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Números complexos slides

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Academic year: 2019

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Texto

(1)

Par ordenado;

Forma algébrica;

(2)

“Nem

sempre

as

raízes

verdadeiras (positivas) ou

falsas (negativas) de uma

equação são reais. As vezes

elas são imaginárias".

(3)
(4)

Corpo dos números complexos

Seja ℝ o conjunto dos números reais.

Consideremos o produto cartesiano ℝ x ℝ = ℝ ²:

²= {(x, y)| x

ϵ

e y

ϵ

}

Isto é, ϵ ℝ ² o conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y são números reais.

Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c, d), de ℝ ²

para dar as seguintes definições:

Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a= c e b = d Adição: (a, b) + (c, d) = (a +c, b+d)

(5)

Definição: Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por , o conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação.

(6)

Teoremas:

1) A estrutura de

adição

em possui as

seguintes propriedades:

Associativa:

𝒛

𝟏

+ (

𝒛

𝟐

+

𝒛

𝟑

) = (

𝒛

𝟏

+

𝒛

𝟐

) +

𝒛

𝟑

Comutativa:

𝒛

𝟏

+

𝒛

𝟐

=

𝒛

𝟐

+

𝒛

𝟏

Existência do elemento neutro:

𝒛

𝟏

+ (0,0) =

𝒛

𝟏

Existência do elemento simétrico:

Se

𝒛

𝟏

= (a,b) e

𝒛

𝟐

= (-a, - b), então

𝒛

𝟏

(7)

2

)

A estrutura de

multiplicação

em

possui as seguintes propriedades:

Associativa:

Comutativa:

Existência do elemento neutro:

e

n

= (1,0)

Existência do elemento inverso:

Fazendo

z = (a, b), com a ≠ 0 ou b ≠ 0,

existe z’’ = (x, y) tal que z. z’’=

e

n

.

z'’ =

𝒂

𝒂²+𝒃²

,

−𝒃

𝒂²+𝒃²

. Desta maneira, fica

definida a divisão, pois

𝒛𝟏

𝒛𝟐

=

𝒛

𝟏

.

𝒛

𝟐

′′

.

(8)

 Demonstração

Se z = (a,b), z’’=(x,y) e z.z’’ = (1,0), então: z.z’’=(a.x – b.y, a.y + bx) = (1,0)

a.x – b.y = 1 a.y + bx = 0 a.y + bx = 0 -> x=−𝑎𝑦

𝑏

Substituindo na primeira equação:

a. −𝑎𝑦

𝑏 – b.y = 1 →

−𝑎2𝑦−𝑏2𝑦

𝑏 = 1 →

−𝑦(𝑎2+𝑏2)

𝑏 = 1

y= −𝒃

𝒂²+𝒃² e x=

−𝒂.(𝒂²+𝒃²−𝒃 )

𝒃 =

(9)

Seja 𝑧1 = (1, 2) e 𝑧2 = (3, 4), calcule:

𝒛

𝟏

+

𝒛

𝟐

=

(1, 2) + (3, 4) = (4, 6)

𝒛

𝟏

.

𝒛

𝟐

=

(1, 2).(3, 4) = (1.3

2.4, 1.4 + 2.3) = (-5, 10)

(10)

𝒛𝟏

𝒛𝟐 =

𝒛

𝟐

′′ =

𝟑²+𝟒²𝟑

,

𝟑²+𝟒²−𝟒

=

𝟑

𝟐𝟓

,

−𝟒

𝟐𝟓

Logo, 𝒛𝟏

𝒛𝟐 = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐’’

Temos, portanto, que:

𝒛𝟏

𝒛𝟐 = (1, 2). 𝟑 𝟐𝟓

,

−𝟒

𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟑

𝟐𝟓 − 𝟐.

−𝟒

𝟐𝟓

,

𝟏. −𝟒 𝟐𝟓

+ 𝟐

. 𝟐𝟓𝟑

=

𝒛𝟏

𝒛𝟐

=

𝟏𝟏 𝟐𝟓

,

𝟐 𝟐𝟓

(11)

Unidade imaginária

Chamamos unidade imaginária e representamos por

i o número complexo (0,1).

Notemos que i² = (0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1,0).

Isto é, a propriedade básica da unidade imaginária é: i² = -1.

Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, encontramos que:

i = −𝟏  i² = -1.

i³ = i.i² = -i

(12)

1047

3

4

261

i

1047

= i

3

= -i

(13)

Forma algébrica dos números

complexos

Um número complexo é uma expressão da forma

a + bi, onde a e b são números reais e i = −1

(ou i² = -1). No número complexo z = a + bi, a é

chamada parte real e b é dominada parte

(14)

8 + 0i =>

Número real

3 + 2i =>

Número complexo

(15)

Operações:

Adição: a soma de dois números complexos z = a +

bi e w = c + di é o número complexo definido por:

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Subtração: a diferença de dois números complexos

z = a + bi e w = c + di é o número complexo definido por:

z - w = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Multiplicação: o produto de dois números

complexos z = a + bi e w = c + di é o número

complexo definido por:

(16)

Divisão: para fazermos o quociente entre dois

números complexos, utilizamos o conjugado do

denominador na operação.

Conjugado: O conjugado de um número complexo

z = a + bi é o complexo 𝑧 = a – bi.

Ex.: Se z = 2 + 3i, 𝒛 = 2 3i

Assim, dados os números complexos z = a + bi e w

= c + di, w ≠ 0, o quociente

𝒛

𝒘

é determinado

(17)

a) (1 + 2i) + (3 + 4i) = (1 + 3) + (2 + 4)i = 4 + 6i

b) (1 + 2i).(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i² =3 + 10i + 8.(-1)

(1 + 2i).(3 + 4i) = -5+ 10i

(18)

c) = . =

i

i

4

3

2

1

i

i

4

3

4

3

25 2 11 16 9 8 2 3 ) 1 .( 16 9 ) 1 ( 8 6 4 3 )² 4 ( ² 3 ² 8 6 4

3 i i i i

(19)

Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas é a reta dos números reais e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denominado plano de Argand-Gauss.

Exemplo:

1 2 3 4 4

3 2 1

z = 3 + 2i y (reta imaginária)

(20)

No gráfico, o módulo de um número complexo z = a + bi é o segmento de reta que vai do ponto origem

O(0,0) até o ponto do P(a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o

eixo das abscissas em sentido anti-horário.

P =(a, b)

(21)

2 2

b

a

a

b

a

b

tan

cos

sin

P

=arg(z)

a

b

Legenda:

a² + b² = norma

= módulo

= argumento P = afixo de z

xOy = plano de Argand-Gauss Ox = eixo real

Ou = eixo imaginário

bi

a

(22)

 

 

 

 

cos cos

sin sin

 

  

a a

b b

bi

a

z

i

sen

z

.

cos

.

.

)

.

(cos

i

sen

(23)

Representar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 1 + i 𝟑 e passar para a forma trigonométrica

1 2 3 4 4

3 2 1

y (reta imaginária)

x (reta dos reais)

1 + i 𝟑

(24)

) 3 3

(cos

2

isen

z  

(25)

 Para multiplicar números complexos na forma trigonométrica utilizamos a fórmula:

cos(

1 2

)

(

1 2

)

2 1 2

1

z

isen

z



(cos .cos . ) ( .cos cos . )

. . . ) . ² cos . . cos cos . .(cos . . ) )(cos .(cos . . ) (cos . ) (cos . : ) (cos ) (cos : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1                                       sen sen i sen sen z z sen sen i isen sen i z z isen isen z z isen isen z z Temos isen z isen z Considere                  

cos(

1 2

)

(

1 2

)

2 1 2

1

z

isen

z

Demonstração:

(26)

 A fórmula para efetuar a divisão entre dois números complexos na forma trigonométrica é a seguinte:

1 2 1 2

2 1 2

1

cos

(27)

1 . ) ( ) cos( ) ² ² (cos ) . cos cos . ( ) . cos . (cos ) ² ² ² (cos ) . cos cos . . ² cos . (cos 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1                                             isen z z sen sen sen i sen sen z z sen i isen isen sen sen i z z

1 2 1 2

2 1

2 1

cos

(28)

 Para efetuar a potenciação entre números complexos na forma trigonométrica utilizamos esta fórmula:

 

 

n

isen

n

z

n

n

cos

1ª Fórmula de Moivre

Uma observação interessante:

                                                                                                    

cos 3 3 .

(29)

2ª Fórmula de Moivre

 De forma análoga à potenciação, para efetuar a radiciação com números complexos na forma trigonométrica utilizamos a fórmula:                       n k isen n k

w ncos  2   2 

Demonstração: n k sen n sen n k n r r Considere n n             2 ) ( 2 cos ) cos( :            )) ( ) (cos( ) .(cos ) (cos :        n isen n r w z w z w isen r w isen z Considere n n n n                                n k isen n k

w ncos  2   2 

(30)

(

-

1 +

𝒊)

𝟔

Passando z = -1 + i pra forma trigonométrica: x = -1 e y = 1

Logo,

2

² 1 )²

1 (

 

 

2

² 1 )² 1 (

 

 

2 2 2

1 cos

2 2 2

1

 

 

 

sen

4 3

4

 

 

 

)

4

3

4

3

(cos

2

isen

(31)

 Aplicando a primeira fórmula de Moivre:

)

2

2

(cos

2

)

2

9

2

9

(cos

2

)

4

3

.

6

4

3

.

6

(cos

)

2

(

3 6

3 6

6 6

isen

z

isen

z

isen

z

 

 

n

isen

n

z

n

n

cos

)

4

3

4

3

(cos

2

isen

(32)

 Calcule as raízes cúbicas de 8.

z = 8 + 0i

1 8 8 cos 0 8 0 8 ² 0 ² 8               x y sen Lembrete: 0   ) 0 0 (cos

8   

isen

z

Aplicando a segunda fórmula de Moivre:

3

2

0

3

2

0

cos

8

3

k

isen

k

(33)

)

0

0

.(cos

8

0

3

isen

w

k

3

2

3

2

cos

8

1

3

isen

w

k

3

4

3

4

cos

8

2

3

isen

w

(34)

Ex.:

𝟑

𝟖

- 1 + i 𝟑

(35)

 𝑛 𝑧 pode assumir n valores distintos, porém todos com o mesmo módulo. Assim, os afixos das n raízes enésimas de são pontos da

mesma circunferência com centro na origem do plano de

Argand-Gauss e raio 𝑛 |𝑧|;

 Os argumentos principais de 𝑛 𝑧 formam uma progressão aritmética

que começa com 𝜃

𝑛 e tem razão

𝑛 . Assim, os afixos das n raízes

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