Seminário Correlação Canônica

(1)

Universidade de S˜ao Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Departamento de Ciˆencias Exatas

An´

alise de correla¸

c˜

ao canˆ

onica

Kuang Hongyu

Prof. Dr. Carlos Tadeu dos Santos Dias

(2)

Análise de correla¸cão canônica

Generalizando um análise de Regressão Múltipla

Ideia

Análise de correla¸cão canônica pode ser pensada como uma gene-raliza¸cão de regressão múltipla que permite várias variáveis Y de-pendentes serem relacionadas a várias variáveis X explanatórias.

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Análise de correla¸cão canônica Objetivo

Objetivo

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Análise de correla¸cão canônica Exemplo

Exemplo

Hotelling (1936) descreveu uma análise de correla¸cão canônica pela primeira vez. Este exemplo envolveu os resultados de testes para velocidade de leitura (X1), potência de leitura (X2), velocidade aritmética (Y1) e potência aritmética (Y2), para n= 140 crian¸cas da 7a série

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Abordagem de uma análise de correla¸cão canônica: Procurar uma combina¸cão linear de X1 eX2

U =a1X1+a2X2

E uma combina¸c˜ao linear deY1eY2

V =b1Y1+b2Y2

Que tenha a m´axima correla¸c˜ao (U,V) poss´ıvel

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Observa¸cão: Em ACP, maximiza-se a variância e em ACC, maximiza-se a correla¸cão

Resultados:

Com as variáveisX1,X2,Y1eY2padronizadas para ter variâncias unitárias, Hotelling encontrou as melhores escolhas:

U =−2,78X1+ 2,27X2

E

V =−2,44Y1+ 1,00Y2

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Análise de correla¸cão canônica Interpreta¸cão

Interpreta¸c˜ao:

U mede a diferen¸ca entre velocidade e potência de leitura. V mede a diferen¸ca entre velocidade e potência aritmética

Crian¸cas com uma grande diferen¸ca entreX1 eX2 tendem a ter grande diferen¸ca entre Y1 e Y2. É este aspecto de leitura e arit-mética que mostra a maior correla¸cão

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H. HOTELLING 1935-1936 Trata da correla¸cão entre uma com-bina¸cão linear de variáveis de um grupo pX(1)1 e a combina¸cão

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(p+q)Σ(p+q)=

pΣ11p pΣ12q qΣ21p qΣ22q

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Análise de correla¸cão canônica Problema

Problema

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Análise de correla¸cão canônica Solu¸cão

Solu¸c˜ao

Resumir a associa¸c˜ao entrepX(1)1 eqX(2)1 em poucas covariˆancias

(ou correla¸c˜oes). Ou seja, procura-se resumir o espa¸co de parˆametros.

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Solu¸c˜ao

Assim,

V ar(U) =a′_Cov₍_X(1)₎_a₌_a′_Σ 11a

e

V ar(V) =b′_Cov₍_X(2)₎_b₌_b′_Σ 22b

e,

Cov(U,V) =Cov(a′_X(1)

,b′_X(2)_{) =}_a′_Cov₍_X(1)

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Solu¸c˜ao

Procuramos por coeficientes dos vetoresaebtais que

Cov(U,V) = √ a′Σ12b a′_Σ₁₁_a√_b′_Σ₂₂_b, seja m´axima.

Em suma: max

a,b Corr(U,V) Sujeito `as restri¸c˜oes:

a′_Σ 11a= 1

b′_Σ 22b= 1

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Solu¸c˜ao

Os vetores ai eak, bj e bl produzem combina¸c˜oes lineares n˜ao correlacionadas

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Análise de correla¸cão canônica Resultado

Resultado 1.1

Sejam os coeficientes dos vetores pa1 e qb1 que formam as

com-bina¸c˜oes lineares (assumindop_≤q)

U=a′_X(1)

e V=b′_X(2)

Ent˜ao,max

a,b Corr(U,V) =ρ ∗ 1

atingido pela combina¸cão (primeiro par de variáveis canônicas)

U1=e′1Σ− 1/2 11

| {z } a′

1

X(1) e V1=f1′Σ− 1/2 22

| {z } b′

1

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Análise de correla¸cão canônica Resultado

Resultado 1.1

O k-ésimo par de variáveis canônicas, k = 2,3, . . . , p maxi-mizaCorr(Uk,Vk) =ρ∗k, entre aquelas combina¸cões não correla-cionadas com as (k−1) variáveis canônicas precedentes.

Aqui, ρ∗2

1 ≥ ρ∗

2

2 ≥ . . . ≥ ρ∗ 2

p , s˜ao os autovalores de Σ−₁₁1/2Σ12Σ−221Σ21Σ−111/2ee1,e2, . . . ,eps˜ao os associados autove-tores (p x 1).

As quantidades ρ∗2 1 , ρ∗

2 2 , . . . , ρ∗

2

p s˜ao tamb´em os p maiores au-tovalores da matriz Σ−₂₂1/2Σ21Σ11−1Σ12Σ−221/2 com

correspon-dentes autovetores f1,f2, . . . ,fq. Cada fi ´e proporcional a Σ−₂₂1/2Σ21Σ−111/2ei

| {z } ai

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PROPRIEDADES DAS VARI ´AVEIS CAN ˆONICAS

PROPRIEDADES DAS VARI ´

AVEIS CAN ˆ

ONICAS

V ar(Uk) =V ar(Vk) = 1

Cov(Uk, Ul) =Corr(Uk, Ul) = 0, k6=l

Cov(Vk, Vl) =Corr(Vk, Vl) = 0, k6=l

Cov(Uk, Vl) =Corr(Uk, Vl) = 0, k6=l

para k, l= 1,2, . . . p

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RELAC¸ ˜AO ENTRE OS COEFICIENTES

RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

Se ak′ é o vetor de coeficientes para ak-ésima variável canônica, originadas de X(1), entãoak′V111/2 é o vetor de coeficientes para

ak-ésima variável canônica constru´ıda das variáveis padronizadas Z(1), em que:

V1₁₁/2= diag{√σii}= diag{

q

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RELAC¸ ˜AO ENTRE OS COEFICIENTES

RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

Similarmente, bk′V122/2 ´e o vetor de coeficientes para a k

-ésima variável canônica constru´ıda do conjunto de variáveis padronizadasZ(2), com:

V1₂₂/2= diag{√σii}= diag{

q

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Análise de correla¸cão canônica EXEMPLO

EXEMPLO (pg.593, 4

a

_{edi¸c˜ao J-W): suponha}

_p

₌

_q

_{= 2 e os}

vetores aleat´

orios:

Z(1)=



 

Z(1)₁

Z(1)₂ 



 e Z(2)= 

 

Z(2)₁

Z(2)₂ 

 

SejaZ=

  Z(1) Z(2)  e

Cov(Z)=





ρ11 ρ12

ρ21 ρ22

 =    

1 0,4 0,5 0,6 0,4 1 0,3 0,4 0,5 0,3 1 0,2 0,6 0,4 0,2 1



(21)

RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

Ent˜ao,

ρ−111/2=

1,0681 −0,2229 −0,2229 1,0681

e ρ−1 22 =

1,0417 −0,2083 −0,2083 1,0417

Nota: Da DVS deρ11=UΛV′=⇒ρ− 1/2

11 =UΛ−1/2V′,

e

ρ−111/2ρ12ρ−221ρ21ρ− 1/2

11 =

0,4371 0,2178 0,2178 0,1096

e seus autovaloresρ∗2

1 eρ∗22 são obtidos à partir da equa¸cão

(22)

RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

0,4371−λ 0,2178 0,2178 0,1096−λ

= 0

(0,4371−λ)(0,1096−λ)−(0,2178)2= 0

λ2−0,5467λ+ 0,0005 = 0

ρ∗2

1 = 0,5458 e ρ∗22= 0,0009

O autovetore1vem da equa¸c˜ao caracter´ıstica: Ae1=λ1e1. Assim, de

0,4371 0,2178 0,2178 0,1096

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RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

obtemos,

e1=

0,8947 0,4466

e a1=ρ−111/2e1=

0,8561 0,2776

Mas,f1∝ρ−221/2ρ21ρ− 1/2 11 e1

| {z }

a₁

e b1∝ρ−221/2f1

Consequentemente,

b1∝ρ−221ρ21a1=

0,3959 0,2292 0,5209 0,3542

0,8561 0,2776

(24)

RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

b1∝

0,4026 0,5443

Mas,b1 deve ser aquele que Var(V1) = Var(b1′)Z(2)=b1′ρ22b1= 1.

O vetor [0,4026 0,5443] (proporcional ab1′) fornece:

[0,4026 0,5443]

1 0,2 0,2 1

0,4026 0,5443

= 0,5460

Usando√0,5460 = 0,0,7389, temos:

b1= 1

0,7389

0,4026 0,5443

=

0,5448 0,7366

(25)

RELAC

¸ ˜

AO ENTRE OS COEFICIENTES

Assim,U1=a′

1Z(1)= 0,8561Z (1)

1 + 0,2776Z (1) 2

V1=b1′Z(2)= 0,5448Z(2)1 + 0,7366Z (2) 2

e ρ∗ 1=

p

ρ∗ 1=

p

0,5458 = 0,7387

“Esta é a maior correla¸cão poss´ıvel entre todas as combina¸cões lineares das variáveis dos conjuntosZ(1) e Z(2)”.

Por outro lado,ρ∗ 2=

√₀

,0009 = 0,03.

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Análise de correla¸cão canônica Exemplo 1.3

Exemplo 1.3 Distribui¸c˜ao de uma borboleta

Os dados na Tabela 1.3 podem ser usados para ilustrar o procedi-mento para uma análise de correla¸cão canônica. Um estudo de 16 colônias de borboletasEuphydryas edithana Califórnia e em Oregon

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Análise de correla¸cão canônica Exemplo 1.3

Exemplo 1.3 Distribui¸c˜ao de uma borboleta

Quaisquer relacionamentos significantes entre as variáveis ambi-entais e genéticas são interessantes porque eles podem indicar a adapta¸cão deE.edithaao ambiente local

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