2.1 Introdução aos Sinais

Aula 02

2.1 – Introdução aos Sinais

A noção intuitiva de

sinais

e surge de uma variedade enorme de contextos.

qualquer apontamento que se faça: em números por exemplo

o

qualquer registo

que se faça

o

do desempenho de uma máquina

o

da performance

o

dos consumos de um veículo

ao longo de uma viagem

qualquer

medição

que se faça: com o uso de algum aparelho

ou instrumento de

medida; ou

qualquer

gravação

que se faça, de um

som, ou de uma imagem

(foto) ou mesmo

de um vídeo, pode facilmente se tornar em um sinal.

Existe uma

linguagem

própria usada para descrever

sinais, assim como existe

também um conjunto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los.

Neste capítulo trataremos da linguagem que descreve os sinais.

2.2 – Exemplos de Sinais

Os

sinais

são usados para descrever uma grande variedade de fenómenos físicos e

podem ser descritos de muitas maneiras: através de

números

, ou de

gráficos

, ou de

uma

sequência de dígitos

(

bits

) para serem introduzidos no computador, etc.

Circuito RC

O

sinal

da tensão

v

_s

(t)

na fonte ou o sinal

da tensão

v

_c

(t)

no condensador, assim

como o sinal da corrente

i(t)

que atravessa

a única malha do circuito podem ser

medidos por aparelhos

Carro

_Os

_carros

_{andam quando são acelerados.}

a força é igual a massa

x

aceleração

[ f(t) = m

⋅

a(t) ] ,

onde m =

massa do carro

.

Mas isso equivale a imprimir uma força f(t)

que vai puxar o carro pois, pela

Segunda

Lei de Newton

,

Sinais da

força

f(t), do

deslocamento

x(t)

e da

velocidade

v(t)

do carro.

Voz / fala humana

O mecanismo

vocal

humano produz fala criando

flutuações na pressão acústica.

O sinal de

voz

é obtido através do uso de um microfone

que capta

as variações da pressão acústica e converte em

sinais elétricos

.

O ar é expelido dos pulmões pelo diafragma e no

seu caminho produz vibrações.

Estas vibrações são modificadas, ou moldadas, ao

passar pelas

cordas vocais

, assim como pela boca,

lábios e a língua para se produzir os sons

que se

deseja.

Estes

sinais

podem servir para uma gravação do

som da voz

ou para serem

transmitidos (telefone

ou telemóvel

por exemplo).

Transmissões de rádio (AM & FM)

Uma transmissão de rádio é também composta de sinais elétricos que transportam o

som

(voz, música, etc.)

A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o sinal modulado

(som) seja

ele modulado

em amplitude

(AM) ou em frequência

(FM).

sinal da portadora

sinal modulador

A música gravada em um CD

ou armazenada no computador (em formato wav, wma

ou

mp3, por exemplo) é feita através de uma série de números, uma sequência digital de

“zeros” e “uns”, que representam as tensões elétricas

(em Volts) do

sinal de áudio

ao

longo do tempo.

Portanto, o sinal analógico de áudio

convertido em um

sinal digital

, ou seja, dados

binários, a uma taxa que é medida em “bps” (

bits

per second).

Claro que quanto maior o número de bits

por segundo melhor será a qualidade de

reprodução do som.

Alguns valores usuais desta taxa em gravação de música

são:

96 mil bits por segundo [

96kbps

], ou

128 mil bits por segundo [

128 kbps

], ou

192 mil bits por segundo [

192 kbps

], ou

256 mil bits por segundo [

256 kbps

].

Existem dispositivos eletrónicos que

transformam um

sinal

analógico

em

digital

(conversores

A

/

D

) assim como

dispositivos eletrónicos que

transformam um

sinal

digital

em

analógico

(conversores

D

/

A

).

Electrocardiograma (ECG)

O eletrocardiógrafo

é um dispositivo que mede sinais elétricos

do coração para

produzir um eletrocardiograma

(ECG).

A

Eletrocardiografia

estuda a atividade elétrica do coração a partir de elétrodos

colocados em determinados pontos do corpo humano.

Sinal típico de ECG

O registo do eletrocardiograma

(ECG) é prática comum na

medicina dos nossos dias, uma vez que é de reconhecido valor

para a identificação e prognóstico de doenças cardiovasculares

como o enfarte do miocárdio, arritmia, entre outras condições

patológicas.

Electroencefalograma (EEG)

O eletroencefalógrafo

é uma máquina que regista o gráfico dos

sinais elétricos

cerebrais desenvolvidos no encéfalo produzindo o eletroencefalograma

(EEG).

Portanto coloca-se os elétrodos em posições predefinidas sobre o couro cabeludo do

paciente e um amplificador aumenta a intensidade dos potenciais elétricos

para então

ser construído um gráfico (EEG) analógico ou digital (dependendo do equipamento).

Isto é realizado através de elétrodos que são aplicados no couro cabeludo, na

superfície encefálica, ou até mesmo (em alguns casos) dentro da substância

encefálica.

Imagem monocromática (preto-branco)

Uma imagem monocromática

(preto-branco) é constituída por um padrão de variações

no brilho através dela.

Uma foto monocromática (

preto-branco

)

o sinal de intensidade de brilho.

Ou seja, o sinal

da imagem é uma função da intensidade de brilho em todos os pontos

da imagem (bidimensional).

Imagens coloridas

Se a

imagem

for

colorida

, obviamente o sinal torna-se mais complexo.

Às vezes a

imagem

é decomposta em 3 cores básicas, que comummente são

“vermelho”, “verde” e “azul”

que é chamado de código de cores RGB.

Mas outras vezes também é usado outros códigos de cores, como o “magenta”, o

“

ciano

” (cyan) e o “amarelo”(yellow), que é comum em impressoras coloridas

e em

sistemas informáticos

em geral.

O sinal de uma

foto a cores

portanto terá que ter informação de 3 cores (e não

apenas uma como na foto monocromática).

A transmissão de imagens

(“broadcast”) como na televisão

por exemplo, requer

sinais

mais sofisticados ainda.

Transmissões de TV

Enquanto que uma fotografia é um

sinal

“estático”, fixo no tempo, as transmissões de

imagens via TV são

sinais

dinâmicos pois vão variando com o tempo.

Desde que a TV à cores

surgiu, muitos sistemas de

transmissão

já foram

criados, como por

exemplo:

o sistema

PAL

(europeu)

, o sistema

NTSC

(americano)

, ou mais

recentemente o

HDTV

.

Exemplo de um

sinal

RGB

(red,

green

e

blue) de uma

transmissão de TV.

Além disso, na transmissão de TV

(

TV broadcast

) a informação do som

também tem

que seguir junto com a imagem.

Índices económicos e demográficos

Os índices (ou indicadores) económicos (que normalmente só saem uma vez por mês)

como:

inflação (mensal);

taxa de desemprego (mensal);

dão origem a sinais discretos

(i.e., sinal não contínuos).

O índice da bolsa de valores

é também um exemplo de um

sinal discreto

, embora este

não seja mensal mas sim diário.

Há muitos outros exemplos de

índices ou

indicadores económicos

como as

taxas de câmbio

ou as

taxas de crescimento do

Produto

Interno Bruto

(

PIB

), etc.

Quaisquer destes índices, se forem tomados ao longo de um período grande de tempo

e os pontos forem ligados, fica-se com a impressão que o

sinal é contínuo

.

As taxas de câmbio

de uma moeda corrente em relação à outra são exemplos de

sinais discretos

embora possam ser tomados diariamente, de hora em hora

ou até

de minuto a minuto, se desejar.

Isso é semelhante ao caso da música, ou das imagens, ou dos vídeos

digitalizados

em CDs

ou em nosso computador (

sistemas digitais

de

áudio

ou de

vídeo

) ou da

transmissão digital de imagens, casos já mencionados em exemplos anteriores.

Outros casos de

sinais discretos

:

o

taxas de natalidade de uma nação

(

ano a ano

, ao longo de um

período

);

o

consumo de uma veículo

[

l

/100 km ] (medido a

cada vez

que é abastecido);

o

lucro de um estabelecimento comercial

(

mês a mês

, ao

longo dos anos

);

etc.

Por exemplo da taxa de câmbio

do Euro

(€) em relação ao dólar americano

(US $)

ao longo de vários anos.

2.3 – Sinais contínuos e discretos

Para distinguir os

sinais contínuos

e discretos no tempo nós usaremos

“

t

” para denotar o tempo

como variável independente contínua

e

“n” para denotar o tempo

como variável independente discreta.

Além disso, nos

sinais contínuos

usaremos parêntesis normais

( )

,

x(t)

,

y(t)

,

v(t)

,

etc.

enquanto que nos

sinais discretos

usaremos parêntesis recto

[ ]

,

x[n]

,

y[n]

,

v[n]

,

etc.

Esta é uma notação comummente adotada na literatura de

Análise de Sinais

.

Um

sinal discreto

pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerentemente

discreto

, como por exemplo o caso de

índices demográficos

ou os

índices da bolsa de

valores.

Por outro lado há também

sinais discretos

no tempo que são oriundos da amostragem

de

sinais contínuos

.

os sistemas digitais de áudio ou de vídeo,

já mencionados acima, ou, para mencionar um outro exemplo:

o piloto automático digital;

Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas

no tempo que são

representações (

discretizações

) de

sinais contínuos

no tempo.

Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos

(

por amostragem

) para este propósito, como por exemplo:

a

voz

;

a

música

;

o

som

em geral;

as

fotografias

que aparecem nos jornais e livros;

as

imagens

de um

vídeo

/

filme

gravado;

etc.

a

posição

da aeronave;

a

velocidade

da aeronave;

a

direção

da aeronave;

piloto automático digital

sistemas digitais de imagem

sistemas digitais de áudio

Observe que esta

digitalização

é feita com uma quantidade muito grande de pontos.

No caso da música digital, como já vimos, pode ter mais de 250 mil pontos em cada

segundo [256 kbps]

2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos

Sinais

são representados matematicamente como funções

de uma ou mais

variáveis independentes.

Em vários

sinais

o tempo

‘t’ é a variável independente (ou uma das variáveis

independentes), por exemplo, no caso de:

sistemas físicos dinâmicos.

Entretanto há sinais em que o ‘

tempo

’ não aparece como variável independente.

Estes sinais são chamados de

sinais estáticos,

ou

sinais não dinâmicos,

pois não evoluem no

tempo

, e portanto representam

sistemas físicos estáticos.

circuito RC

carro

emissões de rádio

sinais dinâmicos,

Logo, estes

sinais

são do tipo x(t)

,

y(t)

,

f(t)

ou

f(x,t), etc. e são chamados de

pois variam com o tempo (ou evoluem no tempo, ou propagam no tempo, etc.), e

portanto representam

voz/fala humana

transmissões de rádio

músicas em CDs

bolsa de valores

transmissões de TV

ECG

EEG

Alguns

sinais

que são estáticos:

a imagem monocromática

a imagem colorida

os sinais meteorológicos

os sinais geofísicos

2.5 – Energia e Potência de Sinais

Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais

são diretamente relacionados

com quantidades físicas que captam ou absorvem energia

e potência

no sistema físico.

Por exemplo, no caso do circuito RC a potência instantânea

na resistência R

é:

)

t

(

v

R

1

)

t

(

i

)

t

(

v

)

t

(

p

=

⋅

=

2

onde:

v(t) =

tensão na resistência R;

i(t) =

corrente na resistência R.

e a

energia total

despendida no intervalo de tempo é

t

₁

≤

t

≤

t

₂

∫

∫

=

=

2

1

2

1

t

t

2

t

t

Total

v

(

t

)

dt

R

1

dt

)

t

(

p

E

e a potência média

neste intervalo

[t

₁

, t

₂

]

é:

(

)

⋅

∫

=

(

)

⋅

∫

=

−

−

2

1

2

1

t

t

2

t

t

média

v

(

t

)

dt

R

1

1

dt

)

t

(

p

1

P

1

2

1

2

t

t

t

t

De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro, a

potência dissipada

pela

fricção é:

)

t

(

v

)

t

(

p

=

ρ

⋅

2

onde

ρ

= coeficiente de atrito da superfície.

E neste caso a

energia total

e

potência média

no intervalo [t

₁

, t

₂

]

são respetivamente:

∫

∫

=

ρ

⋅

=

2

1

2

1

t

t

2

t

t

Total

p

(

t

)

dt

v

(

t

)

dt

E

(

)

⋅

∫

=

(

)

⋅

∫

ρ

⋅

=

−

−

2

1

2

1

t

t

2

t

t

média

v

(

t

)

dt

1

dt

)

t

(

p

1

P

1

2

1

2

t

t

t

t

Motivados por exemplos como estes acima definem-se

potência

e

energia

para

qualquer

sinal contínuo

x(t)

e qualquer

sinal discreto

x[n]

da seguinte forma:

A

potência instantânea

de um

sinal contínuo

x(t)

ou de um

sinal discreto

x[n]

:

2

)

t

(

x

)

t

(

p

=

ou

p

[

n

]

=

x

[

n

]

2

Nota

:

x(t)

ou

x[t]

pode ser real ou complexo; e

|

x(t)

|

ou

|

x[t]

|

é o módulo do

número

x(t)

ou

x[t]

, conforme já vimos no capítulo 1.

A potência média

neste intervalo

[t

₁

, t

₂

]

é definida como:

(

)

⋅

∫

⋅

=

−

2

1

t

t

2

dt

)

t

(

x

1

P

1

2

t

t

A

energia total

no intervalo

t

₁

≤

t

≤

t

₂

de um sinal contínuo x(t)

é definida como:

∫

∫

⋅

=

⋅

=

2

1

2

1

t

t

2

t

t

p

(

t

)

dt

x

(

t

)

dt

E

A

energia total

no intervalo

t

₁

≤

t

≤

t

₂

do sinal discreto

x[n]

é definida como:

[ ]

∑

∑

=

=

=

=

2

1

2

1

n

n

n

2

n

n

n

n

x

]

n

[

p

E

(

)

∑

=

[ ]

⋅

=

+

−

2

1

n

n

n

2

1

2

n

x

1

P

1

n

n

eq. (2.2)

eq. (2.3)

eq. (2.4)

eq. (2.5)

Para o caso de um intervalo de tempo infinito:

–

∞

< t <

∞

ou

–

∞

< n <

∞

as definições de

energia total

e

potência média

, no caso de um sinal contínuo

no

tempo, ficam:

∫

∫

₋

₋

∞

_∞

∞

→

⋅

=

⋅

=

∞

lim

x

(

t

)

dt

x

(

t

)

dt

E

T

2

T

2

T

∫

₋

→∞

⋅

⋅

=

∞

T

T

2

T

2

T

x

(

t

)

dt

1

lim

P

e, para um

sinal discreto

no tempo, ficam:

[ ]

[ ]

∑

∑

−

=

∞

−∞

=

∞

→

=

=

∞

N

N

n

n

2

2

N

lim

x

n

x

n

E

(

)

∑

=

−

[ ]

∞

→

⋅

=

+

∞

N

N

n

2

N

lim

x

n

P

1

N

2

1

eq. (2.6)

eq. (2.7)

eq. (2.8)

eq. (2.9)

Note que para alguns sinais E

_∞

e/ou

P

_∞

podem não convergir.

Se um sinal tem energia

E

_∞

<

∞

(

energia total finita

), então:

P

_∞

= 0

Isto porque

0

T

2

E

lim

P

T

=

=

_∞

∞

∞

_→

no caso contínuo

(

E

)

0

lim

P

1

N

2

N

=

=

+

∞

∞

∞

_→

no caso discreto

Por outro lado, pela mesma razão, isto é, usando se eq. (2.10)

e

eq. (2.11),

concluímos que: se um sinal tem potência finita

≠

0 (0 < P

_∞

<

∞

), então:

E

_∞

=

∞

.

Finalmente, existem sinais que possuem ambas:

E

_∞

=

∞

e

P

_∞

=

∞

.

eq. (2.10)

eq. (2.11)

Por exemplo, se x(t)

ou

x[n]

= constante

≠

0

para todo t, então este sinal tem energia

infinita (E

_∞

=

∞

).

Exemplo 2.1:

Considere o sinal x(t)

[ ]







∉

<

<

=

2

,

0

t

se

0

2

t

0

se

1

)

t

(

x

2

0

2

0

dt

0

dt

1

dt

0

dt

)

t

(

x

E

2

2

2

0

2

0

₂

2

=

+

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

P

_∞

= 0

logo,

Exemplo 2.2:

Considere o sinal

x

[

n

]

=

2

,

∀

n

(

)

[ ]

(

)

(

)

4

4

)

1

N

2

(

lim

)

4

4

4

4

(

lim

n

x

lim

P

1

N

2

1

1

N

2

1

1

N

2

1

N

N

N

N

n

2

N

=

=

⋅

+

⋅

=

=

+

+

+

+

+

⋅

=

=

⋅

=

+

+

+

∞

→

∞

→

−

=

∞

→

∞

∑

L

L

E

∞

=

∞

.

e,

Exemplo 2.3:

Considere o sinal

x

[

n

]

=

2

,

n

=

−

2

,

−

1

,

0

,

1

,

2

,

e

x

[

n

]

=

0

,

∀

n

≠

−

2

,

−

1

,

0

,

1

,

2

,







−

−

≠

−

−

=

=

2

,

1

,

0

,

1

,

2

n

se

0

2

,

1

,

0

,

1

,

2

n

se

2

]

n

[

x

Para este sinal x[n]:

P

_∞

= 0.

[ ]

n

2

20

x

lim

E

N

N

n

2

2

n

2

2

N

=

=

=

∑

∑

−

=

=

−

∞

→

∞

Exemplo 2.4

Considere o sinal

x(t) = 0,25 t,

∀

t

_{Facilmente observa-se que para este sinal}

x(t)

ambos

E

_∞

e

P

_∞

são infinito.

E

_∞

=

∞

,

P

_∞

=

∞

.

2.6 – Transformações da variável independente

Translação no tempo (“time shifting”):

A translação no tempo, “time shifting” ou simplesmente “shift” é, o deslizamento

lateral, para direita ou para a esquerda, do sinal x[n]

(no caso discreto) ou x(t)

(no

caso contínuo).

Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n

’

ou ‘t

’:

n

→

n ± n

_o

t

→

t ± t

_o

.

sinal contínuo:

x(t)

x(t – t

_o

), t

_o

> 0.

Shift para direita (retardo):

sinal contínuo :

x(t)

x(t + t

_o

), t

_o

> 0.

Shift para esquerda (avanço):

Reversão do tempo / sinal reflectido (“time reversal”)

em torno de t = 0:

sinal discreto:

x[n]

x[–n]

Escalonamento no tempo (“time scaling”):

O escalonamento no tempo

é na verdade uma mudança da escala do tempo

‘n’ (no caso discreto) ou ‘t’ (no caso contínuo).

n

→

a n

ou

t

→

a t

.

Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’:

para uma constante a > 0

.

Compressão ou encolhimento

sinal discreto:

x[n]

x[an] , a > 1.

sinal contínuo:

x(t)

x(at), a > 1

.

Expansão ou esticamento

sinal discreto

:

x[n]

x[an] , 0 < a < 1

.

sinal contínuo

:

x(t)

x(at), 0 < a < 1

.

time scaling

Compressão

Caso geral:

sinal discreto:

x[n]

x[

α

n +

β

]

sinal contínuo:

x(t)

x(

α

t +

β

)

Se |

α

| < 1

→

sinal é esticado (

← →

);

Se

|

α

| > 1

→

sinal é comprimido (

→ ←

);

Se

α

< 0

→

sinal é invertido;

Se

β

< 0

→

translação (shift) para direita

(

→

)

;

Se

β

> 0

→

translação (shift) para esquerda

(

←

)

.

Exemplo 2.5:

_{Considere o sinal x(t)}

_{dado pela expressão:}











∉

≤

<

≤

≤

=

]

2

,

0

[

t

0

2

t

1

5

,

0

1

t

0

1

)

t

(

x

translação (shift) para esquerda

de uma unidade de tempo

sinal

x(t)

refletido

escalonamento no tempo (“time scaling”)

escalonamento no tempo (“

time scaling

”)

ampliação escala em 1,5

(ou seja, a = 1/(3/2))

compressão da escala de

0,666

(ou seja,

2/3

)

Primeiramente uma translação

para

esquerda de uma unidade, e depois uma

compressão

da escala de 0,666.

primeiramente uma compressão

da escala

de 0,666, e depois uma translação

para

esquerda de uma unidade.

primeiramente uma

translação

para

direita de

0,5

,

e depois uma

compressão

2.7 – Sinais periódicos

Um sinal contínuo x(t)

é periódico se

∃

T > 0 tal que

x(t) = x(t + T) ,

∀

t

eq. (2.12)

T

é chamado de ‘

período

’ de x(t).

Ou seja, um sinal periódico x(t)

fica imutável se fizermos uma translação (shift)

de T

(

período

).

Se um sinal

x(t)

é periódico de

período

T

então

x(t)

também é periódico de

período

2T

,

3T

,

4T

, …

O

período fundamental

T

_o

de

x(t)

, é o menor valor positivo de

T

para o qual a

eq. (2.12) acima é válida.

Esta definição tem uma exceção que é o caso de

x(t) = C

(constante) ,

∀

t

que também é periódico pois qualquer valor T > 0

é um

período

deste sinal, mas

entretanto não há um período fundamental

T

_o

para este sinal.

Exemplo 2.6:

É fácil de verificar que

T

_o

= (2

π

/a)

é o ‘

período fundamental

’

do

sinal periódico

:

x

₁

(t) = b

⋅

cos (at + c)

e que

T

_o

= (

π

/a)

é ‘

período fundamental

’

do

sinal periódico

:

x

₂

(t) = b

⋅

| cos (at) |

x

₁

(t) = b

⋅

cos (at + c)

Exemplo 2.7:

Um sinal discreto com

período fundamental

_N

_o

_{= 3.}

Analogamente, um sinal discreto x[n]

é periódico se

∃

N

tal que

x[n] = x[n + N] ,

∀

n

_{eq. (2.13)}

N

é chamado de

período

de x[n].

O período fundamental

de x[n], N

_o

, é o menor valor de N

para o qual eq. (2.13) é

válida.

2.8 – Sinais pares e ímpares

Um sinal contínuo x(t)

é

par

se:

x(–t) = x(t)

Um sinal discreto x[n]

é

par

se:

x[–n] = x[n]

Um sinal contínuo x(t)

é

ímpar

se:

_{x(–t) = –x(t)}

Um sinal discreto x[n]

é

ímpar

se:

x[–n] = –x[n]

Exemplo 2.8:

x(t) = sen (t)

é um sinal

ímpar

; e

Exemplo 2.9:

um sinal

ímpar

um sinal

par

Note que para um sinal ímpar

x(t)

(contínuo),

ou

x[n]

(discreto), satisfaz respetivamente:

x(0) = 0,

ou

Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par

e um ímpar

.

No caso de um sinal contínuo:

{ }

x(t)

Od

{

x

(

t

)

}

Ev

x(t)

=

+

onde:

{ }

(

x

(

t

)

x

(

t

)

)

2

1

x(t)

Ev

=

+

−

{ }

(

x

(

t

)

x

(

t

)

)

2

1

x(t)

Od

=

−

−

No caso de um sinal discreto:

[ ]

n

Ev

{

x

[ ]

n

}

Od

{

x

[ ]

n

}

x

=

+

onde:

[ ]

{

}

(

x

[ ] [ ]

n

x

n

)

2

1

n

x

Ev

=

+

−

[ ]

{

}

(

x

[ ] [ ]

n

x

n

)

2

1

n

x

Od

=

−

−

(sinal

par

)

(sinal

par

)

(sinal

ímpar

)

(sinal

ímpar

)

Exemplo 2.10:

O sinal x[n]

abaixo é chamado de

degrau unitário

.

Este sinal pode facilmente ser decomposto nos dois sinais

x

_ev

[n] = Ev{x[n]}

e

x

_od

[n] = Od{[n]}

[ ]

{

[ ]

}















>

=

<

=

=

0

n

se

,

2

1

0

n

se

,

1

0

n

se

,

2

1

n

x

Ev

n

x

_ev

[ ]

{

[ ]

}















>

=

<

−

=

=

0

n

se

,

2

1

0

n

se

,

0

0

n

se

,

2

1

n

x

Od

n

x

_od

dados abaixo:

Sinal

x

_ev

[n], a

componente

par de

x[n]

.

Sinal

x

_od

[n]

, a

componente

ímpar de

x[n]

.

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais

O sinal sinusoidal contínuo:

o

o

2

T

ω

π

=

Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular:

sistemas no qual a energia é conservada, como os

circuitos LC

; o movimento

harmónico simples (MHS); a variação da pressão acústica

que corresponde ao

tom de uma nota musical; etc.

O sinal acima x(t) = A cos(

ω

_o

t +

φ

),

ω

_o

≠

_{0 é periódico com}

o

o

2

T

ω

π

=

ω

_o

é chamada de

frequência fundamental

.

período fundamental

A equação acima mostra que

frequência fundamental

e o período fundamental

são

inversamente proporcionais.

Se tivermos 3 sinais:

x

_o

(t) = A cos(

ω

_o

t +

φ

),

x

₁

(t) = A cos(

ω

₁

t +

φ

)

, e

x

₂

(t) = A cos(

ω

₂

t +

φ

),

com

ω

₂

<

ω

_o

<

ω

₁

(o que equivale a

T

₁

< T

_o

< T

₂

), então

x

₁

(t)

oscila mais que x

_o

(t)

e por outro lado x

₂

(t)

oscila menos que x

_o

(t)

Ou seja, para o sinal

x

_o

(t) = A cos(

ω

_o

t +

φ

)

, quanto

maior

a frequência

ω

_o

, mais

ele oscila, e quanto

menor

frequência

ω

_o

,

menos ele oscila.

Observe as unidades de

T

,

T

_o

,

T

₁

,

T

₂

[

segundos

]

e de

Três sinais periódicos

do tipo

x(t) = cos

ω

t

com frequências

diferentes.

)

t

cos(

A

x(t)

=

ω

_o

+

φ

As unidades de

t

[segundos]

φ

[radianos]

ω

_o

[radianos / segundo]

Às vezes a frequência natural

ω

_o

é escrita como

ω

_o

_{= 2}

π

_f

_o

_{onde f}

o

é a frequência

f

_o

[Hertz]

Note também (os casos particulares), para

x

(

t

)

=

A

⋅

cos

(

ω

_o

t

+

φ

)

Se

φ

_{= 0}

_,

_ou

φ

₌

±

₂

π

_,

±

₄

π

_,

…

⇒

_{x(t) = A cos (}

ω

o

t

)

se

_,

ou

⇒

_{x(t) =}

−

_{A sen (}

ω

o

t)

L

,

4

2

,

2

2

±

π

π

π

±

π

=

φ

2

π

=

φ

se

_,

ou

⇒

_{x(t) = A sen (}

ω

o

t)

2

π

−

=

φ

4

,

_L

2

,

2

2

±

π

π

−

π

±

π

−

=

φ

se

_,

_ou

⇒

_{x(t) =}

−

_{A cos (}

ω

o

t)

π

=

φ

φ

=

−

π

,

±

3

π

,

±

5

π

,

±

7

π

,

L

do sinal x(t) = A cos(2

π

f

_o

t +

φ

)

e tem como unidade

Além disso:

se

ω

_o

= 0

==>

x(t) = C

(

constante

)

O sinal x(t) = C (constante),

∀

t

é também um sinal periódico,

e com período

T

para qualquer T > 0.

Outro detalhe: o sinal x(t)

escrito na forma combinação linear de um

seno

e um

co-seno

com a mesma frequência

ω

_o

t

e sem

desfasagem

, isto é,

)

t

(

sen

A

)

t

(

cos

)

t

(

sen

)

t

(

x

o

o

o

φ

+

ω

⋅

=

ω

⋅

β

+

ω

⋅

α

=

onde:

φ

⋅

=

α

A

cos

β

=

A

⋅

sen

φ

2

2

A

=

α

+

β

e

e













α

β

=

φ

arctg

eq. (2.14)

eq. (2.15)

Por outro lado, o sinal x(t)

que vimos mais acima, expresso na forma de um

co-seno

de frequência

ω

_o

t

e desfasagem

φ

, isto é,

)

t

(

cos

A

)

t

(

x

=

⋅

ω

_o

+

φ

pode ser escrito na forma de combinação linear de um

seno

e um

co-seno

com a

mesma frequência

ω

_o

t

(e vice-versa) da seguinte forma:

)

t

(

sen

)

t

(

cos

)

t

(

cos

A

)

t

(

x

o

o

o

ω

⋅

β

−

ω

⋅

α

=

φ

+

ω

⋅

=

onde

α

,

β

,

A

e

φ

são novamente os dados nas eq. (2.14) e eq. (2.15),

repetidas aqui abaixo:

φ

⋅

=

α

A

cos

β

=

A

⋅

sen

φ

2

2

A

=

α

+

β

e

e













α

β

=

φ

arctg

eq. (2.14)

eq. (2.15)

O sinal exponencial contínuo:

at

C

)

t

(

x

=

e

Caso 1: C

∈

R

_e

_a

∈

R

R

_{= conjunto dos números reais.}

Neste caso x(t)

é chamado de um sinal exponencial

real

e pode ser

crescente

(se a > 0)

decrescente

(se a < 0).

A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como

a reação em cadeia em explosões atómicas

e certas reações químicas complexas.

A

exponencial decrescente

também aparece na descrição de muitos processos

físicos como por exemplo: o

decaimento radioativo

,

a resposta v

_c

(t)

do circuito

RC

e

sistemas mecânicos amortecidos

.

Obviamente se

a = 0

, então novamente

Caso 2: C = 1

e a

é um número imaginário puro

O sinal exponencial contínuo:

at

C

)

t

(

x

=

e

a = j

⋅ω

_o

(imaginário puro)

x

(

t

)

=

e

j

ω

o

t

Neste caso x(t)

é um sinal exponencial complexo para cada t.

Caso 2: C = 1

e a

é um número imaginário puro

O sinal exponencial contínuo:

at

C

)

t

(

x

=

e

a = j

⋅ω

_o

(imaginário puro)

x

(

t

)

=

e

j

ω

o

t

Neste caso x(t)

é um sinal exponencial complexo para cada t.

θ

∀

=

θ

,

1

j

e

Observe que como

então:

_{| x(t) | = 1 ,}

∀

t

Podemos interpretar este sinal x(t)

como um ponto que se desloca na circunferência

de raio 1

no plano complexo com velocidade angular |

ω

_o

|

rad/s.

Note que este sinal

t

j

_o

)

t

(

x

=

e

ω

é sempre periódico pois:

)

t

(

x

)

T

t

(

x

j

o

(

t

T

)

j

o

t

j

o

T

=

=

=

=

+

_e

ω

+

_e

ω

_e

ω

para muitos valores de

T

(

período

)

para os quais

e

j

ω

o

T

=

1

De facto, se

...

,

2

,

1

k

,

k

2

T

o

±

±

=

ω

π

=

1

T

j

ω

_o

=

e

então

e

T

é um

período

de

x(t)

.

No caso particular de

0

,

2

T

_o

o

o

ω

≠

ω

π

=

T

_o

é o

período fundamental

de x(t)

e

ω

_o

é chamada de

frequência fundamental

de x(t).

então

A família de sinais exponenciais complexos

...

,

2

,

1

,

0

k

,

)

t

(

j

k

t

k

o

=

±

±

ω

=

φ

e

é conhecida como

sinais

‘

harmonicamente relacionados

’.

),

t

(

k

φ

k

≠

0, é

o

ok

=

k

⋅

ω

ω

e o período fundamental

é

k

T

k

2

T

o

o

ok

=

ω

⋅

π

=

No caso de k = 0, então

φ

_o

(

t

)

=

constante

e não há uma

frequência fundamental

nem um período fundamental.

O termo “harmónico” advém da música e se refere aos tons resultantes de

variações da pressão acústica

em frequências que são múltiplas da

frequência fundamental

.

Por exemplo, o padrão de

vibração

de uma corda de um instrumento musical

(como o

violino

) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada)

de

sinais exponenciais periódicos harmonicamente relacionados

.

Exemplo 2.11:

(

j

1

,

5

t

j

1

,

5

t

)

t

5

,

3

j

t

5

j

t

2

j

)

t

(

x

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

+

=

+

=

e

e

e

e

e

agora, usando a Equação de Euler

,

)

t

5

,

1

cos(

e

2

)

t

(

x

=

j

⋅

3

,

5

t

⋅

e, como

e

j

θ

=

1

∀θ

_{, temos que}

_x

₍

_t

₎

=

₂

⋅

_cos(

₁

_,

₅

_t

₎

Caso 3:

C

∈

C

_e

_a

∈

C

O sinal exponencial contínuo:

at

C

)

t

(

x

=

e

C

=

_{conjunto dos números complexos.}

Se

_{C = |C|}

e

j

θ

a

=

σ

+ j

ω

_o

(‘C’ está escrito na forma polar)

(‘a’ está escrito na forma cartesiana)

então o sinal exponencial contínuo

Logo:

Re{ x(t) }

e

Im{ x(t) }

Sinais sinusoidais

σ

= 0

σ

> 0

σ

< 0

Sinais sinusoidais

multiplicados por

exponenciais crescentes

Sinais sinusoidais

multiplicados por

exponenciais decrescentes

)

t

(

sen

C

j

)

t

cos(

C

C

C

C

)

t

(

x

o

o

j

(

)

j

(

j

at

t

t

)

t

t

t

o

o

θ

+

ω

⋅

⋅

+

θ

+

ω

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

=

σ

σ

ω

σ

ω

+

σ

θ

θ

+

e

e

e

e

e

e

e

Re{x(t)} = C e

σ

t

⋅

_cos(

ω

o

t +

θ

) ,

σ

> 0

Re{x(t)} = C e

σ

t

⋅

cos(

ω

o

t +

θ

) ,

σ

< 0

Dois sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais.

Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são:

Circuitos RLC

;

sistemas

mecânicos com amortecimento

e

forças restauradoras

(massa-mola

,

suspensão de

automóveis

, etc.

).

Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como

resistências

,

forças

amortecedoras

e

atritos

) com oscilações que decaem no tempo.

com

σ

> 0, logo o sinal cresce;

_com

σ

_{< 0, logo o sinal decai,}

ou fica amortecido.

O sinal sinusoidal discreto:

x[n] = A cos (

ω

_o

n +

φ

)

onde as unidades de x[n] são:

n

[sem dimensão]

ω

_o

[radianos]

φ

[radianos]

f

_o

=

ω

_o

/ 2

π

[radianos]

x

₁

[n] = A cos (

ω

_o

n)

,

para

ω

_o

= 0,2

π ≅

0,628

.

o período

fundamental

é

N

_o

= 10

x

₂

[n] = A cos (

ω

_o

n)

,

para

ω

_o

= 0,3

π ≅

0,944

o

período

fundamental

é N

_o

= 20

x

₃

[n] = A cos (

ω

_o

n)

,

para

ω

_o

= 1

Usando as equações de Euler

, um sinal sinusoidal discreto x[n]

pode ser escrito como:

n

j

j

n

j

j

o

o

o

2

A

2

A

)

n

(

cos

A

x[n]

ω

φ

ω

φ

₋

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

=

φ

+

ω

=

e

e

e

e

1

2

j

φ

₌

e

e, como

e

1

2

o

n

j

=

ω

e

para este sinal temos que a

energia total

E

_∞

e a

potência total P

_∞

são:

O sinal exponencial discreto :

[ ]

n

n

C

C

n

x

β

=

α

=

e

onde

α

=

e

β

que é uma forma análoga

ao

sinal exponencial contínuo

.

Caso 1

: C

∈

R

_{e α}

∈

R

_:

R

_{= conjunto dos números reais.}

Neste caso x[n]

pode ser

um sinal

crescente

(se

α

> 1) ou

um sinal

decrescente

(se 0

<

α

< 1).

Obviamente, se

α

= 0, então

[ ]

n

C

n

x

=

α

é o sinal

De forma semelhante, se

α

=

±

1, então

x

[ ]

n

=

C

α

n

é um dos sinais

se

α

= 1

e

C > 0

, então ⇒

se

α

= –1

e

C < 0

, então ⇒

se

α

= –1

e

C > 0

, então ⇒

se

α

= 1

e

C < 0

, então ⇒

se

α

= 0

, então ⇒

x

[ ]

n

=

C

α

n

=

0

[ ]

n

C

=

|

C

|

,

x

=

α

n

[ ]

n

C

=

|

C

|

,

x

=

α

n

[ ]

n

C

=

|

C

|

,

x

=

α

n

-[ ]

n

C

=

|

C

|

,

x

=

α

n

-Caso 2

: C = 1

e

β

é um número imaginário puro

(

|

α

|

= 1)

[ ]

_n

n

C

C

n

x

=

α

=

e

β

O sinal exponencial discreto :

O sinal exponencial complexo

[ ]

n

n

C

C

n

x

=

e

β

=

α

(

α

=

e

β

)

para C = 1

e

β

= j

ω

_o

(imaginário puro), temos que |

α

| = 1, e x[n]

fica:

[ ]

j

_o

n

n

x

=

e

ω

Usando a

equação de Euler

temos que:

[ ]

n

cos

n

j

sen

n

x

=

e

j

ω

o

n

=

ω

_o

+

⋅

ω

_o

Observe que, como

,

n

,

1

2

n

j

ω

o

=

∀

e

então para este sinal temos novamente que

Note que o sinal exponencial

[ ]

j

_o

n

n

x

=

e

ω

satisfaz a seguinte propriedade:

[ ]

...

,

2

,

1

,

0

m

,

n

x

n

)

m

o

(

j

n

)

2

o

(

j

n

o

j

±

±

=

=

=

=

=

π

±

ω

π

+

ω

ω

e

e

e

ou seja, o sinal x[n]

é o mesmo para frequência

ω

_o

e (

ω

_o

+ 2

π

).

Na verdade é o mesmo para qualquer frequência

(

ω

_o

±

m

π

), m = 0,

±

1,

±

2, …

Isto é, ele se repete a cada

2

π

a

medida que a frequência

ω

_o

varia.

Esta situação é diferente do seu sinal análogo

contínuo

x(t)

, onde para cada

ω

_o

,

x(t)

era um sinal diferente.

O sinal

contínuo

x(t)

n

unca se repetia para valores diferentes de

ω

_o

.

No caso discreto que analisamos aqui

[ ]

j

_o

n

n

x

=

e

ω

o que ocorre é que conforme

ω

_o

aumenta de 0

até

π

, obtemos sinais x[n]

que oscilam

cada vez mais rápido.

Depois, continuando a aumentar

ω

_o

de

π

até 2

π

, os sinais x[n]

vão oscilando cada vez

mais lentamente até voltar a ser o mesmo que era em

ω

_o

= 0

para

ω

_o

= 2

π

.

Para termos uma ideia de como isto ocorre, a evolução da parte real de

x[n]

, ou

seja

{

x

[

n

]

}

Re

{

}

cos(

n

)

,

Re

]

n

[

=

=

j

o

n

=

ω

_o

σ

e

ω

desde

0

(

nenhuma oscilação

) até

π

(

número máximo de oscilações

) e depois

continuando até

2

π

(

nenhuma oscilação novamente

).

0

o

=

ω

8

o

π

=

ω

σ

[n] = cos (

ω

_o

n),

σ

[n] = cos (

ω

_o

n),

4

o

=

π

ω

2

o

=

π

ω

π

=

ω

_o

2

3

o

π

=

ω

σ

[n] = cos (

ω

_o

n),

4

7

o

=

π

ω

σ

[n] = cos (

ω

_o

n),

8

15

o

=

π