COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS
XXVISEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS
FOZ DO IGUAÇU –PR,12 A 14 DE MAIO DE 2015 RESERVADO AO CBDB
DEFINIÇÃO DE LIMITES DE ALERTA PARA SUBPRESSÃO USANDO REGRESSÃO DINÂMICA COM MODELAGEM DE SÉRIE TEMPORAL DOS
RESÍDUOS JULIO ROYER
Professor, Mestre – Instituto Federal do Paraná Acadêmico de Doutorado – PPGMNE – UFPR
VOLMIR WILHELM
Professor, Doutor – Universidade Federal do Paraná JOSIELE PATIAS
Engenheira Civil, Doutora – Itaipu Binacional
RESUMO
Uma questão de segurança de barragens é monitorar a subpressão nas fundações e mantê-la dentro dos limites de projeto ao longo de todo o seu tempo de operação. As subpressões estão sujeitas a oscilações por mudanças de temperatura ou nível do reservatório, por exemplo. Assim, a definição de limites de alertas fixos com base no máximo histórico, por exemplo, não ajuda a identificar aumentos inesperados quando deveria estar próximo do mínimo. Este trabalho apresenta a metodologia utilizada para definir limites variáveis para alertas de subpressões, usando regressão dinâmica com modelagem de série temporal dos resíduos, com base em séries temporais de temperatura e nível do reservatório.
ABSTRACT
It is a matter of dam safety to monitor the uplift pressure in the foundation and keep it within the project limits over its entire operating lifetime. The uplift pressure usually oscillates due to changes in temperature or reservoir level, for example. Thus, defining fixed limits for alerts based on historical maximum, for instance, does not help to identify unexpected increases when it should be close to the minimum. This work presents the methodology used to define variables limits for uplift alerts, using dynamic regression with residual time series modelling, based on time series of temperature and reservoir level.
1. INTRODUÇÃO
Barragens de concreto normalmente são assentadas sobre fundações rochosas. Essas fundações não são contínuas, apresentando descontinuidades decorrentes da sua formação, de ações sísmicas, químicas ou de intemperismo. Também podem apresentar diferentes graus de condutividade hidráulica. Cada uma dessas caracterís-ticas varia de local para local, sendo essencial para a segurança do empreendimento que se faça uma avaliação adequada das condições de condutividade hidráulica e resistência à compressão e ao cisalhamento [1], [2].
A água que se infiltra pelas descontinuidades da fundação exerce uma subpressão, aliviando o peso da estrutura, podendo alterar o coeficiente de atrito, reduzindo desta forma a resistência ao cisalhamento, oferecendo risco à segurança da barragem caso ultrapasse determinados valores definidos no projeto. Com o passar do tempo, as condições hidráulicas da fundação podem se alterar, por exemplo, devido às ações mecânicas de erosão ou depósito de materiais nos caminhos seguidos pela água, motivo pelo qual essas condições hidráulicas precisam ser monitoradas durante toda a vida do empreendimento [1], [2].
O problema da subpressão é normalmente tratado durante a construção da barragem com a instalação de cortinas de vedação, cortinas de drenagem e instrumentação. As cortinas de vedação (ou injeção) são usadas para reduzir a permeabilidade da fundação, e consistem de uma ou mais linhas de furos onde usualmente é injetada calda de cimento. As cortinas de drenagem servem para aliviar a subpressão e usualmente consistem de uma ou mais linhas de furos a jusante da cortina de injeção. Já a instrumentação é composta de piezômetros, que medem a subpressão em determinados pontos da fundação [3], [4].
Durante a o enchimento do reservatório e a operação da barragem é necessário monitorar os níveis de subpressão nos pontos instrumentados, e se necessário adotar medidas corretivas de manutenção, tais como limpeza de drenos, ampliação do diâmetro dos drenos, perfuração de novos drenos ou mesmo injeção de drenos [1], [2], [5].
A monitoração desses instrumentos pode gerar um grande volume de dados, especialmente em grandes barragens, o que torna a análise dos dados trabalhosa. Atualmente é comum o uso de sistemas informatizados para coletar, armazenar e apresentar os dados de monitoração em forma de gráficos, usados pelos engenheiros para as análises. E os sistemas oferecem também alertas quando a leitura de determinado instrumento ultrapassa algum valor definido previamente. Uma forma utilizada em Itaipu é o estabelecimento de um alerta amarelo, referente ao máximo histórico e um alerta vermelho, referente ao limite de segurança estabelecido no projeto.
Esses alertas em geral são fixos, e há poucos trabalhos publicados tratando de métodos para estabelecer limites dinâmicos para esses alertas. Um exemplo é apresentado em [6], em que os autores utilizam regressão múltipla para a definição dos valores limite, quando o coeficiente de correlação linear r2 é maior que 0,7, ou, para os demais casos, a média e desvio padrão das leituras, garantindo que 95% das leituras estivessem dentro da faixa aceitável.
Uma vez que os níveis de subpressão podem sofrer influência de outros parâmetros tais como temperatura ambiente, temperatura da água e nível do reservatório, pode apresentar uma sazonalidade bem definida. Assim, se o nível de subpressão começa a sofrer elevação durante o seu mínimo sazonal, o alerta amarelo pode não ser disparado logo, levando a uma perda de tempo até que o problema seja detectado. Por outro lado, um valor pouco acima do limite histórico dispara o alerta amarelo, mas pode não ser motivo de preocupação se precedido de marcas recordes também nas variáveis que a influenciam. A técnica proposta por [6] não apresentou bons resultados em Itaipu, em função do baixo coeficiente r2 ajustado encontrado. Para melhorar a acurácia desse sistema de alertas, este artigo apresenta uma metodologia para a definição de um limite de alerta amarelo a partir da previsão da série temporal da subpressão para determinado instrumento, utilizando regressão dinâmica com modelagem de séries temporais dos ruídos.
O restante deste trabalho está assim estruturado: a sessão 2 apresenta uma introdução a séries temporais univariadas, a sessão 3 aborda a função de transferência linear, que serve para obter uma previsão de uma variável dependente em função de outras variáveis independentes, incluindo as defasagens de tempo e a modelagem de séries temporais dos ruídos, e a sessão 4 aborda a aplicação da técnica ao contexto de subpressões em fundações de barragens de concreto. Em seguida são apresentadas as conclusões, agradecimentos, palavras-chave e referências, nas sessões 5, 6, 7 e 8, respectivamente.
2. SÉRIES TEMPORAIS
Uma série temporal é uma sequência de dados observados sequencialmente no decorrer do tempo, a intervalos regulares, e que apresentam dependência das leituras anteriores adjacentes. A análise de uma série temporal tem por base a utilização de técnicas para a análise da dependência entre os dados [7]. Uma série temporal pode ser contínua, a exemplo da vazão de um rio ou a temperatura ambiente, ou discreta, por exemplo a quantidade vendida mensalmente de um produto. Uma série temporal discreta pode ser obtida a partir de leituras de uma série contínua, como por exemplo a temperatura média diária ao longo da última década em Foz do Iguaçu. Essa discretização também pode ser feita a partir de valores acumulados em um determinado período, como o volume de chuva diário [8].
Uma série temporal pode ser uma realização observada ao longo do tempo, a intervalos regulares, de um processo estocástico, onde o processo gerador de dados é desconhecido, e é apenas representado de modo imperfeito na série observada. Assim, a série temporal tem componentes determinísticos ou estocásticos identificá-veis [7]. Se o processo for estocástico, pelo teorema central do limite, conforme o tamanho da série cresce, seus parâmetros se aproximam dos parâmetros do seu processo gerador, permitindo a estimação dos parâmetros do processo gerador. Já as séries não geradas por processos estocásticos podem ser geradas por processos regidos por leis físicas, com relações e parâmetros possivelmente desconhecidos [8]. As séries temporais têm sido usadas em muitas áreas diferentes, na tentativa de prever o comportamento de algum fenômeno, seja ele físico, econômico, social, etc. É fácil encontrar trabalhos sobre previsão de séries em áreas diversas como cotações
de ações em bolsas de valores [9], [10], demanda de energia elétrica [11], [12], condições atmosféricas [13], e saúde pública [14].
Partindo do princípio de que os valores subsequentes de uma série temporal são influenciados pelos valores anteriores, muitas vezes se deseja fazer a previsão dos próximos valores com base nos valores prévios da mesma série.
Entre as técnicas mais utilizadas para a realização de previsões de séries temporais podemos citar o modelo ARIMA [7], redes neurais artificiais [15], redes neuro fuzzy [16] e wavelets [17].
No modelo ARIMA, uma série temporal de uma variável Y, representada pelos valores {Y1, Y2, ..., Yt, ..., Yn-1, Yn}, ou como a série {Yt, t = 1, 2, ..., n} pode conter componentes autorregressivas (AR), componentes de média móvel (MA), e/ou diferenciação (I). Pode ainda conter componentes sazonais autorregressivas, de média móvel ou de diferenciação. Para a expressão mais compacta de séries temporais usa-se frequentemente o operador de retardo B, definido por BmY
t = Yt-m, e o operador diferença (nabla), definido por d = (1 – B)dY
t.
Em um modelo autorregressivo de grau 2, AR(2), cada valor de Yt possui uma influência significativa dos dois valores anteriores, Yt-1 e Yt-2, e a série pode ser escrita como: 𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝜑1𝑌𝑡−1+ 𝜑2𝑌𝑡−2+ 𝑎𝑡, ou, usando a forma do operador de retardo 𝜙(𝐵)𝑌𝑡= 𝐶 + 𝑎𝑡, onde C é uma constante, 𝑎𝑡 é um erro aleatório, 𝜑1 e 𝜑2 são os coeficientes de impacto de Yt-1 e Yt-2 em Yt. 𝜙(𝐵) é o polinômio característico, que depende da ordem do modelo. Neste caso, 𝜙(𝐵) = 1 − 𝜑1𝐵 − 𝜑2𝐵2. Generalizando, podemos expressar um modelo autorregressivo de ordem p, AR(p), como: 𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝜑1𝑌𝑡−1+ 𝜑2𝑌𝑡−2+ ⋯ + 𝜑𝑝𝑌𝑡−𝑝+ 𝑎𝑡, ou 𝜙(𝐵)𝑌𝑡= 𝐶 + 𝑎𝑡 onde 𝜙(𝐵) = 1 − 𝜑1𝐵 − 𝜑2𝐵2− ⋯ − 𝜑 𝑝𝐵𝑝.
De modo semelhante, um modelo de médias móveis de grau 2, MA(2), apresenta influência dos dois impactos estocásticos at anteriores, e pode ser expresso como: 𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝑎𝑡− 𝜃1𝑎𝑡−1− 𝜃2𝑎𝑡−2, ou na forma do operador de retardo 𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝜃(𝐵)𝑎𝑡, onde 𝜃(𝐵) é o polinômio característico, que neste caso é 𝜃(𝐵) = 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃1𝐵2. E também podemos generalizar para o MA(q) fazendo 𝜃(𝐵) = 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2− ⋯ − 𝜃𝑞𝐵𝑞.
Em uma série temporal podemos encontrar p componentes autorregressivas e q componentes de média móvel, compondo um modelo ARMA(p,q), e expressar na forma
𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝜑1𝑌𝑡−1+ 𝜑2𝑌𝑡−2+ ⋯ + 𝜑𝑝𝑌𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡− 𝜃1𝑎𝑡−1− 𝜃2𝑎𝑡−2− ⋯ − 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞,
ou
A metodologia Box&Jenkins exige que a série seja estacionária na média e na variância. Se a série original não é estacionária na média ou na variância, pode-se aplicar transformações na série, e uma transformação frequentemente aplicada é diferenciar a série, representada pelo modelo ARIMA(p,d,q), onde p é o grau do polinômio 𝜙(𝐵), q é o grau do polinômio 𝜃(𝐵), e d é o grau de diferenciação d. Assim, a série pode ser expressa como 𝜙(𝐵)𝑑𝑌𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡 [7]. Ainda segundo [7], as séries temporais também podem apresentar comportamento periódico, ou seja, sazonal, e o valor de Yt pode depender significativamente do valor de Yt-s, ou at-s, e também pode ser necessário diferenciar a série sazonalmente. A representação de um modelo ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s, em notação de operador de retardo, é:
Φ(𝐵𝑠)𝜙(𝐵) 𝑠 𝐷𝑑𝑌
𝑡 = Θ(𝐵𝑠)𝜃(𝐵)𝑎𝑡 onde s é a sazonalidade (número de amostras em um ciclo), 𝜙(𝐵) = 1 − 𝜑1𝐵 − 𝜑2𝐵2− ⋯ 𝜑𝑝𝐵𝑝, 𝜃(𝐵) = 1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2− ⋯ − 𝜃𝑞𝐵𝑞, Φ(𝐵) = 1 − Φ1𝐵𝑠− Φ2𝐵2𝑠− ⋯ − Φ𝑞𝐵𝑃𝑠, Θ(𝐵) = 1 − Θ1𝐵𝑠− Θ2𝐵2𝑠− ⋯ − Θ𝑞𝐵𝑄𝑠, 𝑑 = (1 − 𝐵)𝑑 e 𝑠𝐷 = (1 − 𝐵𝑠)𝐷.
3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA LINEAR
Em um conjunto de observações de uma população em que se observa duas variáveis X e Y, é possível traçar uma regressão linear entre as variáveis para se saber se a variação de X influencia a variação de Y. Por exemplo, se X é a altura do pai, e Y a altura do filho em idade adulta, pode-se querer identificar se (e o quanto) a altura do pai influencia na altura do filho. Isso pode ser feito por meio da regressão linear simples entre X e Y [18].
𝑌𝑖 = 𝐶 + 𝑏𝑋𝑖 + 𝑎𝑖 (1)
Tem-se assim uma função de transferência linear que é a equação de uma reta, onde C é uma constante, b é um fator que indica o quanto a variação de uma unidade em Xi impacta em Yi, e ai representa o efeito de todas as variáveis independentes não consideradas na variabilidade de Y.
Se, além da altura do pai (X1), temos também a altura da mãe (X2), podemos tentar estabelecer se (e o quanto) a altura do filho adulto é influenciada pela altura dos pais, traçando uma regressão múltipla.
𝑌𝑖 = 𝐶 + 𝑏1𝑋1,𝑖+ 𝑏2𝑋2,𝑖+ 𝑎𝑖 (2)
Obtém-se assim uma função de transferência linear que é um plano. Para uma quantidade maior de variáveis de entrada, a representação da função não é fácil de representar graficamente, mas o mesmo princípio continua válido, e a notação
matricial passa a ser mais útil. Se tivermos k-1 variáveis independentes e n observações em cada amostra, a função de regressão amostral pode ser expressa na equação matricial [18]:
𝑌 = 𝑋𝐵̂ + 𝑎̂ (3)
onde Y é um vetor de dimensão n x 1, contendo as n observações da variável dependente; X é uma matriz de dimensão n x k, com as n observações das k – 1 variáveis independentes, e uma de 1’s para representar a constante; 𝐵̂ é o vetor de coeficientes estimados, de dimensão k x 1; e â é o vetor de resíduos, com dimensão
n x 1. 𝑌 = [ 𝑌1 𝑌2 ⋮ 𝑌𝑛 ] 𝑋 = [ 1 𝑋1,1 … 𝑋𝑘−1,1 1 𝑋1,2 … 𝑋𝑘−1,2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑋1,𝑛 … 𝑋𝑘−1,𝑛] 𝐵̂ = [ 𝐶̂ 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏̂𝑘−1 ̂ ̂ ] 𝑎̂ = [ 𝑎̂1 𝑎̂2 ⋮ 𝑎̂𝑛 ]
Para que as equações anteriores sejam apropriadas, é necessário que os resíduos sejam independentes entre si (sem autocorrelação). Caso exista autocorrelação entre os valores do ruído, os estimadores de mínimos quadrados usados para estimar os parâmetros serão inválidos, e os coeficientes estimados não serão os melhores, e as previsões não serão tão acuradas quanto poderiam ser, uma vez que há informações nos resíduos que estão sendo desprezadas [8]. Assim, se for verificada alguma autocorrelação nos ruídos, podemos identificar o modelo ARIMA ou ARIMA sazonal que melhor reflete o comportamento do ruído, reescrevendo a equação (1) como [18]:
𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝑏𝑋𝑡+ 𝑁𝑡 (4)
onde Nt é a série de impactos com autocorrelação. Por exemplo, suponha que o comportamento de Nt siga o modelo ARIMA(1,0,1). Então Nt pode ser expresso como:
(1 − 𝜑1𝐵)𝑁𝑡 = (1 − 𝜃1𝐵)𝑎𝑡 ou
𝑁𝑡 = (1 − 𝜃1𝐵) (1 − 𝜑1𝐵)𝑎𝑡
que pode ser substituído em (4), formando a expressão 𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝑏𝑋𝑡+ (1 − 𝜃1𝐵)
(1 − 𝜑1𝐵)𝑎𝑡
Como precisamos do modelo ARIMA dos impactos para estimar os parâmetros de C e b, e precisamos dos parâmetros b e C para calcular os resíduos Nt, para só então
descobrirmos qual o modelo ARIMA que melhor o representa, inevitavelmente neste processo é necessário iniciar com um modelo ARIMA inicial arbitrário, preferencialmente de baixa ordem (por exemplo, ARIMA(1,0,1)), e a partir desse
modelo, estimar os parâmetros da regressão, calcular os impactos e verificar se são ruído branco. Caso os resíduos não sejam ruído branco, é necessário um processo iterativo, para verificar o modelo dos resíduos e repetir o processo até que os resíduos sejam ruído branco.
Supondo que Nt siga um modelo ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s, podemos escrever Φ(𝐵𝑠)𝜙(𝐵) 𝑠 𝐷𝑑𝑁 𝑡 = Θ(𝐵𝑠)𝜃(𝐵)𝑎𝑡. Isolando Nt, chegamos a: 𝑁𝑡 = Θ(𝐵𝑠)𝜃(𝐵) Φ(𝐵𝑠)𝜙(𝐵) 𝑠 𝐷𝑑𝑎𝑡
Que, substituindo em (4), obtemos:
𝑌𝑡= 𝐶 + 𝑏𝑋𝑡+ Θ(𝐵𝑠)𝜃(𝐵) Φ(𝐵𝑠)𝜙(𝐵)
𝑠 𝐷𝑑𝑎𝑡
Ou, para o caso onde temos m séries de entrada:
𝑌𝑡= 𝐶 + 𝑏1𝑋1,𝑡+ 𝑏2𝑋2,𝑡+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑋𝑚,𝑡 + Θ(𝐵𝑠)𝜃(𝐵) Φ(𝐵𝑠)𝜙(𝐵)
𝑠
𝐷𝑑𝑎𝑡 (5)
3.1 REGRESSÃO DINÂMICA
Entretanto a regressão linear simples e a regressão linear múltipla apresentam coeficientes fixos, não consideram a variável tempo, e a influência de valores anteriores sobre valores posteriores da mesma série temporal. Mas na prática é comum encontrar situações em que a variável dependente Yt é influenciada não só pelos valores de X1,t, X2,t, ..., Xn,t, mas também pelas ki leituras anteriores, ou seja,
por X1,t, X1,t-1, X1,t-2, ..., X1,t-k1, X2,t, X2,t-1, X2,t-2, ..., X2,t-k2, ..., Xn,t, Xn,t-1, Xn,t-2, ..., Xn,t-kn. Esses tipos de ocorrências, onde há influência de uma ou mais séries temporais de entrada em uma série temporal de saída, considerando k leituras anteriores podem ser tratados como modelos de regressão dinâmica, de acordo com a seguinte expressão, no caso monovariado [8], [18], [19]:
𝑌𝑡 = 𝐶 + 𝑣(𝐵)𝑋𝑡+ 𝑁𝑡 (6)
onde 𝑣(𝐵)𝑋𝑡 = 𝑣0𝑋𝑡+ 𝑣1𝑋𝑡−1+ ⋯ + 𝑣𝑘𝑋𝑡−𝑘 é a função de transferência linear, C é uma constante, e
Nt é a série de distúrbios, possivelmente autocorrelacionados. Já para o caso multivariado, com n variáveis, a expressão fica:
𝑌𝑡= 𝐶 + 𝑣1(𝐵)𝑋1,𝑡+ 𝑣2(𝐵)𝑋2,𝑡+ ⋯ + 𝑣𝑛(𝐵)𝑋𝑛,𝑡+ 𝑁𝑡 (7) Ou, expandindo a expressão (7):
𝑌𝑡= 𝐶 + 𝑣1,0𝑋1,𝑡+ 𝑣1,1𝑋1,𝑡−1+ ⋯ + 𝑣1,𝑘𝑋𝑡−𝑘1+ 𝑣2,0𝑋2,𝑡+ 𝑣2,1𝑋2,𝑡−1+ ⋯ + 𝑣2,𝑘𝑋𝑡−𝑘2+ ⋯ + 𝑣𝑛,0𝑋𝑛,𝑡+ 𝑣𝑛,1𝑋𝑛,𝑡−1+ ⋯ + 𝑣𝑛,𝑘𝑋𝑛,𝑡−𝑘𝑛+ 𝑁𝑡
4. APLICAÇÃO EM SÉRIES TEMPORAIS DE SUBPRESSÃO
Neste trabalho são apresentados resultados preliminares da aplicação desta técnica de obtenção da função de transferência linear da subpressão nas fundações de barragens de concreto utilizando-se dados do piezômetro de contato concreto-rocha PS-F-73, do bloco F19/20, de gravidade aliviada, da barragem principal de Itaipu e o programa estatístico R [20], e o pacote forecast [21]. A obtenção de funções de transferência linear aplicada neste trabalho seguiu os seguintes passos:
1. Estudo das séries de dados e dos fatores que podem influenciar a subpressão, com consultas aos especialistas.
2. Traçado dos gráficos das séries, identificando possíveis correlações entre as variáveis independentes e a subpressão, suas prováveis defasagens de tempo, e observando os outliers, que podem ser devidos a erros de leitura, influência de eventos históricos pontuais (intervenções).
3. Regularização da série temporal de leitura da subpressão, estabelecendo um intervalo regular para as leituras e eliminando eventuais duplicações de registros.
4. Estabelecimento de médias de leituras diárias, semanais, quinzenais, mensais e trimestrais, para todas as variáveis independentes, e também nas leituras de subpressão, para identificar qual o intervalo que mais explica a variação da subpressão. Incluir colunas com as leituras anteriores (t-1, t-2, ..., t-k) para as variáveis onde há suspeita de influência de leituras anteriores.
5. Realização de testes de modelagem ARIMA sobre as séries, e verificar se o modelo encontrado é satisfatório.
6. Realizar testes de significância através da regressão múltipla com todas as variáveis independentes, e para cada intervalo de leitura média. Verificar se a regressão alcançou nível aceitável de explicação da variação da subpressão pelo teste do R2 ajustado, e se os resíduos se apresentam como ruído branco. 7. Caso o teste do R2 ajustado não seja adequado e/ou os resíduos a
t não sejam ruído branco, chamar a série de resíduos de Nt, aplicar a modelagem de séries temporais ARIMA na série Nt, iniciando por um modelo AR de baixa ordem, estimar os coeficientes da regressão e minimizar o erro at. Caso os resíduos at sejam ruído branco, o modelo é aceito. Caso contrário, examina-se a fac, facp e face dos resíduos para tentar novamente com outro modelo ARIMA, até obter ruído branco como resíduos.
1. Estudo das séries de dados e dos fatores que podem influenciar a subpressão, com consultas aos especialistas.
Durante esta fase foram realizadas visitas técnicas às fundações da barragem, entrevistas com os engenheiros, coleta de dados das leituras dos instrumentos, pesquisa em documentos técnicos e estudo de obras técnicas sobre hidrogeotecnia de maciços rochosos fraturados aplicada a fundações de barragens de concreto. Com isso foram identificadas possíveis influências de:
a) temperatura ambiente, atribuída à dilatação térmica diferente a que estão sujeitas a face de jusante da barragem (seca) e a face de montante (em contato com o lago), ocasionando diferenças de tensão imposta à fundação nas proximidades do pé de montante. No caso específico desta barragem, a influência não é imediata, devido à propagação mais lenta da temperatura na estrutura de concreto de vários metros de espessura [22];
b) temperatura da água que passa pelos piezômetros que monitoram a pressão, nos casos em que essa informação está disponível, em função da abertura e obstrução das descontinuidades na fundação ocasionadas pelo efeito da dilatação e contração térmica provocada pela passagem de água em diferentes temperaturas. Uma variação de 20ºC para 19ºC na água que passa por uma descontinuidade da fundação pode provocar uma alteração de 110% na vazão que passa por ela, alterando significativamente a subpressão na região [4]; c) nível do reservatório, que influencia diretamente a pressão hidrostática na
fundação e a pressão exercida sobre a face de montante da barragem, possivelmente alterando as tensões no pé de montante. Em função da pequena variação do nível do reservatório, essa influência não é percebida visualmente pela análise dos gráficos, mas a variável foi mantida para ser verificada estatisticamente;
d) influência de intervenções pontuais sobre o sistema, tais como limpeza de drenos ou sismos, no caso de alguns piezômetros. A limpeza de drenos, procedimento de manutenção executado poucas vezes foi capaz de reduzir a subpressão significativamente em alguns piezômetros, e isso independe das outras variáveis independentes. A região onde está instalada a barragem de Itaipu não é sujeita a abalos sísmicos, mas a barragem possui sismógrafos, e alguns grandes tremores na região dos Andes podem provocar alterações de comportamento nos piezômetros. Essas alterações podem ser apenas pontuais, ou uma mudança permanente no nível de subpressão, para mais ou para menos. Para manter o modelo de modo mais próximo ao comportamento real da subpressão é necessário verificar se há esse tipo de intervenção pontual e modelar pela adição de novas variáveis que representem a sua influência. Para o caso do piezômetro estudado neste trabalho, não foi detectada intervenção significativa, em função de sua localização.
2. Traçado dos gráficos das séries, identificando possíveis correlações entre as variáveis independentes e a subpressão, suas prováveis defasagens de tempo, e observando os outliers, que podem ser devidos a erros de leitura, influência de eventos históricos pontuais (intervenções).
A barragem de Itaipu possui leituras manuais desde a fase de sua construção com dados a partir de 1980, mas em 2005 iniciou-se a instalação de um sistema para a coleta automática de dados de 270 sensores a cada 30 minutos, incluindo
piezômetros [23]. Os leitores automáticos dos piezômetros fornecem também a temperatura da água que está passando por ele. Essa informação não estava disponível em bases regulares anteriormente. Mesmo com a leitura automática, a leitura manual foi mantida, e é considerada mais confiável. Assim decidiu-se pelo uso das séries de dados manuais de subpressão, junto com as leituras automáticas de temperatura da água, pelo período em que todos estivessem disponíveis, ou seja, de 2006 a 2014. As figuras 1, 2, 3 e 4 mostram os gráficos das séries originais de leituras nesse período, para a subpressão no piezômetro escolhido, temperatura ambiente, temperatura da água e nível do reservatório.
Figura 1: Leituras manuais do piezômetro PS-F-73, em metros sobre o nível do mar, entre jan/2006 e fev/2014.
Figura 2: Temperatura ambiente média diária, em °C, entre nov/2005 e jan/2014.
Figura 3: Temperatura média diária da água no piezômetro PS-F-73, em °C, entre mar/2006 e mai/2014.
Figura 4: Nível do lago, média diária em metros sobre o nível do mar, entre jan/2006 e fev/2014.
Nesta fase foram identificadas:
a) uma correlação forte entre a temperatura ambiente e a subpressão, com uma defasagem de aproximadamente 3 meses, com a temperatura máxima no verão levando a uma subpressão mínima no outono, e a temperatura mínima no inverno induzindo a uma subpressão máxima na primavera. Como a temperatura ambiente varia bastante de um dia para o outro, e a leitura da subpressão só está disponível semanalmente, e ainda assim apresenta variação mais suave, é mais razoável utilizar temperaturas médias em períodos maiores, para detectar sua influência na subpressão;
b) possível influência da temperatura da água que passa pelo piezômetro, influenciando a alteração de subpressão quase que imediatamente à variação de temperatura;
c) resfriamento rápido da temperatura da água na fundação quando a temperatura ambiente cai abaixo de 20ºC aproximadamente, atribuído à convecção da água do lago;
d) aquecimento gradual e lento da temperatura da água na fundação, e sem ultrapassar 21.1ºC quando a temperatura sobe, atribuído à condução de calor pela água do lago;
e) não encontrada visualmente influência do nível do reservatório no nível de subpressão. Essa variável permanece na análise para testes estatísticos de significância.
3. Regularização da série temporal de leitura da subpressão, estabelecendo um intervalo regular para as leituras.
As leituras de subpressão utilizadas são provenientes de leituras manuais, executadas desde a instalação dos instrumentos, durante a construção da barragem. Como a obra passou por momentos críticos, como a etapa de enchimento do reservatório, seguida pelos primeiros anos de operação, quando não se conhecia o comportamento da obra, as leituras eram realizadas com maior frequência. Em seguida, com o acúmulo de informações, as leituras passaram a ser feitas com intervalos maiores. A periodicidade de leituras também passou a variar de instrumento para instrumento, sendo lidos a intervalos menores os que apresentam maior variação. Para o piezômetro em estudo há leituras com frequência diária, duas vezes por semana e semanal. Optou-se pela frequência semanal das leituras, disponíveis em todo o período. Detalhes menores passaram a ser corrigidos, como a eliminação de leituras
duplicadas e a estimativa das raras leituras ausentes pela média entre os vizinhos. Essa estimativa de valores mostrou-se consistente com as leituras automáticas, que também se mantiveram próximas à média das leituras dos dias anterior e seguinte. Em função do cálculo de sazonalidade, também foi definido um número fixo de 52 leituras por ano, pois o número apresentava pequenas variações dependendo do dia da semana em que o ano se iniciou.
4. Estabelecimento de médias de leituras diárias, semanais, quinzenais, mensais e trimestrais, para todas as variáveis
Para cada uma das variáveis independentes (temperatura ambiente, temperatura da água na fundação e nível do reservatório) foram estabelecidas a média diária, a média dos últimos 7 dias, a média dos últimos 15 dias, a média dos últimos 30 dias e a média dos últimos 90 dias, de modo a verificar quais as séries que melhor representam a influência da variável na leitura da subpressão. Para cada data com leitura de subpressão disponível foram acrescentadas as médias de cada variável independente para cada um dos períodos acima. Foram acrescentadas também as leituras das médias mensais de temperatura ambiente com defasagem de 1, 2, 3 e 4 meses, uma vez que há o indício visual a partir do gráfico das séries de que a subpressão é afetada pela temperatura ambiente ocorrida 3 meses antes.
5. Realização de testes de modelagem ARIMA sobre as séries, e verificar se o modelo encontrado é satisfatório.
Utilizando como base a série de 407 leituras semanais de subpressão no PS-F-73 entre 03/03/2006 e 18/12/2013, que se mostrou estacionária pelos testes de Dickey-Fuller, Philips-Perron e KPSS, executou-se o procedimento de seleção automática de modelo ARIMA, com sazonalidade de 52 leituras, e critério AIC (Akaike Information Criterion) para a seleção do modelo, e com limites de parâmetros p=6, d=2, q=6, P=6, D=2, Q=6. O procedimento selecionou o modelo ARIMA(1,2,0)x(6,2,0)52, com somente o terceiro coeficiente autorregressivo sazonal (SAR3) não significativo. Os resíduos não foram considerados ruído branco no teste de número de vezes que subidas e descidas, ao nível de confiança de 95%. A previsão utilizando este modelo não se mostrou satisfatória, apresentando para as próximas 8 leituras, os seguintes erros de previsão: -5,2m, -8,5m, -9,8m, -0,1m, 4,6m, 14,3m, 23m e 33,2m.
6. Realização de testes de significância através da regressão múltipla com todas as variáveis independentes, e para cada intervalo de leitura média.
Foram realizados testes de regressão múltipla para identificar a subpressão em função das três variáveis independentes, com cada uma das periodicidades, chegando-se à conclusão de que para o piezômetro em questão, a periodicidade mensal apresentou maior valor para o teste R2 ajustado. As figuras 5, 6 e 7 apresentam o resultado de alguns testes, com e sem defasagem no tempo para a variável temperatura ambiente:
> rm1.mes<-lm(P73.mes~Ar30.3+Lago30+Agua.P73) > summary(rm1.mes)
Call:
lm(formula = P73.mes ~ Ar30.3 + Lago30 + Agua.P73) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -51.594 -10.964 -0.916 11.293 39.120 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 318.505424 25.058561 12.710 <2e-16 *** Ar30.3 -4.768922 0.545388 -8.744 1e-13 *** Lago30 -0.001216 0.009115 -0.133 0.8942 Agua.P73 -3.644997 1.462225 -2.493 0.0145 * --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 17.58 on 92 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.5769, Adjusted R-squared: 0.5631 F-statistic: 41.81 on 3 and 92 DF, p-value: < 2.2e-16 > CV(rm1.mes)
CV AIC AICc BIC AdjR2 4.646517e+05 5.563326e+02 5.569993e+02 5.691543e+02 5.631005e-01
Figura 5: Regressão múltipla para o PS-F-73 com valores médios mensais. Temperatura ambiente com defasagem de 3 meses, Nível do lago e Temperatura da água no PS-F-73 atuais.
A figura 5 apresenta a primeira tentativa de regressão múltipla com médias mensais, baseada nas três variáveis independentes identificadas, sendo a temperatura ambiente deslocada em 3 meses, de acordo com o comportamento gráfico identificado. Observe que o valor de R2 ajustado indica que essas variáveis são capazes de explicar 56,31% da variação de subpressão no PS-F-73, o que não é considerado satisfatório. O resultado revela ainda que as variáveis temperatura ambiente e temperatura da água são significativas ao nível de significância de 95%. A raiz do erro quadrático médio (RMSE) foi de 17,20986. Como o nível do lago não foi significativo, tentou-se também executar a regressão múltipla sem essa variável, ilustrada na figura 6.
> rm2.mes<-lm(P73.mes~Ar30.3+Agua.P73) > summary(rm2.mes)
Call:
lm(formula = P73.mes ~ Ar30.3 + Agua.P73) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -51.507 -10.928 -1.703 11.359 39.136 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 317.5422 23.8690 13.304 < 2e-16 *** Ar30.3 -4.7676 0.5424 -8.790 7.43e-14 *** Agua.P73 -3.6102 1.4312 -2.523 0.0134 * ---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 17.49 on 93 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.5768, Adjusted R-squared: 0.5677 F-statistic: 63.38 on 2 and 93 DF, p-value: < 2.2e-16 > RMSE.mes2 <- rmse(rm2.mes)
> RMSE.mes2 1
17.21152 > CV(rm2.mes)
CV AIC AICc BIC AdjR2 315.8325926 554.3511680 554.7907284 564.6085607 0.5677147
Figura 6: Regressão múltipla para o PS-F-73 com valores médios mensais. Temperatura ambiente com defasagem de 3 meses e Temperatura da água atual no PS-F-73.
Observe que nesta segunda tentativa, o R2 ajustado melhora muito pouco, passando a explicar 56,77%, e o RMSE (não mostrado), permanece praticamente inalterado, com o valor de 17,21152. Ambas as variáveis apresentam valor-p significativo ao nível de 95%. Na próxima tentativa, apresentada na figura 7, foram incluídas as defasagens de 2 e 4 meses da temperatura ambiente, e o nível do reservatório.
> rm3.mes<-lm(P73.mes~Ar30.2+Ar30.3+Ar30.4+Agua.P73+Lago30) > summary(rm3.mes)
Call:
lm(formula = P73.mes ~ Ar30.2 + Ar30.3 + Ar30.4 + Agua.P73 + Lago30) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -35.137 -9.981 -2.414 8.819 38.703 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 340.823078 33.319426 10.229 <2e-16 *** Ar30.2 -1.673778 1.117531 -1.498 0.1377 Ar30.3 -1.443640 1.303985 -1.107 0.2712 Ar30.4 -2.496903 0.962807 -2.593 0.0111 * Agua.P73 -3.914982 2.168464 -1.805 0.0744 . Lago30 0.004488 0.009066 0.495 0.6218 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 17.04 on 90 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6112, Adjusted R-squared: 0.5896 F-statistic: 28.3 on 5 and 90 DF, p-value: < 2.2e-16 > RMSE.mes3 <- rmse(rm3.mes)
> RMSE.mes3 1 16.49688 > CV(rm3.mes)
CV AIC AICc BIC AdjR2 7.297062e+05 5.522089e+02 5.534816e+02 5.701594e+02 5.896295e-01
Figura 7: Regressão múltipla para o PS-F-73 com valores médios mensais. Temperatura ambiente com defasagem de 2, 3 e 4 meses, Nível do lago e Temperatura da água no PS-F-73 atuais.
Observe pelo valor de R2 ajustado que essas variáveis explicam 58,96% da variação de PS-F-73, o que é alguma melhora, mas ainda não satisfatória. O nível de significância das variáveis baixou. Agora somente a temperatura ambiente defasada em 4 meses é significativa a 95%, e a temperatura da água só é significativa ao nível de 90%. Retirando a variável nível do lago e a temperatura ambiente defasada em 3 meses, o resultado melhora mais um pouco, e é apresentado na figura 8.
> rm4.mes<-lm(P73.mes~Ar30.2+Ar30.4+Agua.P73) > summary(rm4.mes)
Call:
lm(formula = P73.mes ~ Ar30.2 + Ar30.4 + Agua.P73) Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max -36.796 -10.709 -3.082 12.056 37.139 Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 349.3487 32.5779 10.723 < 2e-16 *** Ar30.2 -2.4281 0.8987 -2.702 0.00821 ** Ar30.4 -3.2887 0.5989 -5.491 3.52e-07 *** Agua.P73 -4.1960 2.1526 -1.949 0.05431 . --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 17.02 on 92 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6036, Adjusted R-squared: 0.5906 F-statistic: 46.69 on 3 and 92 DF, p-value: < 2.2e-16 > CV(rm4.mes)
CV AIC AICc BIC AdjR2 303.6994249 550.0798815 550.7465482 562.9016225 0.5906499 > RMSE4.mes <- rmse(rm4.mes)
> RMSE4.mes 1
16.65842
Figura 8: Regressão múltipla para o PS-F-73 com valores médios mensais. Temperatura ambiente com defasagem de 2, e 4 meses, e Temperatura da água atual no PS-F-73.
Novamente o ajuste nos parâmetros trouxe um pequeno ganho, mas não o suficiente para considerar aceitável a regressão, pois explica somente 59% da variação do PS-F-73.
Observe na figura 9 os gráficos da série de leituras de subpressão, da estimativa pelo modelo escolhido, e dos resíduos. É fácil ver que a estimativa tem alguma aproximação à série de leituras, mas não próxima o suficiente, chegando a ter erros de -36m a +37m. A série de resíduos também não aparenta ser ruído branco, o que é confirmado pelos gráficos das funções de autocorrelação residual e autocorrelação parcial residual, ilustrados na figura 10.
Figura 9: Gráfico das séries da estimativa pelo modelo de regressão múltipla escolhido, da leitura média mensal do PS-F-73, e dos resíduos, todos em metros, com 96 leituras.
Figura 10: Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP) dos resíduos da regressão múltipla.
Observe na figura 10 que a FAC e a FACP apontam que os resíduos não são ruído branco, e apresentam um comportamento típico de uma série AR(1). Isso mostra que há mais informações que o modelo não captou, e que os coeficientes estimados estão incorretos. Assim há indicações para refazer a regressão dinâmica incluindo a modelagem ARIMA da série de resíduos.
7. Modelagem da série temporal como regressão dinâmica e com modelagem ARIMA da série de resíduos [8], [18], [19].
De acordo com a técnica explicada na sessão 2, foi executada a rotina de seleção automática do modelo ARIMA da série temporal das leituras médias mensais de subpressão no piezômetro PS-F-73, considerando a regressão da subpressão a partir das variáveis independentes temperatura ambiental média mensal, com defasagens de 2, 3 e 4 meses, nível médio do lago dos últimos 30 dias e temperatura média dos últimos 30 dias da água que passa pelo piezômetro.
> Ar30.Agua.Lago <- cbind(Ar30.2,Ar30.3,Ar30.4,Agua.P73,Lago30) > fit<-auto.arima(P73.mes,xreg=Ar30.Agua.Lago) > summary(fit) Series: P73.mes ARIMA(2,1,0) Coefficients:
ar1 ar2 Ar30.2 Ar30.3 Ar30.4 Agua.P73 Lago30 0.3060 -0.4536 -1.6483 -2.5978 -1.1556 -1.5029 0.0020 s.e. 0.0933 0.0975 0.3124 0.2901 0.2880 0.7759 0.0019 sigma^2 estimated as 41.08: log likelihood=-307.77
AIC=631.54 AICc=633.21 BIC=651.97 Training set error measures:
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE Training set 0.04593305 6.342698 4.901128 -0.09515817 3.41848 0.545949 ACF1 Training set -0.05057722 > fit.r2 <-r2.ajustado(fit) > fit.r2 [1] 0.9379588
Figura 11: Modelagem ARIMA dos resíduos Nt, da regressão dinâmica do PS-F-73.
Pode-se observar na figura 11 uma melhora significativa utilizando a modelagem ARIMA dos resíduos Nt. O valor da raiz do erro quadrático médio (RMSE) caiu de 16.65842 para 6.342698. O valor do R2 ajustado subiu de 0.5906499 para 0.9379588, ou seja, sua capacidade explicativa ultrapassou 93%. Entre as variáveis da regressão, apenas o nível do Lago não é significativo ao nível de confiança de 95%, e a temperatura da água está no limite da significância. Retirando essas duas variáveis e executando novamente a regressão, as variáveis praticamente não se alteram, com pequeno aumento no RMSE (6.504334) e uma leve redução do R2 ajustado (0.9362063). Já a figura 12 mostra nos gráficos das séries de estimativa, das leituras e dos resíduos uma melhora também significativa frente à figura 9, e a figura 13 mostra que os resíduos at já podem ser considerados ruído branco, confirmado pelo teste de Box-Pierce.
Figura 12: Gráfico das séries de estimativas pelo modelo escolhido, da leitura média mensal do PS-F-73, e dos resíduos, todos em metros, com 96 leituras.
Figura 13: Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP) dos resíduos da regressão múltipla com modelagem ARIMA dos resíduos.
5. CONCLUSÕES
Apesar de preliminares, os resultados alcançados mostram que a técnica proposta para obter a função de transferência linear da série de leituras de subpressão em função de variáveis ambientais independentes, considerando as defasagens no tempo e a modelagem da série temporal dos resíduos como um modelo ARIMA oferece uma acurácia muito superior às técnicas mais utilizadas, tais como a simples modelagem da série utilizando o modelo ARIMA e a regressão linear simples ou múltipla.
Enquanto os resultados do modelo ARIMA e da regressão linear simples ou múltipla não são suficientemente precisos para servir de base a uma previsão dos próximos valores da série que possam ser usados para a definição de limites de alerta amarelo para a subpressão, os resultados do modelo propostos permitem tal utilização.
Os próximos passos a serem executados neste trabalho são: (i) a realização de novos testes, com outros períodos de médias das variáveis independentes, especialmente da temperatura da água que passa pelo piezômetro e do nível do reservatório, (ii) o tratamento de intervenções pontuais, como limpezas de drenos e sismos e (iii) a definição dos limites do intervalo de confiança das previsões da série temporal de subpressão, servindo de alertas amarelos.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem à Itaipu Binacional, nas pessoas dos engenheiros Dimilson Pinto Coelho, e Sílvia Frazão Matos, pelo fornecimento dos dados e pela disposição em contribuir com discussões técnicas sobre a engenharia e o comportamento de barragens, ao professor Anselmo Chaves Neto, pelas orientações com as técnicas estatísticas, à Fundação Araucária, pelo apoio financeiro, ao IFPR, pela concessão de afastamento das atividades docentes durante a realização da pesquisa, à UFPR, à Unioeste, ao CEASB e à Fundação PTI por promoverem a realização da turma de Doutorado em Métodos Numéricos em Engenharia que ensejou a realização desta pesquisa.
7. PALAVRAS-CHAVE
Subpressão em Barragens de Concreto; Séries Temporais; Regressão Múltipla com Modelagem de Séries Temporais dos Resíduos
8. REFERÊNCIAS
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