n. 2 – MATRIZ INVERSA Modo 1: utilizando a matriz identidade
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I. (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do Rn).
[
]
Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível. Para a existência da matriz inversa o determinante deve ser diferente de zero: det A ≠ 0
Relembrando:
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, e transforma essa matriz em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm, são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por , logo:
Se A não é invertível dizemos que A é singular.
Exemplo – Sejam as matrizes:
A = [ ] , B = [ ] , In= [ ] A . B = In [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Logo, Exemplo: 1) Seja A = [ ] encontre A -1 . A . B = In
Seja B = [ ] e B = A-1
(B é a matriz inversa de A), logo,
[ ] . [ ] = [ ] [ ] [ ] { Logo, a = 3 b = - 2 c = - 4 d = 3 Portanto, [ ]
Modo 2:
Inversão de matrizes 2×2
No caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2:
Apenas para matrizes quadradas de ordem 2 x 2 podemos calcular a inversa da seguinte forma:
1. Primeiro calculamos o determinante:
[ ] det A = 8 – 3 det A = 5
2. Invertemos a ordem dos elementos da diagonal principal: [
]
3. Trocamos o sinal dos elementos da diagonal secundária:
[
]
4. Dividimos cada um dos elementos da matriz pelo determinante e a matriz resultante será a matriz inversa.
[
]
Teorema: Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.
Modo 3: calculando a matriz inversa pela matriz adjunta ̅
̅ ̅
Matriz Adjunta: ̅
É a matriz transposta da matriz dos cofatores.
Cofator é um número associado a um elemento qualquer de uma matriz quadrada.
Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas.
Encontrando a matriz cofator: M’
Seja M a matriz original, tal que: M = [
]
E, seja M’ a matriz dos cofatores, tal que: M’ = [
]
Para encontrar a matriz cofator fazemos: A11 = | | A12 = | | A13 = | | A21 = | | A22 = | | A23 = | | A31 = | | A32 = | | A33 = | | Logo, Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante
A11 = | | A12 = | | A13 = | | A21 = | | A22 = | | A23 = | | A31 = | | A32 = | | A33 = | | Assim, A11 = | | A12 = | | A13 = | | A21 = | | A22 = | | A23 = | | A31 = | | A32 = | | A33 = | |
Sobre a matriz cofator: M’ = [
]
Aplicamos à transposta e obtemos a matriz adjunta: ̅
Para encontrarmos a inversa fazemos:
̅ Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante Determinante
Exemplos:
1. Se [ ] , encontre pela matriz adjunta.
1º verificar se det M ≠ 0: det M = 4 – 6 = - 2 2º encontrando a matriz cofator:
A11 = (-1)2 | | 1 . 4 = 4 A12 = (-1) 3 | | - 1 . 3 = - 3 A21 = (-1)3 | | - 1 . 2 = - 2 A22 = (-1)4 | | 1 . 1 = 1 Matriz cofator: [ ] Matriz adjunta: ̅ [ ] Encontrando a matriz inversa:
̅̅̅ [ ] [ ] [ ]
2. Se [
] , encontre de duas maneiras diferentes.
1º modo: Encontrando a inversa pela matriz adjunta: 1º verificar se det M ≠ 0: det M = – 5
2º encontrando a matriz cofator:
A11 = (-1) 2 | | A 12 = (-1) 3 | | A13 = (-1) 4 | | A21 = (-1)3 | | A22 = (-1)4 | | A23 = (-1)5 | | A31 = (-1)4 | | A32 = (-1)5 | | A33 = (-1) 6 | | Matriz cofator: [ ] Matriz adjunta: ̅ [ ]
Encontrando a matriz inversa:
[ ] [ ] [ ] [ ]
2º modo: Encontrando a inversa pela matriz identidade. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
{ De (1): (4) De (2): (5) De (3): (6) Logo, de (5) e (6): (7) De (4) e (7): (8) Portanto, de (8) em (4): ( ) (9) Portanto, de (9) em (6): ( ) (10) { {
[ ]
Exemplo: Ache a inversa da matriz [ ] dos três modos
vistos.
Modo 1: Pela Identidade
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { { {
[ ]
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo:
[ ] [
] [
]
Modo 2: Pela Matriz Adjunta
1º verificar se det A ≠ 0: det A = 8 – 3 = 5 2º encontrando a matriz cofator:
A11 = (-1)2 | | 1 . 4 = 4 A12 = (-1) 3 | | - 1 . 1 = - 1 A21 = (-1)3 | | - 1 . 3 = - 3 A22 = (-1)4 | | 1 . 2 = 2 Matriz cofator: [ ] Matriz adjunta: ̅ [ ] Encontrando a matriz inversa:
̅
[
[
]
Modo 3: Pela Inversão de Matrizes 2x2
[ ] [ ] [ ] [ ] Exercícios:
1. Dadas as matrizes, encontre as inversas: a. [
]encontre C
-1
.
c. [ ]encontre E -1 . d. A = [ ] encontre A-1 . e. B = [ ] encontre B-1 . 2. Verifique se a matriz [ ] é a inversa da matriz [ ] . Exercícios resolvidos
1. Dadas as matrizes, encontre as inversas: a. [ ]encontre C -1 . R: [ ] b. [ ]encontre D-1. R: [ ] c. [ ]encontre E -1 . R: [ ]
d. A = [
] encontre A-1.
Encontrando a inversa pela matriz adjunta: 1º verificar se det M ≠ 0:
- repetir as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas: [
]
Multiplicar os números e adicionar os resultados de: (1).(5).(9) + (4).(8).(3) + (7).(2).(6)
45 + 96 + 84 = 225
Multiplicar os números e subtrair os resultados de: – (7).(5).(3) – (1).(8).(6) – (4).(2).(9)
– 105 – 48 – 72 = - 225 Logo, det M = 0 Portanto, M não é invertível.
e. B = [
] encontre B-1.
1º verificar se det M ≠ 0: [ ]
, portanto existe a inversa.
2º encontrando a matriz cofator: [
] A11 = (-1) 2 | | A 12 = (-1) 3 | | A13 = (-1) 4 | | A21 = (-1)3 | | A22 = (-1)4 | | A23 = (-1)5 | | A31 = (-1)4 | | A32 = (-1)5 | | A33 = (-1)6 | | Matriz cofator: [ ]
Matriz adjunta: ̅ [
]
Encontrando a matriz inversa:
̅ [ ] [ ] [ ] [ ] f. C = [ ] encontre C-1. [ ]
2. Verifique se a matriz [
] é a inversa da matriz [
]
.
Para ser a inversa, preciso que:
Logo, para [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { Da mesma forma para [
] [ ] [ ] [ ] [ ] {
Como , então, a matriz C é a inversa da matriz
Referências Bibliográficas
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998.
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
