Fotónica. Nesta primeira parte do trabalho pretende-se obter uma representação gráfica da curva lemniscata de Bernoulli.

Pretende-se, neste trabalho, utilizar os conhecimentos adquiridos em álgebras (geométricas) de Clifford para algumas aplicações – nomeadamente, na representação gráfica em MATLAB. Estuda-se, também, o movimento hiperbólico – uma aplicação específica da álgebra do espaço-tempo de Minkowski (plano hiperbólico).

PARTE A

Nesta primeira parte do trabalho pretende-se obter uma representação gráfica da curva lemniscata de Bernoulli. Seja z x ye₁₂ um spinor de ₂, i.e.,

2 2 12 2

z x ye   



 x i y , tal que, com p0,

12 2 1 p z    e .

Comece por provar que



 



2 2 2 12 12 1 1 z p z p z p p          e e . Portanto (explique porquê)

2 2 2 z p p . Faça, agora,

Fotónica

Ano Lectivo: 2014/2015

Trabalho T2





 

 

2 2

12 12 _{4 2}

2

exp cos sin , 0

1 p z    z x y    _  _       e e .

Nestas condições, mostre que

 

2 _{2 2}

2 cos 2 z   p  . Mostre, ainda, que









 

 

 

2 ₂ 2 2 2 2 2 2 1 1 tan cos 2 1 tan 1 y x x y x y y x             .

Podemos, então, concluir o seguinte: a lemniscata tem a equação cartesiana que se indica a seguir.



_{2 2}



2 ₂



_{2 2}



2

x y  p x y

Assim, a lemniscata obedece às equações paramétricas

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2 2 cos cos 2 cos 2 cos 2

sin _{2 sin cos 2}

x p x x y p y _{y p}       _{  }     _{  }      .

Note que o ramo direito se obtém fazendo  4   4. O ramo esquerdo, por sua vez, obtém-se fazendo 3 4  5 4.

PARTE B

Nesta segunda parte do trabalho pretende-se obter uma representação gráfica de várias cónicas com o mesmo pericentro (antónimo de apocentro). No caso de uma órbita em torno da Terra o pericentro designa-se por perigeu e o apocentro por apogeu. No caso de uma órbita em torno do Sol o pericentro designa-se por periélio e o apocentro por afélio.

Uma cónica é representada genericamente pela seguinte equação em coordenadas polares:

 

1 cos r     .

Designa-se por o semi-latus rectum e por  a excentricidade. Note-se que d sendo d a distância da directriz da cónica ao foco considerado como pericentro (correspondente ao ponto para o qual a distância r assume o valor mínimo). Quando  0 a cónica degenera numa circunferência. Para 0  1 a cónica é uma elipse. Para  1 a cónica representa uma parábola. E, finalmente, quando  1 a cónica é uma hipérbole.

Suponhamos que, em coordenadas cartesianas, o foco corresponde ao centro O



x0, y0



e o pericentro ao ponto P



x p y, 0



. Nestas condições a equação das cónicas com os mesmos foco e pericentro é dada, com  p



1



, por





 

1 1 cos p r       .

Note-se que o pericentro ocorre para   a que corresponde, portanto, rp. Em coordenadas cartesianas, vem então:

 

 





_{ }

 

   



  

_{ }

1 cos cos 1 cos 1 sin sin 1 cos p x r p y r                     .

Note-se que, deste modo, a equação genérica de uma cónica corresponde ao spinor





 

_{ }

12 exp 12 2, , 0 2 1 cos z x y r  r r                e e .

Pretende-se que represente, numa única figura, as cónicas correspondentes a: (i)  0 (circunferência); (ii)  0.8 (elipse); (iii)  1 (parábola); (iv)  1.25 (hipérbole). Considere, em todos os casos, p1.

A figura a obter é a representada na página seguinte. Note que, para efeitos de representação gráfica, o valor máximo x_max de todas as curvas (à excepção da circunferência) deve coincidir com o valor da elipse, i.e., sendo ₀ a excentricidade da elipse (o valor numérico aqui adoptado é ₀0.8), tem-se

0 max 0 1 1 x p      . PARTE C

Nesta terceira parte do trabalho pretende-se obter uma representação gráfica de uma elipse e de uma hipérbole. Em ambos os casos a equação é agora caracterizada por um vector

2

1 2 2

x y C 

   

r e e ,

em que

B





e e₁, ₂



é a base ortonormada da parte ímpar da álgebra (geométrica) do plano euclidiano.

Para ambas as cónicas considere

 

 

 

 

1 2 1 2 cos sin 0 sin cos a b      _  _      _  _ a e e a b a b b e e , com 30 .

No caso da elipse a equação é dada por

 

 

cos  sin  , 0, 0  2

     

r a b a b .

2 1 a b    elipse .

A correspondente figura encontra-se a seguir.

No caso da hipérbole a equação é dada por

 

 

cosh  sinh  , 0, 

        

r a b a b .

Para a hipérbole faça 1.25 1 a b    hipérbole .

Deve, no caso da hipérbole, representar as duas assímptotas.

A correspondente figura encontra-se a seguir (na página seguinte).

De acordo com a mecânica clássica newtoniana, as órbitas planetárias (dos planetas do sistema solar, em torno do Sol) obedecem às leis de Kepler: são as trajectórias de uma massa (pontual) sob a acção de uma força gravitacional central (no foco) inversamente proporcional ao quadrado da distância (do planeta ao foco, ocupado pelo Sol). Seja M a massa do Sol (no foco) e m a massa do planeta (que orbita em torno do Sol). A energia total do movimento (i.e., a soma da energia cinética com a energia potencial) é uma constante E , dada por (em que v é a velocidade do planeta e r a sua distância ao Sol)





2 2 2 2 1 1 constante, 2 2 k m k m v k G M m r        E ,

sendo G a constante de gravitação universal: G6.67384 10 11 m3kg1s2. Uma trajectória elíptica



0  1



corresponde a ter-se E0. Uma trajectórica parabólica



 1



corresponde a E0. Uma trajectória hiperbólica



 1



corresponde a E0. O caso particular de uma trejectória circular



 0



corresponde a

2 2 2 m k   E .

No caso relativista, a órbita elíptica – correspondente a E0 – dá lugar a uma precessão da elipse. Esta precessão, claramente observável no caso da órbita de Mercúrio, corresponde (no caso geral) a uma equação da forma

 

_{ }

1 cos r       .

Quando  1 a órbita é exactamente elíptica. A precessão da órbita observa-se para  1. As correspondentes equações paramétricas correspondem a

 

 

 

_{ }

   

 

_{ }

cos cos , 1 cos sin sin . 1 cos x r y r                 _       _ 

As três figuras seguintes representam sempre a situação em que 1 e  0.8. Porém, no primeiro caso, tem-se  1 (órbita elítica) e fez-se 0  2; no segundo caso tem-se  0.95 e fez-se 0  10 ; no terceiro caso tem-se (tal como no caso anterior)  0.95 mas, agora, fez-se 0  40 .

PARTE D

Nesta quarta parte do trabalho pretende-se obter uma representação gráfica do sistema de coordenadas bipolares.

Começa-se por considerar dois vectores constantes a b,  2, tais que

1 1 d d       a e b e

e, ainda, o vector variável 2

1 2

x y

  

r e e .

Como anteriormente

B





e e₁, ₂



é a base ortonormada da parte ímpar da álgebra (geométrica) do plano euclidiano.

A primeira tarefa desta parte do trabalho consiste em analisar a representação gráfica da equação (escrita em ₂)



 

1







12 exp       a r b r e .

Mostre primeiro que



 











2 2 2 12 1 2 2 2 x y d y d x d y          e a r b r .

Logo, atendendo a que



12



 

12

 

exp cos sin

obtêm-se as seguintes equações paramétricas





 





 

2 2 2 2 ₂ 2 ₂ cos 2 sin x y d x d y y d x d y               _  _{ } 

das quais se tira, por divisão ordenada,

 

2 2 2 cot 2 x y d y d     . Atendendo à identidade

 

 

2 2 csc  tan  1,

infere-se, então, a equação paramétrica da primeira família de circunferências:

 

2

 

2 2 2 cot csc x y d  d     _  _ primeira família de circunferências .

Por outro lado, atendendo a que



 









 









 

 

 





 











1 1 2 1 2 2 12 1 2 12 2 exp exp                    _{  }  _  _{  }  _       _  _  _  a r b r b r a r a r b r e b r a r b r a r e r b r a e ainda a que



 





 



2 2 ₂ 2 2 2 x d y x d y  _{   }        r a r b

infere-se, portanto, que

















2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ₁ x d x y d x d x d y x y d x d x y d x d x d y x y d                    _   .

Introduzamos, agora, o novo parâmetro  tal que

1 ln e          _{  }   .





 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

2 exp cosh sinh 2 1 tanh

exp 2

exp cosh sinh 1 tanh

                      .

Logo, das duas expressões alternativas para 2_{, resulta}

 

2 2 2 coth 2 x y d x d     .

Assim, atendendo à identidade

 

 

2 2

coth  csch  1,

obtém-se a equação paramétrica da segunda família de circunferências:

 

2 _{2 2 2}

 

coth csch x d  y d    _  _  segunda família de circunferências .

Estas duas famílias de circunferências revelam duas formas alternativas de descrever o plano. A saber: 1) Coordenadas cartesianas:









2 2 , | & x y x y             ; 2) Coordenadas bipolares:









2   _,  2 _{| 0}  ₂ _&      _.

Nas coordenadas bipolares existem dois pontos especiais









1 1 2 1 , 0 , 0 d d d d      _  a e b e P P

que correspondem, respectivamente, a     e a    .

Quando se faz   obtém-se o segmento de recta que une estes dois pontos: P P . _{1 2} Questão: O que se obtém para 0 e quando se faz 2?

Note-se que as equações paramétricas das duas famílias de circunferências são dadas pelas equações seguintes (verificar!):

 

 

 

 

 

 

sinh cosh cos sin cosh cos d x d y            equações paramétricas .

3 5 3 5 7 9 19 0, , , , , , , , , , , , , , 2 10 5 4 3 2 4 4 2 3 4 5 10               ; 1 1 1 1 1 1 , 2, 1, , , , 0, , , , 1, 2, 2 4 8 8 4 2          .

Nota importante: Só deve incluir, na representação gráfica, a parte de cada curva que se encontra no interior da região delimitada pela circunferência _x2_y2_R2_{, com}

sin 5 1 cos 5 d R             _{ }   ,

tal como se ilustra na figura seguinte.

PARTE E

Nesta quinta parte do trabalho analisa-se, em termos da álgebra _1,1, o movimento hiperbólico. Este tipo de movimento em teoria da relatividade restrita é o análogo do movimento uniformemente acelerado da mecânica newtoniana.

Tem-se (álgebra geométrica do plano hiperbólico)

2 2

1,1 1,1 1,1 1,1

1,1 , 1,1 1,1 1,1, 1,1 , 1,1

   

em que





1,1 2 2 0 1 | , & 0 1 0 & 0 1 1 t x t x  r e  e  e  e e  e  .

O espaço quadrático 1,1 tem, portanto, a métrica

0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1       _{  } _   _  _   e e e e e e e e

G

.

Um multivector genérico u _1,1 tem a forma

2 1,1 1,1 10, , , , 10 1 0 1 0 u   a e   a e e e e e  , onde 10 0, 1, 2 u u u  a e  ,



 

2

 













 



2 2 2 10 1 0  1 0 1 0  1 0 1 0  1 1 0 0  1 1 0 0   1 01 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e .

A tabuada de 1,1 apresenta-se a seguir.

0 e e ₁ e ₁₀ 0 e 1 e 10 e 1 10 e 1 e 10 e 1  0 e 1 e 0 e 1

Dados dois vectores a b,  1,1, tais que aa0e₀a1e e ₁ bb0e₀b1e , define-se o produto ₁ interno como segue:

0 0 1 1 a b a b

  

a b .

Assim, na sub-álgebra par, tem-se



 







2 2 2

10 1,1, 10 10 2 10 1,1

u_   e   u_    e   e      e   . Além disso, porque Cen

 

_1,1  _1,1 e 2

101 e , vem

 



10



 



10



 

 

10

 

1,1

exp u_ exp   e exp  exp e exp  _cosh  e sinh   _  . No entanto, o reverso de u   a e₁₀ é o multivector u   a e₁₀. Mas então



 



2 2 2 10 10 10 10 10 10 u u  a e  a e  a e aa ae  e e a



2 2 2







1,1 10 2 u u        a  a ae   dado que









0 1 0 1 10 0 1 10 1 0 10 10 0 1 0 1 10 10 0 1 1 0 0 a a a a a a a a        _{  }       a e e e e e e a e e a e a e e e e e ,

i.e., o bivector unitário da álgebra anticomuta com todos os vectores.

Define-se o conjugado de Clifford do multivector u   a e como sendo ₁₀ u    a e ₁₀ de forma que 1 10 2 2 2 u u u u      _{ }     a e a .

Podemos estabelecer a norma (que, neste caso, pode ser positiva, negativa ou nula)

2 2 2 2 0 u  u u    a . Em particular, tem-se



 

2



    

2 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 a a a a a a a a        a e e e e e e .

Este vector a 1,1 diz-se: (i) do tipo tempo, se a2

   

a0 2 a1 2 0; (ii) do tipo luz, se

   

2 2 2 _a0  _a1 ₀

a ; (iii) do tipo espaço, se _a2 

   

_a0 2 _a1 2_{0. No caso (i) podemos} escrever

 

 

 

 

0 1 2 2 2

0 1 0, \ 0 , 0 1, 0, exp 0 cosh 0sinh

a a                a e e f f a f f ; no caso (ii) é





2









0 1 , , 0, exp 0 1 1 0 1         _    _  a e e a e e e e ; no caso (iii) é

 

 

 

 

0 1 2 2 2

0 1 1, \ 0 , 1 1, 0, exp 1 cos 1sin

a a      

          

a e e f f a f f .

Represente o plano de Minkowski (ou plano hiperbólico) tal como se indica na primeira figura contida na página seguinte. Devido ao facto da métrica não ser euclidiana, i.e., ter-se

1 0 1 0 0 1 0 1     _{ } _{ }     

G

I

,

os vectores f₀ e f são unitários tal como ₁ e e ₀ e₁ (tal como provam as hipérboles de calibração

2 2 ₁

t x  e _x2 _t2 _1):

0  1  0  1 1

e e f f .

Usam-se unidades geométricas em que se considera c1. Assim, as duas assímptotas correspondem a tx e t x.

Consideremos, agora, a linha de universo de uma partícula material, descrita pela sequência contínua de acontecimentos (em que  é o tempo próprio medido por um relógio ideal movendo-se em conjunto com a partícula)

   

 t  0x

 

 1 0 r e e f . Portanto, vem

    

 



0 10 2 2 2 2 0 0 0 10 t x t t t t x t x t                _{   }  r e e x r r e e r x x e r e x .

Assim, o teorema de Minkowski estabelece que o tempo próprio é



 



t t t x t x

  _{ }    .

Apresente uma ilustração gráfica deste teorema: num diagrama de Minkowski considere um acontecimento A



xA,tA



do tipo tempo e marque, nesse diagrama, as coordenadas t, t e

 ; dê uma interpretação física.

A velocidade absoluta desta partícula é dada por

 

0 1 0 d d t d x d t d d d t d      r    u e e f

 

 

 

2 2 10 0 0 1 , , 1 d t d x t t d d t      u   _ e _e  u f  .

Seja, então, o bivector da velocidade (normalizada) relativa

 

 

2 2

10

t  t  

β e β .

Seja, ainda, ve a velocidade absoluta do laboratório (referencial inercial) onde se observa o ₀ movimento da partícula. Então, como _v2 _1,

 

 

 

1 1 1 d t t d d t t d t d t d     _{      }      _ _{  }  _{      }    u v u v u v β u β v v u u v u v β , d t d      u v u v β u v . Como

   

2





2 2 1 d t 1 d     _{ }    u u v v u β ,

define-se o coeficiente de Lorentz





2 2 2 1 1 1 1 d t d      _          u v



1





0 1



0     u v β u e  e f . Note-se que



 





















2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1  _{   }  _{ }     _{ }       _      u v u v u v v u u v u v v u u v u v β u v u v u v

pelo que, atendendo a que se tem u vv u2



u v , infere-se 























2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1  _{   }   _  _{ }   _{  }    u v u v β β u v u v u v .

A aceleração própria da partícula define-se como d

d

 u

u .

Deste modo, vem (em que o ponto por cima designa derivação em relação ao tempo próprio)



₁



d



₁



2 d d d t d t d t                     _ _  _     u v β β β a u v β a ,

uma vez que

10 , d t d a d d t    a β e ,

onde a é a aceleração relativa. Tratando-se de movimento unidimensional, vem ainda (com

2 2 a  a )





2 2 0 1 0 1 1 0 1 d d d d a a a d t d t d t d t                 _ _  _{ } _   _       u e e e e e f e , pois

















0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0                   _{   }  _{ }  _{ }     f e e e f f e f f e e e f f . De 2



12



1 resulta também 2 2 2 2 2 3 3 1 2 d 2 d 2 d 0 d d a d t d t d t d t d t                        .

Assim, infere-se que

1 0 3 3 1 2 2 a a             u f u f u f u .

Designa-se, deste modo, por  o valor da aceleração própria (ou absoluta) da partícula. Note-se que é Note-sempre

2  ₁   ₀

u u u u u .

No chamado movimento hiperbólico a partícula material descreve uma linha de universo tal que

2 2 2

x t X

  

movimento hiperbólico

em que X x

 

0 é uma constante. Daqui resulta, imediatamente, que

2 2 2 2 2x d x 2t d t 0 d x t t x t X d t x _{t X} X X              . Logo, como 1 2 2 1 sinh sinh d X t X t X d t _{t X} X X  _            _{ }   _{ }      ,

infere-se, com base na equação da linha de universo, que

cosh x X X     _{ }   . Portanto, obtém-se 2 2 2 tanh 1 cosh t t x _{t X} X x t X X X          _{ }          _{ }  _{ }     . Note-se que 2 1 sinh t ln t 1 t X X X X X   _    _{ }  _{ }     _   _   _   _ .

A aceleração relativa tem o valor





2 3 2 2 2 d X a d t _{t X}     .

Consequentemente, a aceleração absoluta é dada por

3 1

a X

Prova-se, assim, que o movimento hiperbólico tem aceleração própria constante – i.e., é o equivalente ao movimento uniformemente acelerado da mecânica newtoniana. Com efeito, consideremos a nova trajectória





2 2 2 2 2

xX  t X  x  X t X .

Restauremos, de momento, as unidades SI:

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 c c c c t c c t x c t c c                                  _   _,

onde a aproximação é válida para c t. Obtém-se, assim,

2 1 2 x t ,

como é bem conhecido no caso do movimento com aceleração constante  em mecânica newtoniana.

Para terminar esta parte vai-se introduzir o parâmetro  da rapidez tal que

 

tanh

X



      .

As equações paramétricas do movimento hiperbólico escrevem-se, então, na forma

 

 

cosh sinh x X t X     .

Represente graficamente a linha de universo para X 1, 3, 5.

Note que um fotão, emitido em x0 no instante t0, nunca será capaz de alcançar a partícula apesar da velocidade desta ser sempre inferior à do fotão.

PARTE F

Nesta sexta e última parte do trabalho recupera-se o paradoxo dos gémeos já analisado no primeiro trabalho. Porém, aqui, o gémeo astronauta (ALICE) tem uma linha de universo curva – correspondente a movimento hiperbólico (estudado na parte anterior). A linha de universo de BOB é a mesma do trabalho T1.

A linha de universo de ALICE corresponde a três troços. Sejam T o tempo total decorrido de acordo com BOB e T o tempo total decorrido de acordo com ALICE. A aceleração própria de ALICE tem como módulo o valor

T

  

em unidades geométricas (em que c1) como as que aqui se adoptam. Em unidades SI é

c T

   .

Introduziu-se, aqui, o parâmetro adimensional  que caracteriza uma dada linha de universo de ALICE. A primeira parte da linha de universo de ALICE é:

 

2 2 0, 1 1 4 T T t t x t T       _   _ _{ }   _{ }      _   _. A segunda parte é:

 

2 2 2 3 1 , 1 2 1 1 4 4 2 16 T T T t t x t T     _{ }    _{ } _{ }    _  _        _   _.

Finalmente, a terceira parte é:

 

2 2 3 , 1 1 1 4 T T t t T x t T       _   _ _{ }   _  _      _   _.

A primeira hipérbole (i.e., a que corresponde à primeira parte da linha de universo) é:

2 2 2 1 1 x t T T                  . A segunda hipérbole é: 2 ₂ 2 2 2 1 1 1 1 16 x t T T      _{ }         _{ }   _{ }   . A terceira hipérbole é: 2 2 2 1 1 1 x t T T                   .

A máxima distância entre ALICE e BOB corresponde a 2 2 1 1 2 16 T T t L       _   _  .

O tempo próprio da ALICE é dado por

1 0, 0, 4 3 sinh , 1, , 2 2 4 4 3 2, , 4 T t T t T T T t T T t T         _   _ _     _     _{ }  _ _ _{ }         _{ }   _{ }   

e a relação entre os tempos totais de cada um dos gémeos é

1 4 sinh 4 T T     _{ }  _{ }   .

Na figura seguinte represente  T em função de t T também para  2, 8, 40.

Na figura anexa da página seguinte pretende-se ilustrar a relação dos dois tempos totais T T em função do parâmetro  (para 0  100).

Tem-se lim T 0 T    _{ }     . Explique porquê.

O trabalho deve incluir uma secção intitulada Introdução bem como uma secção intitulada Conclusões.

Todos os programas MATLAB desenvolvidos devem aparecer em ANEXO ao trabalho.

Nota Final – Este trabalho deve ser apresentado, para avaliação, de duas formas distintas: numa versão PDF (a enviar para o professor responsável: carlos.paiva@lx.it.pt) e numa versão física, i.e., em papel (a entregar na Área Científica de Telecomunicações). Pode e deve ser utilizada a cor nas figuras – mesmo se a versão em papel for a preto e branco. Sugere-se que as figuras criadas em MATLAB sejam comentadas (com expressões matemáticas) em PowerPoint. Assim, as figuras criadas em MATLAB serão exportadas para o PowerPoint no formato TIFF. Da mesma forma, ao integrar as figuras do PowerPoint num documento WORD deve-se utilizar o formato TIFF. O WORD e o PowerPoint têm a possibilidade de integrar o programa MathType que melhora consideravelmente a escrita de fórmulas matemáticas.