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Teoria dos Grupos e Anéis

Teoria dos Grupos e Anéis

6.1. Definição de Operações Binárias

Sendo E um conjunto, não vazio, toda aplicação (função) f: ExE → E recebe o nome de Sendo E um conjunto, não vazio, toda aplicação (função) f: ExE → E recebe o nome de operação binária

operação binária sobre E.sobre E.Notação:Notação: f(x , y) = x * y.f(x , y) = x * y.

6.1.1. Propriedades de Operações Binárias 6.1.1. Propriedades de Operações Binárias

Seja * uma operação binária sobre um conjunto E. Seja * uma operação binária sobre um conjunto E. a)

a)  Fechamento Fechamento: Para quaisquer x e y Î E : Para quaisquer x e y Î E tem-se x * y Î Etem-se x * y Î E  b)

 b)  Associativa Associativa: Para quaisquer x, y e z Î E : Para quaisquer x, y e z Î E tem-se: x * (y * z) tem-se: x * (y * z) = (x * y) * = (x * y) * z.z. c)

c) ComutativaComutativa: Para quaisquer x, y Î E tem-se: x * : Para quaisquer x, y Î E tem-se: x * y = y * x.y = y * x. d)

d)  Elemento Neutro Elemento Neutro:: Existe, um elemento,

Existe, um elemento, ee Î E tal que, para todo x Î E tem-se x * e = e *x = x.Î E tal que, para todo x Î E tem-se x * e = e *x = x. e)

e)   Elementos Simetrizáveis  Elementos Simetrizáveis::

x' Î E, é chamado simétrico de x se x * x'

x' Î E, é chamado simétrico de x se x * x' = x' * x = e = x' * x = e (elemento neutro).(elemento neutro). f)

f)  Elementos Regulares Elementos Regulares::

aa Î E, é um elemento regular se:Î E, é um elemento regular se: 

  = = ⇒ ⇒ = = = = ⇒ ⇒ = = yy xx aa ** yy aa ** xx yy xx yy ** aa xx ** aa " x, y Î E. " x, y Î E. 6.1.3. Exercícios Propostos 6.1.3. Exercícios Propostos 1) Considere as

1) Considere as tabelas abaixo e, responda:tabelas abaixo e, responda:

** 11 22 ** 11 22 ** 11 22 ** 11 22 ** 11 22 11 11 11 11 11 11 11 11 22 11 11 22 11 22 11 22 11 22 22 22 22 22 11 11 22 22 22 22 11 22 T TAABBEELLA A 11 TTAABBEELLA A 22 TTAABBEELLA A 33 TTAABBEELLA A 44 TTAABBEELLA A 55 a)

a) Quais das Quais das tabelas tabelas acima, de acima, de operação boperação binária (*) inária (*) no conjuno conjunto {1, 2nto {1, 2}, são c}, são comutativaomutativas? Justis? Justifiquefique a sua r

a sua resposta.esposta.  b)

 b) RespRespondaonda: “a tabel: “a tabela 5 é a 5 é assoassociatciativaiva?”. Just?”. Justifiifique a sua respoque a sua resposta.sta. c)

c) PrePreenenchcha a a a tatabebelala::

T TAABBEELLA A 11 TTAABBEELLA A 55 Elemento neutro Elemento neutro Simétrico de 1 Simétrico de 1 Simétrico de 2 Simétrico de 2 2) Con

2) Considere sidere a opa operaçãoeração _** definida sobre o conjunto R definida sobre o conjunto R **_{x R , onde:x R , onde:}

"(a,

"(a, b) b) e e (c,d) (c,d) Î Î R R ** _{x x R, R, (a,b)(a,b)}

** (c,d) = (c,d) = (ac, (ac, ad ad + + b). b). Verifique Verifique as as propriedadespropriedades: : comutaticomutativa,va,

associativa, elemento neutro e elemento simétrico. associativa, elemento neutro e elemento simétrico.

6.2. Grupos

6.2.1.Definições e aplicações

Sejam G, um conjunto, não vazio, e * uma operação binária sobre G. Dizemos que G é um grupo em relação à operação *, e denotamos por (G,*) se, e somente se:

i) a * (b * c) = (a * b) * c " a, b e c Î G; ii) Existe e Î G tal que a * e = e * a = a " a Î G;

iii) Todo elemento de G é simetrizável em relação a operação *, isto é: " a Î G, $ a' Î G tal que a * a' = a' * a = e (elemento neutro) Exemplo: Mostre que (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d) é um grupo.

6.2.2.Grupos Comutativos ou Abelianos

Dizemos que um grupo (G,*) é abeliano oucomutativose, e somente se, a * b = b * a " a, b Î G.

Exemplo: Prove que: M_2x2(IR ) é um grupo abeliano.

6.2.3. Subgrupos

Seja (G, ∆) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H, H Ì G, é um subgrupo de G se, somente se:

I) " a, b Î H Þ a ∆b Î H (isto é, H é fechado para a lei de composição interna de G); II) (H, ∆) também é um grupo (a lei de composição é a mesma de G, só que restrita a

H).

OBS: A propriedade associativa é válida para todo, os elementos de G; em particular, é válido aos elementos de H ; pois , H Ì G.

TEOREMA:

Seja (G, ∆) um grupo e H um subconjunto não vazio de G. H é um subgrupo de G se, somente se:

I) " a, b Î G; se a, b Î H Þ a ∆ b Î H

6.2.4. Exercícios Propostos

1) Responda as perguntas abaixo, justificando sua resposta.

a) “Diz-se que um conjunto A munido da operação binária * é um grupóide relativamente à operação *, e, representa-se o grupóide por: (A, *). ” Responda: os pares ordenados (N, -) e (N, .) são grupóides? Por quê?

 b) Se considerarmos o conjunto A = {a, b, c} munido da operação *, definida pela tabela abaixo:

* a b c

A a c b

B c b a

C b a c

responda e justifique: (A, *) é um semigrupo?

c) O que você pode afirmar em relação às estruturas (N, +) e (N, .)? Especifique os respectivos elementos neutros.

d) Determine o elemento simétrico de um elemento qualquer de (Z, +) e (Q, .). 2) Considere a operação _* definida sobre o conjunto R *x R , onde:

"(a, b) e (c,d) Î R * _{x R, (a,b)}

*(c,d) = (ac, ad + b)

a) A estrutura (R * _{x R,}

*) é um grupo? É uma estrutura abeliana? Justifique sua resposta.

 b) Caso a operação _* fosse definida sobre o conjunto Z x Z, a estrutura (Z x Z, _*) seria um grupo? Justifique sua resposta.

3) Considere o conjunto dos números reais r munido da operação * definida por: x * y = x + y - 3. Mostre que (IR , *) é um grupo abeliano.

4) Verifique se z x z é grupo em relação a alguma das seguintes leis:

a) Soma Direta - Å: " (a,b) e (c,d) Î z x z, (a,b) Å (c,d) = (a + c, b +d)  b) Produto Direto - Ä: " (a,b) e (c,d) Î z x z, (a,b) Ä (c,d) = (ac, bd)

c) (a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc) d) (a, b) * (c, d) = (ac, ad + bc)

5) Sejam A um conjunto não vazio e IR A o conjunto das aplicações de A em IR . Definimos uma “adição” e uma “multiplicação” em IR A assim:

" f, g Î IR A: (f + g) (x) = f (x) + g (x), " x Î A (f . g) (x) = f (x) . g (x), " x Î A

a) Mostre que (IR A, +) é grupo. b) Verifique se (IR A, . ) é grupo. 6) Mostre que só há um modelo de tábua para grupos de ordem 3.

7) Se G = { e, a , b, c} é um grupo em relação à tabela abaixo, complete-a.

* e a b c

E e a b c

A a

B  b c

C c e a

8) Construir a tábua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que : I) G é abeliano; II) O neutro é e; III) a ∆ f = b ∆ d = e IV) a ∆ d = b ∆ c = f   V) a ∆ c = b ∆ b = d VI) c ∆ d = a

9) O conjunto G = {e, a, b, c, d, f} tem uma estrutura de grupo em relação à tabela abaixo:

* e a b c d f   e e a b c d f   a a b e f c d b b e a d f c c c d f e a b d d f c b e a f  f c d a b e

a) Seja H₁ = {e, c}. Verifique se H₁é subgrupo de G.  b) Seja H₂= {e, a, f}. Verifique se H₂é subgrupo de G. 10) Verifique se H = 2z = {0, ±2, ±4, ...} é subgrupo de (z, +).

11) Mostre que H = 3z = {3k | k Î z} é subgrupo do grupo aditivo z.

12) Provar que se H₁e H₂ são subgrupos de um grupo G, então H₁Ç H₂ é um subgrupo de G.

6.2.5. Propriedades de um Grupo

a) O elemento neutro de (G, *) é único

 b) Existe um único elemento simétrico para cada elemento a Î G c) Se a, b Î G Þ (a * b)’ = b’ * a’

d) Se a Î G Þ (a’)’ = a

e) Se a, b Î G então a equação a * x = b, onde x é uma variável em G. A equação admite uma única solução no conjunto G.

f) Seja (G, *) um grupo. Em particular, vale a lei do cancelamento: a * b = a* c Þ b = c

Exercício Proposto: Provar as propriedades de grupo.

6.3. Morfismos: Semigrupos e Grupos

6.3.1.Homomorfismo de Grupo

Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *), dizemos que uma aplicação f : G → J é um

homomorfismo de G em J se, e somente se: " a, b Î G; f(a ∆ b) = f(a) * f(b) , isto é, f é compatível

Exemplos:

1) Seja f : (IR , + ) → (IR *, . ) e f (x) = 2x .

" a, b Î IR ; f(a + b) = 2a+b = 2a. 2 b = f(a) . f(b) Portanto, f é um homomorfismo de (IR , + ) em (IR *, . ). 2) Seja f : (z, + ) → (z, + ) e f (x) = 2x .

" a, b Î z ; f(a + b) = 2(a+b) = 2 a + 2 b = f(a) + f(b) Portanto, f é um homomorfismo de (z, + ) em (z, + ).

TEOREMA: Sejam (G, *), (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L homomorfismos. Então a aplicação gof : G → L é, também, um homomorfismo.

Demonstração:

" a, b Î G ; gof(a * b) = g(f(a * b)).

A função f é um homomorfismo então g(f(a * b)) = g(f(a) * f(b)). A função g é um homomorfismo então g(f(a) * f(b)) = gof(a) * gof(b). Portanto, gof é um homomorfismo.

Núcleo de um Homomorfismo

Sejam (G, ∆) e (J, *), grupos e a função f : G → J um homomorfismo. Chama-se núcleo de f e denota-se por N(f) ou Ker(f) o seguinte subconjunto de G :

 N(f) = {x Î G | f(x) = u } , onde ‘u’ indica o elemento neutro de J.

Exemplo:

6.3.2. Monomorfismo de Grupos

Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma aplicação f : G → J é um monomorfismo do grupo G em J se, somente se :

a) f é injetora;

 b) f é um homomorfismo de grupo.

6.3.3. Isomorfismo de Grupos

Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma aplicação f : G → J é um isomorfismo do grupo G em J se, somente se :

a) f é bijetora;

 b) f é um homomorfismo de grupo.

6.4. Exercícios Propostos

1) Seja f : (z, +) → (C*_{, .), dada por f (m) = i}m_{, "m Î z.}

a) mostre que f é um homomorfismo  b) dê o núcleo de f 

c) verifique se f é um monomorfismo

2) Seja f : (IR *₊, +) → (IR , +), dada por f (x) = log (x), "x Î r *₊. a) mostre que f é um homomorfismo

 b) dê o núcleo de f 

c) verifique se f é um monomorfismo d) verifique se f é um isomorfismo 3) Seja f : (C*_{, .) → (IR} *

+, .), dada por f (z) = | z | , "z Î C*.

a) mostre que f é um homomorfismo  b) dê o núcleo de f 

c) verifique se f é sobrejetora d) verifique se f é um isomorfismo

4) Prove as seguintes afirmações: (Livro de Álgebra - Gelson Iezzi)

a) Se f é um isomorfismo do grupo (G, *) no grupo (J, ∆), então f -1 _{é um isomorfismo}

de (J,∆) em (G, *).

 b) Sejam (G, *) , (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L. Se f e g são monomorfismos, então gof : G → L também o é.

c) Sejam (G, *) , (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L. Se f e g são isomorfismos, então o mesmo ocorre com gof .

5) Verificar em cada caso, se f é um homomorfismo. Caso afirmativo, determine o núcleo e verifique se é um isomorfismo.

a) f : (z, +) → (z, +), dada por f (x) = kx, onde k é um inteiro dado  b) f : (IR *, .) → (IR *, .), dada por f (x) = | x | , "x Î IR *.

c) f : (IR , +) → (IR , +), dada por f (x) = x + 1 d) f : (z, +) → (zxz, +), dada por f (x) = (x, 0) e) f : (zxz, +) → (z, +), dada por f (x, y) = x

f) f : (z, +) → (2z = {0, ±2, ±4, ...}, +), dada por f (x) = 2x

6) a) Seja a Î IR ₊, com a = 1. Mostre que G = { am / m Î z} é um subgrupo de (IR ₊, .).  b) Mostre que f : (z, +) → (G, .), dada por f (m) = am _{é um isomorfismo.}

7. Anéis

7.1. Definições e Aplicações

Seja A um conjunto, não vazio, dizemos que (A, +,

.

a) a + (b + c) = (a + b) + c " a, b, c Î A; b) a + b = b + a " a, b Î A;

c) Existe e Î G tal que a + e = e + a = a " a Î A;

d) Todo elemento de A é simetrizável em relação a operação +, isto é: " a Î A, $ a' Î A tal que a + a' = a' + a = e (elemento neutro) ii) A multiplicação (.) é associativa, isto é:

a . (b . c) = (a . b) . c " a, b, c Î A;

iii) A multiplicação (.) é distributiva em relação a adição (+), isto é: a . (b + c) = a . b + a . c " a, b, c Î A;

(b + c) . a = b . a + c . a Exemplos

1) Mostre que (Z, +, .) é um anel.

2) Mostre que (2Z, +, .) é o anel dos inteiros pares. 3) Mostre que A = {f | f: Z → Z} é um anel. Dados:

   = → + = + → + g(x) . f(x) g)(x) . (f  tq Z Z : g) . (f  g(x) f(x) g)(x) (f  tq Z Z : g) (f  7.2. Anel Unitário

Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um monóide dizemos, então, que A é um anel unitário ou um anel com unidade. O símbolo 1_Aé chamado unidade do anel.

Exemplo: (Z, +, .) é um anel unitário, cuja unidade é 1.

7.3. Anel Comutativo

Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um semigrupo comutativo dizemos, então, que A é um anel comutativo.

7.4. Propriedades de um Anel

Consideremos um anel (A, +, .):

a) Quanto a adição, A é um grupo abeliano, então: a1) o zero do anel é único

a2) Para cada a Î A existe um único simétrico aditivo: a3) Dados b₁, b₂, b₃, . . ., b_nÎ A tem-se:

-( b₁+ b₂ + b₃+, . . ., + b_n) = (-b₁) + (-b₂) + (-b₃) +, . . ., + (-b_n) a4) Para todo a Î A tem-se -(-a) = a

a5) Para todo a, x e y Î A tem-se: a + x = a + y Þ x = y.

a6) O conjunto solução da equação a + x = b, com a e b Î A é: (-a) + b  b) Para todo a Î A Þ a . 0 = 0 . a = 0

c) Para todo a e b Î A tem-se: a . (-b) = (-a) . b = -(a . b)

7.5. Homomorfismo de Anel

Sejam (A, +, .) e (B, *, ∆) dois anéis. Uma aplicação f: A → B é chamada homomorfismo de A em B se as seguintes condições se verificam:

i) Para todo x e y Î A tem-se: f(x + y) = f(x) * f(y);

ii) Para todo x e y Î A tem-se: f(x . y) = f(x) ∆f(y).

Obs.: Como (A, +) e (B, *) são grupos, a função f é, em particular, um homomorfismo de grupo.

Núcleo de um Homomorfismo

Dado f : (A, *, ∆) → (B, *, ∆) um homomorfismo. Indicaremos por N(f) e chamaremos de

núcleo de f o seguinte subconjunto de A:

 N(f) = {x Î A | f(x) = u } , onde ‘u’ indica o zero do anel B.

7.6. Isomorfismo de Anel

Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação f: A→ B é chamada isomorfismo de A em B se: i) f é bijetora;

ii) f é um homomorfismo de anéis.

7.7. Exercícios Propostos

1) Mostrar que (ZxZ,*, ∆) é um anel com unidade e comutativo. Considere as operações * e ∆ em

ZxZ, definidas por:

2) Verifique se (Z,*, ∆) é um anel. Considere as operações * e ∆em Z, definidas por:

a * b = a + b + 1 e a ∆ b = a + ab

3) Prove que são anéis. Verifique se são comutativos? Quais têm unidade? Determinar a unidade no caso de existir.

a) (Z,+, ∆) - o conjunto Z dotado das leis adição usual e da operação ∆assim definida:

a ∆b = 0 ; " a, b Î z.

 b) (ZxZ, *, ∆) - considere as operações * e ∆ em ZxZ, definidas por:

(a,b) * (c,d) = (a+c, b+d) e (a,b) ∆(c,d) = (ac, ad + bc)

c) (Q,*, ∆) - considere as operações * e ∆em Q, definidas por:

a * b = a + b - 1 e a ∆ b = a + b - ab . Ache os elementos inversíveis de Q.

4) Sabe-se que A = {a, b, c, d} e (A, +, .) é um anel em que os elementos neutros das operações + e

. são, respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a, c + c = a, c.d = a, construir as tábuas das duas operações.

5) Considere as operações * e ∆ em Z definidas por: x * y = x + ay - 2 e x ∆ y = xy + bx + cy + d,

onde a, b, c , d são números inteiros dados. Determinar a, b, c , d de modo que (Z,*, ∆) seja um anel.

Para os valores obtidos de a, b, c , d, (Z,*, ∆) é um anel comutativo com unidade?

6) Considere os seguintes anéis: (R, +, .) e (R, *, ∆), sendo:

a * b = a + b + 1 e a ∆b = a + b + ab. Mostre que f: (R, +, .) → (R, *, ∆) dado por f (x) = x - 1,

"x Î R é um isomorfismo. Defina o isomorfismo inverso.

7) Verificar em cada caso, se f é um homomorfismo de anel em anel. Caso afirmativo, determine o núcleo e verifique se é um isomorfismo.

a) f : (z, +, .) → (z, +,.), dada por f (x) = x + 1  b) f : (z, +, .) → (z, +, .), dada por f (x) = 2x

c) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (x, 0), "x Î z. d) f : (zxz, +, .) → (z, +, .), dada por f (x, y) = x, " (x,y) Î zxz.

e) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (y, x), " (x,y) Î zxz. f) f : (C, +, .) → (C, +, .), dada por f (a + bi) = a - bi

g) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (0, y), " (x,y) Î zxz. h) f : (zxz, +, .) → (z, +, .), dada por f (x, y) = y, " (x,y) Î zxz.

i) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (2x, 0), "x Î z.  j) f : (z, +,.) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (0, x), "x Î z.

a) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (-y, -x), " (x,y) Î zxz.

Obs.: Considere:

Produto Direto (.): " (a,b) e (c,d) Î Z x z, (a,b) . (c,d) = (a . c, b .d) Soma Direta (+): " (a,b) e (c,d) Î Z x z, (a,b) + (c,d) = (a + c, b +d)

8) Seja f : zxz → zxz dada por f (x, y) = (mx+ny, px+qy). Calcular m, n, p, q de modo que f seja