COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ESTUDO DO CRESCIMENTO E PRODUÇÃO FLORESTAL

(1)

COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ESTUDO DO CRESCIMENTO E PRODUÇÃO FLORESTAL

Francisco Walter de Lima Gomes1 Universidade Católica de Brasília Curso de Matemática RESUMO: Este trabalho visa comparar dois modelos matemáticos quantitativos para aplicação no corte sustentável de uma plantação de pinheiro silvestre para a comercialização como árvores de Natal. O primeiro modelo, a avaliação é feita por meio de uma fórmula padrão para o corte sustentável em que o rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de uma classe de altura especifica e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Neste modelo a altura da árvore determina seu valor econômico. Os parâmetros de crescimento das árvores também devem ser levados em conta para determinar o rendimento sustentável ótimo da floresta. No segundo modelo, a avaliação é feita por meio de Programação Matemática (Método Simplex-Lexicógrafico), em que a maximização do rendimento total de todas as árvores sem classes específicas, dará o maior rendimento sustentável ótimo para o produtor a cada quatro anos (horizontes de planejamento). Para esse modelo, os cortes são por talhões.

Palavras-chave: Modelos, programação linear, matriz de crescimento.

1. INTRODUÇÃO

O uso de modelos matemáticos tem uma longa tradição na área florestal. Desde o início do plantio de florestas manejadas, surgiu o desejo de influenciar e prognosticar o crescimento com o fim de dominar a produção. Esse desejo tem as suas raízes nas circunstâncias especiais da produção florestal.

Os longos prazos e a irreversibilidade de tais problemas como: florestas com horizontes de planejamentos duvidosos, desmatamentos das florestas nativas e a não obtenção do certificado florestal expedidos por órgãos do Governo Federal. Esse fato levou a produtores e administradores a procurar novas alternativas de bons lucros e conservação das florestas. Os modelos matemáticos fazem papel de suma importância para escolha de um bom manejo florestal, propondo maiores rentabilidades e um desenvolvimento sustentável.

Segundo Strack (1984), modelos são abstrações e simplificações de processos com o fim de descrever e estimar os seus resultados finais, bem como o seu transcurso.

De acordo com Bronson (1985), existem ferramentas importantes que permitem analisar as informações e a tomada de decisão em função das condições de mercado ou da demanda da própria empresa, como por exemplo, as avaliações econômicas, de planejamento e de otimização, que consideram critérios econômicos na obtenção de projetos.

(2)

No trabalho proposto encontraremos um modelo para o qual o valor econômico total de todas as árvores removidas é o maior possível. Isto determinará o rendimento sustentável ótimo da floresta e é maior rendimento que pode ser obtido continuamente sem dizimar a mesma. Segundo Kolman (1998), o uso de técnicas matriciais auxiliará o administrador a escolher um bom manejo.

2. CONCEITOS TEÓRICOS

Segundo Anton & Rorres (2001), o primeiro modelo parte da formulação do seguinte problema: um plantador possui uma floresta de pinheiro silvestre que são vendidos ano após ano como árvores de natal. Árvores de diferentes tamanhos têm valores econômicos diferentes no mercado natalino como mostra a Tabela 1.

Tabela 1: Relação valor-intervalo de altura

Conforme Figura 1, durante o período de crescimento uma árvore no máximo muda uma classe para cima.

0 Valor da Árvore

Figura 1 – Representação Gráfica das Árvores dispostas em classes de alturas e valor econômico.

Classes de altura Valor (R$) Intervalo de altura ( )h

Com estes números, formamos o vetor de não-cortadas:

Neste modelo, o número total de árvores da floresta é fixo e é dado por:

Onde s é predeterminado pela área disponível para plantio que cada árvore ocupa.

A configuração da floresta é dada pelo vetor x depois de cada corte. Entre dois cortes, as árvores crescem e produzem uma nova configuração, conforme a Figura 2.

Árvores removidas

corte

Floresta após crescimento

Árvores não removidas

Configurações florestais

iguais

c

Floresta no início do processo de crescimento Floresta depois de cortar (vetor de não-cortadasx) (vetor de não-cortadas x)

= n x x x X 2 1 s x x x x1+ 2+ 3+...+ _n = C r e s c i m e n t o P l a n t a ç ã o d e m u d a

( )

1

(4)

Para cada árvore removida é plantada uma muda no seu lugar, de modo que a floresta tenha sempre a mesma quantidade de árvores.

Durante o período de crescimento, uma árvore da i-ésima classe pode crescer e passar a uma

classe de maior altura ou então o crescimento pode ser retardado por algum motivo e ela permanecer em sua classe.

Portanto, é definido o seguinte parâmetro gi de crescimento para i=1,2,3,...,n−1: i

g é a fração das árvores da i-ésima classe que nela permanecem para a (i+1)-ésima classe

durante um período de crescimento.

i

g −

1 é a fração das árvores da i-ésima classe que permanecem durante um período de

crescimento.

Daí temos a seguinte matriz de crescimento:

G é uma matriz de ordem quadrada cujas as linhas representam as classes (alturas das

árvores) e as colunas representam as frações das árvores que permanece na mesma classe (1−gi) e as frações das árvores que passam para a classe seguinte (gi).

Os zeros que aparecem na matriz representam que não há mudas nessas classes.

Todavia, se a matriz das árvores cortadas for maior que zero, o produtor estar removendo apenas mudas sem valor econômico conforme equação ( 7).

(2)

As entradas da matriz X são o número de árvores nas n classes antes do período de

crescimento.

Durante o corte o plantador remove yi(i=1,2,...,n)árvores da i-ésima classe. Efetuando o produto das matrizes:

. − − − − − = − − n n n g g g g g g g g G 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1 0 ... . 0 0 1 1 1 3 2 2 1 1 − − − − − = − − n n n g g g g g g g g GX 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1 0 ... . 0 0 1 1 1 3 2 2 1 1 n x x x 2 1

(5)

temos a seguinte matriz:

(3)

são os números de árvores nas n classes depois do período de crescimento. Durante o corte o plantador remove y_i(i=1,2,...,n)árvores da i-ésima classe. Logo, temos o vetor-coluna

.

de árvores cortadas. Assim, um total de

Árvores são removidas a cada corte. Este também é o número total de árvores adicionadas à primeira classe (as novas mudas) depois de cada corte, define a seguinte matriz de reposição de tamanho R . _nxn

Onde a primeira linha representa a reposição de árvores plantadas e a demais linhas não há reposição de árvores. (4) então o vetor-coluna (5) = RY . + − + − + − + − = − − − − − − n n n n n n n x x x g x g x g x g x g x g x g x g GX 1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( = n y y y Y 2 1 n y y y₁+ ₂+...+ = 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 1 1 R + + + = 0 0 0 ... 2 1 y yn y 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 1 1 n y y y 2 1

(6)

A matriz R_Y indica que o total de árvores removidas é igual às plantadas. Especificará a configuração de árvores plantadas após cada corte.

Agora nós estamos prontos para escrever as seguintes equações, que caracterizam uma política de corte sustentável:

ou, matematicamente,

Esta equação pode ser reescrita como

(6) onde:

I é a matriz identidade.

Nós nos referimos à Equação (6) como a condição de corte sustentável. Quaisquer matrizes vetores X eYcom entradas não-negativas e tais que x₁+x₂+...+x_n =s que satisfazem esta equação matricial, determinam uma política de corte sustentável para a floresta. Observe que se y₁ >0, então o cortador está removendo mudas sem valor econômico e substituindo-as por mudas novas. Como isto não faz sentido, nós supomos que

(7)

com esta hipótese, pode ser verificado que (6) é o formato matricial do seguinte conjunto de equações:

(8)

Observe que a primeira equação em (8) é a soma das demais n−1 equações.

[

]

+ = − o cresciment de período do início no ão configuraç mudas de reposição corte o cresciment de período do final no ão configuraç X RY Y GX − + = X I G Y R I ) ( ) ( − = − 0 1= y 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 3 2 .... − − − − − − − = − = − = − = = + + + n n n n n n n n n x g y x g x g y x g x g y x g x g y x g y y y

(7)

Como nós devemos ter yi ≥0 para i=2,3,...,n, as equações (8) exigem que (9)

Reciprocamente, se x é um vetor-coluna com entradas não-negativas que satisfaz a Equação (9), então (7) e (8) definem um vetor-coluna y com entradas não-negativas. Além disto, x e

y satisfazem a condição de corte sustentável (6). Em outras palavras, uma condição necessária e suficiente para que um vetor-coluna x determine uma configuração da floresta que permite um corte sustentável é que as entradas de x satisfazem (9).

3. RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO

Foi removida yi árvores da i-ésima classe

(

i=2,3,...,n

)

e cada árvore na i-ésima classe tem

valor econômico p_i, o rendimento total RT do corte é dado por:

(10) Usando (8), pode substituir os y_i em (10) e obter

(11)

Combinando (11), (1) e (9), pode-se enunciar o problema de maximizar o rendimento da floresta sobre todas as possíveis políticas de corte sustentável como segue:

Inicialmente denotamos

= k

RT rendimento obtido cortando todas as árvores da k-ésima classe e nenhuma árvore das outras classes.

O maior valor de RT_k para k =2,3,...,n será, então, o rendimento sustentável ótimo e o correspondente valor de k será a classe que deveria ser completamente cortada para obter este rendimento sustentável ótimo. Como nenhuma classe é cortada, exceto a k-ésima, temos:

(12)

Além disto, como todas as árvores da k-ésima classe são cortadas, nunca há árvores nas classes de altura acima da k-ésima classe. Assim,

(13)

Substituindo (12) e (13) na condição d corte sustentável (8) obtemos 0 ... ₁ ₁ 2 2 1 1x ≥ g x ≥ ≥gn− xn− ≥ g n ny p y p y p RT = ₂ ₂+ ₃ ₃+...+

(

1

)

1 1 2 2 2 3 1 1 2 +( − ) +...+ − − − − = p g x p p g x pn pn gn xn RT 0 ... ... 1 1 3 2 = y = = yk− = yk+ = = yn = y 0 ... 1= = = = _k₊ _n k x x x

(8)

(14)

As Equações (14) também podem ser escritas como

(15)

Das quais segue que (16)

Substituindo as Equações (13) e (16) em

[ que é a Equação (1)], pode-se resolver em x₁ e obter

(17)

onde:

s corresponde o total de árvores na floresta.

Para o rendimento RTK, combina (10), (12), (15) e (17) para obter

(18)

A equação (18) determina RT_K em termos dos parâmetros econômicos e de crescimento conhecido para quaisquer k=2,3,...,n.

1 1 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 − − − − − − = − = − = − = = k k k k k k k k x g y x g x g x g x g x g x g x g y 1 1 2 2 1 1 = =...= − − = k k k g x g x g x y s x x x₁+ ₂+... _n = 1 1 3 1 2 1 1 ... 1 − + + + + = k g g g g g g s x 2 2 3 3 1 1 1 2 1 ... . 1 1 _... 1 k n n k k k k k RT p y p y p y p y p g x p s g g g ₋ = + + + = = = + + + 1 1 1 1 3 1 1 3 2 1 1 2 / / / − − = = = k k gx g x g x g x g x g x

(9)

Para k =2,3,...,n O correspondente valor de k é o número da classe que é completamente cortada.

4. APRESENTAÇÃO DO 1º MODELO

Esse problema constitui em: Uma empresa florestal deseja elaborar um plano de manejo para uma floresta inequiânea (florestas heterogêneas em altura), para os próximos 4 anos (horizontes de planejamento), com o objetivo de maximizar o rendimento sustentável ótimo. Os dados desse exemplo estão apresentados na Tabela 2.

A seguinte matriz de crescimento refere-se a uma floresta de pinheiro silvestre com os seguintes parâmetros de crescimento:

Atribuindo valores arbitrários a seguinte matriz de vértices, representando as frações das árvores que passam de uma classe para outra e as que ficam na mesma classe, temos:

Qual classe deveria ser completamente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo e qual é o rendimento?

Resolução:

Da matriz G de crescimento obtemos:

Considere uma plantação com 100 árvores então, temos s = 100. 2 1 1 = g , g₂ =710 e g₃ =15 , 150 2 = p p₃ =250,00 e p₄ =350,00 = 1 5 1 0 0 0 5 4 10 7 0 0 0 3 1 2 1 0 0 0 2 1 G

(10)

Onde:

=

RT rendimento total. 1

g são frações das árvores da primeira classe. 2

g são frações das árvores da segunda classe. 3

g são frações das árvores da quarta classe. 2

p é o preço das árvores da primeira classe 2

p é o preço das árvores da segunda classe. 3

p é o preço das árvores da terceira classe.

Aplicando a equação (18), temos:

Esse modelo mostra o rendimento de cada classe, conforme mostra a equação (18). 2

RT , corresponde o rendimento total cortando todas as árvores da segunda classe e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Ele foi obtido multiplicando o valor das árvores dessa classe pela quantidade plantada, dividido pela fração das árvores que vieram da primeira classe.

3

RT , corresponde o rendimento total cortando todas as árvores da terceira classe e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Ele foi obtido multiplicando o valor das árvores dessa classe pela quantidade plantada, dividido pela fração das árvores que vieram da segunda classe mais as frações da terceira.

4

RT , corresponde o rendimento total cortando todas as árvores da quarta classe e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Ele foi obtido multiplicando o valor das árvores dessa classe pela quantidade plantada, dividido pela fração das árvores que vieram da segunda, da terceira e da quarta classe.

5. APRESENTAÇÃO DO 2º MODELO

Neste segundo modelo utilizaremos a programação Linear (Método Simplex).

Segundo Silva (2001), esse método é formado por um grupo de critérios para escolha de soluções básicas que melhorem o desempenho do modelo. Para isso, o problema deve apresentar uma solução básica inicial.

As soluções básicas subseqüentes são calculadas com a troca de variáveis básicas por não básicas, gerando novas soluções.

54 , 152 . 4 $ 1 5 7 10 1 2 100 . 350 66 , 291 . 7 $ 7 10 1 2 100 . 250 00 , 500 . 7 $ 2 100 . 150 4 3 2 = + + = = + = = = R RT R RT R RT

(11)

Utilizamos o método simplex lexicográfico visando a assegurar a convergência do algoritmo devido a degeneração das variáveis básicas.

No Método Simplex ocorre o processo de degeneração, quando temos uma solução básica viável onde existe ao menos uma variável básica nula.

O fenômeno da degeneração pode, teoricamente, implicar na não convergência do Método Simplex, por levar à ocorrência de ciclos. A ciclagem consiste em voltarmos à mesma base depois de certo número de interações. A ciclagem indefinida entre a mesma seqüência de bases poderia impedir-nos de chegar ao final do processo iterativo do Simplex.

Como última observação, cabe ainda mencionar que a ciclagem é um fenômeno bastante raro na degeneração.

Na ausência de degeneração, a convergência finita do algoritmo Simplex é garantida pelo fato de gerarmos bases que implicam um valor decrescente para a função objetivo.

No caso de empate, isto é, para o caso em que o Simplex permite mais de uma escolha para linha pivô, o método Lexicográfico fornece uma regra que permite refinar esta escolha, até que uma única linha pivô possa ser indicada.

Basta seguir uma escolha arbitrária para o elemento pivô, e desenvolver todo processo de pivoteamento normal do Simplex.

Nesta escolha não importa se os coeficientes das varáveis não básicas sejam positivos ou negativos. O importante é adotar uma escolha para convergência do método.

Obviamente existe uma série de opções possíveis nas escolhas que podemos fazer para o elemento pivô. O importante é que uma vez feita uma escolha, e que implica certa ordem (maior coeficiente ou menor), deve ser mantida constituindo a essência da mecânica do método lexicográfico.

Certa floresta é dividida em quatro classes de altura e a matriz de crescimento das árvores entre os cortes é dada por

Para a matriz de crescimento desse modelo, atribuímos os mesmos valores arbitrários de conformidade com o primeiro modelo.

= 1 1 0 0 0 5 4 10 7 0 0 0 3 1 2 1 0 0 0 2 1 G

(12)

Os preços das classes de alturas estão na Tabela 3 abaixo:

Tabela 3: Relação preço-intervalo de altura em metro Classes Valor (R$) Intervalo de altura (m)

3 3 1 1 2 .RT p g x p p g x p p g x Max = + − + − Sujeito a: ≥ ≥ ≥ ≥ − ≥ − ≥ ≤ + + 0 , 0 , 0 0 0 0 3 2 1 2 2 1 1 3 3 2 2 3 3 3 2 1 x x x x g x g x g x g x g s x x x

Onde y representa a quantidade de árvores que foram repostas. A quantidade de árvores _i

removidas é igual à das plantadas.

Na função objetivo proposta acima, utilizamos a Linguagem de Programação Linear para maximizar o maior rendimento sustentável ótimo.

Onde:

3 2, p

p e p₄ representam os preços das árvores. 2

1, g

g e g representam as frações das árvores. ₃

Para a primeira restrição x1+x2 +x3 ≤s, o número de árvores plantadas em cada classe é

sempre o mesmo correspondendo o total da floresta.

Foram usadas as restrições 0≥ , devido o fato de o plantador não está plantando apenas mudas

sem valor econômico. Pois de acordo com o enunciado da página 6, se a restrição fosse do 2 2 1 1 2 3 3 2 2 3 x g x g y x g x g y − = − =

(13)

tipo 0> , o plantador estava removendo somente mudas os quais para esse modelo não faz

sentido.

O problema é composto das seguintes restrições:

1º a restrição é do tipo ≥ : (maior igual) a variável de folga é substituída e seu valor é

negativo, quando se anulam as variáveis de decisão.

2º a restrição é do tipo =:(igual) não recebe a variável de folga.

Neste caso, acrescentamos em cada uma das restrições do tipo ≥ e = variáveis auxiliares aj

com a formação de um novo modelo.

Não há uma solução básica inicial devido à segunda, terceira e a quarta restrições.

O retorno ao modelo original deve ser feito com a eliminação das variáveis auxiliares e a manutenção da solução básica. Isto pode ser feito de duas maneiras:

Método do M grande ou Método da função objetivo auxiliar. Este problema foi desenvolvido pelo Método do M grande.

Modelo auxiliar: Max. RT = p₂g₁x₁+

(

p₃ −p₂

)

g₂x₂ +

(

p₄− p₃

)

g₃x₃−M₂a₂−M₃a₃−M₄a₄

Sujeito a: = + − − = + − − = + − = + + + 0 0 0 100 4 4 2 2 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 1 3 2 1 a xF x g x g a xF x g x g a xF x g xF x x x

Neste caso, existe uma degeneração, então é necessário utilizar o Simplex-Lexicográfico para a escolha do elemento pivô.

À medida que a função é maximizada, as variáveis auxiliares a a₂, ₃ e a₄deixam a base, devido ao grande valor de M M₂, ₃ e M₄.

Quadro Inicial: RT x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 a2 a3 a4 b 1 −75 −70 −20 0 0 0 0 M2 M3 M4 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 15 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 7 10 −15 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 1/2 −7 10 0 0 0 0 −1 0 0 1 0

(14)

Variáveis básicas: Variáveis não-básicas: 1 100 xF =

x

₁

=

0

xF₃=0 2 0 a = x₂=0 3 0 a = x₃ =0 4 0 a = xF₂= 0 1ª Iteração: 2ª Iteração: 3ª Iteração:

Na primeira parte do problema, que levou à eliminação das variáveis auxiliares, o que pretenderíamos não era maximizar o objetivo, e sim eliminar as variáveis auxiliares, retornando assim ao problema original. Podemos escolher para entra na base uma variável com qualquer coeficiente na função objetivo, desde que a entrada dessa variável provoque a saída de uma variável auxiliar

RT x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 a2 a3 a4 b 1 0 −175 −20 0 0 0 −150 M2 M3 M4 0 0 0 12 5 1 1 0 0 2 0 0 −2 100 0 0 0 15 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 7/10 −15 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 1 −7 5 0 0 0 0 −2 0 0 2 0 RT x₁ x₂ x₃ xF₁ xF₂ xF₃ xF₄ a₂ a₃ a₄ b 1 0 0 −70 0 0 −250 −150 M₂ M₃ M₄ 0 0 0 0 59 35 1 0 24 7 2 0 −24 7 −2 100 0 0 0 1/5 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 −2 7 0 0 −10 7 0 0 10 7 0 0 0 ₁ ₀ ₋₂ ₅ ₀ ₀ ₋₂ ₋₂ ₀ ₂ ₂ ₀ RT x₁ x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 a2 a3 a4 b 1 0 0 0 0 −350 −250 −150 M₂ M₃ M₄ 0 0 0 0 0 1 59 7 24 7 2 −59 7 −24 7 −2 100 0 0 0 1 0 −5 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 0 −10 7 −10 7 0 10 7 10 7 0 0 0 ₁ ₀ ₀ ₀ ₋₂ ₋₂ ₋₂ ₂ 2 2 0

(15)

Novo Quadro

1ª Iteração:

2ª Iteração:

Observando o último Tableau, a solução ótima foi encontrada maximizando a função objetiva dada, onde encontramos o valor ótimo de R$ 11.237,29 da variável b. Foi feito o pivoteamento de cada linha usando o algoritmo Simplex.

Pelo critério do Simplex, como todos os coeficientes da primeira linha são positivos, logo a função atingiu seu ponto ótimo.

6. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO

O objetivo do trabalho foi alcançado comparando dois modelos matemáticos para comercialização de venda de pinheiro silvestre como árvores de natal. As vantagens do primeiro modelo estão na aplicação de ser um modelo bastante simplificado. Portanto, mais

RT x₁ x₂ x₃ xF₁ xF₂ xF₃ xF₄ b 1 0 0 0 0 −350 −250 −150 0 0 0 0 0 1 59/7 24 7 2 100 0 0 0 1 0 −5 0 0 0 0 0 1 0 0 −10 7 −10 7 0 0 0 ₁ ₀ ₀ ₀ ₋₂ ₋₂ ₋₂ ₀ RT x₁ x₂ x₃ xF₁ xF₂ xF₃ xF₄ b 1 0 0 0 2450 59 0 −6350/59 −8360/59 245000 59 0 0 0 0 7 59 1 24 59 14 59 700 59 0 0 0 1 35 59 0 120 59 70/59 350059 0 0 1 0 10 59 0 −830413 20 59 1000 59 0 ₁ ₀ ₀ ₁₄ ₅₉ ₀ ₋₁₆₆ ₅₉ ₋₉₀₅₉ ₁₄₀₀ ₅₉ RT x₁ x₂ x₃ xF₁ xF₂ xF₃ xF₄ b 1 0 0 836 6630 59 0 55870 413 0 66300059 0 0 0 −15 0 1 4854 0 0 0 0 0 59 70 1 2 0 12 7 1 50 0 0 1 −2 7 0 0 −10 7 0 0 0 ₁ ₀ ₉ ₇ ₁ ₀ ₋₈₂ ₄₁₃ ₀ ₁₀₀

(16)

Apesar das árvores das outras classes terem preços mais elevados, conforme mostra a equação (18), para o produtor a política de corte sustentável adotada por essa equação determinar o maior rendimento sustentável ótimo sem dizimar a floresta.

Por outro lado, como o primeiro modelo determina uma política de corte sustentável, não havendo novos desmatamentos por hectares, o produtor receberá o certificado florestal pela elaboração de um bom manejo florestal.

Todavia, no primeiro modelo o produtor terá rendimento sustentável ótimo de R$ 7.500,00 cortando todas as árvores da segunda classe, e nenhuma árvore de qualquer outra classe. Em termos econômicos esse modelo tem a desvantagem em relação ao Método Simplex pelo fato de o produtor obter receitas oriundas dos plantios, cortando somente classes de alturas especificas predestinadas para o corte.

Por essa razão, esse modelo poderá trazer perdas de lucro para o produtor no mercado natalino.

No segundo modelo o produtor terá rendimento total de R$ 11.237,29 a cada corte. Neste caso, a produção é maior devido ao corte ser raso (cortando todas as árvores por hectares), para obtenção do ótimo na função objetivo.

Os preços das árvores neste modelo devem ser levados em conta para obtenção do maior rendimento.

As desvantagens desse modelo correspondem a critérios mais rigorosos, a saber:

Recursos computacionais adequados para este tipo de problema florestal; Melhor horizonte de planejamento para uma política de corte sustentável; Maior disponibilidade para o planejamento do manejo florestal.

Portanto, o cenário que apresentou o melhor resultado para a maximização do lucro foi o segundo modelo em que usou a programação linear com o rendimento sustentável ótimo da floresta.

7. REFERÊNICAS BIBLIOGRÁFICAS

BRONSON, Richard. Pesquisa operacional. 2. ed. São Paulo: Mc Graw Hill do Brasil, 1995. HOWAD, Anton; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.

KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6. ed. Rio de Janeiro: Prentice - Hall, 1998.

SILVA, Ermes Medeiros et al. Pesquisa operacional: programação linear. 3. ed. São Paulo, Atlas, 1998.

STRACK, Jair. Modelagem e simulação de sistemas. 1. ed. Rio de Janeiro, LTC- Livros Técnicos e Científicos S.A., 1984.