Tópico 5
Números Complexos
Este capítulo trata da apresentação e manipulação de Números Complexos. Ressaltando sua ampla aplicação na matemática da ciência física.
5.1 A necessidade de números complexos
Embora números complexos ocorram em muitos ramos da matemática, eles surgem mais diretamente da resolução de equações polinomiais. Examinamos uma equação quadrática específica como exemplo.
Considere a equação quadrática
𝑧H + 1 = 0. (1) A equação (1) tem duas soluções, z1 e z2, de modo que
z₁, ₂ = ±√−1 (2)
Ambas as soluções contêm a raiz quadrada de um número negativo. No entanto, não é verdade dizer que existem soluções para as equações quadráticas. O teorema fundamental da álgebra afirma que as equações quadráticas sempre terão duas soluções e estas são de fato dadas por (2). O termo no interior da raiz é chamado de termo imaginário (𝒊), uma vez que contém a raiz quadrada de um número negativo. Logo, o termo imaginário é definido como
𝑖 = √−1 (3)
A representação convencional de um número complexo é 𝑧, onde 𝑧 é a soma de uma
parte real
𝑥 e 𝑖 vezes umaparte imaginária
𝑦, ou seja,𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (4)
Onde 𝑖 é usado para denotar a raiz quadrada de − 1. A parte real 𝑥 e a parte imaginária 𝑦 são geralmente denotadas por Re 𝑧 e Im 𝑧 respectivamente. Neste ponto, notamos que alguns cientistas físicos, em particular os engenheiros, usam 𝑗 em vez de 𝑖. Contudo, por coerência, vamos usar 𝑖 ao longo deste texto.
Assim 𝑥 = 0 e 𝑦 = ± 1
Por uma questão de compactação um número complexo é algumas vezes escrito na forma
𝑧 = (𝑥, 𝑦) (5) Onde os componentes de 𝑧 podem ser apresentadas como coordenadas em 𝑥𝑦, que numa representação gráfica é denominado
Diagrama
deArgand
(figura 1).Figura 1: Diagrama de Argand 5. 2 Manipulações de Números Complexos Esta seção apresentará a manipulação básica de números complexos. Alguma analogia pode ser feita com a manipulação vetorial. 5.2.1 Adição e Subtração A adição de dois números complexos, 𝑧₁ e z₂, em geral, tem como resultado, outro número complexo. Os componentes reais e os componentes imaginários são adicionados separadamente e de maneira semelhante à adição familiar de números reais 𝑧₁ + 𝑧₂ = (𝑥₁ + 𝑖𝑦₁) + (𝑥₂ + 𝑖𝑦₂) = (𝑥₁ + 𝑥₂) + 𝑖(𝑦₁ + 𝑦₂) (6) ou na notação de componente 𝑧₁ + 𝑧₂ = (𝑥₁, 𝑦₁) + (𝑥₂, 𝑦₂) = (𝑥₁ + 𝑥₂, 𝑦₁ + 𝑦₂) (7) Exemplo 1: Efetue a operação 𝑧m+ 𝑧H , onde 𝑧m = 5 − 2𝑖 𝑒 𝑧H = 6 + 3𝑖 Logo pela equação 6 𝑧m+ 𝑧H = (5 + 6) + 𝑖( −2 + 3) = 11 + 𝑖 𝑥 𝐼𝑚 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 𝑦 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Por aplicações diretas da comutatividade e da associatividade das partes real e imaginária separadamente, podemos mostrar que a adição de números complexos é ela mesma comutativa e associativa, ou seja, 𝑧₁ + 𝑧₂ = 𝑧₂ + 𝑧₁, (8) 𝑧₁ + (𝑧₂ + 𝑧₃) = (𝑧₁ + 𝑧₂, ) + 𝑧₃, (9) 5.2.2 Módulo e Argumento O módulo do número complexo 𝑧 é denotado por |𝑧| e é definido como |𝑧| = v𝑥H+ 𝑦H (10)
Portanto, o módulo dos números complexos é a distância do ponto de correspondência a partir da origem no diagrama de Argand, como pode ser visto na figura 2. O argumento do número complexo z é denotado por arg z e é definido como arg 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛{m(| }) (11) Figura 2: Módulo e argumento de um número complexo É o ângulo que a linha unindo a origem a z no diagrama Argand faz com o eixo x positivo. A direção anti-horária é considerada positiva por opção. O ângulo arg z é mostrado na figura 2. Devem ser considerados os sinais de x e y individualmente para determinar em que quadrante arg z se encontra. Assim, por exemplo, se x e y são ambos negativos, arg z está no ranger −𝜋 < arg 𝑧 < −𝜋/2. em vez de no quadrante de início (0 < arg 𝑧 < 𝜋/2), embora ambas as casas forneçam o mesmo valor para o argumento da função tangente inversa . 𝑥 𝐼𝑚 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 𝑦 |𝑧| arg 𝑧
Exemplo 2. Encontre o módulo e o argumento do número complexo 𝑧 = 2 − 3𝑖. Usando a equação (10), o modulo é dado por |𝑧| = v2H+ (−3)H = √13 e usando (11), para o cálculo do argumento arg 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛{m(−… H )
os dois ângulos de fase tangentes iguais a −1.5 são −0.9828
rad
e 2.1588 𝑟𝑎𝑑. Comoz
está claramente no quarto quadrante neste caso, arg z = - 0,9828 é a resposta apropriada.
5.2.3 Multiplicação
Números complexos podem ser multiplicados juntos e em geral fornecem um número complexo como resultado. O produto de dois números complexos z₁ e z₂ é encontrado multiplicando-os por completo e lembrando que 𝑖H = −1, ou seja 𝑧₁𝑧₂ = (𝑥₁ + 𝑖𝑦₁)(𝑥₂ + 𝑖𝑦₂) = 𝑥₁𝑥₂ + 𝑖𝑥₁𝑦₂ + 𝑖𝑦₁𝑥₂ + 𝑖H𝑦₁𝑦₂ 𝑧₁𝑧₂ = (𝑥m𝑥H− 𝑦m𝑦H) + 𝑖(𝑥₁𝑦₂ + 𝑦₁𝑥₂) (12) Exemplo 3. Multiplique os números complexos 𝑧₁ = 3 + 2𝑖 e 𝑧₂ = −1 − 4𝑖 Por multiplicação direta por meio de (12) encontramos 𝑧m𝑧H = (3 + 2𝑖)(−1 − 4𝑖) == −3 − 2𝑖 − 12𝑖 − 8𝑖H 𝑧m𝑧H = 5 − 14𝑖 A multiplicação de números complexos é tanto comutativa quanto associativa, ou seja, 𝑧₁𝑧₂ = 𝑧₂𝑧₁ (13) (𝑧₁𝑧₂)𝑧₃ = 𝑧₁(𝑧₂𝑧₃) (14) O produto de dois números complexos também tem as propriedades simples |𝑧₁𝑧₂| = |𝑧₁||𝑧₂| (15) arg (𝑧₁𝑧₂) = arg 𝑧₁ + 𝑎𝑟𝑔𝑧₂ (16)
Exemplo 4. Verificar que (15) vale para o produto de z₁ = 3 + 2𝑖 e 𝑧H = −1 − 4𝑖 A partir do resultado do exemplo 3 |z₁𝑧H| = |5 − 14𝑖| = v5H + (−14)H = √221 encontramos também |𝑧₁| = v3H + 2H = √13 |𝑧₂| = v(−1)H+ (−4)H = √17 e, portanto |𝑧₁||𝑧₂| = √13√17 = √221 = |𝑧₁𝑧₂| 5.2.4. Conjugado Complexo Se 𝑧 tem a forma conveniente 𝑥 + 𝑖𝑦 então o complexo conjugado por 𝑧* pode ser encontrado simplesmente mudando o canto da parte imaginária, ou seja, se 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 então 𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦 (17) Mais geralmente, podemos considerar o conjugado complexo de 𝑧 como o número (complexo) com a mesma magnitude que
z
que quando multiplicado porz
deixa um resultado real, isto é, não há componente imaginário no produto.
No caso em que 𝑧 pode ser escrito na forma 𝑥 + 𝑖𝑦, o produto 𝑧𝑧∗ tem um resultado real: 𝑧𝑧∗ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥H − 𝑖𝑥𝑦 + 𝑖𝑥𝑦 − 𝑖H𝑦H = 𝑥H+ 𝑦H = |𝑧|H O conjugado complexo corresponde a um reflexo de 𝑧 no eixo real do diagrama de Argand, como pode ser visto na figura 3.
Figura 3: Complexo conjugado como reflexo de 𝑧 no eixo real. Exemplo 4. Encontre o complexo conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 2𝑖 + 3𝑖𝑏. O número complexo é escrito no formulário padrão (coloca-se o 𝑖 em evidência) 𝑧 = 𝑎 + 𝑖(2 + 3𝑏) e, em seguida, reaparecendo 𝑖 por −𝑖 obtemos 𝑧 ∗= 𝑎 − 𝑖(2 + 3𝑏) em alguns casos, no entanto, pode não ser simples rearranjar a expressão para 𝑧 na forma e 𝑥 + 𝑖𝑦. No entanto, dados dois números complexos 𝑧₁ e 𝑧₂, é simples mostrar que o complexo conjugado de sua soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) de seus conjugados complexos, ou seja (𝑧₁ ± 𝑧₂)∗ = 𝑧₁∗± 𝑧₂∗ . Similarmente, pode ser mostrado que o conjugado complexo do produto (ou quociente) de 𝑧₁ e 𝑧₂ é igual ao produto (ou quociente) de seus conjugados complexos, ou seja (𝑧₁𝑧₂)∗ = 𝑧₁∗𝑧₂∗ e (𝑧₁/𝑧₂)∗ = 𝑧₁∗/𝑧₂∗ .Usando esses resultados, pode-se deduz-se que, por mais complicada que seja a expressão, o complexo conjugado sempre pode ser encontrado substituindo 𝑖 por −𝑖. Para aplicar esta regra, deve-se sempre assegurar que todas as partes complexas são escritas na íntegra, de modo que nenhum 𝑖`s estejam escondidos. 𝑥 𝐼𝑚 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 𝑦 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑧∗= 𝑥 − 𝑖𝑦 −𝑦
Outras Propriedades do Conjugado Complexo 1. (𝑧∗)∗ = 𝑧 2. 𝑧 + 𝑧∗ = 2𝑅𝑒 𝑧 = 2𝑥 3. 𝑧 − 𝑧∗ = 2𝑖𝐼𝑚 𝑧 = 2𝑖𝑦 4. Ž Ž∗ = • }• { |• }•‘ |•’ + 𝑖 • H}| }•‘ |•’ 5.2.5 Divisão
A divisão de dois números complexos 𝑧₁ e z₂ é semelhante à sua multiplicação. Escrevendo a forma do quociente, obtemos
(z₁)/(z₂)= (𝑥m+ 𝑖𝑦m)/(𝑥H+ 𝑖𝑦H ) (18)
A fim de prosseguir, desejamos separar os componentes reais e imaginários do quociente. Isso pode ser alcançado multiplicando-se tanto o numerador quanto o denominador ou pelo complexo conjugado de denominador. Esse processo, por definição, deixará o denominador como uma quantidade real. A equação (18) tem como resultado 𝑧m 𝑧H = 𝑥m𝑥H+ 𝑦m𝑦H 𝑥HH+ 𝑦 HH + 𝑖𝑥H𝑦m− 𝑥m𝑦H 𝑥HH+ 𝑦 HH (19)
Portanto, separamos o quociente em componentes reais e imaginários. No caso especial em que 𝑧₂ = 𝑧m∗ de modo que 𝑥₂ = 𝑥₁ e 𝑦₂ = −𝑦₁ , o resultado geral reduz para propriedade 4.
Exemplo 4. Encontre o quociente
𝑧 = 3 − 2𝑖 −1 + 4𝑖
Multiplicando numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador obtemos
𝑧 = (3 − 2𝑖)(−1 − 4𝑖) (−1 + 4𝑖)(−1 − 4𝑖) = −11 − 10i 17 = −11 17− 10 17𝑖. 5.3 Representação Polar de Números Complexos Embora considerar um número complexo como a soma de uma parte real e uma parte imaginária seja útil, às vezes a representação polar se mostra mais fácil de manipular. Isso faz, com uso da função exponencial complexa, que é definida por 𝑒Ž = exp 𝑧 ≡ 1 + 𝑧 +Ž• H! + Ž• …! + ⋯ (20) Estritamente falando, é a função exp 𝑧 que é definida por (20). O número 𝑒 é o valor de exp (1), isto é, apenas um número. No entanto, pode ser mostrado que 𝑒Ž e 𝑒𝑥𝑝 𝑧 são equivalentes quando z é real e racional e os matemáticos então definem sua equivalência para o irracional e complexo 𝑧. Para os propósitos deste texto, assumimos que (20) é válido para todo 𝑧. Multiplicando (20) por dois números complexos, teremos 𝑒Ž₁𝑒Ž₂ = 𝑒Ž₁‘Ž₂ (21) o que é análogo ao resultado familiar para exponenciais de números reais. De (2.19), segue-se imediatamente que, para 𝑧 = 𝑖𝜃 , considerando 𝜃 real 𝑒™š = 1 + 𝑖𝜃 −𝜃H 2! + 𝜃… 3! + ⋯ = 1 −𝜃H 2! + 𝜃› 4! + ⋯ + 𝑖 œ𝜃 − 𝜃… 3! + 𝜃• 5! − ⋯ ž e, portanto 𝑒™š = cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (22)
onde a última igualdade decorre da expansão das funções trigonométricas e é chamada de
equação de Euler
.Que para todo
n
𝑒™¡š = cos 𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 Segue também de (22), multiplicando em ambos os lados por
r
e usando a figura 4, deduzimos que𝑧 = 𝑟𝑒™š = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) (23) = 𝑥 + 𝑖𝑦 Figura 4: Representação Polar de um número complexo Assim, um número complexo pode ser representado na forma polar 𝑧 = 𝑟𝑒™š (24) Referindo-nos à figura 4, podemos identificar 𝑟 com |𝑧| e θ com arg 𝑧. 𝑟 = |𝑧| (25) 𝑡𝑔𝜃 =𝑦 𝑥 A simplicidade da representação do módulo e do argumento é uma das principais razões para usar a representação polar. O ângulo 𝜃 é convencionalmente no intervalo −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 ..., mas, desde a rotação por θ é o igual a rotação por 2𝑛𝜋 + 𝜃, onde
n
é qualquer inteiro𝑟𝑒™š ≡ 𝑟𝑒™(š‘H¡¤)
A álgebra da representação polar é diferente daquela da representação real e imaginária, embora, é claro, os resultados sejam idênticos. Algumas operações se mostram muito mais fáceis na representação polar, outras muito mais complicadas. As melhores representações para um problema em particular devem ser determinadas pela manipulação requerida. 5.3.1multiplicação e divisão em forma polar Multiplicação e divisão na forma polar são particularmente simples. 𝑥 𝐼𝑚 𝑧 𝑅𝑒 𝑧 𝑦 𝑟 𝜃 𝑧 = 𝑟𝑒™š
𝑧₁𝑧₂ = 𝑟₁𝑒™š₁𝑟₂𝑒™š₂
= 𝑟₁𝑟₂𝑒™(š₁‘š₂) As relações do modulo e argumento
|𝑧₁𝑧₂| = |𝑧₁||𝑧₂| e arg (𝑧₁𝑧₂) =arg𝑧₁ + arg 𝑧₂ seguem imediatamente. A divisão é igualmente simples em forma polar; o quociente de 𝑧₁ e 𝑧₂ é dado por Ž₁ Ž₂ = ¦₁§¨©₁ ¦₂§¨©₂ = ¦ª ¦•𝑒 ™(š₁{š₂) (26) E as relações do modulo e argumento
|𝑧₁/𝑧₂| = |𝑧₁|/|𝑧₂| e arg (𝑧₁/𝑧₂) = arg 𝑧₁ − arg 𝑧₂ 5.4 Teorema de de Moivres Nós agora derivamos um teorema extremamente importante. Visto que (𝑒™š)ⁿ = 𝑒™¡š temos (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃)ⁿ = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 (27) Onde a identidade 𝑒™¡š = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
este resultado é chamado de
teorema de de Moivres
e é frequentemente usado na manipulação de números complexos. O teorema é válido para todo 𝑛, seja real, imaginário ou complexo.Ou ainda, usando (24) e (27)
𝑧¡ = 𝑟¡(cos (𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃))
5.4.1 Identidades trigonométricas
A busca das identidades trigonométricas são melhor ilustradas por meio do teorema de
de Moivre
no exemplo abaixo:Exemplo 5. Expressar 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 e cos 3𝜃 em termos de cos 𝜃 e 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Usando o teorema de
de Moivre
para 𝑛 = 3cos 3𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃)…
= (𝑐𝑜𝑠…𝜃 − 3 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛H𝜃) + 𝑖(3 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑐𝑜𝑠H𝜃 − 𝑠𝑒𝑛³𝜃)
Na equação acima, podemos igualar os coeficientes reais e imaginários separadamente, ou seja, 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 = 𝑐𝑜𝑠…𝜃 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛H 𝜃 = 4 𝑐𝑜𝑠…𝜃 − 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠H𝜃 − 𝑠𝑒𝑛…𝜃 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4 𝑠𝑒𝑛…𝜃. Este método pode ser generalizado para encontrar expansões de cos 𝑛𝜃 e 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 para qualquer número inteiro 𝑛. O processo inverso usa as seguintes propriedades de 𝑧 = 𝑒™š, 𝑧¡+ m Ž¯ = 2 cos 𝑛𝜃 (28) 𝑧¡− m Ž¯ = 2𝑖 sen 𝑛𝜃 (29)
As deduções de (28) e (29) resultam da aplicação simples do termo
de Moivres
, ou seja, 𝑧¡+ 1 𝑧¡ = (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)¡+ (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃){¡ = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 + cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(−𝑛𝜃) = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 + cos 𝑛𝜃 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 = 2 cos 𝑛𝜃, e 𝑧¡+ 1 𝑧¡ = (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)¡− (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃){¡ = 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 − cos 𝑛𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 = 2𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃z +1 𝑧 = 𝑒™š + 𝑒{™š = 2 cos 𝜃 (30) z −1 𝑧 = 𝑒™š + 𝑒{™š = 2𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (31) Exemplo 6. Encontre uma expressão para 𝑐𝑜𝑠…𝜃 em termos de 𝑐𝑜𝑠 3𝜃 e 𝑐𝑜𝑠 𝜃 Elevando a equação (30) ao cubo, temos 𝑐𝑜𝑠… = 1 2…°𝑧 + 1 𝑧± … = 1 8°𝑧… + 3𝑧 + 3 𝑧+ 1 𝑧…± = 1 8°𝑧…+ 1 𝑧…± + 3 8+ °𝑧 + 1 𝑧± Agora usando (28) e (30), encontramos 𝑐𝑜𝑠…𝜃 = 1 4𝑐𝑜𝑠 3𝜃 + 3 4𝑐𝑜𝑠𝜃
Este resultado passa a ser um simples rearranjo do exemplo 5, mas casos envolvendo valores maiores de
n
são melhor manipulados usando este método direto do que rearranjando expansões polinomiais de funções de ângulos múltiplos.
5.4.2 Encontrando as enésimas raízes da unidade
A equação 𝑧H = 1 tem as soluções familiares 𝑧 = ±1. No entanto, agora que introduzimos o conceito de números complexos, podemos resolver a equação geral 𝑧ⁿ = 1. Relembrando o teorema fundamental da álgebra. sabemos que a equação tem n soluções. Para prosseguir, reescrevemos a equação como 𝑧ⁿ = 𝑒H™²¤ onde
k
é qualquer inteiro. Agora, pegando a enésima raiz de cada lado da equação, encontramos 𝑧 = 𝑒H™²¤/¡ Portanto, as soluções de 𝑧ⁿ = 1 são 𝑧₁, ₂, … , 𝑛 = 1, 𝑒H™¤/¡ , ..., 𝑒H™(¡{m)¤/¡correspondendo aos valores 0,1,2, … , (𝑛 − 1) para 𝑘. Valores inteiros maiores de
k
não fornecem novas soluções, uma vez que as raízes listadas são ciclicamente para 𝑘 = 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, etc. Exemplo 7 Encontre as soluções para a equação 𝑧… = 1. Aplicando o método acima, encontramos ... 𝑧 = 𝑒H™²¤/… por isso, as três soluções são 𝑧₁ = 𝑒¶™ = 1, 𝑧₂ = 𝑒H™¤/…, 𝑧₃ = 𝑒›™²¤/…. Observamos, como esperado, a próxima solução, para a qual 𝑘 = 3 𝑧› = 𝑒·™¤/… = 1 = 𝑧m,de modo que existam apenas três soluções separadasNão é de surpreender que, dado que |𝑧³| = |𝑧|³da equação (15), todas as raízes da unidade possuem módulo de unidade, ou seja, todas elas se encontram em um círculo no
diagrama de
Argand
de raio unitário. As três raízes são mostradas na figura 5. Figura 5. Soluções de 𝑧…= 1 1 𝐼𝑚 𝑧 2𝜋/3 𝑒H™¤/… 𝑅𝑒 𝑧 𝑒{H™¤/… 2𝜋/35.4.3 Resolvendo equações polinomiais
Uma terceira aplicação do teorema de
de Movres
é na resolução de equações polinomiais. Equações complexas na forma de uma relação polinomial devem ser resolvidas para 𝑧 de maneira similar ao método para encontrar as raízes de equações polinomiais reais. Exemplo 8 Resolva a equação 𝑧·− 𝑧• + 4𝑧›− 6𝑧…+ 2𝑧H − 8𝑧 + 8 = 0 Nós primeiro fatoramos para dar (𝑧… − 2)(𝑧H+ 4)(𝑧 − 1) = 0Com isso encontramos as soluções 𝑧… = 2 ou 𝑧H = −4 ou 𝑧 = 1 .
As soluções para as equações quadráticas 𝑧H = −4 são 𝑧 = ±2𝑖 e para encontrar as raízes cúbicas complexas, nós escrevemos as equações na forma
𝑧… = 2 = 2𝑒H™²¤ onde 𝑘 é qualquer inteiro. Portanto a raiz cúbica será
𝑧 = 2m/…𝑒H™²¤/….
Para evitar a duplicação da solução, usamos o fato de que −𝜋 < arg 𝑧 ≤ 𝜋 encontramos. 𝑧 = 2m/… 𝑧₂ = 2m/…𝑒H¤™/… = 2m/…œ−1 2+ √3 2 𝑖ž 𝑧₃ = 2m/…𝑒{H¤™/… = 2m/…œ−1 2+ √3 2 𝑖ž
Os números complexos 𝑧₁, 𝑧₂ e 𝑧₃ juntamente com 𝑧₄ = 2𝑖, 𝑧₅ = −2𝑖 e 𝑧₆ = 1 são as soluções para a equação polinomial original.
Como esperado do teorema fundamental da álgebra, descobrimos que o número total de raízes complexas (seis, neste caso) é igual à maior potência de 𝑧 no polinômio.
Um resultado útil é que as raízes de um polinômio com coeficientes reais ocorrem em pares conjugados (ou seja, se 𝑧₁ é uma raiz, então 𝑧₁∗ é uma segunda raiz distinta, a menos que 𝑧₁ seja real.
5.5 Logaritmos Complexos
O conceito de um exponencial complexo já foi introduzido na seção 5.3, onde se assumiu que a definição de um exponencial como uma série era válida para números complexos, bem como para números reais. Da mesma forma, podemos definir o logaritmo de um número complexo e podemos usar números complexos como expoentes. Vamos denotar o logaritmo natural de um número complexo 𝑧 por 𝑤 = 𝑙𝑛 𝑧 onde a notação 𝑙𝑛 será explicada em breve. Assim, 𝑤 deve satisfazer 𝑧 = 𝑒¾ Usando (21), temos que 𝑧₁𝑧₂ = 𝑒¾₁𝑒¾₂ = 𝑒¾₁‘¾₂ e tomando logaritmos de ambos os lados encontramos 𝑙𝑛(𝑧₁𝑧₂) = 𝑤₁ + 𝑤₂ = 𝑙𝑛 𝑧₁ + 𝑙𝑛 𝑧H (32) O que mostra que a regra familiar para o logaritmo do produto de dois números reais também se aplica a números complexos. 2.6 Aplicações para diferenciação e integração Podemos usar a forma exponencial de um número complexo junto com o teorema de
de Movres
(ver seção 5.4) para simplificar a diferenciação de funções trigonométricas.
Exemplo 8 Encontre a derivada em relação 𝑥 de 𝑒…}cos 4𝑥.
Poderíamos diferenciar essas funções por meio do uso da regra do produto. Entretanto, um método alternativo neste caso é usar o exponencial complexo. Vamos considerar o número complexo
onde usamos o teorema de
de Moivre
para reescrever as funções trigonométricas como um exponencial complexo. Este número complexo tem 𝑒…} cos 4𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑜 sua parte real. Agora, diferenciando 𝑧 em relação a 𝑥, obtemos𝑑𝑧
𝑑𝑥 = (3 + 4i)𝑒(…‘›™)} = (3 + 4𝑖)𝑒…}(cos 4𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 4𝑥) (33) onde nós usamos novamente o teorema de
de Moivres
. Igualando partes reais e imaginárias de (33), encontramos 𝑑 𝑑𝑥(𝑒…}cos 4𝑥) = 𝑒…}(3 cos 4𝑥 − 4 𝑠𝑒𝑛 4𝑥) 𝑑 𝑑𝑥(𝑒…} 𝑠𝑒𝑛 4𝑥) = 𝑒…}(4 cos 4𝑥 + 3 𝑠𝑒𝑛 4𝑥) de maneira similar, o exponencial complexo pode ser usado para avaliar integrais contendo funções trigonométricas e exponenciais. Exemplo 9 Calcular a integral 𝐼 = ∫ 𝑒À}cos 𝑏𝑥𝑑𝑥 Vamos considerar o integrando como a parte real do número complexo 𝑒À}(cos 𝑏𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥) = 𝑒À}𝑒™Á} = 𝑒(À‘™Á)},onde usamos o teorema de
de Moivre
para reescrever as funções trigonométricas como um exponencial complexo. Integrando encontramos  𝑒(À‘™Á)}𝑑𝑥 = 𝑒 (À‘™Á)} 𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝐶 = (𝑎 + 𝑖𝑏)𝑒(À‘™Á)} (𝑎 − 𝑖𝑏)(𝑎 + 𝑖𝑏)+ 𝐶 = 𝑒 À} 𝑎H + 𝑏HÄ𝑎𝑒™Á} − 𝑖𝑏𝑒™Á}Å + 𝐶 (34) onde a constante da integraçãoC
é em geral complexo. Denotando esta constante por 𝐶 = 𝑐₁ + 𝑖𝑐₂ e igualando partes reais de (34) obtemos 𝐼 = Â 𝑒À} 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥𝑑𝑥 = 𝑒À} 𝑎H+ 𝑏H(𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 − 𝑏 sen 𝑏𝑥) + 𝑐₁EXERCÍCIOS
1. Se 𝑧m = 2 + 4𝑖 e 𝑧H = −3 + 8𝑖, determine (a) 𝑧m+ 𝑧H (b) 𝑧m. 𝑧H 2. Nas expressões abaixo, escreva o número indicado na forma 𝑎 + 𝑏𝑖 (a) 2𝑖… − 3𝑖H + 5𝑖 (b) 𝑖È (c) 𝑖(5 + 7𝑖) (d) H{›™ …‘•™ 3. Seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖. Determine a expressão indicada (a) Re(𝑧H) (b) |𝑧 − 1 − 3𝑖| (c) |𝑧 − 5𝑧̅| 4. Expresse 1 − √3𝑖 na forma polar. 5. Calcule 𝑧… para 𝑧 = 1 − √3𝑖.
