•
Par ordenado;
•
Forma algébrica;
“Nem
sempre
as
raízes
verdadeiras (positivas) ou
falsas (negativas) de uma
equação são reais. As vezes
elas são imaginárias".
Corpo dos números complexos
Seja ℝ o conjunto dos números reais.
Consideremos o produto cartesiano ℝ x ℝ = ℝ ²:
ℝ
²= {(x, y)| x
ϵ
ℝ
e y
ϵ
ℝ
}
Isto é, ϵ ℝ ² o conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y são números reais.
Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c, d), de ℝ ²
para dar as seguintes definições:
Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a= c e b = d Adição: (a, b) + (c, d) = (a +c, b+d)
Definição: Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por , o conjunto dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação.
Teoremas:
1) A estrutura de
adição
em possui as
seguintes propriedades:
Associativa:
𝒛
𝟏+ (
𝒛
𝟐+
𝒛
𝟑) = (
𝒛
𝟏+
𝒛
𝟐) +
𝒛
𝟑
Comutativa:
𝒛
𝟏+
𝒛
𝟐=
𝒛
𝟐+
𝒛
𝟏
Existência do elemento neutro:
𝒛
𝟏+ (0,0) =
𝒛
𝟏
Existência do elemento simétrico:
Se
𝒛
𝟏= (a,b) e
𝒛
𝟐= (-a, - b), então
𝒛
𝟏2
)
A estrutura de
multiplicação
em
possui as seguintes propriedades:
Associativa:
Comutativa:
Existência do elemento neutro:
e
n= (1,0)
Existência do elemento inverso:
Fazendo
z = (a, b), com a ≠ 0 ou b ≠ 0,
existe z’’ = (x, y) tal que z. z’’=
e
n.
z'’ =
𝒂𝒂²+𝒃²
,
−𝒃
𝒂²+𝒃²
. Desta maneira, fica
definida a divisão, pois
𝒛𝟏𝒛𝟐
=
𝒛
𝟏.
𝒛
𝟐′′
.
Demonstração
Se z = (a,b), z’’=(x,y) e z.z’’ = (1,0), então: z.z’’=(a.x – b.y, a.y + bx) = (1,0)
a.x – b.y = 1 a.y + bx = 0 a.y + bx = 0 -> x=−𝑎𝑦
𝑏
Substituindo na primeira equação:
a. −𝑎𝑦
𝑏 – b.y = 1 →
−𝑎2𝑦−𝑏2𝑦
𝑏 = 1 →
−𝑦(𝑎2+𝑏2)
𝑏 = 1
y= −𝒃
𝒂²+𝒃² e x=
−𝒂.(𝒂²+𝒃²−𝒃 )
𝒃 =
Seja 𝑧1 = (1, 2) e 𝑧2 = (3, 4), calcule:
𝒛
𝟏+
𝒛
𝟐=
(1, 2) + (3, 4) = (4, 6)
𝒛
𝟏.
𝒛
𝟐=
(1, 2).(3, 4) = (1.3
–
2.4, 1.4 + 2.3) = (-5, 10)
𝒛𝟏
𝒛𝟐 =
𝒛
𝟐′′ =
𝟑²+𝟒²𝟑,
𝟑²+𝟒²−𝟒=
𝟑𝟐𝟓
,
−𝟒𝟐𝟓
Logo, 𝒛𝟏
𝒛𝟐 = 𝒛𝟏. 𝒛𝟐’’
Temos, portanto, que:
𝒛𝟏
𝒛𝟐 = (1, 2). 𝟑 𝟐𝟓
,
−𝟒
𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟑
𝟐𝟓 − 𝟐.
−𝟒
𝟐𝟓
,
𝟏. −𝟒 𝟐𝟓+ 𝟐
. 𝟐𝟓𝟑=
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝟏𝟏 𝟐𝟓
,
𝟐 𝟐𝟓
Unidade imaginária
Chamamos unidade imaginária e representamos por
i o número complexo (0,1).
Notemos que i² = (0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1,0).
Isto é, a propriedade básica da unidade imaginária é: i² = -1.
Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, encontramos que:
i = −𝟏 i² = -1.
i³ = i.i² = -i
1047
3
4
261
i
1047
= i
3
= -i
Forma algébrica dos números
complexos
Um número complexo é uma expressão da forma
a + bi, onde a e b são números reais e i = −1
(ou i² = -1). No número complexo z = a + bi, a é
chamada parte real e b é dominada parte
8 + 0i =>
Número real
3 + 2i =>
Número complexo
Operações:
Adição: a soma de dois números complexos z = a +
bi e w = c + di é o número complexo definido por:
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Subtração: a diferença de dois números complexos
z = a + bi e w = c + di é o número complexo definido por:
z - w = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Multiplicação: o produto de dois números
complexos z = a + bi e w = c + di é o número
complexo definido por:
Divisão: para fazermos o quociente entre dois
números complexos, utilizamos o conjugado do
denominador na operação.
Conjugado: O conjugado de um número complexo
z = a + bi é o complexo 𝑧 = a – bi.
Ex.: Se z = 2 + 3i, 𝒛 = 2 – 3i
Assim, dados os números complexos z = a + bi e w
= c + di, w ≠ 0, o quociente
𝒛
𝒘
é determinadoa) (1 + 2i) + (3 + 4i) = (1 + 3) + (2 + 4)i = 4 + 6i
b) (1 + 2i).(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i² =3 + 10i + 8.(-1)
(1 + 2i).(3 + 4i) = -5+ 10i
c) = . =
i
i
4
3
2
1
i
i
4
3
4
3
25 2 11 16 9 8 2 3 ) 1 .( 16 9 ) 1 ( 8 6 4 3 )² 4 ( ² 3 ² 8 6 43 i i i i
Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas é a reta dos números reais e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denominado plano de Argand-Gauss.
Exemplo:
1 2 3 4 4
3 2 1
z = 3 + 2i y (reta imaginária)
No gráfico, o módulo de um número complexo z = a + bi é o segmento de reta que vai do ponto origem
O(0,0) até o ponto do P(a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o
eixo das abscissas em sentido anti-horário.
P =(a, b)
2 2
b
a
a
b
a
b
tan
cos
sin
P
=arg(z)
a
b
Legenda:
a² + b² = norma
= módulo
= argumento P = afixo de z
xOy = plano de Argand-Gauss Ox = eixo real
Ou = eixo imaginário
bi
a
cos cos
sin sin
a a
b b
bi
a
z
i
sen
z
.
cos
.
.
)
.
(cos
i
sen
Representar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 1 + i 𝟑 e passar para a forma trigonométrica
1 2 3 4 4
3 2 1
y (reta imaginária)
x (reta dos reais)
1 + i 𝟑
) 3 3
(cos
2
isen
z
Para multiplicar números complexos na forma trigonométrica utilizamos a fórmula:
cos(
1 2)
(
1 2)
2 1 2
1
z
isen
z
(cos .cos . ) ( .cos cos . )
. . . ) . ² cos . . cos cos . .(cos . . ) )(cos .(cos . . ) (cos . ) (cos . : ) (cos ) (cos : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 sen sen i sen sen z z sen sen i isen sen i z z isen isen z z isen isen z z Temos isen z isen z Considere
cos(
1 2)
(
1 2)
2 1 2
1
z
isen
z
Demonstração:
A fórmula para efetuar a divisão entre dois números complexos na forma trigonométrica é a seguinte:
1 2 1 2
2 1 2
1
cos
1 . ) ( ) cos( ) ² ² (cos ) . cos cos . ( ) . cos . (cos ) ² ² ² (cos ) . cos cos . . ² cos . (cos 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 isen z z sen sen sen i sen sen z z sen i isen isen sen sen i z z
1 2 1 2
2 1
2 1
cos
Para efetuar a potenciação entre números complexos na forma trigonométrica utilizamos esta fórmula:
n
isen
n
z
n
ncos
1ª Fórmula de Moivre
Uma observação interessante:
cos 3 3 .
2ª Fórmula de Moivre
De forma análoga à potenciação, para efetuar a radiciação com números complexos na forma trigonométrica utilizamos a fórmula: n k isen n k
w n cos 2 2
Demonstração: n k sen n sen n k n r r Considere n n 2 ) ( 2 cos ) cos( : )) ( ) (cos( ) .(cos ) (cos : n isen n r w z w z w isen r w isen z Considere n n n n n k isen n k
w n cos 2 2
(
-
1 +
𝒊)
𝟔Passando z = -1 + i pra forma trigonométrica: x = -1 e y = 1
Logo,
2
² 1 )²
1 (
2
² 1 )² 1 (
2 2 2
1 cos
2 2 2
1
sen
4 3
4
)
4
3
4
3
(cos
2
isen
Aplicando a primeira fórmula de Moivre:
)
2
2
(cos
2
)
2
9
2
9
(cos
2
)
4
3
.
6
4
3
.
6
(cos
)
2
(
3 6
3 6
6 6
isen
z
isen
z
isen
z
n
isen
n
z
n
ncos
)
4
3
4
3
(cos
2
isen
Calcule as raízes cúbicas de 8.
z = 8 + 0i
1 8 8 cos 0 8 0 8 ² 0 ² 8 x y sen Lembrete: 0 ) 0 0 (cos
8
isen
z
Aplicando a segunda fórmula de Moivre:
3
2
0
3
2
0
cos
8
3
k
isen
k
)
0
0
.(cos
8
0
3
isen
w
k
3
2
3
2
cos
8
1
3
isen
w
k
3
4
3
4
cos
8
2
3
isen
w
Ex.:
𝟑𝟖
- 1 + i 𝟑
𝑛 𝑧 pode assumir n valores distintos, porém todos com o mesmo módulo. Assim, os afixos das n raízes enésimas de são pontos da
mesma circunferência com centro na origem do plano de
Argand-Gauss e raio 𝑛 |𝑧|;
Os argumentos principais de 𝑛 𝑧 formam uma progressão aritmética
que começa com 𝜃
𝑛 e tem razão
2π
𝑛 . Assim, os afixos das n raízes