinuidade s nessas coordenadas e a partir da´ı faremos uma análise de quando uma reta entre dois estados UL e UR e´ uma o´ rbita para o sistema autônomo −s[U − U− ] + F (U) − F (U− ) = D(U)U˙ , onde D(U) e´ a matriz de viscosidade. Independente da classificaça˜ o do aˆ ngulo ϕ, sob certas hipóteses, qualquer estado U0 e´ ligado a algum U 6= U0 por um perfil reto. Surge então a região transicional para o aˆ ngulo ϕ, que e´ o conjunto de estados U0 para os quais temos choques transicionais. No u´ ltimo cap´ıtulo deste trabalho, descreveremos um comportamento topológico para soluço˜ es de Riemann para o sistema parabólico de um modelo particular de um sistema de leis de conservaça˜ o. Azevedo, em [1], mostrou que o conjunto de soluço˜ es para um modelo particular cuja matriz de viscosidade e´ a identidade, pode ser ilustrado por uma variedade que se assemelha a um helicóide. Para isso, foi necessário agrupar soluço˜ es em classes que mudam de acordo com o número de choques transicionais contidas em cada uma. Por fim, ainda no Cap´ıtulo 5, faremos uma pequena perturbaça˜ o na matriz de viscosidade e, com aux´ılio dos programas Maple e Riemann Solver [8] e a teoria apresentada nos cap´ıtulos anteriores, mostraremos que ainda existe uma variedade de soluço˜ es que se assemelha a um helicóide para esse novo modelo.. 3.

(12) ´ CAPITULO 1 Modelagem e aplicaço˜ es. As equaço˜ es básicas que descrevem fluidos mecânicos são derivadas das leis de conservaça˜ o da massa, momento e energia. Supondo os fluidos perfeitos, obteremos as formas integral e diferencial da Lei de conservaça˜ o da massa. Essas equaço˜ es juntamente com a forma diferencial e integral das leis de conservaça˜ o do momento e conservaça˜ o de energia, ajudam a descrever o movimento de fluidos em uma região bi ou tridimensional, [4]. Neste cap´ıtulo, discutiremos apenas a conservaça˜ o de massa usando a formulaça˜ o Euleriana para especificar o movimento de um fluido em uma dada região do espaço.. 1.1 Conservaça˜ o da massa. Dados D ⊂ R3 uma região delimitada por uma superf´ıcie fechada S; L, M, N funço˜ es cont´ınuas com derivadas primeiras cont´ınuas em D e F~ um campo vetorial F~ = L~i+M~j +N ~k. 4.

(13) Cap´ıtulo 1. Modelagem e aplicaço˜ es Do Teorema da Divergência temos ZZZ . div F~. D. . dV =. ZZ. F~ · ~n dS,. S. onde ~n e´ o vetor normal unitário exterior a` superf´ıcie S = ∂D. A integral de superf´ıcie. ZZ. F~ · ~n dS, representa o fluxo do campo vetorial F~ através da. S. superf´ıcie S na direça˜ o ~n e o vetor F~ e´ visto como a “medida do fluir”. Imaginando uma part´ıcula de poeira suspensa no fluido, ela descreve uma trajetória bemdefinida. Denotando por v¯ (¯ x, t) a velocidade da part´ıcula em um ponto x¯ = (x, y, z) de D no tempo t, então, para cada tempo fixo, v¯ e´ um campo vetorial em D. E, para cada tempo, ρ (¯ x, t), que e´ a densidade de massa do fluido, está bem-definida. Pelo teorema da divergência e, tomando F~ = ρ~v , tem-se ZZZ. D. div ρ~v¯ dV =. ZZ. ρ~v¯ · ~n dS ,. S. onde a integral do lado direito representa o fluxo do fluido. A quantidade total de massa presente em uma região D, que não depende de t, e´ dada ZZZ por ρ dV e a variaça˜ o de massa em D, por unidade de tempo, e´ dada pela derivada dessa D. integral em relaça˜ o ao tempo, ou seja, ZZZ ZZZ −d ∂ρ ρ dV = − dV. dt D D ∂t Admitindo-se que não existem sumidouros de massa e nem tampouco criaça˜ o de massa, podemos escrever −. ZZZ. D. ∂ρ dV = ∂t. ZZ. ρ~v¯ · ~n dS = S. ZZZ. D. ou,. div ρ~v¯ dV. ZZZ ∂ρ dV = 0 , div ρ~v¯ + ∂t D 5. (1.1).

(14) Cap´ıtulo 1. Modelagem e aplicaço˜ es que e´ a forma integral da Lei de Conservaça˜ o da massa. Como a equaça˜ o (1.1) vale para qualquer região D, temos ∂ ρ + div ρ~v¯ = 0, ∂t. que e´ a forma diferencial da Lei de Conservaça˜ o da massa. Uma forma mais geral de leis de conservaça˜ o e´ ut + div f = 0,. (1.2). onde u representa a densidade de uma entidade f´ısica e o vetor f descreve seu fluxo em uma certa região. Neste trabalho vamos estudar sistemas de leis de conservaça˜ o da forma ujt + div f j = 0 ,. j = 1, ..., n ,. onde cada f j e´ uma funça˜ o de todos u1 , ..., un , que descreve o escoamento de fluidos trifásicos em meios porosos. Estudaremos problemas de Cauchy com dados iniciais constantes, exceto em pontos de descontinuidade, para sistemas de leis de conservaça˜ o. Tais problemas de valor inicial são conhecidos como problemas de Riemann.. 1.2 Modelo de fluido trifásico Consideraremos o fluxo unidimensional horizontal de um fluido trifásico imisc´ıvel, onde as fases do fluido são a´ gua (w), o´ leo (o) e gás (g), em um meio poroso. Desconsideraremos efeitos gravitacional, térmico e de compressibilidade. Assumiremos ainda que todo o espaço e´ preenchido pelo fluido e que não existem fontes ou sumidouros dentro do meio. Denotando por ϕ a porosidade do meio, si a saturaça˜ o, ρi a densidade, µi a viscosidade e vi a velocidade da part´ıcula na fase i, temos as equaço˜ es da conservaça˜ o de massa de a´ gua, o´ leo e gás: ∂ ∂ (ϕ si ρi ) + (ρi vi ) = 0 , ∂t ∂x 6. (1.3).

(15) Cap´ıtulo 1. Modelagem e aplicaço˜ es para i = w, o, g, respectivamente. A porosidade ϕ e a permeabilidade absoluta, denotada por K, estão associadas as rochas e consideraremos constantes. Também consideraremos constantes as densidades e viscosidades das fases. Darcy [13] e [15], realizou um experimento unidimensional para fluidos monofásicos em meios porosos e deduziu uma relaça˜ o válida para tais escoamentos, conhecida como lei de Darcy. Tentou-se utilizar esta lei para a mistura de fases imisc´ıveis, mas verificou-se que para escoamentos multifásicos essa lei só e´ válida para cada uma das fases onde, porém, a permeabilidade de cada fase depende da saturaça˜ o do meio poroso relativo a` fase em questão, ou seja, usaremos a seguinte forma da lei de Darcy:. vi = −K λi. ∂ pi , ∂x. (1.4). onde pi denota a pressão na fase i e λi = ki/µi ≥ 0 a mobilidade da fase i, com ki representando a permeabilidade relativa da fase i. Chamamos de pressão capilar a diferença de pressão entre duas fases quaisquer i e j (i 6= j), pij = pi − pj , medida experimentalmente como funça˜ o das saturaço˜ es. Com isso e X λi definindo a mobilidade total λ = λj , as funço˜ es fracionais de fluxo fi = e a velocidade λ j total v =. X. vj , temos, de (1.4),. j. ∂ pj ∂x j X ∂ fi v = −Kfi λ j pj ∂x j X λi ∂ = −K λ j pj λ j ∂x X ∂ = −Kλi fj pj ∂x j. X j. vj = −K. 7. X. λj.

(16) Cap´ıtulo 1. Modelagem e aplicaço˜ es Somando e subtraindo vi da expressão obtida anteriormente temos fi v = vi − vi − Kλi. X j. = vi + Kλi. = vi − Kλi. = vi − Kλi. fj. ∂ pj ∂x. X ∂ ∂ pi − Kλi fj pj ∂x ∂x j ( (. X. ∂ fj pj ∂x. !. X. ∂ fj pj ∂x. !. j. j. ∂ − pi ∂x. −. ). X j. fj. !. ∂ pi ∂x. ). ,. ou seja, vi = vfi + Kλi. X j6=i. fj. ∂ pji . ∂x. (1.5). Substituindo (1.5) em (1.3) sem o termo da densidade, já que este e´ constante, as equaço˜ es do fluxo são:. • i=w ∂ ∂ ∂ (ϕsw ) + (vfw ) + ∂t ∂x ∂x. ∂ ∂ Kλw fo pow + Kλw fg pgw = 0, ∂x ∂x. (1.6). ∂ ∂ ∂ (ϕso ) + (vfo ) + ∂t ∂x ∂x. ∂ ∂ Kλo fw pwo + Kλo fg pgo = 0, ∂x ∂x. (1.7). ∂ ∂ ∂ (ϕsg ) + (vfg ) + ∂t ∂x ∂x. ∂ ∂ Kλg fw pwg + Kλg fo pog = 0. ∂x ∂x. (1.8). • i=o. • i=g. 8.

(17) Cap´ıtulo 1. Modelagem e aplicaço˜ es Ainda temos que a velocidade total v depende apenas de t, pois dividindo (1.3) por ρi e somando em i, encontramos. ∂ v ∂x. = 0. E´ poss´ıvel também mudar as variáveis, desde que v seja. diferente de zero, de forma que podemos remover v, K e ϕ do sistema (1.6) - (1.7) - (1.8). Considerando u1 e u2 duas saturaço˜ es quaisquer, como. X. si = 1, i = w, o, g, então. i. podemos escrever u3 = 1 − u1 − u2 . E, ainda podemos escrever, p12 = p13 + p32 , onde pkl = pk − pl , k, l = 1, 2 ou 3 (k 6= l). Desta forma, este sistema de três componentes pode ser convenientemente escrito como um sistema de duas componentes apenas. Se tomarmos dois eixos coordenados centrado em (0, 0), com um deles sendo u1 e o outro u2 , a reta ligando os pontos (1, 0) e (0, 1) dos eixos, representa automaticamente u3 e forma um triângulo. Isto justifica chamarmos de triângulo das saturaço˜ es, denotado por 4, a representaça˜ o das saturaço˜ es escolhidas para descrever o fluido. Com essas modificaço˜ es temos o novo sistema.  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   u1 + f1 = λ1 −f2 p23 + (1 − f1 ) p13    ∂x ∂x ∂x ∂x  ∂t. (1.9).    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   u2 + f2 = λ2 −f1 p13 + (1 − f2 ) p23  ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ou, ∂ ∂ ∂ ∂ U+ F (U) = D(U) U , ∂t ∂x ∂x ∂x 0. onde D(U) = Q(U)P (U), com. . Q(U) = . λ1 (1 − f1 ) −λ2 f1 9. −λ1 f2 λ2 (1 − f2 ).  . (1.10).

(18) Cap´ıtulo 1. Modelagem e aplicaço˜ es e ∂p13  ∂u1  0 P (U) =    ∂p . 23. ∂u1.  ∂p13 ∂u2   .  ∂p  23. ∂u2. As matrizes D(U) e Q(U) são chamadas matriz de difusão e matriz balanço, respecti0. vamente. Já a matriz P (U) e´ a Jacobiana da pressão capilar.. 10.

(19) ´ CAPITULO 2 O problema de Riemann. Neste cap´ıtulo, discutiremos a soluça˜ o de um problema de Riemann para um sistema escalar de leis de conservaça˜ o, introduziremos as notaço˜ es a serem utilizadas em cap´ıtulos posteriores e apresentaremos alguns fatos básicos sobre o problema de Riemann para sistemas 2 × 2 de leis de conservaça˜ o. Discutiremos, também, a construça˜ o da soluça˜ o do problema de Riemann e algumas caracter´ısticas do mesmo. Grande parte deste cap´ıtulo foi baseada em [10].. ´ 2.1 Teoria para uma unica lei de conservaça˜ o Nesta seça˜ o vamos descrever a soluça˜ o de um problema de Riemann não-linear (1.2) e unidimensional para uma u´ nica lei de conservaça˜ o. A quantidade u varia apenas em uma dimensão espacial e em relaça˜ o ao tempo, isto e´ , vamos considerar (1.2) na forma ut + fx = 0, onde f e´ uma funça˜ o não-linear de u. 11. (2.1).

(20) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann. Denotando-se. df = a (u), podemos reescrever a equaça˜ o acima como du ut + a (u) ux = 0.. (2.2). As soluço˜ es de (2.2) são obtidas pelo método das caracter´ısticas [10], o qual passamos a descrever. Denotando γ (t) = u (x (t) , t) temos γ 0 (t) = ux x˙ + ut . Se x˙ = a (u) , então (2.2) implica que γ 0 (t) = 0, ou seja, que γ (t) = u (x (t) , t) = constante. Logo, u e´ constante ao longo de trajetórias x = x (t) que se propagam com velocidade a(u), a qual e´ chamada de velocidade do sinal (ou velocidade caracter´ıstica). Como x˙ = a (u), vemos que tais trajetórias são retas, ou seja, u e´ constante sobre as retas. Essas trajetórias são chamadas curvas caracter´ısticas da equaça˜ o diferencial parcial (2.2) e a análise feita acima mostra que os sinais se propagam ao longo de caracter´ısticas. Desse modo a construça˜ o geométrica da soluça˜ o de um problema de valor inicial   u + a (u) u = 0 t x ,  u (x, 0) = u0 (x) pode ser obtida desenhando retas passando por pontos y do eixo-x com inclinaça˜ o. (2.3). 1 a (u0 (y)). .. Usando o teorema da funça˜ o impl´ıcita, pode-se mostrar que, se u0 e´ uma funça˜ o de classe C 1 , essas retas cobrem uma vizinhança do eixo-x e u (x, t) fica unicamente determinada perto do eixo-x, já que o valor de u ao longo da reta saindo de um ponto y do eixo-x e´ u0 (y).. Usando o que foi feito acima, podemos obter uma forma da soluça˜ o de (2.3). Para tanto, observe a Figura 2.1, onde (x, t) e´ um ponto e y a intersecça˜ o da caracter´ıstica por (x, t) com o 12.

(21) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann t (x, t). y. x. Figura 2.1: Reta caracter´ıstica. eixo-x. Assim, u = u (x, t) satisfaz    u = u0 (y) . 1  (x − y) ⇐⇒ y = x − ta (u)  t = a (u0 (y)). (2.4). Assumindo u0 diferenciável e usando o teorema da funça˜ o impl´ıcita, obtemos u, soluça˜ o de (2.4), como funça˜ o diferenciável de x e t, para t suficientemente pequeno. Como u = u0 (x − ta (u)), tem-se ux =. −u00 a u00 , u = . t 1 + u00 au t 1 + u00 au t. (2.5). Assim, pode-se ver, substituindo os resultados obtidos imediatamente acima em (2.2), que u como definida em (2.4) satisfaz (2.2). Assuma, agora, que a equaça˜ o ut + a (u) ux = 0 e´ genuinamente não-linear, ou seja, au 6= 0 para todo u. Sem perda de generalidade, suponha au > 0. Assim, se u00 > 0, ∀x, então (2.5) são funço˜ es limitadas para todo t > 0. Sendo θ = inclinaça˜ o θ, ou seja,. θ0 =. 1 a (u0 (y)). , então a funça˜ o da. −1 0 ´ decrescente quando u00 > 0, isto e´ , quando 2 au u0 e [a (u0 (y))]. u0 (x) e´ uma funça˜ o crescente de x. Assim, as caracter´ısticas cobrem o semi-plano t > 0. 13.

(22) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann Agora, se u00 < 0 em algum ponto, tanto ut como ux tendem a ∞ quando (1 + u00 au (u0 ) t) se aproxima de 0 e, além disso, existem y1 , y2 tais que y1 < y2 , u1 = u0 (y1 ) > u0 (y2 ) = u2 e a1 = a (u1 ) > a (u2 ) = a2 , pois au > 0 . Assim, as caracter´ısticas saindo de y1 e y2 se interceptam em t =. y2 − y1 . a1 − a2. t. (x, t). 1 a1. y1. 1 a2. y2. x. Figura 2.2: Intersecça˜ o entre caracter´ısticas em t =. y2 − y1 . a1 − a2. No ponto de intersecça˜ o na Figura 2.2, u = u0 (y1 ) = u1 e, também, u = u0 (y2 ) = u2 , que e´ uma impossibilidade, pois u1 > u2 . Logo, se o valor inicial u0 não for uma funça˜ o crescente de x, tanto a forma geométrica quanto a anal´ıtica não garantem existência de u (x, t) cont´ınua, ∀t > 0, com valor inicial u0 que seja soluça˜ o de (2.2). Se voltarmos o estudo a experimentos com fluidos compress´ıveis poderemos responder o que acontece depois que a soluça˜ o cont´ınua pára de existir. Esses experimentos mostram claramente o aparecimento de soluço˜ es descont´ınuas. Vejamos o caso mais simples, o qual satisfaz ut +fx = 0, em cada lado de uma curva suave x = y (t) através da qual u e´ descont´ınua. Denotamos por ul e ur os valores de u a` esquerda e a` direita de x = y (t), respectivamente. Escolhemos a e b tal que a curva intersecte o intervalo a 6 x 6 b em t (Figura 2.3). 14.

(23) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann. t ul t. ur y. a. b. x = y(t). x. Figura 2.3: Descontinuidade.. Denotamos por I (t) a quantidade I (t) =. Z. b. u (x, t) dx =. a. Z. y(t). u (x, t) dx. +. a. Z. b. u (x, t) dx ,. y(t). chamamos de F (x, t) a funça˜ o primitiva de u (x, t). Então, Z y(t) Z b ∂F (x, t) ∂F (x, t) I (t) = dx + dx ∂x ∂x a y(t) = F (y (t) , t) − F (a, t) + F (b, t) − F (y (t) , t) e dI (t) = Fx (y (t) , t) y˙ + Ft (y (t) , t) − Ft (a, t) dt + Ft (b, t) − Fx (y (t) , t) y˙ − Ft (y (t) , t) = ul y˙ +. Z. y(t). ut (x, t) dx +. a. Z. b. ut (x, t) dx − ur y˙ .. y(t). Como ut + fx = 0, temos ut = −fx e substituindo: dI (t) = ul y˙ − ur y˙ − f (ul ) + f (u (a)) − f (u (b)) + f (ur ) . dt 15.

(24) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann Denotando por y˙ = s a velocidade de propagaça˜ o da descontinuidade, temos dI (t) = f (u (a)) − f (ul ) + ul s − f (u (b)) + f (ur ) − ur s. dt Combinando este resultado com a lei de conservaça˜ o, onde dI (t) = dt. Z. definimos a condiça˜ o-salto. b a.

(25) b

(26) ut dx = −f

(27) = f (u (a)) − f (u (b)), a. −f (ul ) + ul s + f (ur ) − ur s = 0 s (ul − ur ) = f (ul ) − f (ur ) s [u] = [f ] ,. (2.6). em que [u] e [f ] denotam o salto de u e f através de y. Essa relaça˜ o e´ também conhecida como condiça˜ o de Rankine-Hugoniot. Chamamos as descontinuidades do tipo salto que se propagam com velocidade “s” e separam dois estados ul e ur por choque. Vamos exemplificar a resoluça˜ o de um problema de Cauchy onde descontinuidades aparecem. 1 Exemplo 2.1. Tome f (u) = u2 e 2   1, 1 − x, u0 (x) =  0,. para x 6 0 para 0 6 x 6 1 para x > 1. Observe que para t ≤ 1 a soluça˜ o geométrica, Figura 2.4, e´ u´ nica.. 16.

(28) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann t. 1. 0. 1. x. Figura 2.4: Soluça˜ o geométrica com multiplicidade. O mesmo não acontece para t ≥ 1, onde definimos. u (x, t) =.  (1 + t)     1, se x < 2. ..     0, se x > (1 + t) 2. A descontinuidade separa o estado a` esquerda ul = 1 do estado a` direita ur = 0 e satisfazendo a condiça˜ o-salto (2.6) para a f (u) deste exemplo, temos s [u] = [f ] s =. f (ur ) − f (ul ) ur − ul. s =. −1/2 1 = . −1 2. Temos outro exemplo onde introduzindo soluço˜ es generalizadas e´ poss´ıvel resolver um problema de Cauchy que não poderia ser solucionado com a classe de soluço˜ es cont´ınuas. Porém, deve-se tomar cuidado para que a classe de soluço˜ es não seja tão grande ao ponto que exista multiplicidade de soluço˜ es generalizadas para o mesmo problema. 1 Exemplo 2.2. Tome f (u) = u2 e 2 17.

(29) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann. u0 (x) =. . 0, 1,. para x < 0 para x > 0. Observe na Figura 2.5 a soluça˜ o geométrica.. t. (x, t). x. 0. Figura 2.5: Soluça˜ o geométrica.. Como essa soluça˜ o não está determinada na cunha 0 < x < t, definimos então,. u (x, t) =.     0,    1,. se x <. t 2. t se x > 2. ,. (2.7). onde a velocidade de propagaça˜ o da descontinuidade será s=. 1/2 − 0 1 [f ] = = . [u] 1 2. Porém, u(x, t) =. x , se 0 6 x 6 t , t. (2.8). também satisfaz ut + a(u)ux = 0 e, além disso, preenche o espaço vazio da soluça˜ o geométrica acima. Mas devemos rejeitar a soluça˜ o (2.7) acima por não satisfazer o seguinte critério introduzido por Lax, [11]: 18.

(30) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann as caracter´ısticas começando em qualquer lado da curva de descontinuidade, quando estendidas na direça˜ o positiva de t, cruzam a linha de descontinuidade. Este e´ o caso se a(ul ) > s > a(ur ).. (2.9). A relaça˜ o (2.9) e´ chamada de condiça˜ o de entropia de Lax. Quando a(u) > 0, tem-se ul > ur , que não acontece para a soluça˜ o (2.7). A condiça˜ o de entropia deixa cada ponto da descontinuidade ser alcançado por caracter´ısticas em ambos os lados, de tal forma que o choque e´ influenciado pelos valores iniciais da soluça˜ o.. 2.2 Soluço˜ es Fracas Esta seça˜ o trata do conceito de soluça˜ o generalizada para leis de conservaça˜ o. Definiça˜ o 2.1. Uma funça˜ o limitada e mensurável u (x, t) e´ chamada soluça˜ o fraca do problema de valor inicial . ut + f (u)x = 0 , u (x, 0) = u0. (2.10). com valor inicial u0 limitado e mensurável, quando vale a relaça˜ o ZZ. (uφt + f (u) φx ) dxdt + t>0. Z. u0 φ dx = 0,. (2.11). t=0. para toda φ ∈ C01 (conjunto das funço˜ es de classe C 1 com suporte compacto em t > 0). Daremos uma justificativa para a definiça˜ o acima, obtendo a relaça˜ o (2.11). Vamos supor, por um momento, que u e´ uma soluça˜ o clássica do problema de valor inicial citado na definiça˜ o. Sendo C01 a classe de funço˜ es φ ∈ C 1 tal como na definiça˜ o anterior, isto e´ , (supp φ) ∩ (t > 0) ⊆ D, onde supp φ denota o suporte de φ e D e´ o retângulo 0 6 t 6 T , a 6 x 6 b, escolhido de forma que φ = 0 fora de D e nas linhas t = T , x = a, x = b. 19.

(31) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann Multiplicando ut + f (u)x = 0 por φ e integrando sobre t > 0 obtemos ZZ ZZ. D. (ut + f (u)x ) φ dxdt =. t>0. Z bZ. T. Z bZ. T. Z b

(32) T Z

(33) ut φ dtdx = uφ

(34) −. T. (ut + f (u)x ) φ dxdt =. ⇔. Z bZ. T. ut φ dtdx +. a 0. a 0. a 0. (ut + f (u)x ) φ dtdx = 0. f (u)x φ dtdx = 0.. Integrando por partes tem-se. Z bZ. a 0. T. 0. a. =. 0. uφt dt dx. b. Z. [u (x, T ) φ (x, T ) − u (x, 0) φ (x, 0)] dx−. a. −. Z bZ. T. uφt dtdx. a 0. Z. b. T. f (u)x φ dtdx =. Z. T. =. Z. =. −u0 (x) φ (x, 0) dx −. Z bZ. T. uφt dtdx. a 0. a. e. Z bZ. a 0. T. . 0.

(35) b Z b

(36) f (u) φx dx dt = f (u) φ

(37) − a. a. [f (u (b, t)) φ (b, t) − f (u (a, t)) φ (a, t)] dt−. 0. −. Z TZ 0. =−. b. f (u) φx dxdt =. a. Z TZ 0. b. f (u) φx dxdt. a. 20.

(38) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann Portanto, Z. b. −u0 (x) φ (x, 0) dx −. Z bZ. T. uφt dtdx −. a 0. a. ⇔. Z bZ. Z TZ 0. T. (uφt + f (u) φx ) dxdt +. a 0. Z. b. f (u) φx dxdt = 0. a. u0 φ dx = 0.. t=0. Mostramos, assim, que se u e´ uma soluça˜ o clássica de (2.10), então (2.11) vale para toda φ ∈ C01 . Além disso, a condiça˜ o (2.11) faz sentido se tivermos u e u0 limitadas e mensuráveis. Com isso e os resultados da seça˜ o precedente temos que a funça˜ o descont´ınua   u , para x < st l u(x, t) = ,  u , para x > st r. com s ∈ R, e´ um choque (soluça˜ o fraca) de (2.10) se, e somente se, satisfaz a condiça˜ o de Rankine-Hugoniot: s [u] = [f ] , onde s e´ a velocidade de propagaça˜ o da descontinuidade. E´ bom salientar que todas as definiço˜ es e conceitos apresentados anteriormente nestas seço˜ es são análogos para sistemas de leis de conservaça˜ o que serão vistos adiante.. 2.3 Noço˜ es básicas sobre o problema de Riemann Nesta seça˜ o, trabalharemos com o problema de Riemann, definido como um caso particular de um problema de Cauchy para o sistema 2 × 2 de leis de conservaça˜ o Ut + F (U)x = 0 , 21. (2.12).

(39) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann com U = U(x, t) ∈ R2 , F : R2 −→ R2 , −∞ < x < ∞ e t > 0; e sujeito a` condiça˜ o inicial   U , para x < 0 L U(x, 0) = ,  U , para x > 0 R. (2.13). onde, UL , UR ∈ R2 , são constantes.. A funça˜ o F e´ chamada funça˜ o de fluxo e deve ser, pelo menos, de classe C 2 . Os pontos do dom´ınio da F são chamados estados, o conjunto dos estados e´ chamado espaço de estados e o plano (x, t) e´ chamado espaço f´ısico. Determinar geometricamente uma soluça˜ o para o problema de Riemann e´ , de certa forma, fazer uma conexão entre os estados constantes UL e UR . Essa conexão deverá obedecer a certas condiço˜ es que veremos mais adiante. O sistema (2.12) e´ dito hiperbólico se os autovalores λi (U), i = 1, 2, da matriz jacobiana de F , denotada por DF (U), forem reais e λ1 ≤ λ2 , ∀ U ∈ R2 . O mesmo sistema e´ chamado estritamente hiperbólico em U se os autovalores são reais e λ1 (U) 6= λ2 (U). Estados U onde λ1 (U) = λ2 (U), com DF (U) = λI, são chamados pontos umb´ılicos. Uma funça˜ o U(x, t) e´ uma soluça˜ o fraca de (2.12) - (2.13), analogamente ao caso escalar visto anteriormente, se U e F são funço˜ es integráveis em todo conjunto compacto do semi-plano t≥0e Z. 0. ∞. Z. ∞. [φt (x, t)U(x, t) + φx (x, t)F (U(x, t))] dxdt +. −∞. Z. ∞. φ(x, 0)U(x, 0) dx = 0 −∞. e´ satisfeita para toda funça˜ o teste suave φ de suporte compacto em t ≥ 0. Observe que se U(x, t) e´ soluça˜ o do sistema (2.12)-(2.13), então U(ax, at), para a > 0, x ˜ . Então, com também o e´ . Assim, faz sentido procurarmos soluço˜ es da forma U(x, t) = U t x a mudança de variáveis ξ = , em (2.12), e supondo U suave, temos t −U˜ (ξ) 0. x 1 ˜0 ˜ + dF ( U(ξ)) U (ξ) = t2 t 22.

(40) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann h i 0 ˜ DF (U(ξ)) − ξI U˜ (ξ) = 0 ,. (2.14). 0 onde U˜ (ξ) denota a derivada de U˜ em relaça˜ o a` variável ξ e I denota a matriz identidade.. ˜ De (2.14) tem-se que U˜ (ξ) e´ autovetor a` direita de DF (U(ξ)) associado ao autovalor 0. λ = ξ, o que implica que as soluço˜ es suaves do problema de Riemann estão sobre as curvas integrais desses autovetores, logo satisfazem: dU˜ (ξ) = ri (U˜ (ξ)) , dξ onde ri (U˜ (ξ)) denota o autovetor associado a` velocidade caracter´ıstica λi , i = 1, 2. Dizemos que o estado UR e´ conectável a UL por uma i-rarefaça˜ o (ou onda de rarefaça˜ o associada a` fam´ılia i) (i=1 ou 2), se esses estados estão na curva integral do autovetor ri (U˜ (ξ)) e λi (U) cresce no sentido de UL para UR . Assim, uma i-curva de rarefaça˜ o (i=1 ou 2) por UL e´ o conjunto de estados U que podem ser conectados a UL por uma i-rarefaça˜ o. Fazer a exigência de que λi (U) cresce no sentido de UL para UR quer dizer que, no x espaço f´ısico (x, t), a inclinaça˜ o deve ser estritamente crescente da esquerda para a direita, de t forma que as i-caracter´ısticas formam um leque de retas, passando pela origem, com inclinaço˜ es crescendo de λi (UL ) a λi (UR ) (Figura 2.6).. Continuando ainda com mais definiço˜ es, dizemos que o sistema (2.12) e´ genuinamente não-linear se a i-ésima velocidade caracter´ıstica e´ uma funça˜ o estritamente monótona sobre a curva integral do campo de vetores associado, ou seja, se o produto interno ∇λi (U) · ri (U) 6= 0, ∀ U ∈ Ω ⊂ R2 , para todo campo de vetores da DF (U). Com isso, caracterizamos as soluço˜ es cont´ınuas do problema de Riemann. Vamos, agora, caracterizar as descontinuidades. Analogamente a seça˜ o 2.1 deste cap´ıtulo, definimos por choque as descontinuidades do 23.

(41) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann. t. UL 0. UR. x. Figura 2.6: Rarefaça˜ o no espaço f´ısico. tipo salto que se propagam com velocidade “s” e separam dois estados UL e UR . E para sistemas 2 × 2, como apresentado no in´ıcio desta seça˜ o, a funça˜ o descont´ınua   U , para x < st L U(x, t) =  U , para x > st R. ,. com s ∈ R, e´ um choque (soluça˜ o fraca) do sistema (2.12)-(2.13) se, e somente se, satisfaz a equaça˜ o de Rankine-Hugoniot: H(UL , s, UR ) = F (UR ) − F (UL ) − s(UR − UL ) = 0 ,. (2.15). onde s e´ a velocidade de propagaça˜ o da descontinuidade. Com UL fixo, a relaça˜ o de Rankine-Hugoniot representa um sistema de 2 equaço˜ es e 3 incógnitas, o que tem como soluça˜ o a equaça˜ o de uma curva em R3 , chamada curva de choque ou curva de Hugoniot. Na abordagem clássica de problemas de Riemann consideramos a projeça˜ o desta curva no espaço de estados. Os choques e rarefaço˜ es usados na construça˜ o da soluça˜ o de um problema de Riemann são chamados ondas elementares. Uma soluça˜ o do problema de Riemann para o sistema (2.12)-(2.13) e´ constitu´ıda de uma sequência de ondas elementares intercaladas por estados constantes conectando UL a UR e com 24.

(42) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann velocidade crescente no espaço (x, t). Definimos ainda grupo de ondas como uma sequência de ondas elementares conectando UL a UR sem estados constantes separando as ondas. Uma i-curva de onda (i=1 ou 2) por um estado UL e´ o conjunto de estados U que podem ser conectados a` direita de UL por um grupo de ondas da i-fam´ılia caracter´ıstica (i=1 ou 2). Na construça˜ o de uma soluça˜ o para o problema de Riemann, a primeira condiça˜ o que a conexão UL − UR deve obedecer, chamada condiça˜ o de compatibilidade, e´ que a velocidade final de cada onda usada deve ser menor que a velocidade inicial da onda seguinte. A condiça˜ o de compatibilidade faz com que conjuntos de estados onde a velocidade caracter´ıstica e´ cr´ıtica tornem-se importantes, pois a soluça˜ o de problemas de Riemann podem sofrer alteraço˜ es quando UL cruza algum desses conjuntos. Esses conjuntos são definidos como conjuntos de bifurcaça˜ o. Além da condiça˜ o de compatibilidade, surgem, também, os critérios de entropia, os quais explicaremos a seguir.. 2.4 Critérios de entropia As condiço˜ es de entropia surgiram do fato de que o problema estudado tem interesse real, ou seja, por acontecerem fenômenos naturais que são modelados por esse problema. Com isso, espera-se unicidade de soluça˜ o e como soluço˜ es múltiplas do problema de Riemann são originadas pelos choques, utiliza-se essas condiço˜ es a fim de que apenas soluço˜ es u´ nicas e fisicamente relevantes sejam selecionadas. • Critério de entropia de Lax Em [11], Lax introduziu um critério de entropia para sistemas estritamente hiperbólicos e genuinamente não-lineares. Segundo ele, um choque admiss´ıvel associado a` i-ésima fam´ılia 25.

(43) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann caracter´ıstica, e´ uma descontinuidade entre os estados UL e UR , que se propaga com velocidade s, e satisfaz λi (UR ) < s < λi (UL ) , λi−1 (UL ) < s < λi+1 (UR ). Um choque satisfazendo λ1 (UL ) > s > λ1 (UR ) e λ2 (UR ) > s e´ chamado 1-choque de Lax denotado por S1 e um satisfazendo λ2 (UL ) > s > λ2 (UR ) e λ1 (UL ) < s e´ um 2-choque de Lax denotado por S2 . Para sistemas que não são estritamente hiperbólicos o critério de Lax e´ insuficiente para garantir existência de soluça˜ o. Por isto outros tipos de choque são considerados, dentre os quais destacamos os choques de cruzamento que satisfazem λ1 (UL ) < s < λ2 (UL ) ,. (2.16). λ1 (UR ) < s < λ2 (UR ) . Um critério de entropia mais geral que o de Lax e´ o chamado critério de viscosidade. • Critério de entropia de viscosidade Introduzido por Gel’Fand em [6] e Courant e Friedrichs em [5], este critério considera admiss´ıveis choques que são limites de ondas viajantes de um sistema parabólico associado, obtido com o acréscimo de um pequeno termo difusivo no sistema (2.12), ou seja, Ut + (F (U))x = [D(U)Ux ]x ,. (2.17). com > 0, onde D(U) e´ uma matriz cujos autovalores têm parte real positiva e e´ chamada matriz de viscosidade. As descontinuidades que são limites, quando → 0+ , de soluço˜ es suaves de (2.17) da x − st ˜ , satisfazendo U˜ (−∞) = UL e U˜ (+∞) = UR são chamadas forma U(x, t) = U ondas viajantes com velocidade s. 26.

(44) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann ˜ em (2.17), temos Substituindo U s 1 1 ˜0 1 0 0 00 0 0 0 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ −U (ξ) + F (U(ξ))U (ξ) = D (U (ξ))U (ξ) 2 U (ξ) + D(U(ξ))U (ξ) 2 0 0 ˜ ˜ 0 (ξ)]0 . −sU˜ (ξ) + F (U(ξ)) = [D(U˜ (ξ))U. Integrando com relaça˜ o a` ξ, ˜ ˜ ˜ 0 (ξ)] + C. −sU˜ (ξ) + F (U(ξ)) = [D(U(ξ)) U. Como UL e´ soluça˜ o, −sUL + F (UL ) = C. Portanto, obtemos o sistema dinâmico h i dU ˜ ˜ ˜ ˜ , D (U) −s[U − UL ] + F (U ) − F (UL ) = dξ −1. (2.18). que depende dos parâmetros ul , vl e s, onde UL e UR são singularidades que estão sobre uma curva de Hugoniot. Assim, um choque e´ admiss´ıvel segundo o critério de viscosidade se existir uma o´ rbita do sistema dinâmico (2.18) conectando UL e UR e tal que ˜ lim U(ξ) = UL. ξ→−∞. e lim U˜ (ξ) = UR .. ξ→+∞. Choques satisfazendo a condiça˜ o de viscosidade são ditos admiss´ıveis ou com perfil viscoso. Omitiremos, por simplicidade, a` partir deste ponto do trabalho o “ ˜ ” da notaça˜ o acima. 27.

(45) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann. 2.5 Classificaça˜ o dos pontos cr´ıticos Para o sistema dinâmico (2.18), um ponto cr´ıtico e´ , como já foi dito, um estado Uc que satisfaz a relaça˜ o de Rankine-Hugoniot para UL e s fixados. O comportamento das soluço˜ es na vizinhança de um ponto cr´ıtico Uc e´ refletido nas caracter´ısticas qualitativas das soluço˜ es da linearizaça˜ o de (2.18) em torno de Uc : 0. [−s + DF (Uc )](U − Uc ) = D(Uc )U .. Considerando o caso onde D(Uc ) e´ a matriz identidade e denotando dH = −sI + DF (U), onde H = −s[U − UL ] + F (U) − F (UL ), temos que ˜ dU =H. dξ. (2.19). Assim, os autovalores de dH são dados por µi (Uc ) = λi (Uc ) − s , onde λi (Uc ) são os autovalores de DF (Uc ). Neste caso, um 1-choque de Lax deve satisfazer µ1 (UL ) = λ1 (UL ) − s > 0, µ2 (UL ) = λ2 (UL ) − s > 0, µ1 (UR ) = λ1 (UR ) − s < 0 e µ2 (UR ) = λ2 (UR ) − s > 0. As duas primeiras desigualdades implicam que UL e´ um nó repulsor de (2.19), enquanto as duas u´ ltimas implicam que UR e´ uma sela de (2.19). Analogamente, um 2-choque de Lax deve satisfazer µ1 (UL ) = λ1 (UL ) − s < 0 , µ2 (UL ) = λ2 (UL ) − s > 0 , µ1 (UR ) = λ1 (UR ) − s < 0 e µ2 (UR ) = λ2 (UR ) − s < 0. Neste caso, as duas primeiras desigualdades nos dá que UL e´ uma sela enquanto as outras desigualdades implicam que UR e´ um nó atrator de (2.19). Assim, vemos que um choque de 28.

(46) Cap´ıtulo 2. O problema de Riemann Lax que satisfaz o critério de viscosidade (S1 ou S2 ) está associado a uma ligaça˜ o entre uma sela e um nó. No caso de uma descontinuidade de cruzamento, que satisfaz (2.16), temos µ1 (UL ) = λ1 (UL ) −s < 0 , µ2 (UL ) = λ2 (UL ) −s > 0, µ1 (UR ) = λ1 (UR ) −s < 0 e µ2 (UR ) = λ2 (UR ) − s > 0. Ou seja, um choque de cruzamento (UL , s, UR ) satisfaz o critério de viscosidade se existir uma o´ rbita conectando as selas UL e UR . Choques de cruzamento admiss´ıveis são chamados choques transicionais. No caso em que D(Uc ) não e´ múltiplo da identidade, o sinal de λi (Uc ) − s nem sempre determina a natureza do ponto cr´ıtico Uc .. 29.

(47) ´ CAPITULO 3 A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o. Neste cap´ıtulo, faremos um estudo do comportamento local da soluça˜ o de um problema de Riemann para um sistema hiperbólico através de uma análise em torno do ponto umb´ılico. Schaeffer e Shearer, em [14], mostraram em detalhes que existe uma forma normal para o sistema de leis de conservaça˜ o. Aqui, daremos uma idéia do que foi feito por eles.. 3.1 Alguns resultados para modelos quadráticos Nesta seça˜ o faremos um estudo do sistema 2 × 2 de leis de conservaça˜ o Ut + F (U)x = 0 , na vizinhança de um ponto umb´ılico, U = U ∗ , onde U e F são dados como no cap´ıtulo anterior. Para isso, consideramos a série de Taylor para F (U) em torno de U ∗ : F (U) = F (U ∗ ) + dF (U ∗ )(U − U ∗ ) + Q(U − U ∗ ) + r , 30. (3.1).

(48) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o onde r representa o resto e Q : R2 → R2 e´ uma aplicaça˜ o quadrática homogênea. Denotamos a série truncada por FT (U) : FT (U) = F (U ∗ ) + dF (U ∗ )(U − U ∗ ) + Q(U − U ∗ ) .. Neste trabalho, estamos interessados em modelos que satisfazem as hipóteses ´ HIPOTESES (H): (H1) dF (U ∗ ) e´ diagonalizável; (H2) dFT (U) tem autovalores distintos ∀U ∈ V − {U ∗ }, onde V e´ uma vizinhança de U ∗ . As proposiço˜ es abaixo são u´ teis no estudo de modelos que satisfazem (H1) e (H2). Antes de enunciá-las, vamos introduzir a aplicaça˜ o dev : Λ −→ Γ que associa a cada matriz do espaço das matrizes (reais) 2 × 2, denotado por Λ, uma matriz do espaço das matrizes sem traço (tr = 0), denotado por Γ, que podemos escrever nas coordenadas  . X. Y +Z. Y −Z. −X. . .. (3.2). Consideramos então, M uma matriz (real) 2 × 2 e 1 dev M = M − (trM)I , 2 a projeça˜ o de M no espaço das matrizes sem traço. Assim, por dependerem de apenas três coordenadas, essas matrizes dev M podem ser vistas como pontos em R3 . Proposiça˜ o 3.1. M tem autovalores iguais e e´ diagonalizável se, e somente se, dev M = 0. Demonstraça˜ o. Se M tem autovalores iguais e e´ diagonalizável, então existe uma base β de autovetores de M tal que [M]β e´ diagonal e a diagonal e´ formada pelos autovalores correspon 1 α 0 α 0 1 0 dentes, então, suponha M = . Assim, dev M = − 2α = 0. 0 α 0 α 0 1 2 31.

(49) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o. Agora, se M =. . α β γ θ. . , com dev M = 0, então. 1 M = (trM)I ⇐⇒ M = 2. . 1 (α 2. + θ) 0. 0 1 (α + θ) 2. . ,. o que prova a afirmaça˜ o. Proposiça˜ o 3.2. M tem autovalores reais distintos, reais iguais ou complexos conjugados, se dev M está fora, sobre, ou dentro do cone X 2 + Y 2 = Z 2 , respectivamente.. Demonstraça˜ o. Seja M =. . . e, denotando a − d = X,. (a − d)/2 b c −(a − d)/2. . a b , c d. uma. matriz. genérica. b=. Y +Z , 2. Assim, c=. dev M =. Y −Z , temos a 2. forma (3.2). Então, calculando os autovalores de M e pensando nessas matrizes dev M como pontos em R3 , temos det(M − λI) = λ2 − (a + d)λ + ad − bc = 0 . E o discriminante ∆ = (a − d)2 + 4bc . Logo, (Y + Z) (Y − Z) > 0 ⇔ X 2 + Y 2 > Z 2 , ou 2 2 seja, se M tem autovalores reais e distintos, então dev M está fora do cone,. • ∆ > 0 ⇔ (a − d)2 + 4bc > 0 ⇔ X 2 + 4. • ∆ = 0 ⇔ (a − d)2 + 4bc = 0 ⇔ X 2 + Y 2 = Z 2 , ou seja, se M tem autovalores reais e iguais, então dev M está sobre o cone, • ∆ < 0 ⇔ (a−d)2 +4bc < 0 ⇔ X 2 +Y 2 < Z 2 , ou seja, se M tem autovalores complexos conjugados, então dev M está dentro do cone. 32.

(50) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o. Podemos, agora, fazer uma interpretaça˜ o das hipóteses (H) usando as notaço˜ es introduzidas acima. Considere uma funça˜ o de fluxo F satisfazendo (H) e a aplicaça˜ o dev dF : plano -U −→ Γ. .. (u, v) 7−→ {dev dF }. Esta aplicaça˜ o define uma superf´ıcie em R3 , denotada por {dev dF }, já que podemos associar uma matriz sem traço a pontos de R3 como já vimos anteriormente. Sendo U ∗ um ponto umb´ılico, a condiça˜ o (H1) implica que U ∗ e´ levado pela aplicaça˜ o dev dF na origem (no vértice do cone X 2 + Y 2 = Z 2 ). Esta e´ uma implicaça˜ o direta da proposiça˜ o 3.1. Para DF estritamente hiperbólica em uma vizinhança V ∗ = V −{U ∗ }, de U ∗ , a imagem de V ∗ por dev dF deve estar fora do cone, de acordo com a proposiça˜ o 3.2. Supondo que esta superf´ıcie {dev dF } e´ não-singular em U ∗ (diferencial injetiva), seguese que o plano tangente está fora da região fechada {X 2 + Y 2 ≥ Z 2 }, ou seja, temos a seguinte proposiça˜ o: Proposiça˜ o 3.3. A condiça˜ o (H2) de (H) e´ satisfeita se, e somente se, a superf´ıcie {dev dF } e´ não-singular em U ∗ e, exceto para U ∗ , o plano tangente está na região aberta {X 2 + Y 2 > Z 2 }. Demonstraça˜ o. Note que dev dFT , onde FT e´ o polinômio de Taylor de grau 2 truncado, e´ uma aplicaça˜ o linear a qual define um plano tangente a {dev dF }. Essa aplicaça˜ o deve ser nãosingular (injetiva), pois caso seu núcleo fosse diferente de zero, dFT teria autovalores iguais neste subespaço, violando, portanto, a condiça˜ o (H2). Agora, (H2) requer que uma vizinhança furada de U ∗ no plano tangente esteja na região aberta {X 2 + Y 2 > Z 2 }, pela proposiça˜ o 3.2. Por homogeneidade pode-se estender essa conclusão para o plano tangente inteiro. Observaço˜ es 3.4. A Figura 3.1 apresenta quatro configuraço˜ es para a superf´ıcie {dev dF }. A Figura 3.1(a) mostra essa superf´ıcie intersectando o cone X 2 + Y 2 = Z 2 da maneira requerida 33.

(51) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o pelas hipóteses (H). Em contraste, a Figura 3.1(b) mostra o caso em que a condiça˜ o (H1) falha, porém (H2) não, ou seja, {dev dF } e´ não-singular. Ainda contrastando com a Figura 3.1(a), a Figura 3.1(c) mostra o caso em que o ponto umb´ılico e´ levado na origem, ou seja, (H1) e´ satisfeita, mas (H2) não. Já a Figura 3.1(d) difere da Figura 3.1(a) somente pela inclinaça˜ o da superf´ıcie {dev dF }. Neste caso existe uma reta de pontos umb´ılicos.. Z. Z. Y {devDF }. 0. Y. {devDF } 0. X. X. (a). (b). Z. Z. Y. Y 0. {devDF }. {devDF }. 0. X. X. (c). (d). Figura 3.1: Configuraço˜ es da superf´ıcie {dev dF }.. Escreveremos estas informaço˜ es nas coordenadas u e v, para prosseguir nosso estudo. 34.

(52) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o Se U = (u, v) e F = (f, g), então a condiça˜ o (H1) de (H) implica que, em U ∗ , fu −gv =     fu fv λ 0 =  = λI = dF (U). fv = gu = 0, pois dF (U) =  gu gv 0 λ Com respeito a` (H2) existe um polinômio quártico homogêneo na segunda derivada de F no ponto umb´ılico, p(Q), tal que p(Q) e´ positivo se, e somente se, (H2) e´ satisfeita. De fato, seja n = (n1 , n2 , n3 ) a normal ao plano tangente de {dev dFT }. Devido a` Proposiça˜ o 3.3, basta mostrar que o plano tangente está fora do cone. Isto acontece se, e somente se, a normal está dentro do cone, isto e´ , se, e só se, n1 2 + n2 2 < n3 2 . Mas,   1 1 2 2 f u + f uv + f v uu uv 2 vv , onde todas as derivadas segundas são avaliadas no Q(u, v) =  2 1 1 2 2 g u + guv uv + 2 gvv v 2 uu. ponto umb´ılico.. Com os vetores do plano tangente de {dev dFT }, tu = (fuu − guv , fuv + guu , fuv − guu ) e tv = (fuv − gvv , fvv + guv , fvv − guv ), calculamos o vetor normal n = tu × tv e obtemos, assim, p(Q) = n3 2 − n1 2 − n2 2 , que e´ o . polinômio desejado. Podemos resumir essas informaço˜ es no lema seguinte.. Lema 3.5. F satisfaz as hipóteses (H) se, e somente se, existe um ponto U ∗ onde fu − gv = fv = gu = 0 e onde p(Q) > 0. Faremos agora reduço˜ es em (3.1) e introduziremos algumas definiço˜ es e lemas a fim de mostrar que existe uma forma normal para o sistema de leis de conservaça˜ o. Primeiro, podemos assumir que a expansão (3.1) começa com termos lineares, já que o sistema de leis de conservaça˜ o não muda se trocarmos F (U) por F (U) − F (U ∗ ). A seguir, 35.

(53) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o como dF (U ∗ ) e´ diagonalizável, temos dF (U ∗ ) = λI, para algum λ ∈ R; por fim, a mudança 0. de variáveis x = x − λt elimina os termos lineares e tomando U ∗ como a origem (renomeamos U − U ∗ como U), obtendo F (U) = Q(U) + r . Assim nosso foco, a` partir de agora, será sobre não-linearidades puramente quadráticas Ut + Q(U)x = 0.. (3.3). Para o caso em que consideramos os termos de ordem mais alta, r, contanto que Q satisfaça algumas hipóteses, o teorema 2.4 de [14] garante que existe uma correspondência biun´ıvoca entre as curvas de onda de F através do ponto umb´ılico com as curvas de ondas de Q através deste mesmo ponto. Mais ainda, toda tal curva de onda de F e´ tangente, no ponto umb´ılico, a` curva de onda de Q (cf. demonstraça˜ o em [14]).. 3.2 A forma normal Iremos, nesta seça˜ o, concluir o objetivo principal deste cap´ıtulo mostrando o teorema que nos dá condiço˜ es para que a funça˜ o de fluxo seja gradiente. Duas aplicaço˜ es quadráticas Q1 : R2 → R2 e Q2 : R2 → R2 são equivalentes se existe uma matriz constante invert´ıvel S tal que Q2 (U) = S −1 Q1 (SU), ∀U em R2 .. Se Q(U) = dC(U) para C : R2 → R polinômio cúbico homogêneo, então C e´ chamado de potencial. E Q : R2 → R2 e´ fortemente hiperbólico se dQ(u, v) tem autovalores reais e e´ diagonalizável para todo (u, v). 36.

(54) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o O estudo da aplicaça˜ o dev e´ u´ til nas demostraço˜ es (que podem ser encontradas em [14]) das duas observaço˜ es seguintes. Assumiremos estas observaço˜ es como resultados e as utilizaremos na demonstraça˜ o do próximo teorema deste cap´ıtulo. Observaça˜ o 3.6. Equivalência preserva a estrutura de curvas de onda. Isto e´ , a aplicaça˜ o U → S −1 U associa curvas de onda a curvas de onda. Observaça˜ o 3.7. Q e´ fortemente hiperbólico se, e somente se, existe uma aplicaça˜ o cúbica homogênea C : R2 → R tal que Q e´ equivalente a` dC. ˜ Lema 3.8. Seja Q : R2 → R2 uma aplicaça˜ o quadrática com potencial C(U) e seja Q(U) = ˜ S −1 Q(SU). Se S = αI, para algum escalar α 6= 0, ou se S e´ uma matriz ortogonal, então Q ˜ tem o potencial C(U) ˜ ˜ também tem um potencial, especificadamente Q = αC(U) ou C(U) = C(SU), respectivamente.. ˜ e´ simétrica, portanto Demonstraça˜ o. Como Q tem um potencial, então dQ e´ simétrica, logo dQ ˜ tem um potencial. Se S = αI, então Q(SU) = α2 Q(U) e temos Q ˜ = 1 α2 Q(U) = α dC. Q α ˜ e´ C˜ = αC(U). Agora, se S e´ ortogonal, temos Q ˜ = S −1 Q(SU) = Assim, o potencial de Q S T Q(SU) = S T dC(SU) = SdC(SU), mas dC˜ = d(C(SU)) = SdC(SU), o que prova o lema. Teorema 3.1. Se Q : R2 → R2 e´ uma aplicaça˜ o quadrática tal que (3.3) e´ hiperbólico com um ponto umb´ılico isolado em U = 0, então existem a, b com a 6= 1 + b2 tal que Q e´ equivalente a` dC, onde 1 C(u, v) = au3 + bu2 v + uv 2 . 3. (3.4). Demonstraça˜ o. Como (3.3) e´ hiperbólico com um ponto umb´ılico isolado, Q e´ fortemente hiperbólico e, pela Observaça˜ o 3.7, podemos trocar Q por uma aplicaça˜ o equivalente que tem potencial C, polinômio cúbico, que denotaremos em sua forma geral por C(x, y) = αx3 + βx2 y + γxy 2 + δy 3. 37.

(55) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o Dividindo C(x, y) por y 3 temos 2 3 x x x C1 (x, y) = α +β +γ + δ. y y y Agora, . (x, y) ∈ R2 : C1 (x, y) = 0. (3.5). consiste de uma, duas ou três retas através da origem no plano-xy. Considere, primeiro, o caso em que pelo menos uma das retas e´ obtida de um zero simples de C1 (x, y) = 0. Pelo Lema 3.8 podemos rotacionar as coordenadas de forma que esta reta de zero simples seja o eixo-y (ou seja, δ = 0), então, C(x, y) = αx3 + βx2 y + γxy 2 . Mais ainda, pelo Lema 3.8, podemos reescalar Q de forma que o coeficiente γ seja igual a 1, já que este deve ser diferente de zero pois o eixo-y e´ uma reta de zero simples. Assim, convenientemente, temos a forma normal (3.4). Para que se verifiquem as hipóteses (H) e´ necessário a 6= 1 + b2 . Sempre e´ poss´ıvel essa construça˜ o já que o conjunto (3.5) sempre contém pelo menos uma reta de zero simples. Caso (3.5) possua três zeros coincidentes podemos rotacionar as coordenadas de forma que C(x, y) = αx3 e podemos ver que este potencial viola (H). Com isto fica provado o teorema. Com esse teorema, sendo a origem um ponto umb´ılico isolado, podemos escrever sistemas de duas leis de conservaça˜ o com U = (u, v)T e funça˜ o de fluxo quadrática como um sistema da forma   u + 1 (au2 + 2buv + v 2 ) = 0 t x 2 ,  vt + 21 (bu2 + 2uv)x = 0. onde a 6= 1 + b2 e F T se iguala ao gradiente de um polinômio cúbico, como acima.. 38.

(56) Cap´ıtulo 3. A forma normal do sistema de leis de conservaça˜ o Observaça˜ o 3.9. Schaeffer e Shearer, ainda em [14], estudaram curvas de ondas originando em pontos umb´ılicos e identificaram quatro tipos de problemas que ficaram conhecidos, desde então, por problemas do tipo I, II, III, IV, dependendo das regiões em que se encontram. Eles mostraram que a` medida em que a e b variam, existem quatro configuraço˜ es diferentes para as curvas de ondas através de pontos umb´ılicos, correspondendo as quatro regiões no plano-ab como na Figura 3.2.. b. I. II III. 0. 1. IV. 2. a. Figura 3.2: Regiões no plano-ab.. 39.

(57) ´ CAPITULO 4 Ondas transicionais. Já estudamos em cap´ıtulos precedentes a estrutura das soluço˜ es de problemas de Riemann. Para modelos com duas equaço˜ es, estritamente hiperbólicos e estados iniciais próximos, a soluça˜ o consiste de dois grupos de onda, cada um correspondendo a uma fam´ılia caracter´ıstica [9]. Para modelos mais gerais, a soluça˜ o pode conter ondas transicionais que interpolam (são transiço˜ es) entre as fam´ılias. Neste cap´ıtulo, vamos examinar choques transicionais para modelos quadráticos. Estes choques correspondem a o´ rbitas ligando selas do sistema dinâmico ˙ −s[U(ξ) − U− ] + F (U(ξ)) − F (U− ) = D(U(ξ))U(ξ) , com a funça˜ o de fluxo F quadrática, neste caso, dada por F = (f, g)T , sendo f (u, v) =. 1 (a u2 2 1. + 2b1 uv + c1 v 2 ) + d1 u + e1 v ,. g(u, v) =. 1 (a u2 2 2. + 2b2 uv + c2 v 2 ) + d2 u + e2 v . 40. (4.1).

(58) Cap´ıtulo 4. Ondas transicionais. 4.1 Modelos quadráticos Considerando o sistema de leis de conservaça˜ o 2 × 2 com funça˜ o de fluxo quadrática como dada anteriormente, observamos que a introduça˜ o de uma perturbaça˜ o linear na funça˜ o de fluxo pode fazer com que o modelo falhe em ser estritamente hiperbólico em algum lugar do plano-uv, logo, regiões el´ıpticas, onde as velocidades caracter´ısticas são complexas, ocorrem. Um exemplo onde isto ocorre e´ no modelo de Stone, [3]. Vamos eliminar a velocidade s da condiça˜ o de Rankine-Hugoniot −s[U+ − U− ] + F (U+ ) − F (U− ) = 0 . Com U0 = U− fixo, temos uma u´ nica equaça˜ o para os estados U = U+ na Hugoniot de U0 . Então, −s[U+ − U− ] + F (U+ ) − F (U− ) = 0 . −s . u − u0 v − v0. . . f (u, v) − f (u0, v0 ). +. g(u, v) − g(u0, v0 ). . =0. (4.2). −s(u − u0 ) + f (u, v) − f (u0 , v0 ) = 0 e −s(v − v0 ) + g(u, v) − g(u0, v0 ) = 0.. Com isso, s =. f (u, v) − f (u0 , v0 ) (u − u0 ). e s=. g(u, v) − g(u0 , v0 ) . (v − v0 ). Igualando esses resultados, temos Hu0 ,v0 (u, v) = (u − u0 )[g(u, v) − g(u0, v0 )] − (v − v0 )[f (u, v) − f (u0 , v0 )] = 0. (4.3). De (4.2), temos h. u − u0 v − v0. i. . s. u − u0 v − v0. . =. h. u − u0 v − v0 41. i.  . f (u, v) − f (u0, v0 ) g(u, v) − g(u0, v0 ).  .

(59) Cap´ıtulo 4. Ondas transicionais s[(u − u0 )2 + (v − v0 )2 ] = (u − u0 )[f (u, v) − f (u0 , v0 )] + (v − v0 )[g(u, v) − g(u0, v0 )]. s=. (u − u0 )[f (u, v) − f (u0 , v0 )] + (v − v0 )[g(u, v) − g(u0 , v0 )] . (u − u0 )2 + (v − v0 )2. (4.4). Para modelos quadráticos, a curva de Hugoniot por U0 dada por Hu0 ,v0 (u, v) e´ um polinômio cúbico nas variáveis u e v, a qual podemos parametrizar por coordenadas polares cen  cos(ϕ) , onde trada em U0 por um aˆ ngulo ϕ. Mais precisamente, escrevendo U = U0 + R  sen(ϕ) R ∈ R representa a distância entre U e U0 , ou ainda, u = u0 + Rcos(ϕ) e v = v0 + Rsen(ϕ) em (4.3) e (4.4), temos Hu0 ,v0 (u, v) = R. 2. . 1 R[α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ)] + α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) 2. . (4.5). e 1 ˜ ˜ s = R[˜ α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ)] + α(ϕ)u ˜ ˜ (ϕ) , 0 + β(ϕ)v0 + γ 2. (4.6). respectivamente, onde α(ϕ) =. 1 2. {(a2 + b1 )cos2ϕ + (b2 − a1 )sen2ϕ + a2 − b1 } ,. β(ϕ) =. 1 2. {(b2 + c1 )cos2ϕ + (c2 − b1 )sen2ϕ + b2 − c1 } ,. γ(ϕ) =. 1 2. {(d2 + e1 )cos2ϕ + (e2 − d1 )sen2ϕ + d2 − e1 } ,. α ˜ (ϕ) =. 1 2. {(a1 − b2 )cos2ϕ + (b1 + a2 )sen2ϕ + a1 + b2 } ,. ˜ β(ϕ) =. 1 2. {(b1 − c2 )cos2ϕ + (c1 + b2 )sen2ϕ + b1 + c2 } ,. γ˜ (ϕ) =. 1 2. {(d1 − e2 )cos2ϕ + (e1 + d2 )sen2ϕ + d1 + e2 } .. Um aˆ ngulo ϕ e´ chamado aˆ ngulo caracter´ıstico para um dado estado U0 quando satisfaz α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) = 0. 42. (4.7).

(60) Cap´ıtulo 4. Ondas transicionais O conjunto de estados U0 satisfazendo (4.7) e´ chamado reta caracter´ıstica denotada por ˆ L(ϕ). Angulos que satisfazem α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ) = 0. (4.8). são chamados aˆ ngulos assintóticos. L(ϕ) chama-se reta de bifurcaça˜ o se ϕ e´ assintótico. E´ bom salientar que aˆ ngulos assintóticos e retas de bifurcaça˜ o dependem somente dos coeficientes do modelo e não de U0 . Observe, também, que são válidas as seguintes igualdades. 00. . α(ϕ)cosϕ + β(ϕ)senϕ = (−senϕ, cosϕ)F (0)  . 00 ˜ α ˜ (ϕ)cosϕ + β(ϕ)senϕ = (cosϕ, senϕ)F (0) . cosϕ senϕ. cosϕ senϕ. 2.  ,. (4.9). 2.  .. (4.10). Com elas podemos definir aˆ ngulo de viscosidade como sendo o aˆ ngulo que satisfaz (4.9), porém com a funça˜ o de fluxo dada por D −1 F . A reta caracter´ıstica L(ϕ) associada a um aˆ ngulo de viscosidade e´ chamada reta de viscosidade. Com isso, vale o resultado: Proposiça˜ o 4.1. (a) Suponha que ϕ não e´ aˆ ngulo assintótico. Então a reta por U0 com aˆ ngulo ϕ cruza a Hugoniot de U0 em um estado U 6= U0 se, e somente se, ϕ não e´ um aˆ ngulo caracter´ıstico para U0 . (b) Suponha que ϕ e´ aˆ ngulo assintótico. Então a reta por U0 com aˆ ngulo ϕ cruza a Hugoniot de U0 em um estado U 6= U0 se, e somente se, U0 está sobre a reta de bifurcaça˜ o associada a ϕ. Neste caso, a Hugoniot contém esta reta. Demonstraça˜ o. (a) Se U está na Hugoniot de U0 , então Hu0 ,v0 (u, v) = R. 2. . 1 R[α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ)] + α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) 2 43. . = 0..

(61) Cap´ıtulo 4. Ondas transicionais Mas R 6= 0, pois U 6= U0 e α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ) 6= 0, já que ϕ não e´ assintótico. Então, R = −2. α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) . α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ). Isso implica que α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) 6= 0. Agora, supondo que ϕ não e´ um aˆ ngulo caracter´ıstico para U0 e aˆ ngulo não assintótico, temos que R = −2. α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) 6= 0 , α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ). e´ soluça˜ o de Hu0 ,v0 (u, v) = 0, logo a reta por U0 com aˆ ngulo ϕ cruza a Hugoniot de U0 em um estado U 6= U0 .. . (b) Se U está na Hugoniot de U0 , então Hu0 ,v0 (u, v) = R. 2. . 1 R[α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ)] + α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) 2. . = 0.. Mas R 6= 0, pois U 6= U0 e α(ϕ)cos(ϕ) + β(ϕ)sen(ϕ) = 0, já que ϕ e´ assintótico. Então, α(ϕ)u0 + β(ϕ)v0 + γ(ϕ) = 0 , ou seja, U0 está sobre a reta de bifurcaça˜ o associada a` ϕ. Agora, se U0 está sobre a reta de bifurcaça˜ o e ϕ e´ assintótico, então Hu0 ,v0 (u, v) = 0.. ´ 4.2 Orbitas retas Nesta seça˜ o, vamos voltar nossa atença˜ o ao estudo de choques transicionais com perfil reto. Daremos condiço˜ es necessárias e suficientes para encontrar tais choques. 44.