MOVIMENTO RELATIVO. Não existe um referencial absoluto. Velocidade Relativa. v B. v A. Velocidades de A e B medidas pelo observador O B = A = dr

MOVIMENTO RELATIVO

• O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial específico escolhido pelo observador.

• Diferentes observadores usando sistemas referenciais diferentes obtém diferentes descrições de um mesmo movimento.

• Como relacionar estes resultados distintos de um mesmo movimento ?

• É esse o objectivo do estudo do movimento relativo.

• Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do movimento do objecto que se pretende estudar. Exemplos:

• movimentos na Terra : referenciais ligados à Terra

• astronomia : referenciais em estrelas que se podem considerar imóveis (“estrelas fixas”)

• física atómica : referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa relativamente aos electrões)

• Não existe um referencial absoluto. Velocidade Relativa

Velocidades de A e B medidas pelo observador O

dt r d v_A = A dt r d v_B = B

Vector posição de B relativamente a A A

B BA AB r r

r = = −

Vector posição de A relativamente a B r_AB = −r_BA

B A AB BA r r r = = − Y X Z rB rA vB -vA vA vBA A B O Trajectórias de B em relação a O Trajectórias de B em relação a A rBA

Velocidade de B em relação a A: Velocidade de A em relação a B: A B A B BA A B BA _{v v v v v} dt r d dt r d dt r d O O − = − = ⇔ − = B A B A AB B A AB _{v v v v v} dt r d dt r d dt r d O O − = − = ⇔ − = Aceleração Relativa Aceleração de B em relação a A: Aceleração de A em relação a B: A B BA A B BA _{a a a} dt v d dt v d dt v d − = ⇔ − = B A AB B A AB _{a a a} dt v d dt v d dt v d − = ⇔ − = AB BA v v = − dt r d v_BA = BA dt r d v_AB = AB Velocidades de B e A relativas a O

(por vezes omite-se o índice O)

AB BA a a = − dt v d a_BA = BA dt v d a_AB = AB aA e aB são as Acelerações de B e A relativas a O

Exemplo:

Considere dois aviões A e B deslocam-se, num dado instante, com as velocidades indicadas na figura seguinte.

Calcule a velocidade do avião B relativamente ao A e a velocidade do avião A relativamente ao B.

( )

( )

( )

( )

º 23 500 / 8 . 459 ) ( Cos kmh 500 4 . 196 8 . 459 v j 4 . 196 i 8 . 459 v v º 157 500 / 8 . 459 ) ( Cos kmh 500 4 . 196 8 . 459 v j 4 . 196 i 8 . 459 v v v j 4 . 346 i 200 j 60 sen 400 i 60 cos 400 v j 150 i 8 . 259 j 30 sen 300 i 30 cos 300 v X X 1 2 2 AB ^ ^ BA AB X X 1 2 2 BA ^ ^ A B BA ^ ^ ^ ^ B ^ ^ ^ ^ A ± = θ ⇒ + = θ = + = − = − = ± = θ ⇒ − = θ = + = + − = − = + − = + − = + = + = − − 30º 60º A B vA = 300kmh -1 vB = 400kmh -1 X Y 30º 60º A B X Y vA -vB vAB vBA -vA vB -23º 157º

Movimento Relativo De Translacção

Seja O´x´y´z´ um referêncial móvel com velocidade vTr em relação ao referencial fixo Oxyz

ref.fixo ref.móvel/ O ´/ O óvel obj./ref.m ´ O / A ixo obj./ref.f O / A v transporte de velocidade a é v v relativa velocidade a é v ´ v v absoluta velocidade a é v v = ≡ = ≡ = ≡ Tr v tem-se fixo . ref / móvel . ref móvel . ref / . obj fixo . ref / . obj v v v ´ v v = + vTr ⇔ = + ou fixo . ref / móvel . ref fixo . ref / . obj móvel . ref / . obj v v v v ´ v = − vTr ⇔ = − • Acelerações fixo . ref / móvel . ref móvel . ref / . obj fixo . ref / . obj a a a ´ a a = + aTr ⇔ = + ou fixo . ref / móvel . ref fixo . ref / . obj móvel . ref / . obj a a a a ´ a = − aTr ⇔ = −

Se a velocidade de transporte fôr constante aTr = 0 e logo A aceleração é invariante em todos os referenciais animados de movimento relativo de translacção uniforme

• Componentes normal e tangencial da aceleração

como a aceleração está dirigida para a concavidade da trajectória pode-se decompô-la em duas componentes, uma tangencial (a_T) e outra normal (a_N) à trajectória

Considerando o versor da tangente à trajectória (û_T) tem-se:

( )

dt dû v û dt dv t d û v d t d v d a T T T _{= +} = = ? dt dû de valor o Qual T a aN aT

aT descreve a variação do módulo da velocidade aN descreve a variação da direcção da velocidade

Variação do módulo da

velocidade Variação da direcção

da velocidade A A’ φφφφ φφφφ ρρρρ dφ dφ ûN ûT v j ^ i ^

( )

( )

( )

^

( )

^ ^ ^ ^ ^ j cos i sen j 2 sen i 2 cos û j sen i cos û A´ e A entre arco o é ds N T φ + φ − =       π + φ +       π + φ = φ + φ = ds C

( )

( )

( )

( )

N T T û dt d dt dû j dt d cos i dt d sen j sen i cos dt d dt dû _{^ ^ ^ ^} φ = φ φ + φ φ − =         φ + φ =

introduzindo o deslocamento na trajectória, ds, obtém-se

ds d v dt ds ds d dt d φ = φ = φ

As normais às curvas nos pontos A e A´ interseptam-se no ponto C que se designa por centro de curvatura. Este ponto permite definir o raio de curvatura, ρρρρ, como a distância entre os pontos C e A.

ds pode ser calculado por ds = ρdφ logo ρ = φ 1 ds d

conclui-se então que

N T v_û dt dû ρ = N T û v û dt dv a 2 ρ + = aT aN 2 4 2 2 N 2 T v dt dv a a a ρ +       = + = conclui-se que dt dû T é normal à trajectória

Movimento Circular

Trajectória deste movimento é uma circunferência

A velocidade é perpendicular ao raio R=CA pois a velocidade é tangente à circunferência

v θ s X A C R ) radianos em ( R s R s θ θ = ⇔ = θ dt d R dt d R dt ds v = = θ = ω ω = θ Velocidade escalar (ms-1) Velocidade angular (rad s-1) r γ X R Y Z O v = ω x r ω C A

( )

( )

r x v sen r R v k dt d sen r R ^ _{= ω}        γ ω = ω = θ = ω γ = Só em movimento circular (R e γ constantes)

• Movimento Circular Uniforme (ω=constante)

(

o

)

o t t t t dt d dt d dt d o o − ω + θ = θ ⇔ = θ ω ⇔ ω = θ ⇔ θ = ω θ

∫

∫

θ

Neste caso tem-se um movimento periódico pois após uma rotação de 2π volta-se ao ângulo inicial θ_o.

Se θ_o=0 e t_o=0 tem-se θ=ω t <=> t θ = ω logo 2 f T 2 π = π = ω

ω é perpendicular ao plano em que a rotação ocorre

O sentido de ω é determinado pelo sentido do movimento de

rotação através da regra da mão direita ou do saca-rôlhas

Tempo que demora a efectuar uma volta (ou revolução) completa

) s ( n t T : = n

Período tempo que demora a efectuar n voltas

Número de voltas por unidade de tempo ) Hz s ( T 1 t n f : 1 n = = = − Frequênca

• Aceleração angular dt dω = α 2 2 dt d dt d θ = ω = α

( )

o o t t o t t o dt dt t-t o o α + ω = α + ω = α + ω = ω

∫

∫

(

)

[

]

( )

(

)

2 o o o o t t o o o t t o t t 2 t-t dt t t dt o o − α + ω + θ = − α + ω + θ = ω + θ = θ

∫

∫

• Componentes normal e tangencial da aceleração no movimento circular v θ X C R aT = αR ûT aN = ω2R ûN a Variação da velocidade angular com o tempo

No movimento circular a direcção de ω não varia

Quando α é constante obtém-se o

movimento circular uniformemente variado

( )

( )

N 2 T N 2 T N 2 T N T û R û R û R R û dt R d û R v û dt dv a a a ω + α = ω + ω = + = + =