Universidade Federal do Paraná
Algebra Linear Olivier Brahic
Lista de exercícios 11
Representação Matricial de Aplicações Lineares
Exercício 1: Para cada transformação linear seguinte, encontre a representação matricial padrão de L. a) L(x) = (−x1, x2)|, b) L(x) = −x, c) L(x) = (x2, x1)T, d) L(x) = 12x, e) L(x) = x2e2.
Exercício 2: Para cada uma das seguintes transformações lineares L representando R3 em R2, encontre uma matriz A tal que L(x) = Ax para todo x em R3.
a) L((x1, x2, x3)|) = (x1+ x2, 0)|,
b) L((x1, x2, x3)|) = (x1, x2)|,
c) L((x1, x2, x3)|) = (x2− x1, x3− x2)T,
Exercício 3: Para cada uma das operadores lineares L em R3 seguintes, encontre uma matriz A tal que L(x) = Ax para todo x em R3.
a) L((x1, x2, x3)|) = (x3, x2, x1)|,
b) L((x1, x2, x3)|) = (x1, x1+ x2, x1+ x2+ x3)|,
c) L((x1, x2, x3)|) = (2x3, x2+ 3x1, 2x1− x3)|.
Exercício 4: Seja L um operador linear em R3 definido por:
L(x) = 2x1− x2− x3 2x2− x1− x3 2x3− x1− x2 .
Determine a representação matricial padrão A de L e use A para encontrar L(x) para cada um dos seguintes vetores x.
a) x = (1, 1, 1)| b) x = (2, 1, 1)| c) x = (−5, 3, 2)|
Exercício 5: Encontre a representação matricial parão para cada um dos seguintes operadores lineares:
a) L é o operador que gira todo x em R2 por 45◦ no sentido horário,
b) L é o operador linear que refleta cada ve-tor x em R2 em relação ao eixo x2, e então
gira-o 90◦ no sentido trigonométrico.
c) L dobra o comprimento de x e então gira-o de 30◦ no sentido trigonométrico,
d) L reflete cada vetor x em R2 em relação à linha x = x1, e então o projeta sobre o eixo
x1. Exercício 6: Seja b1 = 1 1 0 , b2 = 1 0 1 , b3 = 0 1 1
e seja L a transformação linear de R2 em R3 definida por:
L(x) = x1b1+ x2b2+ (x1+ x2)b3.
Encontra a matriz A de L em relação às bases {e1, e2} e {b1, b2, b3}.
Exercício 7: Seja y1 = 1 1 1 , y2 = 1 1 0 , y3 = 1 0 0
e seja T o operador identidade em R3.
a) Encontre as coordenadas de T (e1), T (e2), T (e3) em relação a {y1, y2, y3}.
b) Encontre uma matriz A tal que Ax é o vetor coordenadas de x em relação a {y1, y2, y3}.
Exercício 8: Sejam y1, y2, y3 definidos como no problema 7, e seja L o operador linear definido por: L(c1.y1+ c2.y2+ c3.y3) = (c1+ c2+ c3).y1+ (2c1+ c3).y2− (2c2+ c3).y3.
a) Encontre a matriz de L em relação à base ordenada {y1, y2, y3}.
b) Para cada um dos seguintes vetores, escreve o vetor x em relação a {y1, y2, y3}, e use a matriz da parte a) para determinar L(x).
i) x = (7, 5, 2)|, ii) x = (3, 2, 1)|,
iii) x = (1, 2, 3)|.
Exercício 13: Seja L a transformação linear representando P2 em R2, definida por:
L(p(x)) = R1
0 p(x)dx
p(0)
Encontre uma matriz A tal que: L(α + βx) = A ·α β
.
Exercício 14: A transformação linear L definida por L(p(x)) = p0(x) + p(0) representa P3
em P2. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas {x2, x, 1} e {2, 1 − x}.
Para cada um dos vetores seguintes, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação a {2, 1 − x}.
i) x2+ 2x − 3, ii) x2+ 1,
iii) 3x, iv) 4x2+ 2x.
Resoluções:
Resolução do Exercício 1:
a) Calculemos os vetores de coordenadas das imagens dos elementos da base padrão B0 :=
{e1, e2} por L, obtemos: L((1, 0)|) = (−1, 0)|, logo [L(e1)]B0 = −1 0 L((0, 1)|) = (0, 1)|, logo [L(e1)]B0 = 0 1 .
A representação matricial de L na base padrão senda dada para a matriz cujas colunas são os vetores de coordenadas na base padrão das imagens dos elementos da base padrão, concluemos que: M(L)B0 = [L(e1)]B0 [L(e2)]B0 = −1 0 0 1 .
b) De maneira semelhante, temos: ( L((1, 0)|) = (−1, 0)|, L((0, 1)|) = (0, −1)|, segue que: M (L)B0 = −1 0 0 −1 .
c) De maneira semelhante, temos: ( L((1, 0)|) = (0, 1)|, L((0, 1)|) = (1, 0)|, segue que: M(L)B0 = 0 1 1 0 .
d) De maneira semelhante, temos: L((1, 0)|) = (1 2, 0) |, L((0, 1)|) = (0,1 2) |, segue que: M(L)B0 = 1 2 0 0 12 .
e) De maneira semelhante, temos: ( L((1, 0)|) = (0, 0)|, L((0, 1)|) = (0, 1)|, segue que: M(L)B0 = 0 0 0 1 . Resolução do Exercício 2: a) A matriz A :=1 1 0 0 0 0 é tal que: Ax =1 1 0 0 0 0 · x1 x2 x3 = x1+ x2 0 = L(x).
b) A matriz A :=1 0 0 0 1 0 é tal que: Ax =1 0 0 0 1 0 · x1 x2 x3 = x1 x2 = L(x). c) A matriz A :=−1 1 0 0 −1 1 é tal que: Ax =−1 1 0 0 −1 1 · x1 x2 x3 = x2− x1 x3− x2 = L(x). Resolução do Exercício 3: a) A matriz A := 0 0 1 0 1 0 1 0 0 é tal que: Ax = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 · x1 x2 x3 = x3 x2 x1 = L(x). b) A matriz A := 1 0 0 1 1 0 1 1 1 é tal que: Ax = 1 0 0 1 1 0 1 1 1 · x1 x2 x3 = x1 x1+ x2 x1+ x2+ x3 = L(x). c) A matriz A := 0 0 2 3 1 0 2 0 −1 é tal que: Ax = 0 0 2 3 1 0 2 0 −1 · x1 x2 x3 = 2x3 x2+ 3x1 2x1− x3 = L(x).
Resolução do Exercício 4: Calculemos as imagens dos elementos da base padrão B0: L((1, 0, 0)|) = (2, −1, −1)|, L((0, 1, 0)|) = (−1, 2, −1)|, L((0, 0, 1)|) = (−1, −1, 2)| Logo a representação matricial de L na base padrão é dada por:
A = M(L)B0 = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 .
Podemos verificar que para qualquer vetor x = (x1, x2, x3)|, temos: L(x) = A · x = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 · x1 x2 x3 = 2x1− x2− x3 2x2− x1− x3 2x3− x1− x2 . Usando A, calculemos a imagem L(x) de x nos casos seguintes:
a) L(x) = A.x = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 · 1 1 1 = 0 0 0 b) L(x) = A.x = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 · 2 1 1 = 2 −1 −1 c) L(x) = A.x = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 · −5 3 2 = −15 −1 −3 Resolução do Exercício 5:
a) Notemos R−π/4 : R2 → R2 a rotação de centro (0, 0), de angulo 45◦ no sentido horário.
Calculemos as imagens dos vetores da base padrão: R−π/4((1, 0)|) = ( 1 √ 2, − 1 √ 2) |, R−π/4((0, 1)|) = (− 1 √ 2, 1 √ 2) |.
Logo a matriz de R−π/4 na base padrão é dada por:
M(R−π/4)B0 = 1 √ 2 − 1 2 −√1 2 1 √ 2 ! .
Aqui, é bom saber que de maneira geral, a matriz da rotação de angulo θ qualquer é : M(Rθ)B0 =
cos θ − sin θ sin θ cos θ
.
b) Notemos S0x2 : R2 → R2 a refleção em relação ao eixo 0x2, e Rπ/2 : R2→ R2 a rotação de centro (0, 0) e de angulo 90◦ no sentido trigonométrico.
Calculemos as representação matricial padrão de S0x2, temos: ( S0x2((1, 0)|) = (−1, 0)|, S0x2((0, 1) |) = (0, 1)|, segue que: M(S0x2)B0 = −1 0 0 1 . Calculemos de maneira semelhante a matriz de Rπ/2 na base padrão:
( Rπ/2((1, 0)|) = (0, 1)|, Rπ/2((0, 1)|) = (−1, 0)|, segue que: M(Rπ/2)B0 = 0 −1 1 0 .
O operador L é obtido por composição de S0x2 com Rπ/2, isso é L = Rπ/2◦ S0x2, pois L(x) = Rπ/2(S0x2(x)). Segue que a matriz de L na base padrão pode ser obtida por
multiplicaccão das matrizes de Rπ/2 e S0x2, da maneira seguinte:
M(L)B0 = M(Rπ/2◦ S0x2)B0 = M(Rπ/2)B0· M(S0x2)B0 =0 −1 1 0 ·−1 0 0 1 = 0 −1 −1 0 . Aplicando a definição de L, podemos verificar que L(e1) = −e2 e L(e2) = −e1.
Observação: para não fazer confusões na ordem, entre Rπ/2◦ S0x2 e S0x2◦ Rπ/2, podemos
escrever a composta de maneira mais explicita, da maneira seguinte:
R2 L=Rπ/2◦S0x2 ++ S0x2 //R 2 Rπ/2 //R2 x //S0x2(x) // R π/2(S0x2(x))
Aqui, aplicamos primeiro a simetria, pois a rotação, logo L = Rπ/2◦ S0x2 (o que é diferente
de S0x2 ◦ Rπ/2◦ S0x2 !).
c) Notemos D2 : R2 → R2 a aplicação que dobra o comprimento (isso é, D
2 é a dilatação de
fator 2) e Rπ/6 a rotação de centro (0, 0), de angulo 30◦ no sentido trigonométrico. Calculemos as representação matricial padrão de D2, temos:
( D2((1, 0)|) = (2, 0)|, D2((0, 1)|) = (0, 2)|, segue que: M(D2)B0 = 2 0 0 2 .
Calculemos de maneira semelhante a matriz de Rπ/6 na base padrão: Rπ/6((1, 0)|) = (cos(π/6), sin(π/6))| = (√3/2, 1/2) Rπ/6((0, 1)|) = (− sin(π/6), cos(π/6))| = (−1/2,√3/2), Segue que M(Rπ/6)B0 = √ 3/2 −1/2 1/2 √3/2 .
O operador L é obtido por composição de D2 com Rπ/6, isso é L = Rπ/6 ◦ D2, pois
L(x) = Rπ/6(D2d(x)) por definição. Segue que a matriz de L na base padrão pode ser
obtida por multiplicaccão das matrizes de Rπ/6 e D2, da maneira seguinte: M(L)B0 = M(Rπ/6◦ D2)B0 = M(Rπ/6)B0· M(D2)B0 = √ 3/2 −1/2 1/2 √3/2 2 0 0 2 = √ 3 −1 1 √3
Obeserve que aqui, a composta pode ser escrita mais explicitamente assim: R2 L=Rπ/6◦D2 ++ D2 //R2 Rπ/6 //R2 x //D2(x) = 2x //Rπ/6(2x)
d) De maneira semelhante, notemos S∆ : R2 → R2 a refleção em relação à diagonal ∆ =
{(x1, x2) ∈ R2, x2= x1}, e p0x1 : R
2 → R2 a projeção sobre o eixo 0x 1.
É fácil calcular as matrizes de S∆ e p0x1 na base padrão, temos: M(S∆)B0 = 0 1 1 0 e M(p0x1)B0 = 1 0 0 0
A matriz de L é dada para multiplicação das matrizes de S∆ e p0x1, da maneira seguinte: M(L)B0 = M(p0x1◦ S∆)B0 = M(p0x1)B0 · M(S∆)B0 = 1 0 0 0 ·0 1 1 0 =0 1 0 0
Resolução do Exercício 6: Denotemos B0 := {e1, e2} a base padrão de R2, e B1 a base
B1 := {b1, b2, b3}. Estamos procurando a matriz A = MB1←(L) de L em relação a B0 e
B1. Pela sua definição, MB1←(L) tem colunas os vetores de coordenadas em relação a B1das
imagens por L dos elementos da base B0, ou seja:
M(L)B1←B0 =
[L(e1)]B1 [L(e2)]B1
Falta calcular os vetores de coordenadas de L(e!) e L(e2). Para isto, temos pelo enunciado:
L(e1) = 1.b1+ 0.b2+ 1.b3,
L(e2) = 0.b1+ 1.b2+ 1.b3
isso é, os vetores coordenadas na base B1 := {b1, b2, b3} das imagens dos elementos da base
{e1, e2} sã o dados por: [L(e1)]B1 = 1 0 1 [L(e2)]B1 = 0 1 1 .
Segue que a matriz A de L em relação às bases {e1, e2} e {b1, b2, b3} é dada por:
A := M(L)B1←B0 = [L(e1)]B1 [L(e2)]B1 = 1 0 0 1 1 1 .
Observa que aqui, nem se usou das valores explícitas para b1, b2, b3 !
a) Basta exprimir T (ei) em relação a B1 := {y1, y2, y3}, o que pode ser feito direitamente
por inspeção, obtemos:
T (e1) = e1= 0.y1+ 0.y2+ y3,
T (e2) = e2= 0.y1+ y2− y3,
T (e3) = e3= y1− y2+ 0.y3.
Logo os vetores coordenadas de T (e1), T (e2), T (e3) em relação a B1 sã o dados por:
[T (e1)]B1 = 0 0 1 [T (e2)]B1 = 0 1 −1 [T (e3)]B1 = 1 −1 1 .
Outra maneira de fazer seria de inverter a matriz MB0←B1, onde B0 denota a base padrão,
obtemos: MB1←B0 = M −1 B0←B1 = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 −1 = [...] = 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 .
Pela definição de MB1←B0, as colunas são os vetores coordenadas de T (e1) = e1, T (e2) =
e2, T (e3) = e3 na base B1.
b) Estamos procurando uma matriz A tal que Ax seja o vetor coordenadas de x em relação a B1. Ou seja, a matriz A tal que:
Ax = [T (x)]B1.
Identificando o vetor x com o seu vetor de coordenadas [x]B0 na base canonônica temos
x = [x]B0, e usando o fato que T (x) = x (pela definição de T ser o operador identidade) vemos que a exoressão acima se escreve na forma:
A.[x]B0 = [x]B1 = [T (x)]B1.
Segue que A é a matriz da identidade T em relação às bases B0 e B1, ou seja: A =
M(T )B1←B0. Por isso, A tem colunas os vetores de coordenadas [T (e1)]B1, [T (e2)]B1, [T (e3)]B1.
Concluemos que: A = 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 .
Observe que a matriz da identidade em relação às bases B0 e B1 é exatamente a matriz de
transição de B0 para B1: A = M(T )B1←B0 = M
−1(T ) B0←B1.
Resolução do Exercício 8:
a) Notemos B1a base ordenada B1 := {y1, y2, y3}. Estamos procurando a matriz M(L)B1 de
L em relação à base B1. Pela sua definição, M(L)B1 tem colunas os vetores de coordenadas
em relação a B1 das imagens por L dos elementos de B1, ou seja:
M(L)B1 =
[L(y1)]B1 [L(y2)]B1 [L(y3)]B1
.
Logo basta encontrar os vetores de coordenadas [L(y1)]B1, [L(y2)]B1 e [L(y2)]B1. Para
isto, temos que exprimir L(y1), L(y2)B1 e L(y2) em relação a B1. Usando a relação:
L(c1.y1+ c2.y2+ c3.y3) = (c1+ c2+ c3).y1+ (2c1+ c3).y2− (2c2+ c3).y3
definindo L (com c1 = 1, c2 = 0, c3 = 0, depois com c1 = 0, c2 = 1, c3 = 0, e depois com
c1 = 0, c2= 0, c3 = 1) obtemos successivamente:
L(y1) = 1.y1+ 2.y2+ 0.y3, L(y2) = 1.y1+ 0.y2− 2.y3, L(y3) = 1.y1+ 1.y2− 1.y3,
logo os vetores de coordenadas [L(y1)]B1, [L(y2)]B1 e [L(y2)]B1 são dados por:
[L(y1)]B1 = 1 2 0 [L(y2)]B1 = 1 0 −2 [L(y3)]B1 = 1 1 −1 . Segue que a matriz de L na base B1 é dada por:
M(L)B1 =
[L(y1)]B1 [L(y2)]B1 [L(y3)]B1
= 1 1 1 2 0 1 0 −2 −1
b) Jà calculámos no exercício 7 a matriz de transição MB1←B0 de B0 para B1:
MB1←B0 = 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 .
Para obter o vetor de coordenadas de x em relação a B1, basta aplicar a formula fórmula
de mudança de base:
[x]B1 = MB1←B0· [x]B0.
Usando esta fórmula, obtemos sucessivamente:
i) [x]B1 = 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 · 7 5 2 = 2 3 2 ii) [x]B1 = 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 · 3 2 1 = 1 1 1 iii) [x]B1 = 0 0 1 0 1 −1 1 −1 0 · 1 2 3 = 3 −1 −1
Foi tambem calculada no item a) a matriz de L em relação à base B1,
M(L)B1 = 1 1 1 2 0 1 0 −2 −1 .
Logo podemos obter o vetor de coordenadas de L(x) em relação a B1 usando a formula: [L(x)]B1 = M(L)B1 · [x]B1.
Usando esta fórmula, com os valores de [x]B1 encontradas acima, obtemos successivemente:
i) [L(x)]B1 = 1 1 1 2 0 1 0 −2 −1 · 3 2 3 = 8 6 −7 ii) [L(x)]B1 = 1 1 1 2 0 1 0 −2 −1 · 1 1 1 = 3 3 −3 iii) [L(x)]B1 = 1 1 1 2 0 1 0 −2 −1 · 3 −1 −1 = 1 5 3
Note que as equações acima dão cada vez o vetor de coordenadas de L(x) em relação à base B1
(e não B0 !) ou seja, elas dizem cada vez que: i) L(x) = 7v1+ 6v2− 8v3
ii) L(x) = 3v1+ 3v2− 3v3
iii) L(x) = v1+ 5v2+ 3v3
Para encontrar os valores de L(x), temos que voltar para a base canônica. Para isto, pode substituir nas equações acima as expressões de v1, v2, v3 em relação a e1, e2, e3 ou,
equivalentemente usar a fórmula de mudança de base de B0 para B1:
[L(x)]B0 = MB0←B1 · [L(x)]B1 (1)
onde MB0←B1 é a matriz de mudança de B1 para B0, dada segundo o exercício 7 por:
MB0←B1 := [y1]B0 [y2]B0 [y3]B0 = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 .
Usando a fórmula (1) com os valores de [L(x)]B1 encontradas acima, obtemos
successive-mente: i) [L(x)]B0 = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 · 8 6 −7 = 7 14 8 ii) [L(x)]B0 = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 · 3 3 −3 = 3 6 3 iii) [L(x)]B0 = 1 1 1 1 1 0 1 0 0 · 1 5 3 = 9 6 1
Observação: o objetivo do exercício é de ilustrar por contas a seguint formula: M(L)B1 = MB0←B1 · M(L)B1 · MB1←B0.
De fato, se olha as várias etapas calculemos:
MB0←B1· M(L)B1· MB1←B0 · [x]B1 | {z } =[x]B1 | {z } =[L(x)]B1 | {z } =[L(x)]B0
A única matriz A tal que A · [x]B0 = [L(x)]B0 sendo a matriz A = M(L)B0, a conta acima
mostra que necessariamente M(L)B1 = MB0←B1· M(L)B1· MB1←B0.
Resolução do Exercício 13: Notemos u0 o polinômio constante 1, e u1 os polinômio x:
u1 := 1, u2:= x.
Qualquer polinômio p(x) de grão 1 pode ser escrito de maneira única como combinação linear de u0 e u1, pois p(x) = α + βx = α.u0+ β.u1.
De maneira equivalente, diz-se que B := {u0, u1} = {1, x} é uma base de P2. Alem disso, as
coordenadas de p(x) = α + βx em B são dadas por: [p(x)]B = (α, β)|.
É fàcil ver que a aplicação L é linear. Calculemos as imagens por L de u0, u1, temos:
L(u0) = L(1) = R1 0 1dx 1 =1 1 L(u1) = L(x) = R1 0 xdx 1 =1/2 0
Por linearidade de L, segue que L(α + βx) = A · (α, β)|, onde: A := M(L)B0←B =1 1/2
1 0
. Aqui, B0 denota a base padrão de R2.
Resolução do Exercício 14: Notemos B1 a base ordenada de P3 dada por B1 := {x2, x, 1},
e B2 a base ordenada de P2 dada por B2 := {2, 1 − x}. Calculemos as imagens por L dos
vetores da base B1, e exprimemos eles na base B2:
L(x2) = 2x + 0 = 1.2 − 2.(1 − x), L(x) = 1 + 0 = 1
2.2 + 0.(1 − x) L(1) = 0 + 1 = 1
2.2 + 0.(1 − x) Concluemos que a matriz de L em relação a B1 e B2 é dada por:
M(L)B2←B1 = [L(x2)]B2 [L(x)]B2 [L(1)]B2 = 1 1/2 1/2 −2 0 0 . Podemos obter o vetor de coordenadas de L(p(x)) na base B2 usando a formula seguinte:
[L(p(x))]B2 = M(L)B2←B1 · [p(x)]B1.
i) para x2+ 2x − 3, tem-se que [x2+ 2x − 3]B1 = (1, 2, −3)|, logo: [L(x2+ 2x − 3)]B2 = 1 1/2 1/2 −2 0 0 · 1 2 −3 = 1/2 −2 .
ii) x2+ 1, para x2+ 1, tem-se que [x2+ 1]B1 = (1, 0, 1)|, logo:
[L(x2+ 2x − 3)]B2 = 1 1/2 1/2 −2 0 0 · 1 0 1 = 3/2 −2 .
iii) 3x, para 3x, tem-se que [3x]B1 = (0, 3, 0)|, logo:
[L(x2+ 2x − 3)]B2 = 1 1/2 1/2 −2 0 0 · 0 3 0 = 3/2 0 .
iv) para 4x2+ 2x, tem-se que [4x2+ 2x]B1 = (4, 2, 0)|, logo:
[L(x2+ 2x − 3)]B2 = 1 1/2 1/2 −2 0 0 · 4 2 0 = 5 −8 .
