1. Introdução - Teoria dos Conjuntos.

Teoria dos Conjuntos

Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas.

Porém, não é nosso objetivo ver uma teoria axiomática dos conjuntos. Veremos uma definição mais intuitiva de conjuntos, que forma a chamada Teoria Ingênua dos Con-juntos (naive set theory), porém daremos definições formais das operações e relações entre os conjuntos.

1. Introdução

A definição informal de conjunto que vamos utilizar é essa:

Um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos distintos.

Os objetos no conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. Também podemos dizer, neste caso, que os objetos pertencem ao conjunto. Essa relação entre os objetos e os conjuntos pode ser representada assim:

• x ∈∈∈∈ A : Representa que o objeto x é elemento do conjunto A (ou: x pertence a A) • x ∉∉∉∉ A : Representa que o objeto x não é elemento do conjunto A. Por definição,

isso é o mesmo que ¬(x ∈ A).

• Alguns livros também usam os símbolos ∈ e ∉ invertidos (virados para a es-querda) para representar as relações inversas (dos conjuntos para os objetos).

• Observação: Para contrastar, lembre-se que, nas tuplas ou listas, tanto a ordem como a ocorrência de repetições importam.

Agora vamos falar de alguns tipos de conjuntos que recebem nomes especiais:

• Conjunto Universo: Conjunto que contém todos os objetos que interessam a um estudo particular. (Na verdade, não faz sentido estudar nada na Matemática sem fixar um conjunto universo para servir de referência). Usamos a letra U para re-presentar um conjunto universo qualquer.

• Conjunto Vazio: É o conjunto que não tem elementos.

• Conjunto Unitário: É todo conjunto que possui um único elemento.

2. Representações de Conjuntos

Veremos três tipos de representações, porém, destacaremos mais a terceira.

2.1 Diagramas de Euler-Venn

Consiste em usar curvas fechadas simples para representar os conjuntos. Se preciso, os elementos podem ser representados dentro dessas curvas.

• O conjunto universo costuma ser representado como um retângulo, dentro do qual desenhamos os demais conjuntos, os quais, geralmente, são representados com círculos e formas elípticas.

2.2 Representação por Extensão

Consiste em listar todos os elementos do conjunto entre chaves. Exemplos:

o { a, b, c, d, e } o { {a, b,}, {c}, {d} }

• O conjunto vazio pode ser representado de uma das formas abaixo:

o { } ou ∅

• Conjuntos com muitos elementos, em que esses elementos seguem um modelo óbvio, podem ser abreviados usando três pontos:

o { 0, 2, 4, 6, 8, ..., 18, 20 } o { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

2.3 Representação por Construção de Conjuntos

Também chamada de representação por compreensão de conjuntos. Ela tem variações, mas a idéia básica é descrever a propriedade que os elementos do conjunto universo devem possuir para fazer parte desse conjunto.

Veremos duas formas mais comuns dessas representação:

Forma 1: C = { x ∈∈∈∈ U | P(x) }, onde: • U é o conjunto universo

• O símbolo “|” ou “:” aqui pode ser lido como “tal que”

• P(x) é algum predicado sobre x, ou seja, P(x) é alguma condição que x tem que satisfazer para ser elemento do conjunto.

• Assim, dizer x ∈∈∈∈ C significa dizer que x∈∈∈∈U e P(x) é verdade, ou seja, x perten-ce ao universo e satisfaz o predicado P(x).

Exemplos:

• P = { x ∈ Z | x é par }

Dizer que x∈∈∈∈Pequivale a dizer que x∈∈∈∈Z e x é par.

• Q = { n∈ R | n = p/q e p∈Z e q∈Z e q ≠ _{0 }}

Este é o conjunto dos números racionais.

Quando o conjunto universo está implícito no contexto, ele pode ser omitido na cons-trução de conjuntos. Por exemplo:

• A = { x | x é par e 0 < x < 10 }

Aqui, está implícito que x é inteiro, porque só os inteiros podem ser pares. Este é o conjunto finito { 2, 4, 6, 8 }.

Observe que os conjuntos universo e vazio podem ser construídos usando, respectiva-mente, os predicados P(x)=Verdade (aceita todo elemento x) e P(x)=Falso (rejeita todo elemento x).

U = { x | Verdadeiro } ∅

∅ ∅

∅ = { x | Falso }

Forma 2: C = { f(x) | x ∈∈∈∈ U e P(x) }, onde:

• Neste caso, o x que satisfaz P(x) não é o elemento do conjunto. Na verdade, é como se selecionássemos os valores de x que satisfazem P(x) e, então, aplicás-semos a função f nesses valores para obter os elementos do conjunto.

• Assim, dizer a∈∈∈∈C significa dizer que a=f(k) para algum k∈∈∈∈U tal que P(k), ou seja, a é o resultado da aplicação da função f em algum valor k que satisfaz o predicado P(k).

Exemplos:

• B = { 2k | k ∈ Z e 1 < k < 4 }

B é o conjunto { 2, 4, 6, 8 }. Veja que este conjunto equivale ao conjunto A defi-nido antes com a forma 1.

Dizer que x∈∈∈∈Bequivale a dizer que x=2k para algum k inteiro tal que 1<k<4.

• Q = { p/q | p,q∈Z e q ≠ 0 }

Esta é outra maneira de definir o conjunto dos números racionais, equivalente à definição anterior, dada com a forma 1.

3. Operações e Relações entre Conjuntos

Abaixo, definimos várias operações entre conjuntos usando predicados lógicos. Obser-ve a íntima relação que existe entre essas operações e vários dos operadores lógicos estudados antes.

União de A e B: a junção dos elementos de A com os de B • A ∪ B = { x ∈U | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) }

Intersecção entre A e B: tudo o que A e B têm em comum • A ∩ B = { x ∈U | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) }

Um conceito que está relacionado com a interseção é definido abaixo: Dois conjuntos são ditos disjuntos (entre si) sse A ∩ B = ∅

Complemento de A: tudo que não está em A

• (AC ou) A = { x ∈U | x ∉ A } = { x | ¬(x ∈ A) }

Diferença entre A e B: tudo o que está em A, mas não está em B • A – B = { x ∈U | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B) }

As relações entre os conjuntos também são ligadas aos operadores lógicos, como mos-tramos abaixo:

A é subconjunto de B: indica que todo elemento de A é também elemento de B • Representado como A ⊆⊆⊆⊆ B. Formalmente, significa que:

• Observe que, para todo conjunto, é verdade que A ⊆⊆⊆⊆ A. (Por quê?).

A é igual a B: indica que os conjuntos A e B possuem exatamente os mesmos elemen-tos

• Representado como A = B. Formalmente, significa que:

para todo x do universo: (x ∈∈∈∈ A) ↔ (x ∈∈∈∈ B)

• Uma definição alternativa, equivalente à anterior:

A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A (Por quê esta definição é equivalente?)

A é um subconjunto estrito de B: indica que A é subconjunto de B, mas não pode ser igual a B

• Representado como A ⊂⊂⊂⊂ B . Formalmente, indica simplesmente que:

(A ⊆⊆⊆⊆ B) e (A ≠ B)

4. Demonstrações

Com base nas definições da seção anterior, vamos, agora, apresentar formas de demons-trar igualdade (A=B) e continência (A⊆ B)entre dois conjuntos quaisquer.

Para demonstrar que A ⊆⊆⊆⊆ B, com base na definição desta relação, basta demonstrar

que, para todo x do universo, é verdade a implicação:

(x ∈∈∈∈ A) → (x ∈∈∈∈ B)

Já vimos como provar implicações de diversas formas. Por exemplo, uma prova direta, teria essa estrutura:

• Hipótese: x ∈∈∈∈ A

<desenvolvimento do argumento>

Para demonstrar que A=B, podemos usar qualquer das duas definições de igualdade dadas, o que nos dá duas estratégias:

1) A mais simples consiste em provar separadamente que:

A ⊆⊆⊆⊆ B e

B ⊆⊆⊆⊆ A.

2) Se usarmos a outra definição, teremos uma bi-implicação, que já vimos como provar em uma aula recente. Para exemplificar, vamos dar um esboço da prova do seguinte resultado, ligado ao Algoritmo de Euclides:

para todos a e b naturais, com b≠≠≠≠0:

mdc(a, b) = mdc(b, a mod b)

Demonstração (esboço):

Considere Dx, y como o conjunto dos divisores comuns de x e y. Ou seja:

Dx, y = { d | d divide x e d divide y }

Por definição, o mdc(x,y) é o valor máximo deste conjunto. Assim, vamos provar que mdc(a, b)=mdc(b, a mod b) provando que (todos) os divisores comuns de a

e b coincidem com (todos) os divisores comuns de b e a mod b: Da, b = Db, a mod b

Pela definição da igualdade de conjuntos, isso corresponde a provar que: (para todo x inteiro)

x ∈Da, b sse x ∈Db, a mod b

Porém, pela definição desses dois conjuntos, isso corresponde à afirmação: “x divide a e b se e somente se x divide b e (a mod b)”

5. Propriedades Gerais dos Conjuntos

Devido à íntima ligação que há entre os operadores dos conjuntos e os conectivos lógi-cos, os conjuntos têm propriedades de igualdade (identidades) análogas às equivalências lógicas que vimos. Por exemplo, a equivalência ¬(a∨b) ≡ ¬a∧¬b está intimamente ligada esta propriedade dos conjuntos:

(

)

Ambas são chamadas de leis de De Morgan, porém a primeira é uma lei de equivalên-cia da Lógica Proposicional (que vale para quaisquer proposições p e q) e a segunda é uma identidade (igualdade) de conjuntos para quaisquer conjuntos A e B.

A tabela a seguir mostra outras identidades e suas análogas na Lógica Proposicional.

Equivalência Lógica Identidade de Conjuntos

p∨1 ≡ 1 A ∪ U = U

p∧0 ≡ 0 A ∩∅ = ∅

¬ (¬ p) ≡ p (AC)C = A

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) p∨¬ p ≡ 1 A ∪ AC = U

Observe como o conjunto universo U faz um papel análogo ao do valor-verdade 1 (V) e o conjunto vazio faz papel análogo ao do valor-verdade 0 (F).

Outras identidades de conjuntos podem ser vistas no material extra desta aula.

6. Outras Operações com Conjuntos

Cardinalidade de um conjunto finito A: é a quantidade de elementos distintos do con-junto A. Representada como |A|.

• |A| = quantidade de elementos (se A for finito)

• Exemplos:

| {a, b} | = 2 | {a, a} | = 1

| ∅ | = 0

| { ∅, {a,b,c,d} } | = 2

• Observação: veremos a cardinalidade de conjuntos infinitos em uma aula poste-rior, se der tempo.

Conjunto das partes de A: é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos possíveis de A. Representado como P(A) ou 2A (isso não é uma exponenciação – é ape-nas uma notação, talvez um tanto esquisita, para esta operação).

• Definição: P(A)= { X | X ⊆ A }

• Exemplo:

P({a,b}) = { { }, {a}, {b}, {a,b} }

P({a,b,c}) = { { }, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }

• Uma propriedade interessante é que, se um conjunto tem n elementos, então o conjunto das partes dele tem 2n elementos. Ou seja: |P(A)|=2|A|.

Produto cartesiano de A por B: é o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro elemento vem de A e o segundo vem de B. Representado como A××××B.

• Definição:

A ×××× B = { (a,b) | a ∈ A e b ∈ B }

{ a, b } × { 1, 2} = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2) }

Produto cartesiano generalizado: conjunto de todas as n-tuplas em que o primeiro elemento vem de A1, o segundo vem de A2, ..., e o n-ésimo vem de An.

• Definição:

A1×××× A2×××× A3×××× ... An = { (a1, a2,... an) | a1∈ A1 e a2∈ A2 e ... e an∈ An }

• Exemplo:

{ a, b } × { 1, 2} × { a, b }

= { (a,1,a), (a,1,b), (a,2,a), (a,2,b), (b,1,a), ..., (b,2,b) }

“Ninguém pode vir a mim, se o Pai que me enviou não o atrair; e eu o ressuscitarei no último dia.”