2 Agregação Dinâmica de Modelos de Estabilizadores

2.1

Introdução

A agregação dinâmica de modelos de estabilizadores consiste na obtenção dos parâmetros de um modelo equivalente, a partir do modelo de estabilizador utilizado em cada unidade geradora de um determinado grupo coerente. Um grupo coerente é composto por unidades geradoras que apresentam oscilações idênticas para um determinado distúrbio no sistema.

Nesta dissertação, é utilizada a metodologia desenvolvida por Germond & Podmore [12] para resolver o problema da agregação dinâmica de unidades geradoras coerentes, que considera separadamente os parâmetros lineares e os limites não-lineares dos modelos de unidades geradoras. Os ajustes numéricos dos parâmetros lineares do modelo equivalente são feitos pelo método de Levenberg-Marquardt [13,14] por ser eficiente na resolução de problemas de mínimos quadrados. O erro a ser minimizado, obtido da relação entre as respostas em freqüência da função de transferência agregada (FTA) e a função de transferência equivalente (FTE), calculada numa faixa de freqüências discretas de 0,01Hz a 10Hz, é representado pela eq. (2.1) que calcula a soma dos quadrados do módulo da diferença.

( )

( )

( )

∑

− i _i 2 2 i eq i jω G jω G jω G (2.1)

sendo: G(jωi) – Função de transferência agregada dos modelos considerados.

Geq(jωi) – Função de transferência equivalente.

Essa metodologia pode ser aplicada a todos os componentes da unidade geradora, ilustrados na figura 2.1, formando um modelo equivalente para cada um destes componentes: máquina síncrona, sistema de excitação, estabilizador,

regulador de velocidade e turbina, e dinâmica do rotor. No entanto, para a dinâmica do rotor, a equação mecânica da unidade geradora equivalente é igual à soma das equações dos geradores individuais, porque as unidades do grupo apresentam o mesmo desvio de velocidade.

O diagrama da figura 2.1 representa a relação funcional entre as variáveis de saída, potência elétrica (Pe) e potência mecânica (Pm), com as respectivas

variáveis de entrada, tensão terminal (Vt) e velocidade (ω), para um modelo de

unidade geradora individual. Para o modelo de unidade geradora equivalente, as potências elétrica e mecânica são iguais às totais de cada grupo coerente [12].

Figura 2.1 - Modelo de unidade geradora

Para um grupo coerente com unidades geradoras equipadas com estabilizadores aplicados aos sistemas de excitação, o modelo equivalente de estabilizador é determinado após a obtenção dos modelos equivalentes de máquina síncrona e de sistema de excitação.

O enfoque desta dissertação é a agregação dinâmica de estabilizadores de sistema de potência aplicados em reguladores de tensão.

REGULADOR DE VELOCIDADE + TURBINA DINÂMICA DO ROTOR ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA SISTEMA DE EXCITAÇÃO MÁQUINA SÍNCRONA MODELO DE REDE + + +

∑

∏

∑

V_T VT VT Vd Vq Id Iq I_T u V_S VREF efd V_T δ δ Pm Pe Pe ω REGULADOR DE _VELOCIDADE + TURBINA DINÂMICA DO ROTOR ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTÊNCIA SISTEMA DE EXCITAÇÃO MÁQUINA SÍNCRONA MODELO DE REDE + + +

∑

∏

∑

V_T VT VT Vd Vq Id Iq I_T u V_S VREF efd V_T δ δ Pm Pe Pe ω

2.2

Sistema de excitação

A qualidade da energia fornecida aos consumidores, sob o aspecto de controle de tensão, é efetuado pelo sistema de excitação, além de outros equipamentos como banco de capacitores, reatores, compensadores síncronos e estáticos, etc.. O sistema de excitação tem como principal função controlar a tensão terminal do gerador síncrono através da alimentação em corrente contínua para o enrolamento de campo do gerador síncrono. Através do ajuste da tensão de campo é possível controlar a tensão e o fluxo de potência reativa proporcionando melhoria da estabilidade do sistema. O controle de tensão é mais eficiente nas proximidades da unidade geradora. Dada a necessidade de suporte de potência reativa solicitada pelo sistema para manter a tensão controlada, outra função importante do sistema de excitação está relacionada à proteção dos limites de capacidade de corrente de campo, corrente máxima do estator e fator de potência. O sistema de excitação deve responder rapidamente às solicitações do sistema elétrico causadas por grandes ou pequenos distúrbios, de forma a proporcionar um bom desempenho durante a estabilidade transitória.

O modelo de sistema de excitação das unidades geradoras do sistema em estudo, New England, utilizado nas simulações é do tipo DC1A do IEEE [17], apresentado na figura 2.2. Este modelo foi implementado e testado no programa EDINCO [16]. + ∑ VR VREF Efd=(Tefd) F F sT sK + 1 t V ∆ + ∑ A A sT K + 1 VRMIN VRMÁX E E sT K + 1 ∑ ( )Efd f SE= + + VS VT

Figura 2.2 - Modelo de sistema de excitação tipo 1 do IEEE (DC1A)

2.3

Estabilizadores de sistemas de potência

Um sistema de potência tem a capacidade de responder a pequenas oscilações que variam numa faixa de freqüência de aproximadamente 0,2 Hz a 2,5 Hz, porém, quando o amortecimento é insuficiente o sistema pode perder a estabilidade. Estas oscilações de baixa freqüência resultam em pequenas variações de ângulo, velocidade e torque no sistema de potência.

Os estabilizadores de sistema de potência têm a função de aumentar o amortecimento das oscilações do rotor do gerador, causadas por distúrbios no sistema, através da aplicação de um sinal adicional estabilizante no sistema de excitação. Este sinal adicional é gerado a partir de um sinal de entrada, que pode ser de desvio de velocidade, desvio de freqüência, variação da potência elétrica ou da potência acelerante, produzindo uma componente de torque elétrico em fase com o desvio de velocidade do rotor [19].

Os estabilizadores de sistemas de potência apresentam duas estruturas básicas quanto ao número de entradas. Podem ter entrada simples, ou dupla entrada [17].

- Estabilizadores com sinal de entrada de desvio de velocidade (∆ω):

O sinal de velocidade é obtido através de um taquímetro colocado junto ao regulador de velocidade, ou em pontos do eixo da máquina isentos de oscilações torcionais.

Este tipo de estabilizador apresenta problemas de desempenho para os modos de oscilação nas freqüências mais altas (modos torcionais, modo da excitatriz, ruído dos transdutores, etc), podendo limitar bastante o ganho do PSS e reduzir a sua eficiência para amortecer os modos locais e interáreas. Para reduzir os problemas com as altas freqüências, costuma-se utilizar filtros passa-baixa na entrada do sinal estabilizador.

- Estabilizadores com sinal de entrada de desvio de freqüência (∆f):

O sinal de desvio da freqüência é obtido por intermédio de um transdutor eletrônico que pode utilizar como entrada a tensão terminal da máquina, a tensão do barramento de alta da usina ou a tensão sobre o eixo em quadratura da máquina, calculada a partir de valores da corrente e da tensão terminal.

Os sinais estabilizadores derivados de ∆f têm características de

desempenho semelhantes aos derivados de ∆ω. A principal diferença no uso da

freqüência como sinal de entrada é a sua maior sensibilidade às oscilações do rotor `a medida que o sistema de transmissão torna-se mais fraco (maior impedância externa), tornando a ação do sinal estabilizador mais efetiva quando mais necessária. Uma vantagem deste tipo de sinal é a sua maior sensibilidade aos

modos de oscilação interáreas que o sinal derivado de ∆ω. Assim como o

estabilizador de desvio de velocidade, também enfrenta problemas com ruídos, sendo necessário à utilização de filtros torcionais.

- Estabilizadores com sinal de entrada de potência elétrica (Pe):

O sinal de potência elétrica é obtido por intermédio de um transdutor eletrônico que utiliza como entrada tensão e corrente terminais da máquina.

Este tipo de sinal estabilizador apresenta um bom desempenho para os modos locais de oscilação, com forte rejeição aos modos de alta freqüência, porém tem problemas de desempenho frente a distúrbios de baixa freqüência, tais como amplificação das oscilações de natureza mecânica na potência elétrica e sensibilidade às tomadas rápidas de carga na unidade geradora.

- Estabilizadores com sinal de entrada de potência acelerante (∆Pω):

Basicamente existem duas formas de se obter a síntese da potência acelerante utilizada nos sinais estabilizadores de potência.

Uma forma é a utilização dos sinais de potência elétrica e potência mecânica. A potência elétrica é obtida diretamente através de transdutores e a potência mecânica pode ser calculada através da medida da abertura do

distribuidor. O sinal de potência acelerante é resultante da diferença entre os sinais de potência mecânica e elétrica.

Outra forma utiliza como entrada o sinal de potência elétrica e o sinal de desvio da velocidade angular, ou da freqüência, e calcula a potência acelerante a partir destes sinais.

A relação entre os desvios de potência elétrica, mecânica e a da velocidade do rotor pode ser vista na eq. (2.2):

(

P P

)

dt M m e eq =

∫

∆ −∆ ∆ω 1 (2.2) onde: M - constante de inércia, 2H

∆Pm - desvio na potência mecânica de entrada

∆Pe - desvio na potência elétrica de saída

∆ωeq - desvio de velocidade equivalente

Colocando-se a integral do desvio de potência mecânica em função do desvio de velocidade e da integral do desvio de potência elétrica, tem-se:

dt P M dt Pm eq

∫

e

∫

∆ = ⋅∆

ω

+ ∆ (2.3)

Passando para o domínio da freqüência, obtém-se a seguinte função de transferência para o desvio de velocidade resultante:

( )

=−∆

( ) ( )

+ ⋅_∆

( )

+∆

( )

_ ∆ s Ms s P s G Ms s P s e e eq ω ω (2.4) onde :

G(s) - Função de transferência que representa um possível filtro utilizado para eliminar sinais indesejáveis

Esta expressão do estabilizador do tipo ∆Pω pode ser representada pelo seguinte diagrama de blocos da figura 2.3.

∑ + ∑ + + -Ms 1 ) (s G ω ∆ eq ω ∆ Pe ∆ Estabilizador

Figura 2.3 – Diagrama de blocos do estabilizador de potência acelerante

Os estabilizadores com entrada simples que utilizam sinais de desvio de velocidade e freqüência apresentam bom rendimento em baixas freqüências. Para os estabilizadores com sinais de entrada de potência elétrica ou acelerante, o melhor desempenho ocorre em altas freqüências. Em virtude destes problemas, uma alternativa atraente é do estabilizador de dupla entrada, que pode processar os sinais de freqüência e potência elétrica de forma a garantir melhor desempenho para faixa de freqüência mais ampla. No Apêndice 2 é apresentada uma relação dos tipos de PSS utilizados em algumas unidades geradoras do sistema elétrico brasileiro.

2.3.1

Componentes do estabilizador

O estabilizador de entrada simples possui 3 partes principais, que também fazem parte da estrutura do estabilizador com duplo canal de entrada, sendo descritas a seguir:

- Compensador de avanço de fase

Os circuitos de avanço de fase são representados pelas duas compensações de primeira ordem, que servem para compensar o atraso entre a saída do estabilizador e o torque elétrico resultante. Com isso é produzido um componente

de torque elétrico em fase com o desvio de velocidade do rotor, que apresenta um efeito atenuante nas oscilações do mesmo. A compensação de fase deve ser projetada de tal forma que o estabilizador introduza amortecimento dos modos de oscilação locais e sistêmicos, cobrindo uma ampla faixa de freqüência. Deve ser selecionada uma característica aceitável para as diferentes condições de operação do sistema.

- Filtro (Washout)

Funciona como um filtro passa alta, cujo valor da constante de tempo T0

deve ser tal que permita a passagem inalterada de sinais associados com as pequenas oscilações do rotor em regime permanente. Deve responder apenas para

grandes variações do sinal de entrada. Geralmente a constante de tempo T0 possui

valores na faixa de 1,5 a 5,0 segundos.

- Ganho (K)

É ajustado de forma a proporcionar maior amortecimento das oscilações do rotor.

- Limitadores

O limite máximo deve estar dentro da faixa de 0,1 a 0,2 pu, para garantir maior contribuição durante grandes oscilações. O limite mínimo deve ser ajustado entre -0,05 e -0,1 pu, para fornecer resposta transitória satisfatória.

A verificação dos ajustes dos parâmetros é feita com o auxílio de programas apropriados para analisar a resposta do controle para pequenas perturbações, estabilidade transitória e de longo termo em sistemas de energia elétrica.

2.4

Aplicação do método de agregação a estabilizadores

O método de agregação dinâmica utilizado nesta dissertação permite apenas a agregação de estabilizadores com o mesmo tipo de sinal de entrada e mesmo ponto de atuação na entrada do regulador de tensão. No trabalho de Germond &

Podmore [12] foi considerada a agregação dinâmica de modelos de estabilizadores com uma única entrada.

Para a obtenção dos parâmetros do estabilizador equivalente, é necessário que os parâmetros do modelo equivalente do sistema de excitação já tenham sido previamente identificados. Esta identificação é feita inicialmente sem a presença do estabilizador. Em seguida, o modelo de estabilizador equivalente é inserido no modelo de sistema de excitação equivalente, a fim de representar a influência do sinal de entrada do estabilizador na tensão de campo. Esta relação pode ser visualizada no diagrama da figura 2.4.

ESTABILIZADOR + +

∑

Efd SINAL ADICIONAL VS VREF ∆VT

( )

s

G

eq E

( )

s

G

eq S u SISTEMA DE EXCITAÇÃO VT

Figura 2.4 - Diagrama de blocos do sistema de excitação e estabilizador equivalentes

Do diagrama de blocos, temos:

GeqS(s) - Função de transferência do modelo de estabilizador equivalente.

GeqE(s) - Função de transferência do modelo de sistema de excitação equivalente.

u - Sinal de entrada do estabilizador, que pode ser ∆ω, ∆f e ∆Pa.

Vref - Tensão de referência

VT - Tensão terminal do gerador

VS - Tensão de saída do estabilizador

∆VT - Sinal de erro de tensão que entra no sistema de excitação

Efd - Sinal de saída do sistema de excitação

O modelo equivalente de estabilizador deve apresentar uma resposta em freqüência similar à do grupo que irá substituir. Os procedimentos para a agregação dos estabilizadores, com mesmo sinal de entrada, de unidades

geradoras coerentes de um grupo, são iniciados com o cálculo do valor da função de transferência de cada modelo de estabilizador do grupo coerente, para cada freqüência discreta na faixa de 0,01 Hz a 10 Hz. A seguir, é realizado o produto de cada função de transferência do estabilizador pela função de transferência de cada sistema de excitação e o correspondente fator de ponderação de tensão de campo. A função de transferência agregada (FTA) representa a soma dos resultados anteriores obtidos para cada unidade geradora coerente do grupo, como pode ser verificado pela eq. (2.5).

( )

( )

s W

( ) ( ) ( )

sG s G s u s E FTA _{Ej Sj} j j FD ₌

∑

∆ = (2.5)

O processo de ajuste baseia-se inicialmente nos valores obtidos no cálculo das estimativas iniciais, no qual os ganhos são calculados por uma média aritmética dos ganhos de cada modelo individual, e as constantes de tempo através do inverso da média aritmética dos inversos das constantes de cada estabilizador. A partir destas estimativas são feitos os ajustes dos parâmetros através do método de Levemberg-Marquardt [13-14] de forma a minimizar o erro entre as resposta em freqüência da FTE e da FTA. A função de transferência que representa o modelo equivalente pode ser representada por:

( )

( )

s G

( ) ( )

sG s u s E FTE Seq eq E eq FD ₌ ∆ = (2.6)

Os limites do estabilizador equivalente são calculados aplicando-se, simultaneamente em cada sistema de excitação do grupo coerente, um degrau na entrada de cada sistema de excitação do grupo de valor igual ao limite de cada estabilizador [12].

Aplicando-se o teorema do valor final, obtém-se:

( ) ( )

₍

₎

( )

0 0 j j E E A j SLIMj j Ej j SLIMj s K S W K V s W s G V Lim ⋅     + =

∑

∑

→ (2.7)

O limite do estabilizador equivalente é definido como :

( )

0 _Ej

( ) ( )

0 _j 0 j SLIMj eq E eq SLIMG V G W V =

∑

(2.8) 2.5

Implementação de modelos de estabilizadores

O modelo de estabilizador tipo PSS1A (IEEE), apresentado na figura 2.5, foi implementado no programa EDINCO em trabalho desenvolvido anteriormente [20]. 2 1 1 1 sT sT + + 4 3 1 1 sT sT + + SLIM V S V 0 0 1 sT sT K + u SLIM V −

Figura 2.5 - Diagrama de blocos do modelo 1 de estabilizador

A estrutura do diagrama de blocos do estabilizador 1 foi alterada a fim de proporcionar maior flexibilidade ao mesmo, de modo a representar diferentes modelos do sistema elétrico brasileiro. O bloco washout do modelo 1 anterior foi

substituído pelo bloco (A0+sT0)/(1+sT0). A figura 2.6 mostra o novo modelo de

entrada simples implementado no programa EDINCO.

2 1 1 1 sT sT + + 4 3 1 1 sT sT + + K max ST V ST V STmín V 0 0 0 1 sT sT A + + ω ∆

Figura 2.6 - Diagrama de blocos do modelo 1 modificado de estabilizador

Esta modificação se fez necessária para atender a contento a implementação do modelo de estabilizador de dupla entrada, tipo PSS2A (IEEE), no programa EDINCO [16], além de permitir a modelagem do maior número possível de estabilizadores com entrada simples existentes no sistema elétrico brasileiro.

Abaixo temos a estrutura que será usada para representar o modelo do estabilizador de dupla entrada.

∑ + ∑ + + -max ST V ST V STmín V ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) ( E ) ∆ω ∆ω ∆ω ∆ω Pe

Figura 2.7 - Diagrama de blocos do modelo 2 genérico de estabilizador

No Apêndice 3 é apresentada uma análise com as variações estruturais encontradas para este tipo de estabilizador em algumas usinas do sistema elétrico brasileiro, e as faixas de valores dos parâmetros de cada bloco.

Os blocos do diagrama acima possuem a seguinte estrutura:

Bloco (A) : 7 6 6 5 4 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 A sA sA A sA sA A sA sA ×    + + ×     + + ×     + ×     + Bloco (B) :     + ×     + + ×     + + ×     + 7 6 5 5 4 3 3 2 1 1 1 1 1 1 sB B sB sB B sB sB B sB

Bloco (C) : Normalmente é igual a 1.

Bloco (D) (opção 1):     + + ×     + ×     + ×     + ×     + 4 3 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sD D s sD sD sD sD Ou a (opção 2):     + + ×     + ×     + ×     + 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 sD D s sD sD sD

Esta última opção é utilizada pela maioria dos modelos do sistema elétrico brasileiro. Bloco (E) :     + + ×     + + ×     + + × 4 3 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 sT sT sT sT sT sT A K

Foram feitas as seguintes considerações com o objetivo de simplificar o modelo do PSS2A: Bloco (A): A2 = A6 = 0; A5 = A7 =1     + + ×     + 4 4 3 1 1 1 1 sA sA A sA Bloco (B): B2=B4=1; B3=B5=0     + ×     + 7 6 1 1 1 1 sB B sB onde 7 6 5 , 0 B H B = × Bloco (C): Igual a 1.

Bloco (D) (opção 2):     + + ×     + ×     + ×     + 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 sD D s sD sD sD

Bloco (E): Sem alteração.

O bloco (E) foi apresentado no item anterior.

Obtém-se, portanto, a estrutura implementada no programa EDINCO:

Figura 2.8 - Diagrama de blocos do modelo 2 de estabilizador

Este modelo simplificado atende à modelagem de estabilizadores usados em algumas usinas como:

- Água Vermelha, Ilha Solteira, Capivara - Nilo Peçanha, Fontes, Pereira Passos; - Paulo Afonso e Xingó

Verifica-se na figura 2.8 que esta estrutura fica reduzida ao modelo 1 de estabilizador se desconsiderarmos o sinal de potência elétrica e considerarmos

A1=A4=D1=0 e A3=1.

O método de agregação dinâmica foi desenvolvido para tratar de modelos com funções de transferência lineares. Para o sistema linear é válido o princípio da superposição, onde a saída desse sistema, em resposta a várias entradas conhecidas, é igual à soma de todas as saídas individuais [21]. Com isso, para a implementação do modelo do PSS2 no programa EDINCO, a estrutura foi

( )4 1 1 1 4 1 sD D s + × + 0 0 0 1 sT sT A + + 2 1 1 1 sT sT + + K 4 3 1 1 sT sT + + 1 1 1 sA + ∑ ω ∆ 1 1 1 sB + Pe 4 4 3 1 sA sA A + + 7 6 1 sB B + max ST V ST V STmín V ∑ + + + − ( )4 1 1 1 4 1 sD D s + × + 0 0 0 1 sT sT A + + 2 1 1 1 sT sT + + K 4 3 1 1 sT sT + + 1 1 1 sA + ∑ ω ∆ 1 1 1 sB + Pe 4 4 3 1 sA sA A + + 7 6 1 sB B + max ST V ST V STmín V ∑ + + + −

dividida em três, conforme apresentado na figura 2.9, sendo que uma delas representa o próprio modelo de estabilizador do tipo PSS1 (figura 2.9-c).

(

)

4 1 1 1 4 1 sD D s + × + 1 1 1 sA + ω ∆ 4 4 3 1 sA sA A + + AD V (a)

-(

)

4 1 1 1 4 1 sD D s + × + 1 1 1 sB + Pe 7 6 1 sB B + BD V

-∑

+ − (b) -0 0 0 1 sT sT A + + 2 1 1 1 sT sT + + K 4 3 1 1 sT sT + + max ST

V

ST

V

STmín

V

u (c)

Figura 2.9 - Diagramas de blocos com a separação da estrutura PSS2

Duas funções de transferência foram, então, consideradas. A primeira

corresponde aos diagramas (a) e (c) da figura 2.9 (VST/∆ω), e a outra

correspondente aos diagramas (b) e (c) (VST/Pe). Os parâmetros do diagrama (c)

são determinados preliminarmente.

2.5.1

Modelo de estabilizador com entrada simples (PSS1)

Este modelo é representado pela seguinte função de transferência (figura 2.6):

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

Den Num sT sT sT sT sT sT A K u V_ST = + × + × + + × + × + × = 4 2 0 3 1 0 0 1 1 1 1 1 Numerador:

(

0 1 0 1 3 0 3

)

(

0 1 0 0 3

)

0 2 3 1 0 3_{TTT K s K TT ATT TT sK AT T AT KA} s Num= + + + + + + + Denominador :

(

_{0 2 2 4 0 4}

) (

_{2 0 4}

)

1

2 4 2 0 3

+

+

+

+

+

+

+

=

s

T

T

T

s

T

T

T

T

T

T

s

T

T

T

Den

A referida FT pode ser representada por:

( )

0 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3

a

sa

a

s

a

s

b

sb

b

s

b

s

s

G

_S

+

+

+

+

+

+

=

onde:

(

)

(

)

0 0 3 0 0 1 0 1 3 0 3 1 0 1 0 2 3 1 0 3 KA b T A T T A K b T T T T A T T K b K T T T b = + + × = + + × = = 1 0 4 2 0 1 4 0 4 2 2 0 2 4 2 0 3 = + + = + + = = a T T T a T T T T T T a T T T a Considerando s=jω, temos:

( ) ( )

_{( )}

_{( )}

( )

( )

_{( )}

0 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 a a j a j a j b b j b j b j j G_S + + + + + + = ω ω ω ω ω ω ω

A função de transferência GS(jω) pode ser representada na forma [A(ω)+jB(ω)]/C(ω), onde:

( )

(

)

(

1 1 0 2 2 0

)

0 0 2 3 1 1 3 2 2 4 3 3 6_{a b a b a b ab ab a b a b a b} Aω =ω +ω − − +ω − − +

( )

(

)

(

1 2 2 1 3 0 0 3

) (

0 1 1 0

)

3 2 3 3 2 5 _{a b a b ab a b a b a b a b ab} B

ω

=

ω

− +

ω

− + − +

ω

−

( )

(

) (

)

2 0 2 1 2 0 2 3 1 2 2 4 2 3 6 2 2aa a a a a a a C ω =ω +ω − +ω − + +

Substituindo os parâmetros, temos:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 2 0 0 0 3 1 4 2 0 4 3 4 1 3 2 2 1 4 2 3 1 0 4 2 3 1 2 4 3 2 1 0 0 0 4 3 2 4 2 1 4 3 1 3 2 1 0 4 3 1 3 2 1 4 3 2 4 2 1 2 0 3 1 4 2 4 3 3 2 4 1 2 1 4 4 3 2 1 2 0 6 KA T T A T T T T A T T T T T T T T T T T T T T T T T K T T T T A T A T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T K T T T T T K A +     + × + + − − + × + + + + − − + × + + − − +           + × − − + + × − − + + × − − + + + + = ω ω ω ω

( )

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1 3 2 4 0 0 0

)

0 4 3 1 3 2 1 4 3 2 4 2 1 0 0 4 2 3 1 4 3 3 2 4 1 2 1 0 4 3 4 1 3 2 2 1 3 1 4 2 2 0 3 1 4 2 3 4 3 2 1 0 0 2 0 4 3 2 4 2 1 4 3 1 3 2 1 5 1 1 T A A T T T T K A T T T T T T T T T T T T T A T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T K T T T T T A T T T T T T T T T T T T T K B × − + × − − + +           × + + − − + × + + − − − − + × + + + + − − + × + + − − + × − + × − − + = ω ω ω ω

( )

= 6

(

T₀2T₂2T₄2

) (

+ 4 T₀2T₂2 +T₂2T₄2 +T₀2T₄2

) (

+ 2 T₀2 +T₂2 +T₄2

)

+1 C ω ω ω ω

2.5.2

Modelo de estabilizador com dupla entrada (PSS2)

Cálculo da FT considerando apenas a presença do canal de desvio de velocidade (Figura 2.9-a):

(

)(

)

(

)(

)(

)(

)(

)(

)

Den Num sD sD sD sD sA sA D s sA A V_AD = + + + + + + + + = ∆ 1 4 1 1 1 1 1 4 3 1 1 1 1 1 1 4 1 ω Numerador :

(

3 1 4

)

3 1 4 2 4 4A D s A D A A s Num = + + + Denominador :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

4

)

1 4 4 6 4 6 6 4 4 4 6 4 1 4 1 4 1 1 1 1 4 2 1 2 3 1 2 1 4 2 1 1 1 4 1 3 4 1 3 1 4 3 1 1 2 1 4 1 4 4 1 4 4 1 1 3 1 4 1 5 4 1 4 1 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = A A D s A A D A D A D s D D A D A D A A s D D A D A D A A s D A D A D A A s D A A s Den

A referida FT pode ser representada por:

( )

0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 0 1 2 2 a sa a s a s a s a s a s b sb b s s G_AD + + + + + + + + = onde: 1 4 4 4 6 4 6 6 4 4 4 6 4 4 4 0 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 2 1 2 3 1 2 1 4 2 1 1 1 4 1 3 4 1 3 1 4 3 1 1 2 1 4 1 4 4 1 4 4 1 1 3 1 4 1 5 4 1 4 1 6 3 0 4 1 3 1 1 4 2 = + + = + + + = + + + = + + + = + + = = = + = = a A A D a A A D A D A D a D D A D A D A A a D D A D A D A A a D A D A D A A a D A A a A b A D A b D A b

Considerando s=jω, temos:

( )

₍

(

)

_{) (}

( )

₎

1 3 3 5 5 0 2 2 4 4 6 6 1 0 2 2 a a a j a a a a b j b b j G_AD ω ω ω ω ω ω ω ω ω + − + + − + − + + − =

Representando na forma G(jω)=[A(ω)+jB(ω)]/C(ω), temos:

( )

(

)

(

)

(

0 2 2 0 1 1

)

0 0 2 1 3 0 4 2 2 4 1 5 0 6 2 4 6 2 6 8 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A + + − − + − + + + − − + =

ω

ω

ω

ω

ω

( )

(

)

(

)

(

)

(

1 0 0 1

)

1 2 0 3 2 1 3 1 4 0 5 2 3 5 2 5 1 6 7 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a B + − + − + + + + − − + + − = ω ω ω ω ω

( )

(

) (

)

(

) (

)

(

)

2 0 2 1 2 0 2 3 1 2 2 4 0 4 2 3 5 1 4 2 6 0 6 5 3 2 4 6 2 8 2 5 6 4 10 2 6 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a C + + − + − + + + + − − + − + + + − + = ω ω ω ω ω ω ω

Substituindo os parâmetros, temos:

( )

(

)

3 4 1 2 4 2 1 3 4 3 1 2 4 1 3 3 1 4 3 3 1 3 1 2 1 4 3 1 2 1 4 1 2 1 2 4 3 1 4 4 5 1 4 3 5 1 3 1 4 1 4 3 1 5 1 4 4 1 2 4 4 1 4 1 3 1 2 4 1 6 5 1 2 4 1 8 10 15 20 20 10 10 10 20 4 4 15 4 15 15 20 4 A A A A D A A A A D A D A A D A A D A A A D A A D A D A D A A D A A D A A A D A D A D A A D A A D A A A + + + + − +         − − − − + + +         + + + − − − − + = ω ω ω ω ω

( )

(

)

(

)

(

3 4 1 3 4

)

2 4 1 2 1 3 1 2 1 4 3 3 1 3 2 1 4 3 5 1 3 4 1 4 3 4 1 3 1 3 1 4 3 1 4 1 4 3 1 2 4 3 1 4 1 2 1 2 4 1 5 5 1 2 4 5 1 4 1 4 1 2 4 1 5 1 4 3 1 7 10 10 20 10 4 15 15 20 15 20 20 10 4 4 15 4 A A A A A A A D A A D A A D A D A D A D A A D A A D A A A D A D A D A A D A A D A D A A D A A D A A A B + − − + − − − − +         + + + + − − − − + + + + − = ω ω ω ω ω

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 4 4 4 6 4 6 6 4 4 4 6 4 2 1 2 4 2 1 2 2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 1 4 6 1 4 1 2 4 4 1 2 1 2 1 2 4 2 1 6 8 1 6 1 2 4 6 1 2 1 4 1 2 4 2 1 8 8 1 2 4 8 1 2 1 6 1 2 4 2 1 10 8 1 2 4 2 1 12 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = A A D A A D A D A D D D A D A D A A D D A D A D A A D A D A D A A D A A C ω ω ω ω ω ω ω

Cálculo da FT considerando apenas a presença do canal de potência elétrica (Figura 2.9-b): z = y - x y = x . D x = Pe . B1 .B2 z = x .D - x = x.( D - 1 ) = Pe . B1 .B2.( D - 1 ) z /Pe = B1.B2.(D - 1) Portanto,         −       + + ×       + ×       + ×       + ×     + ×       + = 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 6 1 sD D s sD sD sD sB B sB Pe V_BD

(

)

4 1 1 1 4 1 sD D s + × + 1 1 1 sB + Pe 7 6 1 sB B +

∑

+ −

( )

B1

( )

B2

( )

D

x y x x z=VBD

(

)(

)

(

(

)

)

_      − + + + + = 1 1 4 1 1 1 4 1 1 7 1 6 sD D s sB sB B Pe V_BD Numerador:

(

) (

) (

2

)

1 6 2 3 1 6 3 4 1 6 4 6 4B D s B D s D B s Num= − + − + − Denominador:

(

) (

)

(

) (

)

(

4

)

1 4 4 6 4 6 6 4 6 4 4 4 7 1 1 7 1 1 7 1 1 2 1 2 1 7 1 2 1 7 2 1 1 3 1 3 2 1 7 1 3 1 7 3 1 1 4 1 4 3 1 7 1 4 1 7 4 1 1 5 4 1 7 1 6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = B B D s B B D B D B D s D B B D B D B D s D B B D B D B D s D B B D B D B s D B B s Den

A referida FT pode ser representada por:

( )

0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 3 3 4 4 a sa a s a s a s a s a s b s b s b s s G_BD + + + + + + + + = onde: 2 1 6 2 3 1 6 3 4 1 6 4 0 7 1 1 1 7 1 1 7 1 1 2 1 2 1 7 1 2 1 7 2 1 1 3 1 3 2 1 7 1 3 1 7 3 1 1 4 1 4 4 1 7 3 1 7 1 4 1 1 5 4 1 7 1 6 6 4 1 4 4 4 6 4 6 6 4 6 4 4 4 D B b D B b D B b a B B D a B B D B D B D a D B B D B D B D a D B B D B D B D a D B D B B D B a D B B a − = − = − = = + + = + + + = + + + = + + + + = + + = = Considerando s=jω, temos:

( )

_{( )}

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 2 3 3 4 4 a a j a j a j a j a j a j b j b j b j j G_BD + + + + + + + + = ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

Representando a FT na forma G(jω)=[A(ω)+jB(ω)]/C(ω), temos:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0 2

)

2 3 1 2 2 4 0 4 3 3 2 4 4 2 6 3 5 2 6 4 4 8 4 6 10 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A − + − + + + − − + − + + − =

ω

ω

ω

ω

ω

ω

( )

(

)

(

)

(

)

(

1 2 0 3

)

3 3 2 2 3 4 1 5 3 4 2 5 4 3 7 4 5 3 6 9 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a B − + + − − + − + + − = ω ω ω ω ω

( )

(

) (

)

(

) (

) (

)

2 0 2 1 2 0 2 3 1 2 2 4 0 4 2 3 5 1 4 2 6 0 6 5 3 2 4 6 2 8 2 5 6 4 10 2 6 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a C + + − + − + + + + − − + − + + + − + = ω ω ω ω ω ω ω

Substituindo os parâmetros, temos:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

1 6 2 2 1 7 6 1 3 1 7 6 3 1 6 1 4 1 6 4 6 1 6 4 1 7 6 1 5 1 7 6 5 1 6 1 6 6 1 7 6 1 8 1 6 8 8 1 7 6 1 10 6 . 6 20 20 21 4 21 4 4 4 D B D B B B D B B D B B D B D B D B B B D B B D B B D B B B D B D B B B A ω ω ω ω ω ω + − − − − + − + + + + − + =

( )

(

)

(

)

(

)

(

2

)

1 7 6 2 1 6 1 3 1 6 3 3 1 7 6 1 4 1 7 6 4 1 6 1 5 1 6 5 6 1 7 6 6 1 6 1 5 1 7 6 1 7 8 1 7 6 8 1 6 1 9 6 6 20 20 21 21 4 4 4 4 D B B D B B D B D B B B D B B D B B D B D B B D B B D B B B D B B D B B B − − − + + + + + + + − + + = ω ω ω ω ω

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

4

)

1 4 4 6 4 6 6 4 6 4 4 4 2 7 2 1 2 1 2 2 1 2 7 2 7 2 1 2 1 2 1 4 1 4 2 1 2 7 2 1 4 1 2 7 4 1 2 1 6 1 6 4 1 2 7 2 1 6 1 2 7 6 1 2 1 8 1 8 8 1 2 7 6 1 2 7 2 1 8 1 2 1 10 8 1 2 7 2 1 12 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = B B D D B B B D B D D B B D B D B D D B B D B D B D D B D B B D B D B B C ω ω ω ω ω ω ω