Notas de Aula - Macroeconomia 1

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Notas de Aula - Macroeconomia 1

Paulo Henrique Vaz

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Sum´

ario

1 A Linguagem do Equil´ıbrio Geral 3

1.1 Descri¸c˜ao do Equil´ıbrio Geral . . . 3

1.2 Propriedades do Equil´ıbrio Geral . . . 6

1.3 Primeiro Teorema do Bem-Estar . . . 6

1.4 Segundo Teorema do Bem-Estar . . . 6

2 Otimiza¸cão Dinâmica 8 2.1 Método Sequencial com Horizonte Finito (T per´ıodos) . . . 8

2.2 M´etodo Sequencial com Horizonte Infinito . . . 11

2.2.1 No Ponzi games condition . . . 12

2.2.2 Condi¸c˜ao de Transversalidade . . . 15

2.3 Programa¸c˜ao Dinˆamica . . . 16

2.3.1 Teorema do Contraction Mapping . . . 18

2.3.2 Condi¸c˜oes Suficientes de Blackwell . . . 19

2.3.3 Teorema do Envelope de Benevist e Scheinkman . . . 20

2.4 Exerc´ıcios . . . 21

3 Equil´ıbrio Competitivo em Modelos Dinˆamicos 25 3.1 O equil´ıbrio competitivo de Arrow-Debreu . . . 26

3.2 O equil´ıbrio competitivo na forma sequencial . . . 27

3.3 O equil´ıbrio competitivo na forma recursiva . . . 28

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1 A Linguagem do Equil´ıbrio Geral

Em discussão recente, o economista Olivier Blanchard sintetizou um debate acerca do uso de modelos de equil´ıbrio geral dinâmico e estocásticos, os famosos modelos de DSGE. O economista considerou saudável destacar os pontos consensuais e seguir em frente. O primeiro seria que macroeconomia trata-se de equil´ıbrio geral.

Outro exemplo dessa defesa aos modelos de equil´ıbrio geral, um pouco mais recente, pode ser encontrada em artigos sobre o presente e futuro da Macroeconomia publicados no Journal of Economic Perspectives, em 2018, na sessão entitulada ”Syposium: Macroeconomis a decade after the great recession”. Em especial, o artigo ”On DSGE Models”, já nas primeiras linhas provoca o leitor a refletir sobre a importância de se entender modelos de equil´ıbrio geral em Macroeconomia:

“Dynamic stochastic general equilibrium (DSGE) models are the leading tool for making such assessments in an open and transparent manner.

To be concrete, suppose we are interested in understanding the effects of a systematic change in policy, like switching from inflation targeting to price-level targeting. The most compelling strategy would be to do randomized control trials on actual economies, but that course of action is not available to us. So what are the alternatives? It is certainly useful to study historical episodes in which such a similar policy switch occurred or to use reduced-form time series methods, but these approaches also have obvious limitations. In the historical approach, the fact that no two episodes are exactly the same always raises questions about the relevance of a past episode for the current situation. In the case of reduced-form methods, it is not always clear which parameters should be changed and which should be kept constant across policy options. Inevitably, assessing the effects of a systematic policychange has to involve the use of a model”

Nesse curso, como descrito na ementa, nosso objetivo será familiarizar o aluno a lin-guagem de equil´ıbrio geral, discutir como são descritos os principais modelos, seu equil´ıbrio competitivo (sequencial, Arrow-Debreu e Recursivo) e as op¸cões de otimiza¸cão para os pro-blemas dinâmicos de seus agentes. Uma vez conclu´ıdo essa etapa, o modelo padrão será modificado para introduzir incerteza, heterogeneidade, competi¸cão monopol´ıstica e gera¸cão sobreposta. Aplica¸cões desses modelos para análises macroeconômicas concluem o curso.

1.1 Descri¸c˜

ao do Equil´ıbrio Geral

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Bens

Tamb´em pode ser descrito como commodity, trata-se de um bem ou servi¸co completa-mente espec´ıfico fisicacompleta-mente, temporalcompleta-mente e espacialcompleta-mente, de acordo com Arrow (1959). Formalmente, nos casos de n´umeros finitosL decommodities, o espa¸co decommodities seria dada por

S =nx∈RL:kxk= x21+. . .+x2L

1 2o

Um elementoxdo espa¸co decommoditiesé uma lista de quantidades de todas ascommodities, ous∈S é um vetor de commodities. Por sua vez, o vetor de pre¸cos dascommodities é dado por p= (p1, . . . , pL)∈RL.

Portanto, o valor de um vetor de commodities ´e dado pela multiplica¸c˜ao dos vetores

< p x >= L

X

h=1

phxh

Agentes

1. Consumidores: A economia ´e composta por um n´umero I de consumidores

(ho-mogêneos ou não). É comum a premissa de que há um continuum de consumidores, ao invés de um número finito. O conjunto de consumo é definido por Xi ⊆S, no qual descreve o conjunto tecnicamente viável de vetores de consumo.

2. Firmas: A economia é composta por um númeroJ de firmas. Desta forma, o conjunto de possibilidade de produ¸cão é dado por yj ⊆S, no qual

Y = J

X

j=1

yj

Note que para cada yj, os n´umeros positivos nos vetores se referem ao produto final, enquanto os valores negativos s˜ao referentes aos insumos.

Ex: (carros, moveis, capital, trabalho, madeira) = (100, 0, -100, -50, 0)

3. Governo: Pode-se descrever o governo através de sua restri¸cão or¸camentária

G=T

(5)

Preferˆencias

As preferˆencias podem ser representadas pela fun¸c˜ao de utilidade ui _{tal que}

ui _:_Xi _→ R

São desejáveis algumas propriedades para as preferências, entre elas, continuidade, concavi-dade e dupla diferenciabiliconcavi-dade.

Dota¸c˜oes

Também pode ser definido comoendowment, as dota¸cões são representadas pelo seguinte vetor

w= (w1, . . . , wL)∈RL

As dota¸cões pertencem a cada indiv´ıduo wi_{. Por sua vez, as participa¸cões nos lucros das} firmas são dadas por θi

j, no qual representa a participa¸cão do agente i no lucro da firma j. Dessa forma, é necessário satisfazer as seguintes condi¸cões

I

X

i=1

wi =w , I

X

i=1

θij = 1,∀j

Portanto, dada a economia (xi_{, u}i_{), yj}_{, w}i_{, θ}i

j _i,j descrita acima, o equil´ıbrio competitivo ´e uma aloca¸c˜ao (x∗_{, y}∗_{) e um vetor de pre¸cos} _p∗ _>>_{0 tal que}

i) Dado p∗_,_xi∗ _maximiza_ui_,_∀_{i, isto ´e}

ui∗ _xi∗ _≥_ui _xi_,_∀_xi _∈_Xi _|_p∗_xi _≤_p∗_wi₊ J

X

j=1

θi jp

∗_yj

ii) Dadop∗_, _yj∗ _{maximiza o lucro da firma} _j_{, isto ´e}

p∗yj∗ ≥p∗yj,∀yj ∈Yj

iii) Condi¸c˜ao de Market Clearing

I

X

i=1

xi h =

J

X

j=1

y_hj + I

X

i=1

wi

(6)

1.2 Propriedades do Equil´ıbrio Geral

Uma das propriedades mais desejáveis em modelos de equil´ıbrio geral é a de ótimo de Pareto. Uma aloca¸cão (x, y) = (x1_{, . . . , x}I_{, y}1_{, . . . , y}J_{) é ótimo de Pareto se não existe outra} aloca¸cão fact´ıvel (_bx,y) tal que_b

i. ui₍

b

xi₎_>i _ui_(xi_{) para algum} _i

ii. ui₍

b

xi₎_≥i _ui_(xi_),_∀_i

1.3 Primeiro Teorema do Bem-Estar

Primeiro Teorema do Bem-Estar: Para algum número finito de agentes, se as preferências são localmente não-saciáveis, então qualquer equil´ıbrio Walrasiano é ótimo de Pareto.

Demonstra¸cão. Considere uma economia de trocas, ou seja, não existem firmas. As dota¸cões são definidas por ei_{, nesse sentido, a dota¸cão total é dada por}PI

i=1ei.

Suponha que x seja um Equil´ıbrio Walrasiano, porém x não é um ótimo de Pareto. Portanto, existe x′ _∈_RL _{tal que} PI

i=1x′i =

PI

i=1ei mas x′i ≻_∼i xi,∀i e x′j ≻j xj para algum

indiv´ıduo j. Uma vez que se trata de um equil´ıbrio competitivo, temos que

  

X′i _≻

∼ X

i_,_∀_i_⇒_{P X}′i _≥_{P X}i

X′j _≻_Xj _⇒_{P X}′j _≥_{P X}j

(1)

Temos que a equa¸cão (1) é consequência direta da monotonicidade. Ademais, note que

I

X

i=1

P X′i > I

X

i=1

P Xi = I

X

i=1

P ei

Entretanto, comoX′_{´e ´otimo de Pareto, temos que}PI

i=1X′i =

PI

i=1ei, uma contradi¸c˜ao.

1.4 Segundo Teorema do Bem-Estar

Para que o segundo teorema do bem-estar seja v´alido, se faz necess´ario que algumas premissas sejam satisfeitas. Entre elas, temos que

1. Para cada i,Xi _{´e convexo}

2. A fun¸cão utilidade ui _{é estritamente côncava}

(7)

4. O conjunto de possibilidade de produ¸c˜ao agregada Y =PJ_j₌₁yj ´e convexo

5. O espa¸co de commodities ´e finito ou y possui um ponto interior, isto ´e, ∃y∗ _∈ _Y _tal

que para algum ǫ >0, V ={y ∈Y :|y−y∗ _|_{< ǫ}_{} ⊆}_Y

Segundo Teorema do Bem-Estar: Se as premissas descritas acima s˜ao satisfeitas e as

preferências são localmente não-saciáveis1_{, então (X, Y}_{) é ótimo de Pareto, logo,}_∃_P ₆₌

0 tal que (X, Y, P) ´e um equil´ıbrio competitivo (Walrsiano).

1_{Lembre que preferˆencias}_≻ ∼

i

emXi

são localmente não-saciáveis se∀x∈Xi

e∀ǫ >0,∃X′ ∈Xi

tal que

kX′

−Xk< ǫeX′

>i

(8)

2 Otimiza¸c˜

ao Dinˆ

amica

Existem duas abordagens comuns para modelar indiv´ıduos reais. A primeira é assumir que os indiv´ıduos vivem um número finito de per´ıodos, enquanto a segunda assume que os agentes vivem para sempre. A segunda abordagem é a mais comum, em contrapartida, a primeira requer um n´ıvel de sofistica¸cão matemática menor na decisão dos problemas.

Nesse cap´ıtulo, também será estudado duas formas alternativas para resolver proble-mas de otimiza¸cão dinâmica: usando métodos sequenciais e utilizando métodos recursivos. Métodos sequenciais envolvem a maximiza¸cão de várias sequências. Por outro lado, métodos recursivos - também conhecido como métodos de programa¸cão dinâmica - envolvem equa¸cões funcionais.

2.1 M´

etodo Sequencial com Horizonte Finito (T per´ıodos)

Considerem um consumidor que deve escolher um conjunto de consumo para T per´ıodos. Vamos assumir que as preferências dos consumidores pode ser representada pela seguinte fun¸cão utilidade, em vários per´ıodos de tempo

U(c0, c1, . . . , cT) =

T

X

t=0

βtu(ct)

Assume-se queué invariante no tempo. Além do mais, a fun¸cão utilidade possui a premissa de separabilidade aditiva.

Note que uma suposi¸c˜ao comum na literatura ´e de que β ∈(0,1), o que corresponde ao fato de que indiv´ıduos, em geral, valoram mais o consumo no presente do que o consumo no tempo futuro. Nesse sentido, β representa um fator de desconto da utilidade futura.

Considere agora o seguinte problema de otimiza¸cão dinâmica em um modelo de cresci-mento neoclássico com horizonte finito

max

{ct,kt+1}T_t=0

T

X

t=0

βtu(ct)

s.a.ct+kt+1 ≤F(kt, Nt) + (1−δ)kt ≡f(Kt),∀t= 0, . . . , T

ct ≥0,∀t = 0, . . . , T

kt+1 ≥0,∀t = 0, . . . , T

(9)

Note que trata-se de um problema do planejador social benevolente. N˜ao existe um mercado em que os consumidores possam obter uma receita de juros sobre a sua poupan¸ca.

Vamos assumir a premissa de que u seja monotonicamente crescente. Constata-se de tal asser¸cão de que a restri¸cão ct +kt+1 ≤ f(kt) será ativa, uma vez que u ser estritamente

crescente implica que nenhum bem ser´a jogado fora.

Para encontrar a solu¸cão do modelo, será utilizado a teoria de otimiza¸cão para dimensões finitas. Em particular, será utilizado o Teorema de Kuhn-Tucker. Lembre que as condi¸cões de Kuhn-Tucker serão suficientes se a fun¸cão objetiva for côncava no vetor de escolha e o conjunto restri¸cão for convexo.

Para caracterizar a solu¸cão do problema, também é útil assumir que lim c→0u

′_{(c) =}_∞_{. Isto}

implica quect= 0 não pode ser ótimo para qualquert, portanto, não se faz necessário checar as condi¸cões de não-negatividade.

Logo, podemos escrever a fun¸c˜ao Lagrangiana da seguinte forma

L= T

X

t=0

βt_u(ct)₋ T

X

t=0

λt[ct+kt+1−F(kt, Nt)−(1−δ)kt] +

T

X

t=0

µtkt+1 (2)

Uma forma alternativa de se escrever a fun¸c˜ao Lagrangiana pode ser visualizada a seguir

L=X t=0

βt[u(F(kt, Nt) + (1−δ)kt−kt+1) +µtkt+1] (3)

Para resolver o problema, vamos utilizar a formula¸cão descrita pela equa¸cão (3). Por-tanto, as condi¸cões de primeira ordem são:

∂L ∂kt+1

: −βtu′(ct) +βtµt+βt+1u′(ct+1)f′(kt+1), ∀t = 0, . . . , T −1

∂L ∂kT+1

: −βT_u′_(cT_{) +}_βT_µT _{= 0,} _para _t ₌_T

Além disso, também são inclu´ıdas as condi¸cões de Kuhn-Tucker

µtkt+1 = 0, ∀t= 0, . . . , T

kt+1 ≥0, ∀t = 0, . . . , T

µt≥0, ∀t= 0, . . . , T

Note que, da segunda restri¸c˜ao, temos que βT_u′_(cT_{) =} _βT_µT_{. Como} _{β >} _{0 e} _u′_(cT₎ _>

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kT+1 = 0. Esse resultado implica que o consumidor n˜ao vai deixar capital para depois

do último per´ıodo, uma vez que não seria poss´ıvel obter utilidade desse capital e, portanto, prefere utilizar como consumo durante sua vida. Trata-se de um resultado bastante intuitivo, entretanto, em modelos de horizonte infinito esse resultado não é trivial.

Além disso, da primeira restri¸cão das condi¸cões de primeira ordem é poss´ıvel obter a equa¸cão de Euler do modelo

βtu′(ct) =βt+1u′(ct+1)f′(kt+1)⇒u′(ct) =βu′(ct+1)f′(kt+1)

Para resolver o problema, vamos assumir as seguintes formas funcionais: u(ct) =log(ct) e f(kt) = Rkt. Utilizando esse resultado na equa¸cão acima, pode-se encontrar a forma funcional da equa¸cão de Euler, descrito pela equa¸cão (4)

ct+1 =βRct (4)

Lembre-se que da restri¸c˜ao or¸cament´aria, temosct+kt+1 =f(kt), ou seja,ct+kt+1 =Rkt.

Montando a sequˆencia, obtemos

c0+k1 =Rk0

c1+k2 =Rk1

...

cT−1+kT =RkT−1

cT +kT+1 =RkT

Ora, sabemos pelas condi¸c˜oes de Kuhn-Tucker que kT+1 = 0, sendo assim, temos que

cT =RkT. Substituindo na penúltima equa¸cão da sequência, pode-se obter

cT−1+

cT

R =RkT−1 ⇒kT−1 = cT−1

R + cT R2

Por recursividade, obtemos ent˜ao o valor de c0

Rk0 =c0+

c1

R + c2

R2 +. . .+

cT

RT (5)

Da equa¸c˜ao (4), temos que c1 = βRc0, c2 = β2R2c0, . . . , cT = βTRTc0. Substituindo esses

resultados na equa¸c˜ao (5), conseguimos

Rk0 =c0+

βRc0

R +

β2_R2_c 0

R2 +. . .+

βT_RT_c

0

(11)

Portanto

c0 =

Rk0

PT t=0βt

Substituindo esse resultado na equa¸cão de Euler, pode-se obter a solu¸cão para o modelo, dado pela equa¸cão (6)

ct= β

t_Rt+1_k 0

PT t=0βt

(6)

Podemos destacar alguns resultados a partir da equa¸cão (6). Note que um aumento no retorno marginal de poupar, R, causa um aumento do consumo em todos os per´ıodos. O efeito desse aumento marginal vai depender da forma funcional da fun¸cão utilidade. Mu-dan¸cas no valor marginal de poupar possui dois componentes. O primeiro é uma mudan¸ca nos pre¸cos relativos, isto é, uma altera¸cão no consumo em diferentes per´ıodos, enquanto o segundo é uma mudan¸ca no valor presente da renda,Rk0.

2.2 M´

etodo Sequencial com Horizonte Infinito

Quando se estuda casos de escolhas de consumo em um horizonte infinito de tempo, o foco principal passa a ser questões de convergência. Basicamente, existem duas razões para justificar o seu uso

1. Altru´ısmo: Sabe-se que os agentes não vivem para sempre, todavia, eles podem se importar com as suas gera¸cões futuras, ou seja, existe um sentimento de dinastia. Por exemplo, seja u(ct) a utilidade relativa a gera¸cão t. Sendo assim, podemos interpretar βt_{como sendo o peso que o indiv´ıduo atribui para a utilidade de seus descendentes em} t gera¸cões no futuro. Logo, sua utilidade total vai ser dada por P∞_t₌₀βt_{u(ct) e o fator} de desconto β <1 indica que o agente se preocupa mais com si mesmo do que com as gera¸cões futuras.

2. Simplicidade: Muitos modelos econômicos com horizontes longos de tempo apresen-tam resultados similares a modelos macroeconômicos com horizonte infinito de tempo, desde que o horizonte seja grande o suficiente. Todavia, modelos de horizonte infinito são estacionários por natureza, portanto, sua caracteriza¸cão pode ser mais facilmente obtida.

Apesar desses pontos, existem certos custos ao se utilizar modelos sequenciais com hori-zonte infinito de tempo, entre eles:

(12)

ii. A existência de uma solu¸cão é menos óbvia, e.g., é preciso assumir uma fun¸cão utilidade cont´ınua para ser poss´ıvel utilizar o teorema de Weierstrass.

iii. Continuidade da fun¸c˜ao objetivo exige ”boundedness”.

Um outro problema que surge ao se utilizar esse método é saber se a fun¸cão utilidade é limitada, ou seja, U possui limite superior e inferior. Suponha que U não seja limitado, sendo assim, se duas cestas de consumo apresentam utilidade infinita, não é claro como se pode comparar ambas. Portanto, existem algumas condi¸cões que devem ser satisfeitas afim de garantir que a fun¸cão utilidade seja limitada, entre elas

Preferências: Seja U = P∞_t₌₀βt_{u(ct), portanto, uma condi¸cão necessária é de que} _β _∈ (0,1), uma vez que quando t tende ao infinito, temos βt _→ _{0 e assim garantimos que} U seja limitado2_.

Tecnologias: O retorno do capital não deve ser explosivo, caso contrário implicaria em ct → ∞, logo, devemos ter retornos descrescentes na utiliza¸cão de cada insumo

ct+kt+1 =Rkt

kt≥0

Isso implica que o consumo pode crescer no m´aximo a uma taxa R

2.2.1 No Ponzi games condition

Existem certas questões institucionais que podem fazer a fun¸cão utilidade total, U, se tornar unbounded, uma vez que existem certas regras que devem ser estabelecidas e cum-pridas em uma sociedade organizada. Nesse caso, suponha que um agente anuncie que ele planeja pegar um empréstimo e nunca pagar, portanto, esse indiv´ıduo nunca será capaz de tomar um empréstimo. A exigência de que “no Ponzi games seja permitido” representa, portanto, essa suposi¸cão institucional, e às vezes precisa ser adicionada formalmente às res-tri¸cões or¸camentárias de um consumidor. Se tal condi¸cão não existir, seria poss´ıvel que os agentes pegassem novos empréstimos a cada per´ıodo e rolassem a d´ıvida do per´ıodo anterior, tornando assim a série de consumo explosiva e, portanto, não estacionária (ct→ ∞).

Suponha que{c∗

t}

∞

t=0seja um candidato à solu¸cão do problema de maximiza¸cão do

consu-midor e fa¸ca com que ct≤c,∀t, isto ´e, o conjunto de consumo ´e limitado para cada per´ıodo

2_{Vamos supor que o conjunto de consumo seja crescente a uma taxa ´}_otima

γ, ou seja, {ct}

∞

t=0 = {c0(1 +γ)t}

∞

t=0, portanto uma condi¸cão necessária é deβ(1 +γ)

t

(13)

t. Agora vamos supor que esse agente receba uma dota¸c˜ao inicial de ativos, a0. Portanto, a

restri¸cão or¸camentária é dada por:

ct+at+1 =Rat, ∀t≥0

Note que at < 0 representa que o agente está tomando um empréstimo. Em caso de não existência da condi¸cão de no Ponzi games, o agente pode melhorar sua cesta de consumo,,

{c∗

t}

∞

t=0, ao realizar o seguinte procedimento

{˜c∗_t}∞_t₌₀ =

  

˜

c0 =c∗0+ 1 e∀t ≥1,ct˜ =c∗t ˜

a1 =a∗1−1 e∀t≥1,˜at+1 =a∗t+1−Rt

Note que {˜c∗

t}

∞

t=0 atende a condi¸cão de restri¸cão or¸camentária descrita anteriormente,

por-tanto, {˜c∗

t}

∞

t=0 ´e prefer´ıvel a {c∗t}

∞

t=0, logo, {c∗t}

∞

t=0 não é uma solu¸cão ótima. Todavia, note

que podemos repetir esse procedimento para qualquer candidato a solu¸cão ótima do pro-blema de maximiza¸cão do consumidor, portanto, a utilidade máxima não irá existir eU não será limitado superiormente.

Esta situa¸cão em que o agente nunca paga a sua d´ıvida (ou, equivalentemente, adia indefinidamente o pagamento) é exclu´ıda pela imposi¸cão da condi¸cão de no Ponzi game (nPg), ao se adicionar explicitamente a seguinte restri¸cão

lim t→∞

at Rt ≥0

Intuitivamente, isso significa que, em termos de valor presente, o agente não pode se envolver em atividades de empréstimos de tal forma que sua participa¸cão nos ativos finais seja negativo, uma vez que isso significa que ele pegaria emprestado e nunca pagaria sua d´ıvida.

Por fim, atente ao fato de que podemos utilizar a condi¸cão de no Ponzi games para simplificar a sequência infinita de restri¸cões or¸camentárias. Vamos supor, inicialmente, que estamos no horizonte finito T, sendo assim, temos que:

c0+a1 =Ra0

c1+a2 =Ra1

...

(14)

Uma versão consolidada da restri¸cão or¸camentária acima seria: T X t=0 _ct Rt

+ aT+1

RT =a0R

Expandindo ao horizonte infinito, podemos obter:

lim T→∞ T X t=0 _ct Rt

+ aT+1 RT

!

=a0R

Portanto ∞ X t=0 _ct Rt + lim T→∞ aT+1

RT =a0R

Se a condi¸cão de no Ponzi games é satisfeita, então é poss´ıvel obter a restri¸cão or¸camentária consolidada para o horizonte infinito de tempo, dado pela equa¸cão (7)

∞ X t=0 ct 1 Rt

≤a0R (7)

Exemplo: Considere a seguinte economia

max

{ct,at+1}

∞ t=0

∞

X

t=0

βt_log(ct)

s.a.ct+at+1 =at(1 +r),∀t≥0

a0 >0 dado

nPg condition

Para resolver esse problema, o primeiro passo consistem em transformar a sequência infinita de restri¸cões or¸camentárias em uma restri¸cão or¸camentária consolidada. A restri¸cão or¸camentária consolidada é dada por

∞ X t=0 ct 1 1 +r

t

=a0(1 +r)

Podemos ent˜ao montar o seguinte Lagrangiano

L=

∞

X

t=0

βt_log(ct)₋_λ

" _∞ X t=0 ct 1 1 +r

t

−a0(1 +r)

(15)

As condi¸c˜oes de primeira ordem s˜ao dadas por

∂L ∂ct : β

t1 ct −λ

1

(1 +r)t = 0

∂L ∂c0

: 1 c0

−λ = 0

Das condi¸cões de primeira ordem acima é poss´ıvel obter então a equa¸cão de Euler, dada por

ct=βt_{(1 +}_r)t_c

0

Substituindo na restri¸cão or¸camentária consolidada, nós obtemos

∞

X

t=0

βt(1 +r)t

1 1 +r

t

c0 =a0(1 +r)⇒c0

∞

X

t=0

βt=a0(1 +r)

Portanto, temos que

c0 =

a0(1 +r)

P∞

t=0βt

Substituindo novamente na equa¸cão de Euler, podemos finalmente encontrar o consumo ótimo para t≥0, que é dado pela seguinte expressão

ct= β

t_{(1 +}_r)t+1_a 0

P∞

t=0βt

2.2.2 Condi¸c˜ao de Transversalidade

Sequências que satisfazem a equa¸cão de Euler não necessariamente maximizam a fun¸cão objetivo do problema, todavia, sequências que satisfazem a equa¸cão de Euler e ao mesmo tempo a condi¸cão de transversalidade maximizam a fun¸cão objetivo. Em outras palavras, a condi¸cão de transversalidade é uma condi¸cão suficiente (ou necessária?) para que a fun¸cão objetivo seja maximizada.

Em geral, a condi¸cão está impl´ıcita em dois fatores. O primeiro fator é de que a sequência de capital seja convergente, já a segunda é a suposi¸cão de que β <1.

Exemplo: Relembrando o caso do m´etodo sequencial com horizonte finito, t´ınhamos que

L= T

X

t=0

(16)

As condi¸c˜oes de primeira ordem eram dadas por

∂L ∂kt+1

: −βt_u′_{(ct) +}_βt_µt₊_βt+1_u′_(ct

+1)f′(kt+1), ∀t = 0, . . . , T −1

∂L ∂kT+1

: −βT_u′_(cT_{) +}_βT_µT _{= 0,} _para _t ₌_T

Al´em disso, das condi¸c˜oes de Kuhn-Tucker, t´ınhamos

µtkt+1 = 0, ∀t= 0, . . . , T

kt+1 ≥0, ∀t= 0, . . . , T

µt≥0, ∀t= 0, . . . , T

Note que das condi¸c˜oes de Kuhn-Tucker, podemos obter

−βT_u′_(cT_)kT

+1 = 0

Ao consideramos o horizonte infinito, fazemos com que T → ∞, sendo assim, da equa¸c˜ao acima, temos3

lim T→∞−β

T_u′_(cT_)kT

+1 = 0

De forma geral, a condi¸cão de transversalidade é satisfeita quando a equa¸cão (8) é igual a zero, ou seja

lim t→∞β

t ∂u ∂kt+1

kt+1= 0 (8)

2.3 Programa¸c˜

ao Dinˆ

amica

Os modelos com os quais estamos preocupados consistem em problemas de otimiza¸cão dinâmica que resultam em uma sequência ótima de consumo que resolvem estes problemas. Até o presente momento, a abordagem utilizada para encontrar a solu¸cão tem sido encontrar uma sequência de números reais {kt+1}∞t=0 que gera um plano de consumo ótimo. Contudo,

em alguns casos, a tarefa de procurar por uma sequência de números reais é pouco prática e nem sempre intuitiva. Nessa perspectiva, uma forma diferente de ver o problema do tomador de decisões é chamado de Programa¸cão Dinâmica. A chave para entender programa¸cão dinâmica é ter em mente que decisões dinâmicas são tomadas recursivamente, ou seja, a cada per´ıodo, levando em considera¸cão o ”estado”do per´ıodo atual. As decisões sobre o estoque de capital entre t e t+ 1 são tomadas em t, não mais em 0.

3_{Lembre que}

β <1 e a sequência de capital é não explosiva, portanto, quandoT→ ∞, temos queβT

(17)

Um problema será considerado estacionário quando a estrutura da tomada de decisões é idêntica entre os per´ıodos, isto é, se o problema é estacionário, então para quaisquer dois per´ıodos t 6=s, temos

kt =ks ⇒kt+j =ks+j,∀j >0

Em outras palavras, o agente n˜ao mudaria sua decis˜ao se pudesse escolher novamente no futuro.

Tal fato implica que se o problema é estacionário, então existirá uma fun¸cão g(·) que representará a escolha ótima de capital no per´ıodo t+ 1 dado um n´ıvel inicial de capital em t, ou seja, podemos representar tal fun¸cão como sendo g(kt) =kt+1. Nós iremos nos referir

a g(·) como sendo uma regra de decis˜ao.

Considere a seguinte fun¸c˜ao utilidade indireta como:

V(kt)≡ max

{ks+1}

∞ t=s

∞

X

t=s

βt−s_F_{(ks, ks}

+1)

s.a.:ks+1 ∈Γ(ks), ∀s≥t

No qualV(kt) representa a fun¸c˜ao utilidade indireta e Γ(kt) representa o conjunto de poss´ıveis escolhas de kt+1 dado kt4.

Esse problema de maximiza¸c˜ao pode ser reescrito como

V(kt) = max kt+1∈Γ(kt)

(

F(kt, kt+1) + max

{ks+1}

∞ t=s

∞

X

t=s

βt−s_F_{(ks, ks}

+1)(s.a.ks+1 ∈Γ(ks), ∀s≥t+ 1)

)

A equa¸c˜ao acima segue o principio de que max

x,y f(x, y) = maxy

n

max

x f(x, y)

o

, ou seja, ´e poss´ıvel maximizar por partes quando os operadores s˜ao bem definidos.

Multiplicando e dividindo max

{ks+1}

∞ t=s

P∞

t=sβ

t−s_F_{(ks, ks}

+1) por β de forma estrat´egica, por

defini¸c˜ao de V, podemos concluir que

V(kt) = max kt+1∈Γ(kt)

{F(kt, kt+1) +βV(kt+1)} (9)

A equa¸cão (9) representa a equa¸cão de Bellman do problema de maximiza¸cão. A for-mula¸cão também pode ser escrita de uma forma mais geral, como descrito pela equa¸cão abaixo

V(k) = max k′

∈Γ(k){F(k, k

′_{) +}_βV_(k′₎_}

4_{Um exemplo de fun¸c˜}_{ao Γ(}

(18)

No qual V(k) é a value function ek é a variável de estado5_.

Como descrito anteriormente, a fun¸cão g(·) (policy function) pode ser definido como o argumento que maximiza a equa¸cão funcional de Bellman, isto é

k′ =g(k) = arg max k′_∈_Γ(_k₎

{F(k, k′) +βV(k′)}

Note que a solu¸cão do problema sequencial será idêntica a obtida por programa¸cão dinâmica. Além do mais, na solu¸cão do problema de programa¸cão dinâmica, estamos pro-curando por uma equa¸cão V e não pelo valor de uma variável.

Exemplo: Stokey, Lucas e Prescott (c´ap. 3), Krueger (c´ap. 4)

SejaV(k) tal que

V(k) = max

c,k′ [U(c) +βV(k ′_)]

s.a.c+k′ ≤f(k)

c, k′ ≥0

U(·) e f(·) são dados. Nos resta apenas provar a existência e unicidade da fun¸cão V que satisfa¸ca o problema acima e então deduzir suas propriedades.

Para visualizar melhor nosso problema, considere a seguinte situa¸c˜ao

1. Método de aproxima¸cões sucessivas: Comece com um palpite da fun¸cão V0 que

satisfa¸ca o problema descrito acima e defina uma nova fun¸c˜ao dada por

V1(k) = max

0≤k≤f(k){U(f(k)−k

′_{) +}_βV

0(k′)}

Se V1(k) = V0(k),∀k > 0, então V0 é uma solu¸cão do problema. Caso V1(k) 6=V0(k),

significa que V0 não é uma solu¸cão para o problema e deve-se continuar procurando

por outras op¸cões. Tal método também é conhecido como ”Lucky Guess”.

2.3.1 Teorema do Contraction Mapping

Note que a solu¸cão do problema acima nada mais é do que encontrar uma fun¸cão V que seja um ponto fixo, ou seja, V∗ ₌ _{T V}∗_{. Podemos definir um} _{contraction mapping} _da

seguinte forma

5_{Definimos como vari´}_{avel de estado qualquer vari´}_{avel que possui informa¸c˜}_{ao relevante para a solu¸c˜}_{ao do}

(19)

Defini¸cão: Considere (S, ρ) um espa¸co métrico e T :S →S uma fun¸cão de S em S. Sendo assim, T é umcontraction mapping com móduloβ se para β ∈(0,1), temos

ρ(Tx, Ty)≤βρ(x, y)

Exemplo: S = [a, b], ρ(x, y) =| x−y |, T ´e um contraction mapping se para β ∈ (0,1), temos

|Tx−Ty |

|x−y| ≤β ≤1

Teorema do Contraction Mapping: Se (S, ρ) é um espa¸co métrico completo eT :S →S é um contraction mapping com módulo β, então

1. T tem um ponto fixo V em S

2. Para qualquer V0 ∈ S ⇒ ρ(TnV0, V) ≤ βnρ(V0, V). Como qualquer β ∈ (0,1),

então a partir de qualquerV0, quanto mais itera¸cão forem feitas, mais próximos

estaremos do ponto fixo.

2.3.2 Condi¸c˜oes Suficientes de Blackwell

Considere X ⊆ Rl e B(X) um espa¸co de fun¸c˜oes limitados f : X → R com norma do supremo. Se T :B(X)→B(X) ´e um operador que satisfaz

1. Monotonicidade: f, g∈B(X) e f(x)≤g(x),∀x∈X, ent˜ao

(T f)(x)≤(T g)(x), ∀x∈X

2. Desconto: ∃β∈(0,1) tal que

[T(f +a)] (x)≤(T f)(x) +βa, ∀f ∈B(x), a≥0, x∈X

Se as condi¸cões (1) e (2) são satisfeitas, então T é umcontraction mapping.

Agora vamos verificar se o operador de Bellman atende as condi¸c˜oes de Blackwell. Por defini¸c˜ao, temos que

(T V)(k) = max

0≤k′

≤f(k){U[f(k)−k

(20)

1. Monotonicidade: Suponha que V(k)≥W(k),∀k, portanto

(T V)(k) = max

k′ {U[f(k)−k

′_{] +}_βV_(k′₎_}

≥max

k′ {U[f(k)−k

′_{] +}_βW_(k′₎_}_{= (T W}_)(k)

Logo, podemos concluir que (T V)(k)≥(T W)(k)

2. Desconto:

[(T(V+C)](k) = max

k′ {U[f(k)−k

′_{] +}_β[V_(k′_{) +}_C]_}_{= max}

k′ {U[f(k)−k

′_{] +}_βV_(k′_{) +}_βC_}

Portanto

[T(V +C)](k) = (T V)(k) +βC

Sendo assim, equa¸cões do tipo de Bellman satisfazem as condi¸cões de Blackwell e, por-tanto, possuem um único ponto fixo no espa¸co de fun¸cões cont´ınuas bem definidas e limitadas. Além disso, o ponto fixo é o limite das itera¸cões Vn ₌_Tn_V

0 a partir de qualquer fun¸c˜ao V0

em C.

2.3.3 Teorema do Envelope de Benevist e Scheinkman

Seja V(k) = F(k, g(k)) +βV(g(k)), onde k′ ₌ _{g(k) ´e a} _{policy function. Derivando em}

rela¸c˜ao a k, ´e poss´ıvel obter

V′(k) = F1(k, g(k)) +F2(k, g(k))g′(k) +βV′(g(k))g′(k)

Podemos ent˜ao rearrumar de forma que

V′_{(k) =} _F

1(k, g(k)) +g′(k) [F2(k, g(k)) +βV′(g(k))]

Note que se k′ _maximiza _F_{(k, k}′_{) +}_βV_(k′_{), assumindo solu¸c˜ao interior, ent˜ao}

∂F(k, k′₎

∂k′ +β

∂V(k)

∂k′ = 0⇒F2(k, g(k)) +βV(g(k)) = 0

Utilizando esse resultado, podemos concluir que

(21)

Novamente, utilizando a express˜ao acima emF2(k, k′)+βV(k′) = 0, podemos obter a equa¸c˜ao

de Euler do problema do consumidor, dado pela equa¸c˜ao (10)6_.

F2(k, g(k)) +βF1(g(k)), g(g(k))) = 0 (10)

Aten¸cão: Voltamos para a equa¸cão de Euler, porém sem a condi¸cão de transversali-dade. Todavia, as condi¸cões que servem de base para a aplica¸cão do Teorema de Benveniste e Scheinkman envolvem concavidade, diferenciabilidade, etc, acabam por garantir que a condi¸cão de transversalidade seja garantida.

2.4 Exerc´ıcios

1. Considere o seguinte problema do planejador social benevolente

max

{kt+1}T_t₌₀

T

X

t=0

βt_ln_[Akα

t −kt+1]

s.a.kt+1 ≥0

Encontre a sequˆencia de equil´ıbrio. Dica: Defina uma nova vari´avelzt =kt/kα

t−1 para

simplicar a equa¸c˜ao de Euler.

2. Considere o seguinte problema de poupan¸ca ótimo (”Optimal saving and borrowing”). Suponha que o agente representativo receba uma renda todo per´ıodo, yt, que consiste em um componente permanente, y, e um transitório, τt. O agente morre no per´ıodo final, T. Além disso, considere uma utilidade logaritmica para cada per´ıodo e uma taxa de juros constante, exógena, r. Derive o consumo ótimo em cada per´ıodo, assumindo que o agente pode comprar t´ıtulos, bt, que rendem r a cada per´ıodo. Mostre que o aumento em uma unidade na renda permanente, no per´ıodo t, tem efeito maior que o mesmo aumento no componente temporário da renda. (Note que o aumento de uma unidade em τt ocorre apenas em um per´ıodo).

3. Considere o problema de um agente representativo que vive para sempre (”Infinitely lived household”) e recebe dota¸cões ωt todo per´ıodo, com possibilidade de poupar ou pegar emprestado, a uma taxa de juros rt. A fun¸cão de utilidade será a de elasti-cidade de substitui¸cão constante (CES), dada por u(ct) = (c1σ

t )/(1σ). Encontre as condi¸cões com rela¸cão aos parâmetros do modelo, referentes a preferências, taxa

de-6_{A equa¸c˜}_{ao (10) tamb´em pode ser escrita como}

(22)

juros e sequência de dota¸cões que garantem que o agente vai suavizar perfeitamente oconsumo ao longo da vida. Encontre a sequência ótima de consumo sob essa condi¸cão.

4. Considere o seguinte modelo de economia em que o capital se deprecia totalmente após dois per´ıodos, mas não se deprecia por completo antes desse tempo. As preferências são dadas por

T

X

t=0

βt_ln(ct)

A restri¸c˜ao de tecnologia ´e dada por

ct+xt≤xt−1xt−2

No qualxt−1s˜ao os investimentos realizados no per´ıodot−1 ext−2s˜ao os investimentos

realizados no per´ıodo t−2. Portanto, no per´ıodo t+ 1, as máquinas acumuladas em t−2 já desapareceram do mundo. Utilize o algoritmo D.P. para encontrar a solu¸cão para asvalue functions V0, V1 e V2, e as policy functions αT, αt−1 e αT−2.

5. (Persistência de Hábitos) Considere o seguinte problema dinâmico com persistência de hábitos nas preferências

max

∞

X

t=0

βt_{(ln(ct) +}_γln(ct

−1))

s.a.ct+kt+1 ≤Akαt

ct, kt+1 ≥0

k0, c1 >0 dados

(a) Formule este problema como sendo um problema de programa¸cão dinâmica. Des-creva a equa¸cão funcional e especifique claramente quem são as variáveis de estado e as variáveis de controle.

(b) Demonstre que o problema de programa¸cão dinâmica possui uma solu¸cão.

(23)

em cada per´ıodo. O trabalhador escolhe uma estrat´egia que maximize

∞

X

t=0

βt_{[ln(yt) +}_αln(lt)]

Ondelt =ω(1−lt) se aceita a oferta e trabalha 1−lt. Caso n˜ao aceite a oferta, temos yt =c.

(a) Defina a equa¸c˜ao de Bellman.

(b) Mostre que a equa¸cão funcional de Bellman define um contraction mapping do espa¸co de fun¸cões cont´ınuas limitadas no espa¸co de fun¸cões cont´ınuas limitadas.

7. Considere um planejador social que se depara com o seguinte problema

max

{ct,lt,kt+1}

∞ t=0

∞

X

t=0

βt_u(ct)

s.a. ct+it≤F(kt, lt)

kt+1 = (1−δ)kt+it

ct>0

0< lt≤1

k0 >0 dado

Onde, para θ >0, a fun¸c˜ao utilidade possui a seguinte forma

u(ct) =ct−θc2t

Assuma que cestá sempre na parte do conjunto em que u′_{(c) é positivo. O produto é}

linear em rela¸cão ao capital, F(k, l) =AK. Além do mais, assuma que δ = 0, ou seja, não existe deprecia¸cão do capital.

(a) Escreva a equa¸cão de Bellman para esse problema. Seja claro sobre quais são as variáveis de controle e as variáveis de estado.

(b) Derive a equa¸c˜ao de Euler, relacionando ct e as expectativas em rela¸c˜ao act+1, da

equa¸c˜ao de Bellman utilizando o Teorema de Benveniste e Scheinkman.

(24)

(25)

3 Equil´ıbrio Competitivo em Modelos Dinˆ

amicos

Em modelos dinˆamicos, existem trˆes formas de se formular o equil´ıbrio competitivo.

1. Equil´ıbrio competitivo de Arrow-Debreu

2. Equil´ıbrio competitivo sequencial

3. Equil´ıbrio competitivo recursivo

Todas as três formas possuem os mesmos resultados, todavia, são maneiras distintas de se representar o equil´ıbrio competitivo. Em geral, também são introduzidos da mesma forma. Imagine que existe um grande número de fam´ılias (idênticas em um primeiro momento) que são detentores dos fatores de produ¸cão (capital e trabalho) e que a tecnologia responsável por transformar esses fatores de produ¸cão em bens de consumo é operado pelas firmas. Nesse sentido, a decisão dos consumidores consistiria em uma quantidade de fatores de produ¸cão a ser provido para as firmas e a quantidade de bens de consumo que seria comprado delas, enquanto as firmas devem escolher seu volume de produ¸cão e sua demanda por fatores.

O meio em que os vendedores e compradores de bens de consumo e fatores de produ¸cão realizam suas trocas é chamado de mercado, que está associado diretamente ao conceito de pre¸cos. Dizer que o mercado está em equil´ıbrio significa que existe uma situa¸cão em que, dado os pre¸cos, as decisões das fam´ılias e das firmas apresentam consistência agregada, isto é, a quantidade de fatores de produ¸cão que as fam´ılias estão dispostas as ofertar iguala a quantidade de fatores de produ¸cão que a firma está disposta a demandar. Analogamente, temos a mesma situa¸cão para os bens de consumo. Quando tal situa¸cão ocorre, dizemos que o mercado está em equil´ıbrio7_{. A palavra ”competitivo”indica que estamos trabalhando}

em situa¸cões em que os mercados são perfeitamente competitivos, ou seja, as firmas não possuem poder de mercado.

Mais formalmente, um equil´ıbrio competitivo consiste de um vetor de pre¸cos e quantida-des que satisfazem certas propriedaquantida-des de consistˆencia agregada mencionadas acima. Sendo assim, devem satisfazer

i. Dado o vetor de pre¸cos, as fam´ılias escolhem quantidades que maximizam seu n´ıvel de utilidade sujeito as suas restri¸c˜oes or¸cament´arias.

ii. Dado o vetor de pre¸cos, as firmas escolhem o volume de produ¸c˜ao que maximizam seus lucros.

(26)

iii. As quantidades escolhidas, tanto pelas fam´ılias, como também pelas firmas, são fact´ıveis. Isso significa que a quantidade total de commodities que os tomadores de decisão escolhem demandar podem ser produzidas com a tecnologia dispon´ıvel, utilizando a quantidade de fatores de produ¸cão ofertados pelas fam´ılias. Além disso, uma segunda condi¸cão é um requerimento para que os mercados estejam em equil´ıbrio.

3.1 O equil´ıbrio competitivo de Arrow-Debreu

Trata-se de uma extensão do equil´ıbrio competitivo estático, sendo que definindo as commodities como um par ordenado (bens, tempo). Um detalhe importante nesse tipo de formula¸cão é especificar, em uma economia com capital, quem é o detentor do capital. Até agora, assumimos que as fam´ılia são detentoras do capital e alugam o capital para as firmas. Podemos definir o equil´ıbrio competitivo de Arrow-Debreu em um modelo de crescimento da seguinte maneira.

Defini¸cão: O equil´ıbrio competitivo é uma sequência de aloca¸cõesch

t, hht, kth

∞

t=0das fam´ılias,

n

ytf, h f t, k

f t

o∞

t=0 das firmas e pre¸cos{pt, wt, rt}

∞

t=0 tais que

i. Dado os pre¸cos, ch

t, hht, kht

∞

t=0 ´e a solu¸c˜ao do problema dos consumidores

max

{ch t,hht,kht}

∞

t=0

∞

X

t=0

βt_u(ch t, hht)

s.a.

∞

X

t=0

pt(cht +k h

t+1−(1−δ)k

h t)≤

∞

X

t=0

(rtkth+wth h t)

cht ≥0, h h

t ∈[0,1], k h

t+1 ≥0, k

h

0 =k0

ii. Dado os pre¸cos, a sequˆencia nytf, h f t, k

f t

o∞

t=0 resolve o problema das firmas

max

{kf_t,hf_t}∞

t=0

∞

X

t=0

(ptF(kft, h f

t)−wth f t −rtk

f t)

s.a.ktf ≥0, h f t ≥0

iii. Condi¸c˜oes de equil´ıbrio de mercado

(a) kh t =k

f t, ∀t

(b) hh t =h

f t, ∀t

(c) ch₊_kh ₋₍₁₋_δ)kh ₌_F_(kf

(27)

Podemos destacar algumas caracter´ısticas do equil´ıbrio competitivo de Arrow-Debreu. A primeira é de que existe apenas uma única restri¸cão or¸camentária para a fam´ılia. A segunda é de que os pre¸cos realizam descontos implicitamente. Por fim, talvez a mais importante caracter´ıstica, é de que todas as decisões sobre consumo futuro são tomadas em t= 0.

3.2 O equil´ıbrio competitivo na forma sequencial

Em contraste com o a caracteriza¸cão de Arrow-Debreu, aqui as decisões não são tomadas todas emt= 0. Ao contrário, agora as decisões serão representadas a cada per´ıodo de tempo. Entre as mudan¸cas práticas, agora temos que

i. Para cada per´ıodo, o bem de consumo será o numerário, isto é pt= 1, ∀t

ii. E intuitivo incluir nessa formula¸c˜ao a possibilidade de se comprar e vender ativos como´ forma alternativa de transferir recursos entre os per´ıodos.

Note que uma suposi¸cão impl´ıcita aqui, mas não tão clara, é de que agora temos hh t = hft = ht. Portanto, nessa persepctiva descrita anteriormente, podemos definir o equil´ıbrio competitivo na forma sequencial da seguinte maneira

Defini¸cão: O equil´ıbrio competitivo na forma sequencial consiste de uma sequência de aloca¸cões {ct, ht, kt, at}∞_t₌₀ e pre¸cos{wt, Rt, rt}∞_t₌₀ tais que

i. Para cada per´ıodo, dados os pre¸cos{wt, Rt, rt}∞_t₌₀, a sequˆencia de aloca¸c˜oes{ct, ht, kt, at}∞_t₌₀

resolve o problema dos consumidores

max

{ct,ht,kt,at} ∞ t=0

∞

X

t=0

βt_{u(ct, ht)}

s.a.ct+kt+1−(1−δ)kt+at+1 ≤Rtkt+wtht+ (1 +rt)at, ∀t

ct≥0, ht∈[0,1], kt+1 ≥0, k0 =k0, a0 = 0, ∀t

lim T→∞

ΠTt=0

1 1 +rt

aT+1 ≥0

ii. Dados os pre¸cos {wt, Rt, rt}∞_t₌₀, kt e ht resolvem o problema da firma

max kt,ht

F(kt, ht)−wtht−Rtkt,∀t

(28)

iii. Condi¸c˜oes de equil´ıbrio de mercado

(a) ct+kt+1−(1−δ)kt=F(kt, ht), ∀t

(b) a∗

t = 0, ∀t

Note que a inclusão de um mercado de t´ıtulos é fict´ıcio, pois temos, por enquanto, apenas agentes homogêneos. Para que alguém compre t´ıtulos, se faz necessário que alguém venda esses t´ıtulos. Como todos os agentes são iguais, não haverá existência de compra e venda de t´ıtulos, portanto, temosa∗

t = 0,∀t no equil´ıbro.

Nas economias de Arrow-Debreu, pt ´e o pre¸co do consumo no per´ıodo t em termos do consumo na datat = 0 (p0 = 1). Na forma sequencial, existe a taxa de juros, rt, que fornece

o pre¸co de uma unidade do consumo hoje em termos do consumo nos próximos per´ıodos. Sendo assim, é poss´ıvel mostrar a equivalência entre os pre¸cos em ambas as formula¸cões e, portanto, mostrar a equivalência das restri¸cões or¸camentárias (exerc´ıcio).

pt+1

pt = 1 1 +rt+1

⇒pt= Πts=0

1 1 +rt

3.3 O equil´ıbrio competitivo na forma recursiva

Em geral, se utiliza-se a formula¸cão recursiva para modelos em que o equil´ıbrio competi-tivo não é um ótimo de parte e/ou a solu¸cão do problema de otimiza¸cão na forma sequencial ou de Arrow-Debreu não é trivial. Nesse sentido, se usa programa¸cão dinâmica para definir o problema do consumidor e das firmas. A defini¸cão do equil´ıbrio competitivo nesses casos deve se adequar ao problema.

Por simplifica¸cão, assuma que h = 1 no modelo neoclássico de crescimento. Diferente das formula¸cões anteriores, aqui será necessário deixar expl´ıcito que os pre¸cos dependem das variáveis agregadas. Portanto, teremos duas variáveis de estado, o capital agregado K e o capital individual k. A equa¸cão de Bellman que caracteriza o problema do agente representativo é

V(k, K) = max

c,k′ {U(c) +V(k ′_{, K}′₎_}

s.a.k′ +c=w(K) + (1−r(K)−δ)k

K′ =H(K)

Onde K′ ₌_{H(K) ´e a regra de ajuste do capital agregado}8_.

(29)

O problema da firma cont´ınua sequencial e fornece

w(K) =Fh(k,1)≡Produtividade Marginal do Trabalho

r(K) =Fk(k,1)≡Produtividade Marginal do Capital

O equil´ıbrio competitivo ´e uma fun¸c˜ao valorV :R2+ →Repolicy functions G, C :R2+ →

R+para o consumidor representativo, fun¸c˜ao de pre¸co w, r:R+→R+ e uma regra de ajuste

do capital agregado H :R+→R+ tais que

i. Dados as fun¸cõesw, reH,V resolve o problema do consumidor representativo através da equa¸cão de Bellman e C, Gsão as policy functions associadas a solu¸cão do problema.

ii. As fun¸c˜oes pre¸cos satisfazem o problema da firma, ou seja, igualam a produtividade marginal do trabalho e capital aos sal´arios e taxa de juros, respectivamente.

iii. Consistˆencia9_: _{H(K) =}_{G(K, K)}

iv. Equil´ıbrio de mercado: C(K, K) +G(K, K) = F(K,1) + (1−δ)K, ∀k∈R+

3.4 Exerc´ıcios

1. Considere a seguinte economia de trocas puras com dois per´ıodos. Existe um único bem de consumo a cada per´ıodo. Existem dois consumidores com preferências idênticas sobre o consumo, dado por

u(c1, c2) =ln(c1) +βln(c2)

O consumidor 1 tem dota¸c˜ao inicial dada por (ω1,0), enquanto o consumidor 2 tem

dota¸c˜ao incial (0, ω2).

(a) Defina o equil´ıbrio competitivo de Arrow-Debreu para esta economia.

(b) Suponha que os consumidores possuem incentivo para suavizar o seu consumo entre os per´ıodos através de empréstimos. Defina o equil´ıbrio competitivo na forma sequencial para esta economia. Mostre que ambas as defini¸cões de equil´ıbrio competitivo resultam na mesma aloca¸cão.

(c) Suponha que ω1 =ω2 = 1 eβ = 1, calcule o equil´ıbrio competitivo.

9

(30)

(d) Suponha que os consumidores n˜ao podem nem emprestar nem pegar emprestado um dos outros. Tente definir um equil´ıbrio competitivo para este caso. Mostre que a pol´ıtica que transfere bens do rico para o pobre em cada per´ıodo ´e uma melhoria de Pareto.

2. Considere uma economia de Robinson-Crusoé. Crusoé, como único consumidor na ilha, possui uma fun¸cão utilidade sobre o consumo de peixe, ct, e lazer, (1−lt), como dado a seguir

T

X

t=0

βt_{[ln(ct) +}_γln(1₋_lt)]

Onde β ∈ (0,1) e γ > 0. Cruso´e tem uma tecnologia que transforma trabalho em peixe, de acordo com a seguinte express˜ao

yt =Atlαt

Ondeα∈(0,1),{At}T_t₌₀ é uma sequência de números que mensura a produtividade de Crusoé. O peixe apenas pode ser usado para consumo (Robinson Crusoé não possui geladeira).

(a) Monte o problema do planejador social para esta economia.

(b) Uma interpreta¸cão alternativa para a tecnologia de produ¸cão é de que existe uma oferta fixa de um barco (denotado pork) de forma que a tecnologia seja dada por

yt =Atkt1−αltα

Assuma que o barco pertence a Cruso´e e que a tecnologia ´e operado pela firma (Dole Fishing Co.) que aluga capital, kt, e trabalho, lt, em um mercado compe-titivo com pre¸cos rt para o capital e wt para o trabalho. Defina pt como o pre¸co de Arrow-Debreu de uma unidade de consumo no per´ıodot.

i. Monte o problema de decis˜ao de Cruso´e como sendo um problema do consu-midor.

ii. Monte o problema da firma.

iii. Qual é a restri¸cão or¸camentária?

iv. Defina o equil´ıbrio competitivo.

(31)

vi. Encontre as aloca¸c˜oes do equil´ıbrio competitivo. Como o equil´ıbrio competi-tivo se altera quando A0 aumenta? Quando A1 aumenta?