Análise de um sistema dinâmico não ideal com excitação vertical e horizontal

(1)

unesp

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇ ÃO E ESTATÍSTICA

AN ÁLISE DE UM SISTEMA DIN ÂMICO N ÃO IDEAL COM EXCITAÇ ÃO VERTICAL E HORIZONTAL

Marcela Cristiani Ferreira

Disserta¸c˜ao de Mestrado

Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada

Rua Crist´ov˜ao Colombo, 2265

15054-000 - S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (017) 3221-2444

(2)

An´

alise de um sistema dinˆ

amico n˜

ao ideal com excita¸c˜

ao vertical e

horizontal

Marcela Cristiani Ferreira 1

Disserta¸cão a ser apresentada no Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Uni-versidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto,

São Paulo, para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada.

Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida

Professor Doutor

UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto

Prof. Dr. Reyolando M. L. R. F. Brasil

Professor Associado

Universidade de S˜ao Paulo (USP)

Prof. Dr. Maur´ılio Boaventura

Professor Adjunto

UNESP- S˜ao Jos´e do Rio Preto

S˜ao Jos´e do Rio Preto

2007

1

contato: [email protected]

(3)

(4)

A Deus. `

A minha fam´ılia.

Ao meu namorado.

Aos meus amigos.

Dedico

(5)

Agradecimentos

A Deus, pela constante presen¸ca em todos os momentos da minha vida, iluminando,

protegendo e conduzindo os meus passos.

Agrade¸co imensamente aos meus pais Antônio e Benedita, e à minha querida irmã

Natalia, pelo amor, carinho, e pelo apoio incondicional que sempre me dedicaram.

Ao meu namorado Beethoven, uma pessoa muito especial, agrade¸co o carinho, a

com-preens˜ao e o cuidado dedicados.

Aos amigos p´os-graduandos do DCCE e amigas de rep´ublica, agrade¸co pelas conversas,

pelas risadas e principalmente pela paciência, que tornaram nossa convivência tão prazerosa

e cuja amizade e discuss˜oes sobre o trabalho foram muito valiosas.

Em especial, agrade¸co ao Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida, pela amizade, orienta¸c˜ao,

incentivo e paciˆencia na elabora¸c˜ao deste trabalho.

Aos meus professores de gradua¸cão e pós-gradua¸cão.

A todas as pessoas e funcion´arios do IBILCE que, direta ou indiretamente, contribu´ıram

para a elabora¸c˜ao deste trabalho. `

A CAPES pelo aux´ılio financeiro.

(6)

Resumo

Neste trabalho realizamos um estudo de um sistema dinˆamico n˜ao ideal, constitu´ıdo por

um pêndulo acoplado a um bloco e que oscilam verticalmente. A oscila¸cão é devida à rota¸cão

de uma massa desbalanceada e acionada por um motor DC, cuja fonte de energia ´e limitada.

Consideramos situa¸cões em que as freqüências do bloco e do pêndulo estão em ressonâncias

internas 1:1, 1:2 e 2:1, e analisamos o comportamento do sistema bloco- motor-pˆendulo atrav´es

de simula¸c˜oes num´ericas.

Uma análise similar é levada a efeito, no caso em que o sistema dinâmico é dotado de

uma excita¸c˜ao de suporte ideal horizontal do tipoF cosωt.

Palavras-chave: Sistema dinâmico não ideal, mapas de Poincaré, expoentes de Lyapunov, fonte de energia limitada.

(7)

Abstract

In this work we studied a nonideal dynamical system which is constituted by a pendulum

connected to a block, and that oscillates vertically. The oscillation is due to the rotation of

a unbalanced mass moved by DC motor with limited power supply. We consider situations

where the frequencies of the block and the pendulum are in 1:1, 1:2 and 2:1 internal resonances,

and we analyse the behavior of the block - motor - pendulum system through numerical

simulations.

A similar analysis is performed in the case where the dynamical system has a periodic

horizontal oscillation of type F cosωt.

Keywords: Non ideal dynamic system , Poincar´e maps , Lyapunov exponents, limited power supply.

(8)

Sum´

ario

Lista de Tabelas . . . ix

Lista de Figuras . . . xiv

1 Introdu¸cão 1 2 Introdu¸cão à teoria de sistemas dinâmicos 3 2.1 Equa¸cões diferenciais e sistemas dinâmicos . . . 4

2.2 Lineariza¸c˜ao . . . 7

2.2.1 Equivalˆencia Topol´ogica . . . 8

2.3 Espa¸cos de estados (ou espa¸cos de fases) . . . 8

2.4 Sistemas autônomos e não autônomos . . . 9

2.5 Estabilidade e ponto de equil´ıbrio . . . 10

2.5.1 Estabilidade . . . 11

2.6 Bifurca¸c˜ao . . . 13

2.6.1 Bifurca¸c˜oes de codimens˜ao um . . . 14

2.7 Mapas e seçcão de Poincaré . . . 17

2.8 Expoentes de Lyapunov . . . 19

2.9 Sistemas n˜ao-ideais . . . 20

3 O sistema dinâmico não ideal 24 3.1 Equa¸cões de movimento . . . 25

3.2 Pontos de equil´ıbrio do sistema . . . 29

3.3 Lineariza¸c˜ao em torno de um ponto de equil´ıbrio . . . 30

3.3.1 Estudo de autovalores da matriz Jacobiana variando a. . . 31

4 Simula¸cões Numéricas 37 4.1 Sistema dinâmico com ressonância interna . . . 39

(9)

Sum´ario viii

4.1.1 Torque exponencial . . . 47

5 Sistema dinâmico com excita¸cão ideal e horizontal do suporte 56 5.1 Simula¸cões Numéricas . . . 60

5.1.1 Ressonˆancias internas . . . 64

5.1.2 Torque exponencial . . . 77

6 Conclus˜ao e considera¸c˜oes finais 93

6.1 Conclus˜ao . . . 93

6.2 Pesquisas futuras . . . 95

(10)

Lista de Tabelas

3.1 Descri¸c˜ao dos parˆametros . . . 25

3.2 Parˆametros f´ısicos com ressonˆancia 1:1 . . . 31

3.3 Tabela da varia¸c˜ao de autovalores para ressonˆancia 1:1 . . . 32

3.4 Tabela da varia¸c˜ao de autovalores para ressonˆancia 1:1 . . . 34

4.1 Parˆametros f´ısicos sem ressonˆancia . . . 37

4.2 Autovalores para os parˆametros da tabela (4.1) . . . 38

4.3 Autovalores para ressˆonancia 1:1 . . . 43

(11)

Lista de Figuras

2.1 Ponto de equil´ıbrio est´avel. . . 11

2.2 Ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel. . . 11

2.3 Ponto de equil´ıbrio inst´avel. . . 12

2.4 Bifurca¸c˜ao sela-n´o. . . 14

2.5 Bifurca¸c˜ao transcr´ıtica. . . 15

2.6 Bifurca¸cão de forquilha supercr´ıtica (esquerda). Bifurca¸cão de forquilha subcr´ıtica (direita). 16 2.7 Bifurca¸cão de Hopf. . . 16

2.8 Significado geométrico da aplica¸cão de PoincaréP: x0é uma órbita periódica,x∗0é o ponto onde ela intercepta Σ;x1é uma órbita não periódica que corta Σ emP(x′1)6=x′1. 18 2.9 Se¸cões de Poincaré : (a) unidimensional; (b) bidimensional . . . 19

2.10 A divergˆencia de trajet´orias vizinhas. . . 20

2.11 Fam´ılia de caracter´ısticas da fonte de energia (L0, L1, ..., L5). Forma exponencial (esquerda)e forma linear (direita). . . 22

3.1 O sistema estudado. . . 24

3.2 Gráfico da parte real dos autovalores complexos conjugados correspondentes ao bloco, em fun¸cão do parâmetro de controlea. . . 33

3.3 Gráfico da parte imaginária (em valor absoluto) dos autovalores correspondentes ao bloco, em fun¸cão dea. . . 33

3.4 Gr´afico da parte real dos autovalores correspondentes ao motor, em fun¸c˜ao dea. . . 35

3.5 Gráfico da parte imaginária dos autovalores correspondentes ao motor, em fun¸cão dea. . . 35

3.6 Gráfico da parte real dos autovalores correspondentes ao bloco em fun¸cão dea(tabela 3.4). 35 3.7 Gráfico da parte imaginária (em valor absoluto) dos autovalores correspondentes ao bloco, em fun¸cão dea. . . 36

3.8 Gr´afico da parte real dos autovalores correspondentes ao motor em fun¸c˜ao dea. . . 36

(12)

Lista de Figuras xi

3.9 Gráfico da parte imaginária dos autovalores correspondentes ao motor em fun¸cão dea. . . . 36

4.1 Vibra¸cão do bloco em fun¸cão do tempo para a = 0.82. Sistema dinâmico sem ressonância interna. . . 39

4.2 Oscila¸cão do motor em fun¸cão do tempo para a= 0.82. Sistema dinâmico sem ressonância interna. . . 39

4.3 Movimento do pêndulo em fun¸cão do tempo paraa= 0.82. Sistema dinâmico sem ressonância interna. . . 40

4.4 Vibra¸cão do bloco em fun¸cão do tempo paraa= 1.0. Sistema dinâmico sem ressonância interna. 40 4.5 Rota¸cão do motor em fun¸cão do tempo paraa= 1.0. Sistema dinâmico sem ressonância interna. 41 4.6 Vibra¸cão do bloco em fun¸cão do tempo para a =0.82. Sistema dinâmico sem ressonância interna ec3= 0. . . 41

4.7 Oscila¸cão do motor em fun¸cão do tempo paraa =0.82. Sistema dinâmico sem ressonância interna ec3= 0. . . 42

4.8 Movimento do pêndulo em fun¸cão do tempo paraa= 0.82. Sistema dinâmico sem ressonância interna ec3= 0. . . 42

4.9 Movimento do pêndulo em fun¸cão do tempo para ac = 0.980665 (valor cr´ıtico). Sistema dinâmico sem ressonância interna ec3= 0. . . 43

4.10 Ressonˆancia interna 1:1. Comportamento do bloco no tempo paraa= 0.82 ec3= 0. . . 43

4.11 Ressonˆancia interna 1:1. Comportamento do pˆendulo no tempo paraa= 0.82 ec3= 0. . . 44

4.12 Ressonˆancia interna 2:1. Comportamento temporal do bloco para a = 0.82. . . 44

4.13 Ressonˆancia interna 2:1. Comportamento temporal do motor para a = 0.82. . . 45

4.14 Ressonˆancia interna 2:1. Comportamento temporal do pˆendulo para a = 0.82. . . 45

4.15 Ressonˆancia interna 2:1: Comportamento temporal do bloco para a = 1.10. . . 46

4.16 Ressonˆancia 2:1. Comportamento temporal do motor para a = 1.10. . . 46

4.17 Ressonˆancia 2:1. Comportamento temporal do pˆendulo para a = 1.10. . . 47

4.18 Ressonˆancia interna 1:2. Comportamento do bloco no tempo paraa= 0.82. . . 47

4.19 Ressonˆancia interna 1:2. Comportamento do motor no tempo paraa= 0.82.. . . 48

4.20 Ressonˆancia interna 1:2 Comportamento do pˆendulo no tempo paraa= 0.82 . . . 48

4.21 Ressonˆancia interna 1:2. Comportamento do motor no tempo paraa= 1.10.. . . 49

4.22 Ressonˆancia interna 1:2. Comportamento do pˆendulo no tempo paraa= 1.10. . . 50

4.23 Torque exponencial. Comportamento temporal do bloco paraa= 0.980665. . . 50

(13)

Lista de Figuras xii

4.25 Torque exponencial. Expoente m´aximo de Lyapunov do sistema paraa= 0.980665. . . 51

4.26 Torque exponencial com ressonˆancia 1:1. Comportamento do bloco no tempo paraa= 5.0. . 52

4.27 Torque exponencial com ressonância 1:1. Comportamento do pêndulo no tempo paraa= 5.0. 52 4.28 Torque exponencial com ressonância 1:1. Expoente máximo de Lyapunov do sistema para a= 5.0. . . 53

4.29 Torque exponencial com ressonância 2:1. Comportamento temporal do bloco paraa= 0.981. 53 4.30 Torque exponencial com ressonância 2:1. Comportamento temporal do pêndulo paraa= 0.981. 54 4.31 Torque exponencial com ressonância 2:1. Trajetória no espa¸co de fases do bloco paraa= 0.981. 54 4.32 Torque exponencial com ressonância 2:1.Trajetória no espa¸co de fases do pêndulo paraa= 0.981. 55 4.33 Torque exponencial com ressonância 2:1. Expoente máximo de Lyapunov do sistema para a= 0.981. . . 55

5.1 O sistema com excita¸c˜ao horizontal e ideal do suporte. . . 56

5.2 Comportamento temporal do bloco paraa= 0.980665,F = 0.2 eω= 1.3109. . . 61

5.3 Comportamento temporal do motor paraa= 0.980665,F = 0.2 eω= 1.3109. . . 61

5.4 Comportamento temporal do pˆendulo paraa= 0.980665,F = 0.2 eω= 1.3109. . . 62

5.5 Mapa de Poincaré referente ao pêndulo para os valores: a= 0.980665,F = 0.2 eω= 1.3109. 62 5.6 Expoente máximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 0.980665,F = 0.2 eω= 1.3109.. 63

5.7 Comportamento do bloco no tempo paraa= 2.0,F = 0.2 eω= 3.1316. . . 63

5.8 Comportamento do motor no tempo paraa= 2.0,F= 0.2 eω= 3.1316. . . 64

5.9 Comportamento do pˆendulo no tempo paraa= 2.0,F = 0.2 eω= 3.1316. . . 64

5.10 Mapa de Poincar´e referente ao pˆendulo para os valores: a= 2.0,F = 0.2 eω= 3.1316. . . . 65

5.11 Expoente m´aximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 2.0,F = 0.2 eω= 3.1316. . . . 65

5.12 Comportamento do bloco paraa= 2.0,F = 1.0 eω= 3.1316. . . 66

5.13 Comportamento do pˆendulo paraa= 2.0,F = 1.0 eω= 3.1316. . . 66

5.14 Mapa de Poincar´e referente ao bloco para os valores: a= 2.0,F = 1.0 eω= 3.1316. . . 67

5.15 Mapa de Poincar´e referente ao bloco para os valores: a= 2.0,F = 1.0 eω= 3.1316. . . 67

5.17 Comportamento do bloco paraa= 0.980665,F= 0.2 eω= 0.8086. . . 68

5.18 Comportamento do pˆendulo paraa= 0.980665,F= 0.2 eω= 0.8086.. . . 69

5.19 Expoente m´aximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 0.980665,F = 0.2 eω= 0.8086.. 69

(14)

Lista de Figuras xiii

5.25 Expoente m´aximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 1.2,F = 0.2 eω= 0.4. . . 72

5.45 Torque exponencial. Comportamento do bloco paraa= 0.980665,F = 0.2 eω= 3.1316. . . 82

5.46 Torque exponencial. Comportamento do pˆendulo paraa= 0.980665,F = 0.2 eω= 3.1316. . 83

5.47 Torque exponencial. Expoente m´aximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 0.980665,

F= 0.2 eω= 3.1316. . . 83

5.49 Torque exponencial. Comportamento do pˆendulo paraa= 0.980665,F = 1.0 eω= 3.1316. . 84

5.50 Torque exponencial. Expoente m´aximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 0.980665,

F= 1.0 eω= 3.1316. . . 85

(15)

Lista de Figuras xiv

5.52 Torque exponencial. Comportamento do pˆendulo paraa= 2.0,F = 1.0 eω= 3.1316. . . . 86

5.53 Torque exponencial. Expoente m´aximo de Lyapunov referentes aos valores: a= 2.0,F= 1.0

eω= 3.1316. . . 86

5.54 Torque exponencial. Comportamento do bloco paraa= 2.0,F = 0.5 eω= 0.8086.. . . 87

eω= 3.1316. . . 89

eω= 1.4005. . . 90

5.63 Torque exponencial. Comportamento do pˆendulo paraa= 1.2,F = 1.0 eω= 0.5. . . 91

(16)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

O in´ıcio do desenvolvimento da teoria de sistemas dinˆamicos est´a relacionado com as

investiga¸cões da Mecânica Celeste [15]. Muitos estudos foram realizados nessa ciência e assim

foi-se construindo teorias a respeito das solu¸cões de equa¸cões diferenciais e métodos de

re-solu¸cão anal´ıtica. Porém, somente após muitos anos de pesquisa foi dado o ponto de partida

para a Teoria de Sistemas Dinˆamicos. Esse estudo ganhou um novo impulso a partir da

ob-serva¸cão de que, em certas circunstâncias, a fonte de perturba¸cão e o sistema podem interagir.

Nesse caso, a fonte de perturba¸cão é afetada pelo comportamento do sistema dinâmico, e essa

intera¸cão ocorre quando a energia da fonte excitadora é limitada. Sistemas dinâmicos com

essa caracter´ıstica são denominados sistemas dinâmicos não ideais.

Os primeiros trabalhos considerando sistemas dinˆamicos n˜ao ideais datam de 1940, e

são citados por Kononenko [11]. Em [13] apresenta-se uma análise de um sistema dinâmico

composto por um motor que gira uma massa desbalanceada, e est´a montado sobre uma mesa

que pode oscilar horizontalmente. Esta mesa ´e acoplada lateralmente por amortecedor e mola. ´

E considerado que a fonte de energia é não ideal. Foi analisada a intera¸cão entre a dinâmica

da estrutura oscilante e a dinˆamica do motor.

Em [20] ´e apresentado um estudo de um sistema composto por um bloco com um motor e

um pˆendulo acoplados, e que est´a suspenso por um amortecedor e uma mola. Neste trabalho

é assumido que a caracter´ıstica da curva de torque é linear (M = u1 +u2ϕ˙). Um estudo numérico foi realizado tomando u2 fixo, e u1 como um parâmetro de controle.

Neste trabalho fazemos um estudo de um sistema dinˆamico semelhante ao estudado em

[20]. Um sistema muito parecido, só que com oscila¸cões horizontais do bloco, é estudado

(17)

Cap´ıtulo 1 2

por Meirovitch [14] para mostrar uma aplica¸c˜ao do crit´erio de Routh-Hurwitz. Este sistema

dinâmico é semelhante ao pêndulo eletromotor analisado por Belato [3], [4]. Estudamos a

situa¸cão em que o motor e o sistema interagem. Acrescentamos também uma excita¸cão de

suporte horizontal ao sistema, para fazer com que o pˆendulo, acoplado ao bloco, realizasse

movimentos mais interessantes. Consideramos modelos linear e exponencial para o torque

do motor, e o comportamento do sistema é analisado sob condi¸cões de ressonâncias internas

1:1, 1:2 e 2:1. O torque do motor foi utilizado como parˆametro de controle, e para os casos

com oscila¸cão horizontal variamos o torque do motor, a amplitude e a freqüência da oscila¸cão

horizontal. Um aspecto que foi discutido é um poss´ıvel surgimento de vibra¸cões caóticas nesta

estrutura.

O objetivo de estudo deste trabalho foi um sistema dinˆamico n˜ao ideal constitu´ıdo por

um bloco suspenso por uma mola e um amortecedor. No bloco, est´a acoplado um pˆendulo e a

fonte de energia do sistema ´e um motor DC (motor el´etrico de corrente cont´ınua). O sistema

pode ser visto na figura (3.1).

Essa disserta¸c˜ao foi dividida em seis cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2 apresentamos uma

in-trodu¸cão à teoria de sistemas dinâmicos, a qual julgamos importante para a compreensão

dos cap´ıtulos seguintes. N˜ao nos preocupamos em enunciar teoremas, e sim discorrer sobre o

assunto de maneira informal.

No cap´ıtulo 3, foi apresentado o sistema dinˆamico estudado neste trabalho, bem como

suas equa¸c˜oes de movimento e um breve estudo dos autovalores da matriz jacobiana em torno

de um ponto de equil´ıbrio est´avel. Atrav´es desse estudo dos autovalores, foi mostrado a

bifurca¸c˜ao do sistema. As equa¸c˜oes de movimento foram apresentadas usando o formalismo

de Lagrange [12].

No cap´ıtulo 4, apresentamos as simula¸c˜oes num´ericas realizadas. Foram mostrados

al-guns resultados para o sistema sem ressonˆancia e com ressonˆancias 1:1, 1:2 e 2:1. Essas

ressonâncias são entre as freqüências do bloco e do pêndulo.

No cap´ıtulo 5, foi inserida a excita¸c˜ao de suporte horizontal ao sistema, e novas equa¸c˜oes

de movimento foram encontradas. Nesse cap´ıtulo tamb´em foram apresentadas as simula¸c˜oes

num´ericas para o sistema nessas condi¸c˜oes.

(18)

Cap´ıtulo 2

Introdu¸c˜

ao `

a teoria de sistemas

dinˆ

amicos

Umsistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por alguma intera¸cão ou interdependência, de modo que existam rela¸cões de causa e efeito nos fenômenos que

ocorrem com os elementos desse conjunto. Um sistema ´edinˆamico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos constituintes variam no tempo. Leibniz foi o primeiro a usar a

palavradinˆamica nesse contexto.

De modo geral, a no¸c˜ao de sistemas dinˆamicos inclui os seguintes elementos [19]:

(i)Um espa¸co de fases ou espa¸co de estadosX, onde os pontos desse espa¸co representam os poss´ıveis estados do sistema.

(ii) O tempo, o qual pode ser discreto ou cont´ınuo. O sistema é dito discreto quando o tempo t é um número inteiro positivo, ou seja, se t _∈ Z+. Um sistema é de tempo cont´ınuo se o tempot é um número real positivo, ou seja, se t _∈R+.

(iii) Lei da evolu¸cão. A evolu¸cão de um sistema dinâmico significa a mudan¸ca de posi¸cão do sistema no decorrer do tempo t_∈T, ondeT é um conjunto numérico. A principal

componente de um sistema dinâmico é uma lei de evolu¸cão que determina a posi¸cão xt ∈ X

do sistema no tempot, desde que sua posi¸c˜ao inicialx0 seja conhecida.

A evolu¸cão de um sistema dinâmico pode ser caracterizada pela trajetória que se propaga

com a passagem do tempo, em um dado espa¸co S. O espa¸co S pode ser pensado como um

espa¸co de estados ou algum sistema f´ısico. MatematicamenteSpode ser um espa¸co Euclidiano,

ou um subconjunto aberto do espa¸co Euclidiano de uma determinada dimens˜ao.

Formalizamos um sistema dinâmico cont´ınuo através da seguinte defini¸cão:

(19)

2.1. Equa¸c˜oes diferenciais e sistemas dinˆamicos 4

Um sistema dinâmico [10] é uma aplica¸cãoφ C1

R×S_−→S ondeS´e um conjunto aberto do espa¸co Euclidiano, e escrevemosφ(t, x) =φt(x). A aplica¸c˜aoφt:S →S satisfaz

(a) φ0 :S →S ´e a identidade;

(b) A composi¸c˜ao φt◦φs =φt+s para todo t, s∈R.

Note que a defini¸cão implica que a aplica¸cão φt : S → S é C1 para cada t e tem uma

inversa C1_, _φ

−t (fazer s =−t em (b)).

Seja Aum operador em um espa¸co vetorialE, seja E =S e φ:R×S _→S definida por

φ(t, x) =etA_x_{. Ent˜ao} _φ

t:S →S pode ser representado por φt =etA. Claramente, φ0 =e0 ´e o operador identidade, e desde que e(t+s)A₌_etA_.esA_{, definimos um sistema dinˆamico em} _E_.

Esse exemplo de sistema dinâmico é representado pela equa¸cão diferencial dx

dt = Ax

em E. Um sistema dinâmico φt em S é, muitas vezes, dado por uma equa¸cão diferencial.

Podemos reescrever isso em termos mais convencionais. Sejaφt:S →Sum sistema dinˆamico

ex_∈S, seja x(t) =φt(x), e f :S →E como:

f(x) = d

dtφt(x) (1)

Ent˜ao podemos escrever (1) como

˙

x=f(x) (1′)

Assim, x(t) ou φt(x) ´e solu¸c˜ao de (1 ′

) satisfazendo a condi¸c˜ao inicialx(0) =x0.

A equa¸cão (1′) é chamada de equa¸cão autônoma porque não depende do tempo. Nesse

caso podemos considerar uma aplica¸cão C1_, _f _:_I_×_W _→_E _onde_I _{é um intervalo e}_W _{é um} conjunto aberto de um espa¸co vetorial.

A equa¸cão em outro caso é ˙x=f(t, x) e é chamada não-autônoma.

Nesse trabalho estudamos sistemas dinâmicos cont´ınuos, ou seja, aqueles em quet _∈R+. A evolu¸cão de um sistema cont´ınuo é governada por uma ou mais equa¸cões diferenciais, que é

um tipo de equa¸cão escrita em termos de derivadas da variável desconhecidax_∈S em rela¸cão

ao tempot.

2.1 Equa¸c˜

oes diferenciais e sistemas dinˆ

amicos

Há duas razões principais para se estudar sistemas lineares. A primeira é que vários fenômenos

(20)

´e que, por meio de um processo de lineariza¸c˜ao, pode-se realizar um estudo local de sistemas

não-lineares, através da análise do sistema linear associado (ver [15]).

A forma mais geral de se escrever uma equa¸c˜ao diferencial linear de ordem n ´e:

an(t)

dn_x₍_t₎

dtn +an−1(t)

dn−1_x₍_t₎

dtn−1 +...+a1(t)

dx(t)

dt +a0(t)x(t) =F(t) (2.1)

Não há um método anal´ıtico geral para se obter a solu¸cão explicita dessa equa¸cão para

quaisquer coeficientes aj(t)(j = 0,1, ..., n) e entrada F(t). Ou seja, não há um método geral

para se obter a f´ormula que expressa como x varia em fun¸c˜ao de t.

O modo mais comum de definir um sistema dinˆamico de tempo cont´ınuo ´e usando

equa¸c˜oes diferenciais. Suponha que o espa¸co de estados do sistema ´eX =Rncom coordenadas

(x1, x2, ..., xn). Freqüentemente a lei de evolu¸cão do sistema é dada implicitamente em termos

das velocidades ˙xi como fun¸c˜ao das coordenadas (x1, x2, ..., xn).

˙

xi =fi(x1, x2, ..., xn), i= 1,2, ..., n,

ou na forma vetorial

˙x=f(x), (2.2)

onde o vetor fun¸c˜aof :Rn

→Rn

´e diferenci´avel.

A fun¸c˜ao do lado direito de (2.2) ´e denominada um campo vetorial, dado que relaciona

um vetor f(x) para cada ponto x. A equa¸cão (2.2) representa um sistema de n equa¸cões diferenciais autônomas.

Uma equa¸c˜ao diferencial de ordem n pode ser reescrita na forma de um sistema de n

equa¸cões diferenciais de primeira ordem. Fazemos essa transforma¸cão através da defini¸cão de

novas variáveis. Essa transforma¸cão pode ser feita para a equa¸cão (2.1) definindo-se x(t) _≡

x1(t) e:

dx1(t)

dt ≡x2(t)

dx2(t)

dt ≡x3(t)

(21)

dxn−1(t)

dt ≡xn(t)

dxn(t)

dt = F(t)

an(t)−

a0(t)

an(t)

x1(t)−

a1((t))

an(t)

x2(t)₋...₋an−1(t) an(t)

xn(t)

O estado de um sistema num instante t ´e especificado pelos valores das vari´aveis de estado xi(t)(i = 1,2, ..., n) nesse instante. O estado de um sistema, num dado momento

de sua história passada, constitui toda informa¸cão que é necessária para se determinar sua

evolu¸cão futura, num problema de condi¸cão inicial. A escolha das variáveis de estado não é

´

unica, pois depende das condi¸c˜oes que o sistema oferece.

O sistema (2.3) é equivalente à equa¸cão (2.1). Entretanto, há algumas vantagens de

se escrever uma equa¸c˜ao diferencial de ordem n como n equa¸c˜oes diferenciais de primeira

ordem. Contudo, a principal vantagem de se trabalhar com n equa¸c˜oes de primeira ordem ´e

que existem três técnicas para se analisar um sistema dinâmico:

•Técnica anal´ıtica: integram-se analiticamente as equa¸cões, determinando a solu¸cão em termos de fórmulas gerais. Essa técnica possui a desvantagem de que nem sempre é poss´ıvel

se determinar tais fórmulas (quase nunca a integra¸cão anal´ıtica é fact´ıvel).

•Técnica numérica: integram-se numericamente as equa¸cões, calculando-se valores para as variáveis dependentesx(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) em pontos pré selecionados da variável

independente t. A desvantagem desse método é que a solu¸cão calculada é aproximada e só é

válida para a situa¸cão calculada, ou seja, vale apenas para aqueles valores de condi¸cões iniciais

e de parâmetros usados na integra¸cão. Quando se altera algum desses valores, é necessário

integrar novamente as equa¸c˜oes do sistema.

• Técnica qualitativa: através de cálculos anal´ıticos relativamente simples, temos uma idéia de como o sistema evolui. Essa técnica usa a descri¸cão das variáveis de estado, e seus

resultados s˜ao representados no espa¸co de estados, tamb´em chamado de espa¸co de fases. A

desvantagem dessa técnica é que parte da informa¸cão quantitativa é perdida. Perde-se a

informa¸c˜ao sobre o comportamento transiente do sistema, isto ´e, sobre o comportamento que

(22)

2.2. Lineariza¸c˜ao 7

2.2 Lineariza¸c˜

ao

Em geral, é imposs´ıvel obter solu¸cões anal´ıticas exatas de equa¸cões diferenciais não lineares.

Porém, sob determinadas condi¸cões, um sistema não linear pode ser aproximado em torno

de um ponto de equil´ıbrio, por um sistema linear. Tal procedimento ´e conhecido como

line-ariza¸cão. Estudando a aproxima¸cão linear, pode-se, às vezes, prever o comportamento das

solu¸cões do sistema não linear na vizinhan¸ca do ponto de equil´ıbrio. Seja o sistema de equa¸cões

diferenciais n˜ao lineares de primeira ordem.

˙

x1 =f1(x1, x2, ..., xn)

˙

x2 =f2(x1, x2, ..., xn)

... (2.4)

˙

xn =fn(x1, x2, ..., xn)

para o qual existe um ponto de equil´ıbrio x∗ _{= (}_x∗

1, x∗2, ..., x∗3). As fun¸c˜oes fi(x1, x2, ..., xn),

i= 1,2, ..., nem torno dex∗_{, podem ser aproximadas por equa¸c˜oes de retas, ou seja, equa¸c˜oes}

lineares. Para isso, expandem-se essas fun¸c˜oes em s´erie de Taylor

dxi

dt =fi(x1, x2, ..., xn) =fi(x

∗

1, x∗2, ..., x∗n)+

∂fi

∂x1 |

x∗ (x₁−x∗₁)+

∂fi

∂x2 |

x∗ (x₂−x∗₂)+...+

∂fi

∂xn |

x∗ (x_n−x∗_n)+...

onde i= 1,2, ..., n. Retendo-se apenas a parte linear obt´em-se, em nota¸c˜ao matricial,

dx(t)

dt =Ax(t), (2.5)

sendo x o vetor coluna das vari´aveis de estado e A a matriz Jacobiana

x(t) =        

x1−x∗1

x2−x∗2 ...

xn−x∗n        

, A=

       

∂f1(x∗)

∂x1

∂f1(x∗)

∂x2 ...

∂f1(x∗)

∂xn

∂f2(x∗)

∂x1

∂f2(x∗)

∂x2 ...

∂f2(x∗)

∂xn ... ... ... ...

∂fn(x∗₎ ∂x1

∂fn(x∗₎

∂x2 ...

∂fn(x∗₎ ∂xn        

Assim, em determinadas condi¸c˜oes o estudo da estabilidade de um ponto de equil´ıbrio

de um sistema n˜ao linear reduz-se ao estudo do sistema linear correspondente, ao menos

localmente. De acordo com o teorema de Hartman-Grobman [6], a estabilidade de um ponto

(23)

2.3. Espa¸cos de estados (ou espa¸cos de fases) 8

nula) ´e preservada quando se lineariza o sistema em torno desse ponto, de modo que o retrato

de fases, na sua vizinhan¸ca, ´e topologicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fases do

sistema linear associado. Dois retratos de fases s˜ao topologicamente orbitalmente equivalentes

quando um é a versão distorcida do outro. Se o ponto de equil´ıbrio é não-hiperbólico, ou seja,

se há algum autovalor com parte real nula, então a o teorema de Hartman-Grobman não pode

ser usado. Nesse caso, deve-se considerar termos de ordem superior, que foram desprezados

na expansão em série das fun¸cões dxi

dt , ou usar outro m´etodo para determinar a estabilidade,

como o m´etodo direto de Lyapunov.

2.2.1 Equivalˆ

encia Topol´

ogica

Assuma que a fun¸c˜aoh(x) =y estabele¸ca uma rela¸c˜ao entre o conjunto x e o conjuntoy:

                  

h1(x1, x2, ..., xn) = y1

h2(x1, x2, ..., xn) = y2 ... ...

hn= (x1, x2, ..., xn) = yn

Suponha que h seja uma fun¸cão injetora e sobrejetora. Uma fun¸cão com essas propri-edades é invert´ıvel, isto é, existe a fun¸cão inversa h−1

(y) = x. Se h ´e cont´ınua, invert´ıvel e sua inversa h−1

é cont´ınua, então hé chamada de homeomorfismo e o dom´ıniox e a imagem y são considerados homeomórficos.

Dois retratos de fases que apresentam a mesma estrutura orbital s˜ao qualitativamente

equivalentes e, conseq¨uentemente, eles representam comportamentos dinˆamicos similares.

2.3 Espa¸cos de estados (ou espa¸cos de fases)

O espa¸co de estados, ou espa¸cos de fases, ´e um espa¸con-dimensional, cujos eixos coordenados

s˜ao o eixo-x1, eixo-x2, ..., eixo-xn. Um estado ´e representado como um ponto com coordenadas

x1(t), x2(t), ..., xn(t) nesse espa¸co. Conforme o tempo varia, esse ponto se move, sendo sua

evolu¸c˜ao temporal determinada pelas n equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem:

dx1

(24)

2.4. Sistemas autônomos e não autônomos 9

dx2

dt =f2(x1, x2, ..., xn, t)

... ...

dxn

dt =fn(x1, x2, ..., xn, t)

ou na nota¸c˜ao vetorial:

dx

dt =f(x, t).

As variáveis dependentes xi(i= 1,2, ..., n) são chamadas de variáveis de estado.

As fun¸c˜oes fi definem o campo de velocidades desse sistema, pois a velocidade

ins-tantˆanea ´e dada por

dx

dt =f.

A dimensão do espa¸co de fases equivale ao número de equa¸cões de primeira ordem

necessárias para descrever o sistema, que é igual ao número de variáveis de estado. Por

exemplo, um plano ´e o espa¸co de fases para um sistema formado por duas equa¸c˜oes de primeira

ordem.

Chama-se retrato de fases o conjunto de curvas obtidas pela evolu¸cão temporal do sis-tema a partir de todas as condi¸cões iniciais nas quais as fun¸cões fi são definidas.

2.4 Sistemas autˆ

onomos e n˜

ao autˆ

onomos

Um sistemaautônomoé um conjunto de equa¸cões diferenciais, lineares ou não lineares, sujeitas a fun¸cões de entrada que não dependem explicitamente do tempo t [19].

Sistemas autônomos aparecem freqüentemente como modelos por duas razões:

(i) Muitos sistemas evoluem da mesma maneira, qualquer que seja o instante inicial t0. (ii) Muitos sistemas podem ser bem descritos pela evolu¸cão de certas quantidades médias. Média, aqui, significa média temporal, realizada numa escala de tempo que é curta

em compara¸c˜ao com a escala de tempo na qual se deseja visualizar a evolu¸c˜ao do sistema.

Se o tempo aparece explicitamente em algum coeficiente ou em alguma fun¸c˜ao de entrada,

(25)

2.5. Estabilidade e ponto de equil´ıbrio 10

Qualquer sistema não-autônomo, escrito na forma de n equa¸cões de primeira ordem,

pode ser reescrito numa forma autˆonoma, definindo-se xn+1 ≡ t. Usando esse artif´ıcio, o sistema torna-se:

dx1

dt =f1(x1, x2, ..., xn, xn+1)

dx2

dt =f2(x1, x2, ..., xn, xn+1)

... ... (2.6)

dxn

dt =fn(x1, x2, ..., xn, xn+1)

dxn+1

dt = 1

O espa¸co de fases do sistema não-autônomo original tem dimensão n. O espa¸co de fases

correspondente ao sistema não-autônomo, reescrito numa forma autônoma, é chamado de

espa¸cos de fases estendido, e possui dimens˜ao n+ 1.

2.5 Estabilidade e ponto de equil´ıbrio

Um ponto de equil´ıbrio ¯x é estável se toda solu¸cão próxima a ele permanece próxima. Ele

é assintoticamente estável se toda solu¸cão próxima não só permanece próxima, mas também

tende a ¯x.

Considere um sistema de equa¸c˜oes diferenciais

˙x =f(x); f :W_→Rn;W_⊂Rn aberto. (2.7)

Suponhamos f _∈C1

. Um ponto ¯x_∈W é um ponto de equil´ıbrio de (2.7) se f(¯x) =0. Claramente, a fun¸cão constante x(t) = ¯xé uma solu¸cão de (2.7). Seja φ : Ω _→ W um fluxo associado a (2.7), Ω _⊂ R×W é um conjunto aberto, isto é, para cada x _∈ W a aplica¸cão

t_→φ(t,x) = φt(x) é uma solu¸cão. Se ¯xé um ponto de equil´ıbrio, então φ_t(¯x) = ¯xpara todo

(26)

2.5.1 Estabilidade

A no¸cão de estabilidade mais freqüentemente considerada é aquela geralmente atribu´ıda à

Lyapunov. Um ponto de equil´ıbrio é estável se solu¸cões próximas permanecem próximas para

qualquer tempo futuro.(ver [10])

Do ponto de vista matem´atico, temos

Defini¸cão 2.1. Suponha ¯x _∈ W um ponto de equil´ıbrio do sistema (2.7). Então, x¯ é um ponto de equil´ıbrio estável se para toda vizinhan¸caU de ¯xem W existe uma vizinhan¸caU1 de ¯

x tal que toda solu¸c˜ao x(t) com x(0)_∈U est´a definido em U1 para todo t >0.

Figura 2.1: Ponto de equil´ıbrio est´avel.

Defini¸cão 2.2. Se U1 pode ser escolhido como na defini¸cão 2.1, e se limt→∞x(t) =¯x, então ¯

x´e assintoticamente est´avel.

Figura 2.2: Ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel.

Defini¸cão 2.3. Um ponto de equil´ıbrio x¯ que não é estável, é chamado de instável. Existe uma vizinhan¸ca U1 de x¯ tal que para toda vizinhan¸ca U de x, existe pelo menos uma solu¸cão¯

x(t) passando por x(0) _∈U, que n˜ao est´a no interior de U1.

Considere o sistema denequa¸cões diferenciais (2.2). O polinômio caracter´ıstico é obtido

(27)

Figura 2.3: Ponto de equil´ıbrio inst´avel.

os autovalores da matriz A tiverem a parte real diferente de zero, o ponto de equil´ıbrio

correspondente P∗ _{é chamado de} _hiperb´_{olico, independente do valor da parte imaginária.} Quando pelo menos um autovalor tem a parte real nula, o ponto de equil´ıbrio é denominado

den˜ao-hiperb´olico.

Os pontos de equil´ıbrio hiperbólicos podem ser classificados de três formas quanto à

estabilidade: atratores, repulsores, eselas([6] e [17]).

• Se todos os autovalores de A, reais ou complexos, tem a parte real negativa, o ponto de equil´ıbrio ´e chamado de atrator, sendo que neste caso o equil´ıbrio ´e assintoticamente

estável. Se todos os autovalores deAsão complexos, então o atrator é chamado defoco estável, e se todos os autovalores de A são reais, o atrator é chamado de nó estável.

• Se todos os autovalores da matriz A, reais ou complexos, tem a parte real positiva, o ponto de equil´ıbrio é chamado de repulsor ou fonte. Se os autovalores são complexos, então a fonte é chamada de foco instável e, se todos os autovalores de A são reais, a fonte é chamada denó instável.

• Quando alguns autovalores (mas não todos) têm a parte real positiva e o restante tem a parte real negativa, então o ponto de equil´ıbrio é chamado de sela.

Quanto à estabilidade de pontos de equil´ıbrio não-hiperbólicos, pode-se dizer que:

• Um ponto de equil´ıbrio não-hiperbólico éinstávelse um ou mais autovalores deA tem a parte real positiva.

(28)

2.6. Bifurca¸c˜ao 13

• Se todos os autovalores da matriz A são imaginários puros e não-nulos, o ponto de equil´ıbrio é chamado de centro.

2.6 Bifurca¸c˜

ao

O termo bifurca¸cão, introduzido por Poincaré em 1885, refere-se à mudan¸ca qualitativa do

retrato de fases de um sistema dinˆamico, conforme algum parˆametro do sistema passa por um

valor cr´ıtico [6]. A idéia de bifurca¸cão está intimamente ligada ao conceito de estabilidade

estrutural. Um sistema dinâmico é estruturalmente estável, se ele é orbitalmente

topologica-mente equivalente a uma vers˜ao perturbada. Se, no entanto, ao se variar o valor do parˆametro

em torno de um valor cr´ıtico ocorre uma mudan¸ca qualitativa no seu retrato de fases, ent˜ao

o sistema dinâmico é estruturalmente instável, para aquele valor cr´ıtico do parâmetro. Essa

mudan¸ca na topologia do retrato de fases é chamada de bifurca¸cão. Logo, uma bifurca¸cão é uma mudan¸ca na topologia do sistema conforme o parâmetro passa através de um valor

cr´ıtico (ponto de bifurca¸c˜ao).

As bifurca¸cões podem ser locais ou globais. Bifurca¸cões locais são aquelas que podem

ser previstas estudando-se o campo vetorial na vizinhan¸ca de um ponto de equil´ıbrio ou uma

órbita fechada. Normalmente esse estudo é realizado pelo cálculo de autovalores. Bifurca¸cões

globais são aquelas que não podem ser deduzidas a partir de uma análise local [15].

Seja algum valor α = α0 no sistema ˙x = f(x, α), e consideremos o maior conjunto de parâmetros próximos (chamado camada) contendo α0 e composto por aqueles pontos para os quais o sistema tem um retrato de fases que é topologicamente equivalente àquele de α0. Tomando todas as camadas tais que estejam no espa¸co de parâmetrosRm_{, obtemos o retrato}

param´etrico do sistema, que junto com seu retrato de fases caracter´ıstico constituem um

diagrama de bifurca¸c˜ao [7].

Um diagrama de bifurca¸cão de um sistema dinâmico é uma estratifica¸cão de seu espa¸co

de parâmetros induzida pela equivalência topológica, junto com o representativo retrato de

fases para cada camada.

Obtém-se o diagrama de bifurca¸cão como um resultado da análise qualitativa de um

sistema dinˆamico. Este classifica de maneira condensada, todos os poss´ıveis modos de

com-portamento do sistema e transi¸cões entre eles (bifurca¸cões) sob a varia¸cão do parâmetro de

(29)

bi-2.6. Bifurca¸c˜ao 14

furca¸c˜oes de algum tipo. A seguir apresentamos algumas das bifurca¸c˜oes mais simples [9].

2.6.1 Bifurca¸c˜

oes de codimens˜

ao um

A codimensão de uma bifurca¸cão é o número de parâmetros de controle para produzir a

bifurca¸cão em questão. Variando-se o valor de um único parâmetro, podem ocorrer quatro

bifurca¸cões locais. A forma normal das bifurca¸cões sela-nó, transcr´ıtica e de forquilha são

dadas em sistemas unidimensionais; a forma normal da bifurca¸c˜ao de Hopf exige um sistema

bidimensional.

Bifurca¸c˜ao sela-n´o

A bifurca¸cão sela-nó, também conhecida como bifurca¸cão tangente ou bifurca¸cão de

dobra, ´e o mecanismo b´asico pelo qual um par de pontos de equil´ıbrio com estabilidades

contrárias é criado ou destru´ıdo. Seja a equa¸cão diferencial:

dx

dt =fµ(x) = µ−x

2_.

Para µ < 0, n˜ao temos ponto de equil´ıbrio. Para µ = 0, existe um ´unico ponto de

equil´ıbrio est´avel na origem com autovalor 0. Paraµ >0, existe um ponto de equil´ıbrio est´avel

√_µ _{com autovalor} ₋₂√_µ_{, e um ponto de equil´ıbrio inst´avel} ₋√_µ _{com autovalor 2}√_µ_{. Dois}

pontos de equil´ıbrio s˜ao criados quando µpassa por 0, e µ= 0 ´e um valor cr´ıtico do sistema.

Na figura (2.4), o diagrama de bifurca¸c˜ao mostra a posi¸c˜ao do ponto de equil´ıbrio versus o

parˆametro de controleµ. A linha cont´ınua indica o conjunto est´avel e a linha tracejada, indica

conjunto inst´avel.

Figura 2.4: Bifurca¸c˜ao sela-n´o.

Bifurca¸c˜ao Transcr´ıtica

Esta bifurca¸c˜ao faz com que a estabilidade de dois pontos de equil´ıbrio seja trocada para

(30)

Considere o sistema de primeira ordem

˙

x=µx₋x2.

Para qualquer valor de µ, existem dois pontos de equil´ıbrio, um na origem e outro em

x=µ. O ponto de equil´ıbrio na origem possui autovalor igual a µ, então este é estável para

µ < 0 e instável para µ > 0. O ponto x = µ possui autovalor igual a ₋µ, então este é

estável para µ > 0 e instável para µ < 0. Uma bifurca¸cão ocorre em µ = 0, sendo este um

valor cr´ıtico, e o ponto de equil´ıbrio muda o tipo de estabilidade. O diagrama de bifurca¸c˜ao

´e mostrado na figura (2.5).

Figura 2.5: Bifurca¸c˜ao transcr´ıtica.

Bifurca¸c˜ao de Forquilha (Pitchfork)

Essa bifurca¸c˜ao aparece em sistemas f´ısicos com algum tipo de simetria. Um par de

pontos de equil´ıbrio de mesma estabilidade aparece e desaparece simultaneamente, quando o

parˆametro de controle passa por um valor cr´ıtico. Considere o sistema de primeira ordem

˙

x=µx₋x3.

Para qualquer tipo de µ, existe um ponto de equil´ıbrio na origem. Seu autovalor ´e igual

a µ, e então é estável para µ <0 e instável para µ >0. Para µ >0, existem dois pontos de

equil´ıbrio a mais, _±√µ. Ambos pontos de equil´ıbrio tˆem autovalor igual a ₋2µ, e os pontos

de equil´ıbrio são estáveis. Uma bifurca¸cão ocorre em µ = 0, sendo este um valor crit´ıco, o

ponto de equil´ıbrio na origem muda o tipo de estabilidade e dois novos pontos de equil´ıbrio

são criados. O diagrama de bifurca¸cão é mostrado na figura (2.6).

Bifurca¸c˜ao de Hopf

(31)

Figura 2.6: Bifurca¸c˜ao de forquilha supercr´ıtica (esquerda). Bifurca¸c˜ao de forquilha subcr´ıtica (direita).

imagin´arios no ponto de bifurca¸c˜ao. Considere o sistema de segunda ordem:

˙

x=y₋x(x2 +y2 ₋µ)

˙

y=₋x₋y(x2+y2₋µ).

O sistema tem um ponto de equil´ıbrio na origem com autovalores iguais a µ_±i onde

i =√₋1. Para µ < 0, o ponto de equil´ıbrio ´e est´avel. Quando µ= 0, o ponto de equil´ıbrio

torna-se não hiperbólico (possui autovalores imaginários puros), e para µ > 0, o ponto de

equil´ıbrio é instável. Além disso, um ciclo limite estável, dado pela solu¸cão de x2₊_y2 ₌ _µ_, existe paraµ >0. Dado que o ponto de equil´ıbrio muda sua estabilidade em µ= 0, este é um

valor cr´ıtico. O aparecimento de um par de autovalores conjugados complexos na passagem

pelo eixo imaginário, criando assim um ciclo limite, é chamada bifurca¸cão de Hopf.

O diagrama de bifurca¸cão é mostrado na figura (2.7). Para cada valor de µ = µ0, o sistema é descrito no plano definido porµ=µ0, e a superf´ıcie parabólica indica o ciclo limite.

(32)

2.7. Mapas e seçcão de Poincaré 17

2.7 Mapas e sec¸c˜

ao de Poincar´

e

Denominamos mapa um sistema dinâmico que evolui no tempo de uma forma discreta. Seja um sistema dinâmico cont´ınuo não-linear e o fluxo φt a ele associado. Esse fluxo pode

dar origem a um mapa

xi+1 =Fµ(xi), (2.8)

ondexé um vetorn-dimensional,Fµé uma fun¸cão não-linear (µé o parâmetro de controle), ei

representa os passos temporais fixos e discretos, ou passagens sucessivas por uma superf´ıcie de

seçcão do fluxo. Se o fluxoφté liso (r-vezes continuamente diferenciável) entãoF é um mapa

liso com uma inversa lisa, i.e., um difeomorfismo. A órbita do mapa será então a seqüência

de pontos (xi)−∞_+∞ definida pela equa¸cão (2.8), que é genericamente denominada uma equa¸cão

de diferen¸cas. Equa¸c˜oes de diferen¸cas podem tamb´em ser lineares, e nesse caso xi₊1 =Bxi e

qualquer ponto inicial gera uma única órbita, desde que B não tenha autovalores nulos (caso

degenerado) [6].

Uma das maneiras pela qual um fluxo cont´ınuo d´a origem a um mapa discreto ´e pela

utiliza¸cão de seçcões de Poincaré. A seçcão de Poincaré é uma maneira de reduzir o estudo

de um fluxo num espa¸co de fases comn dimens˜oes a uma aplica¸c˜ao (difeomorfismo), chamada

mapa de Poincar´e ou mapa de retorno (“return map”), num espa¸co de fases com (n ₋1)

dimens˜oes.

Considere por exemplo a equa¸c˜ao

¨

x+g(x,x˙) = f(t), (2.9)

ondef(t) é uma fun¸cão periódica de per´ıodoT. O diagrama de fases de (2.9) é tridimensional, e

cada estado é representado por (x,x, t˙ ). Nesse caso omapa de Poincaréé obtido simplesmente considerando-se a interseçcão da trajetória com o plano (x,x˙) (seçcão de Poincaré) toda vez

quet for igual a um m´ultiplo de T.

Introduzimos agora o conceito de mapa de Poincaré. Seja o sistema dinâmico autônomo

n-dimensional, com solu¸c˜oes peri´odicas

˙

x=f(x), x= (x1, x2,· · · , xn), (2.10)

ondef(x) é um campo vetorial não linear. Sejax0 uma órbita periódica (per´ıodoT) associada

(33)

2.7. Mapas e seçcão de Poincaré 18

de tal maneira que o fluxo seja transversal a ela. Sejax∗

0 o ponto onde a ´orbitax0 intercepta

Σ (fig. 2.8) eU _⊆Σ uma vizinhan¸ca dex∗

0 . Então o mapa de PoincaréP :U →Σ é definido

para um ponto x′

1 ∈U por

P(x′

1) =φ(x′1, τ),

onde τ =τ(x′

1) é o tempo necessário para que a órbitaφ(x1,t) que parte de x′1 retorne pela

primeira vez a Σ. Em geralτ depende dex′

1, masτ →T quandox′1 →x∗0 . A hipersuperf´ıcie

Σ é chamada seçcão de Poincaré.

Figura 2.8: Significado geométrico da aplica¸cão de PoincaréP: x0 é uma órbita periódica, x∗0 é o

ponto onde ela intercepta Σ;x1 é uma órbita não periódica que corta Σ em P(x′1)6=x′1.

Uma ´orbita peri´odica corresponde a um ponto fixo x∗

0 da aplica¸c˜ao P, isto ´e,

P(x∗

0) =x∗0.

Em particular, a estabilidade de x∗

0 relativamente `a aplica¸c˜aoP reflete a estabilidade da

órbita periódicax0 com rela¸cão ao fluxoφ(t). Na fig.(2.8) é representada a órbita periódicax0

(que passa por x∗

0) e aquela n˜ao peri´odica x1. Dessa figura pode-se depreender o significado

geométrico de P. P tem valores em Σ, que é (n₋1) dimensional. Mas x só pode variar em Σ; então P é um mapa (n₋1) dimensional.

Na Fig.(2.9) mostra-se como fluxos em duas e três dimensões dão origem a mapas

uni-dimensionais e biuni-dimensionais. Definido sobre a superf´ıcie transversal ao fluxo, o mapa de

Poincar´e relaciona um ponto do fluxo ao seu primeiro ponto de cruzamento com essa mesma

(34)

2.8. Expoentes de Lyapunov 19

Figura 2.9: Se¸c˜oes de Poincar´e : (a) unidimensional; (b) bidimensional

2.8 Expoentes de Lyapunov

Considera-se uma trajet´oria descrita por uma determinada evolu¸c˜ao. O expoente de Lyapunov

associado a esta trajetória é uma medida média da expansão e contra¸cão de trajetórias que

est˜ao pr´oximas a ela [9]. O expoente de Lyapunov mede o crescimento exponencial quanto

à perturba¸cão de uma trajetória, para determinado ponto no espa¸co de estado. Usando

o expoente de Lyapunov pode-se distinguir pontos fixos, movimentos peri´odicos e

quase-periódicos, e movimentos caóticos [16]. Supõe-se então um fluxo φ(t) e a evolu¸cão deste a

partir de duas condi¸c˜oes iniciais pr´oximas x0 e y0 =x0+ǫ0 tal que

|y0−x0| ≤ǫ0(x0). (2.11)

Note que esta proximidade (raio da vizinhan¸ca da ´orbita x0) depende das condi¸c˜oes iniciais.

O expoente de Lyapunov mede o crescimento exponencial da perturba¸c˜aoǫk(t) (figura 2.10) e pode ser definido como

λi = lim

t→∞ǫ0(limx0)→0 1

t ln ǫi(t)

ǫ0(x0)

(35)

2.9. Sistemas n˜ao-ideais 20

Logo,

ǫi(t)∼ǫ0(x0)eλit (2.13)

Figura 2.10: A divergˆencia de trajet´orias vizinhas.

Na pr´atica calcula-se analiticamente expoentes de Lyapunov em pouqu´ıssimos casos, mas

existem v´arias estimativas num´ericas para este valor [8]. Neste caso, calcula-seλpara

diferen-tes condi¸cões iniciais e faz-se uma média sobre os valores obtidos. Para um número de itera¸cões

suficientemente grande, o expoente de Lyapunov deixa de depender da condi¸c˜ao inicial. Os

expoentes de Lyapunov permitem obter informa¸c˜oes valiosas com respeito `a estabilidade local

de um atrator. Como em (2.13) tem-se uma medida de divergˆencia, pode-se concluir que a

existˆencia de um ou mais expoentes de Lyapunov positivos define uma instabilidade orbital,

o que permite concluir que: uma primeira condi¸cão para a ocorrência de atratores estranhos (dinâmica caótica) para sistemas cont´ınuos é a existência de pelo menos um expoente positivo. Pode-se observar ainda que, no caso de solu¸cões periódicas ou quase-periódicas, λi < 0 nas

dire¸c˜oes perpendiculares ao movimento, pois espera-se que esse deslocamento diminua com o

tempo, e λi = 0 ao longo da trajet´oria, visto que este deslocamento n˜ao deve se alterar. Por

outro lado, se Pm_i₌₁λi <0 tem-se uma diminui¸c˜ao do volume no espa¸co de fases e o sistema

torna-se dissipativo. Conclui-se então que: uma segunda condi¸cão para a ocorrência de atra-tores estranhos em sistemas cont´ınuos é Pm_i₌₁λi < 0, o que garante a contra¸cão do espa¸co

de fases. E, como terceira condi¸cão para existência de movimentos caóticos: a dimensão do espa¸co de fases deve ser no m´ınimo tridimensional.

2.9 Sistemas n˜

ao-ideais

Chamamos de sistemas não ideais os sistemas cuja excita¸cão é provocada por agentes com

(36)

oscilante, considera-se tamb´em que a a¸c˜ao do agente excitador depende do movimento do

sistema oscilante. Neste caso n˜ao existe uma lei espec´ıfica de varia¸c˜ao de sua for¸ca que possa

ser determinada por uma fun¸c˜ao dependente simplesmente do tempo. A for¸ca de excita¸c˜ao

deve depender das coordenadas de movimento e velocidade do agente e do sistema. No caso de

sistemas com fonte de energia ideal ou ilimitada, a resposta do sistema oscilante ao perturbador

é desprezada, isto é, não é levada em conta. Logo, sua for¸ca excitadora pode ser escrita apenas

como uma fun¸cão do tempo t . A formula¸cão de um sistema não ideal deve incluir então um

termo R(ϕ,ϕ, x,˙ x˙), com ϕ e x coordenadas de movimento do agente excitador e do sistema

oscilante respectivamente, que descreve a influˆencia do sistema oscilante sobre o agente.

Pode-se acrescentar ainda um termoQ(x,x, ϕ,˙ ϕ˙) que expressa o acoplamento do sistema oscilante

com a fonte não ideal, considerando termos não lineares que seriam desprezados na formula¸cão

convencional. Ambos são obtidos na determina¸cão das equa¸cões diferenciais do movimento.

Logo, o movimento de um sistema oscilante excitado por uma fonte de energia n˜ao ideal, com

n graus de liberdade, pode, de um modo geral, ser descrito pelas equa¸c˜oes:

(mi1x¨1 +βi1x˙1+ci1x1) + (mi2x¨2+βi2x˙2+ci2x2) +...+ (minx¨n+βinx˙n+cinxn) =

Qi(x1;x2;...;xn; ˙x1; ˙x2;...; ˙xn;ϕ; ˙ϕ)

Iϕ¨+H(ϕ; ˙ϕ)₋L(ϕ; ˙ϕ) = R(ϕ; ˙ϕ;x1;x2;...;xn; ˙x1; ˙x2;...; ˙xn) (2.14)

onde L(ϕ; ˙ϕ) é a fun¸cão torque de direcionamento ou for¸ca eletromecânica do perturbador,

e est´a intimamente ligada a natureza da fonte de energia. Portanto, os sistemas dinˆamicos

modelados matematicamente como n˜ao ideais possuem pelo menos um grau de liberdade a

mais do que o sistema ideal correspondente, dependendo do n´umero de motores presentes nele.

O fenômeno de salto e o aumento de potência exigido pela fonte de energia, operando na região

da ressonância, são manifesta¸cões do fenômeno conhecido como efeito Sommerfeld [1], em

homenagem ao primeiro pesquisador a observar estes fatos experimentalmente. Sommerfeld

foi o precursor desta teoria, quando em um experimento observou que a velocidade do motor

não dependia apenas do tempo, mas também da amplitude de oscila¸cão do sistema.

Um conceito importante em sistemas n˜ao ideais ´e a caracter´ıstica da fonte de energia.

Kononenko, a partir de 1958, publicou v´arios artigos investigando sistemas n˜ao ideais,

carac-ter´ısticas da fonte de energia e passagem pela ressonˆancia. A caracter´ıstica descreve a dinˆamica

interna da fonte de energia, relacionando suas grandezas, cujas escolhas dependem do tipo

(37)

fonte de energia limitada. Em sistemas mecˆanicos ´e comum adotar como caracter´ıstica da

fonte de energia mecânica a rela¸cão entre o torque L(ϕ; ˙ϕ) e a velocidade de rota¸cão ˙ϕ= dϕ_dt,

a qual é mantida constante quando a rela¸cão é encontrada. A caracter´ıstica muitas vezes é

utilizada como crit´erio de escolha da fonte de energia pois ela representa suas propriedades

essenciais. Uma técnica adotada para a obten¸cão da caracter´ıstica da fonte de energia é

ado-tar um parˆametro de controle, como por exemplo a potˆencia fornecida, e para cada valor fixo

deste, obter uma curva caracter´ıstica. Isso corresponde a uma fam´ılia de caracter´ısticas que

podem ser reguladas conforme a varia¸c˜ao do parˆametro de controle. Geralmente, tem-se duas

possibilidades destas curvas, no plano torque versus freqüência de rota¸cão. A primeira delas

sendo do tipo exponencial (mais realista)

L=a.ebdϕdt;

e a segunda sendo do tipo linear

L=a₋bdϕ dt :

Na figura (2.11), as curvas correspondem a diferentes valores do parˆametro de controle, os

quais geram as caracter´ısticas L0;L1;...;L5.

Figura 2.11: Fam´ılia de caracter´ısticas da fonte de energia (L0, L1, ..., L5). Forma exponencial (esquerda)e forma linear (direita).

Quando as caracter´ısticas s˜ao adotadas na forma exponencial, geralmente precisam ser

obtidas na forma gráfica, usando resultado de testes experimentais. A interseçcão da curva

caracter´ıstica para determinado valor do parˆametro de controle, com a curva referente `a

energia total consumida pelo sistema, define o ponto de estabilidade do sistema, para o qual

a rota¸cão é constante. Assim evidencia-se a dependência do movimento da fonte de energia

com rela¸c˜ao a resposta do sistema vibrante, dado que a rota¸c˜ao da fonte de energia depende

da energia consumida pela estrutura para se movimentar. Deseja-se analisar a inclina¸c˜ao da

curva caracter´ıstica, ou seja, o estudo da caracter´ıstica da fonte de energia ´e realizado atrav´es

(38)

Assim, quanto maior o valor de N, maior ´e a sua inclina¸c˜ao, podendo chegar a uma

posi¸c˜ao muito ´ıngreme (praticamente vertical), caracterizando o sistema ideal. Pode-se

classi-ficar a caracter´ıstica como suave quando N ´e pequeno, e r´ıgida (ou dura) quando N ´e grande.

Na maioria dos casos Ldecresce com o crescimento de ˙ϕ, ou seja,N ´e negativo. O torque de

resistência ao movimento de rota¸cão da fonte de energia H(ϕ; ˙ϕ) é obtido geralmente de

da-dos experimentais e apresentado na forma gr´afica. Uma revis˜ao completa de diferentes teorias

(39)

Cap´ıtulo 3

O sistema dinˆ

amico n˜

ao ideal

Nosso objetivo nesse cap´ıtulo é apresentar o sistema dinâmico não ideal estudado. Alguns

métodos discutidos no cap´ıtulo anterior são aqui aplicados na medida do poss´ıvel, na análise

do sistema. O sistema dinâmico considerado é constitu´ıdo por um bloco oscilante, ao qual é

adaptado um agente perturbador representado por um motor DC com energia limitada. Um

pˆendulo ´e acoplado ao bloco, como mostra a figura (3.1) abaixo.

Figura 3.1: O sistema estudado.

Temos então um bloco de massa m1, cuja oscila¸cão vertical é provocada pela rota¸cão da massa m2 por um motor DC com fonte de energia limitada. O bloco está suspenso por uma mola de constante k1 e por um amortecedor de constante c1, e ao bloco está acoplado um pêndulo de massa m3.

Os parˆametros f´ısicos do sistema est˜ao dados na tabela (3.1).

(40)

3.1. Equa¸c˜oes de movimento 25

m1 massa do bloco

m2 massa acoplada ao motor

m3 massa do pˆendulo

k1 coeficiente de elasticidade linear da mola

c1 coeficiente de amortecimento

L comprimento do pˆendulo

R distˆancia da massam2 ao eixo do motor

c3 coeficiente de amortecimento do pˆendulo

q1 vibra¸c˜ao vertical do bloco

q2 deslocamento angular do motor

q3 deslocamento angular do pˆendulo

M( ˙q2) torque l´ıquido do motor

J2 momento de in´ercia do rotor

g acelera¸c˜ao da gravidade.

Tabela 3.1: Descri¸c˜ao dos parˆametros

3.1 Equa¸c˜

oes de movimento

As equa¸c˜oes diferenciais de movimento do sistema dinˆamico governam o comportamento do

mesmo. Como o sistema estudado possui três graus de liberdade, temos três equa¸cões

dife-renciais de segunda ordem. Para encontr´a-las, usaremos as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange do

c´alculo variacional [5].

d dt(

∂L ∂q˙i

)₋ ∂L

∂qi

=Ni

onde ∂L

∂q˙i

= ∂T

∂q˙i

e ∂L

∂qi

= ∂T

∂qi −

∂V ∂qi

d dt(

∂T ∂q˙i

)₋ ∂T

∂qi

+∂V

∂qi

=Ni; i= 1,2,3. (3.1)

Energia Cin´etica

T = 1 2[m1q˙1

2₊_m

2(R2q˙22+ ˙q12+ 2Rq˙1q˙2cosq2) +m3(L2q˙32+ ˙q12+ 2Lq˙1q˙3senq3)] +J2q˙22 (3.2)

(41)

U = 1 2k1q

2

1 (3.3)

Trabalho da for¸ca peso

Wc =−g{m1q1+m2(q1 +Rsenq2) +m3[q1+L(1−cosq3)]} (3.4)

Energia potencial total

V =U₋Wc (3.5)

Calculando os termos para cada i, temos

• para i= 1:

d dt(

∂T ∂q˙1

) = (m1+m2+m3) ¨q1+m2R( ¨q2cosq2−q˙22senq2) +m3L( ¨q3senq3+ ˙q32cosq3)

∂T ∂q1

= 0

∂V ∂q1

=k1q1+ (m1+m2+m3)g

N1 =−c1q˙1

• para i= 2:

d dt(

∂T ∂q˙2

) = (m2R2 +J2) ¨q2+m2R( ¨q1cosq2−q˙1q˙2senq2)

∂T ∂q2

=₋m2Rq˙1q˙2senq2

∂V ∂q2

=m2gRcosq2

N2 =M( ˙q2)

(42)

d dt(

∂T ∂q˙3

) =m3L2q¨3+m3L( ¨q1senq3+ ˙q1q˙3cosq3)

∂T ∂q3

=m3Lq˙1q˙2cosq3

∂V ∂q3

=m3gLsenq3

N3 =−c3q˙3

Fazendo

m=m1 +m2+m3

α =m2R

β =m3L

α2 =m2R2+J2

α3 =m2gR

β2 =m3L2

β3 =m3gL

temos as equa¸c˜oes de movimento

mq¨1+c1q˙1+k1q1 =−mg−α( ¨q2cosq2−q˙22senq2)−β( ¨q3senq3+ ˙q32cosq3) (3.6)

α2q¨2 =M( ˙q2)−αq¨1cosq2−α3cosq2 (3.7)

β2q¨3+c3q˙3 =−βq¨1senq3−β3senq3 (3.8)

Isolando ¨q1, ¨q2 e ¨q3 respectivamente nas equa¸c˜oes, obtemos

¨

q1 =−g−

c1

mq˙1− k1

mq1− α

mq¨2cosq2+ α mq˙2

2_sen_q 2−

β

mq¨3senq3− β mq˙3

2_cos_q

3 (3.9)

¨

q2 =

M( ˙q2)

α2 −

α α2

¨

q1cosq2−

α3

α2

(43)

¨

q3 =−[

c3

β2 ˙

q3+

β β2

¨

q1senq3+

β3

β2

senq3] (3.11)

Substituindo ¨q2 e ¨q3 em (3.9), temos

¨

q1 = 1

D{ α α2

cosq2[α3cosq2−M( ˙q2)] +

β β2

senq3[β3senq3 (3.12)

+c3q˙3] +αq˙22senq2−βq˙32cosq3−mg−c1q˙1−k1q1}

onde

D=m₋ α

2

α2

cos2q2−

β2

β2 sen2q3

Substituindo agora (3.12) nas equa¸c˜oes (3.10) e (3.11) resultam

¨

q2 =

M( ˙q2)

α2 −

α2

α2 2D

cos2q2[α3cosq2−M( ˙q2)]−

αβ α2Dβ2

cosq2senq3[β3senq3+c3q˙3] (3.13)

−_αα

2D

cosq2(αq˙22senq2−βq˙32cosq3−mg−c1q˙1−k1q1)−

α3

α2 cosq2

¨

q3 =−

c3

β2 ˙

q3−

αβ α2Dβ2

cosq2senq3[α3cosq2−M( ˙q2)]−

β2

β2 2D

sen2_q

3[β3senq3+c3q˙3] (3.14)

−_ββ

2D

senq3(αq˙22senq2−βq˙32cosq3−mg−c1q˙1−k1q1)−

β3

β2 senq3

Introduzindo as novas vari´aveis

x1 =

q1

L

x2 = ˙

q1

L x3 =q2

x4 = ˙q2

x5 =q3

x6 = ˙q3

transformamos as três equa¸cões (3.12), (3.13) e (3.14), que são equa¸cões diferenciais de segunda

ordem, em um sistema de seis equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem

˙

(44)

3.2. Pontos de equil´ıbrio do sistema 29

˙

x2 = 1

DL{ α α2

cosx3[α3cosx3−M(x4)] +

β β2

senx5[β3senx5+c3x6]

+αx2₄senx3−βx26cosx5−mg−c1Lx2−k1Lx1}

˙

x3 =x4

˙

x4 =

M(x4)

α2 −

α2

α2 2D

cos2x3[α3cosx3−M(x4)]−

αβ α2Dβ2

cosx3senx5[β3senx5+c3x6]

− α

α2D

cosx3(αx24senx3−βx26cosx5−mg−c1Lx2−k1Lx1)−

α3

α2 cosx3

˙

x5 =x6

˙

x6 =−

c3

β2

x6 −

αβ α2Dβ2

cosx3senx5[α3cosx3−M(x4)]−

β2

β2 2D

sen2x5[β3senx5+c3x6]

− β

β2D

senx5(αx2₄senx3−βx26cosx5−mg−c1Lx2−k1Lx1)−

β3

β2 senx5

3.2 Pontos de equil´ıbrio do sistema

Conforme o item (2.5), escrevendo o sistema de equa¸c˜oes diferenciais na nota¸c˜ao matricial

˙

x=f(x), os pontos de equil´ıbrio x∗ _{s˜ao encontrados fazendo} _f_{(x) =}_0. Temos imediatamente que x∗

2 = x∗4 = x∗6 = 0, e substituindo esses valores nas demais equa¸c˜oes encontramos

1

DL{ α α2

cosx3(α3cosx3−M(0)) +

β β2

senx5(β3senx5)₋mg₋k1Lx1}= 0

M(0)

α2 −

α2

α2 2D

cos2x3(α3cosx3−M(0))−

αββ3

α2Dβ2

cosx3sen2x5−

α α2D

cosx3(₋mg₋k1Lx1)−

α3

α2

cos3 = 0

−_ααβ

2Dβ2

cosx3senx5(α3cosx3−M(0))−

β2_β 3

β2 2D

sen3x5−

β β2D

senx5(₋mg₋k1Lx1)−

β3

β2

senx5 = 0

Da ´ultima equa¸c˜ao obtemos

[₋ αβ

α2Dβ2

cosx3(α3cosx3−M(0))−

β2_β 3

β2 2D

sen2x5+

β β2D

(mg+k1Lx1)−

β3

β2

]senx5 = 0

e portanto







senx5 = 0, x5 =Kπ; K ∈Z

−α2αβDβ2 cosx3(α3cosx3 −M(0))−

β2_β 3

β2 2Dsen

2_x

5+ _β2βD(mg+k1Lx1)−

β3