Universidade de São Paulo
Universidade de São Paulo
Escola Politécnica
Escola Politécnica
-
-
Engenharia Civil
Engenharia Civil
PEF
PEF
-
-
Departamento de Engenharia de Estruturas
Departamento de Engenharia de Estruturas
e Fundações
e Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de
Dimensionamento de Estruturas de
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Estado Limite de Utilização
Fadiga
ES025
ES025
Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de
Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
____________________________________________________
Cálculo no Estádio II
Verificação de Flechas
Verificação de Fissuração
1
a
Parte - Estado Limite de Utilização
Estados Limites de Utilização
______________________________________________________________________
1. Introdução
2. Cálculo no Estádio II (puro)
2.1. Hipóteses
2.2. Seção Retangular com Armadura Simples
2.3. Seção Retangular com Armadura Dupla
2.4. Seção “T” com Armadura Simples
2.5. Exemplo
3. Verificação de Flechas
3.1. Cargas de Curta Duração - Flechas Imediatas de Carga Acidental
3.2. Cargas de Longa Duração - Flechas de Carga Permanente
3.3. Exemplo
3.4. Dispensa da Verificação da Flecha
4. Verificação da Fissuração
4.1. Introdução
4.2. Fissuração Estabilizada
4.3. Fissuração Não Estabilizada
4.4. Critério da NBR-6118
Resistência da Armadura à Fadiga
______________________________________________________________________
1. Introdução
2. Resistência à Fadiga - f
fad,k3. Consideração da Resistência à Fadiga no Dimensionamento
3.1. Caso de Armadura de Flexão
3.2. Caso do Estribo
4. Exemplos
4.1. Flexão
Introdução
______________________________________________________________________
a) estados limites últimos de ruptura convencional da seção
- por esmagamento do concreto a compressão (ε
cu= 0,0035);
- ou por alongamento plástico excessivo da armadura (ε
su= 0,010).
b) Estados limites de utilização:
- de deslocamento excessivo (limitação de flechas na viga);
- de fissuração excessiva (limitação da abertura de fissuras).
Introdução
______________________________________________________________________M
M
r
As
dx
d
εcdx
εsdx
r
dx
r
dx
d
ou
r
d
c s c s=
(
ε
+
ε
)
1
=
ε
+
ε
.
Introdução
______________________________________________________________________ε
σ
ε
σ
=
=
=
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
1
1
1
21
21
r
y e
E
E
r
y
M
ydA
E
r
y dA
E
r
y dA
EI
r
ou
M
EI
r
A A AM
M
l
a
M
EI
=
l
28
.
Introdução
______________________________________________________________________
M
M
l
Introdução
______________________________________________________________________Diagrama de momento-curvatura
1/r
M
M
M
M
M
un
uo
rn
ro
Estádio I
Estádio II
Estádio III
f ct
A
f
cc
ε
c
(encurtamento) (compres.)σ
cCálculo no Estádio II
______________________________________________________________________
Hipóteses
a. manutenção da seção plana;
b. aderência perfeita entre o concreto e a armadura;
c. validade da lei de Hooke para o concreto e para o aço;
d. resistência do concreto à tração igual a zero.
E
s
= 210.000 MPa (21.000 kN/cm2).
.)
(
5600
85
.
0
f
MPa
E
cs
=
×
ck
.Seção retangular com armadura simples
______________________________________________________________________Equações de compatibilidade
ε
ε
ε
ε
c
s
s
c
x
d
x
d
x
x
=
−
→
=
−
Equações constitutivas
σ
cE
cε
ce
σ
sE
sε
sE
sd
x
ε
cx
=
=
=
−
b
h
d
Rc
Rs
x
σc
σs
εc
εs
As
M
x/3
z=d-x/3
Seção retangular com armadura simples
______________________________________________________________________
Equações de equilíbrio
forças resultantes:
R
c
=
bx
σ
c
/
2
=
bxE
c
ε
c
/
2
R
A
A E
d
x
x
s
=
s s=
s s c−
σ
ε
equilíbrio dos esforços:
R
R
c
=
sSeção retangular com armadura simples
______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
R
R
ou
bxE
A E
d
x
x
c s c c s s c=
ε
=
−
ε
2
bx
A
d
x
onde
E
E
s
e
e
s
c
2
2
=
α
(
−
)
α
=
(
) (
)
x
2
+
2
A
s
α
e
/
b x
−
2
A
s
α
e
/
b d
=
0
Seção retangular com armadura simples
______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
.
x
A
b
bd
A
s
e
s
e
=
⋅
− +
+
α
α
1
1
2
Produto de rigidez à flexão
1
r
d
x
E d
x
s
s
s
=
−
=
−
ε
σ
(
)
.1
r
M
E I
A
z
E I
c
II
s
s
c
II
=
=
σ
Seção retangular com armadura simples
______________________________________________________________________
Produto de rigidez à flexão
E I
c
II
=
A E d
s
s
(
−
x z
)
I
II
=
bx
+
A
s
⋅
e
d
−
x
=
A
s
⋅
e
d
−
x d
−
x
3
2
Seção retangular com armadura dupla
______________________________________________________________________b
h
d
Rc
Rs
x
σc
σs
εc
εs
As
M
x/3
z=d-x/3
A's
d'
ε's
R's
Equações de compatibilidade
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
c s s s c s cx
d
x
x d
d
x
x
x d
x
=
−
=
−
→
=
−
=
−
'
'
,
'
'
Seção retangular com armadura dupla
______________________________________________________________________Equações constitutivas
Equações de equilíbrio
Forças resultantes
R
c
=
bx
σ
c
/
2
=
bxE
c
ε
c
/
2
R
A
A E
d
x
x
R
A
A E
x
d
x
s=
s s=
s s c s s s s s c−
=
=
−
σ
ε
,
'
'
σ
'
'
'
ε
c
s
s
s
s
c
s
s
s
s
c
c
c
x
d
x
E
E
x
x
d
E
E
e
E
ε
σ
ε
ε
σ
ε
ε
σ
=
=
=
−
,
'
=
'
=
−
'
Seção retangular com armadura dupla
______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
Equilíbrio de esforços
R
c
+
R
s
'
=
R
s
M
=
R d
s
(
−
x
/ )
3
+
R
s
' ( /
x
3
−
d
' )
bxE
A E
x
d
x
A E
d
x
x
c
c
s
s
c
s
s
c
ε
ε
ε
2
+
−
=
−
'
'
.bx
A
s
e
x d
A
s
e
d
x
2
2
+
'
α
(
−
' )
=
α
(
−
)
Seção retangular com armadura dupla
______________________________________________________________________
Posição da linha neutra
.
x
b
A
A
x
b
A d
A d
e
s
s
e
s
s
2
+
2
α
(
+
' )
−
2
α
(
+
' ' )
=
0
(
)
+
+
+
+
+
−
+
⋅
=
'
ρ
ρ
d
d'
'
ρ
ρ
'
ρ
ρ
1
α
2
1
1
'
ρ
ρ
α
d
x
d d d d d d e d d eSeção retangular com armadura dupla
______________________________________________________________________
Produto de rigidez à flexão
1
r
d
x
E d
x
e
x d
d
x
ou
x d
d
x
s s s s s s s=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
ε
σ
σ
σ
σ
σ
(
)
'
'
'
'
1
3
3
r
E d
x
A
d
x
A
x
d
x d
d
x
E I
s s s s s s c II=
−
=
−
+
−
−
−
σ
σ
σ
(
)
(
/ )
' ( /
' )
(
' ) / (
)
Seção retangular com armadura dupla
______________________________________________________________________
Produto de rigidez à flexão
E I
c
II
=
A E d
s
s
(
−
x d
)(
−
x
/ )
3
+
A E x
s
'
s
( /
3
−
d
' )(
x
−
d
' )
I
II
=
bx
+
A
s
e
d
−
x
+ ′
A
s
e
x d
− ′
3
2
2
Seção “T” com armadura simples
______________________________________________________________________
A equação de equilíbrio nos conduz a
.
(
b
b
)
h E
x
h
/
x
b x
E
A E
d
x
x
f
w
f
c
c
f
w
c
c
s
s
c
−
ε
−
2
+
ε
=
ε
−
2
[
]
b x
b
b
h
A
x
b
b
h
A
d
w f w f s e f w f s e 2 22
+
(
−
)
+
α
−
(
−
)
2
−
α
=
0
As
b
bf
hf
d
w
x
εc
ε
s
Seção “T” com armadura simples
______________________________________________________________________ ..I
II
b x
f
b
f
b
w
x h
f
A
d
x
s
e
=
3
−
−
−
3
+
−
2
3
3
(
)(
)
(
)
α
ES25
ES25
Verificação das flechas
______________________________________________________________________
Cargas de curta duração
E
c=
0 9 6600
,
⋅
f
ck+
3 5
,
(
MPa
)
q* = 0,7 q = carga de utilização
E
c
I
II
= produto de rigidez.
Cargas de longa duração
Verificação das flechas
______________________________________________________________________a
g
= a
go
(C
f
/ C
i
) onde
C
i
= 1/r
i
= (ε
c
+ ε
s
) / d = curvatura inicial
C
f
= 1/r
f
= (3 ε
c
+ ε
s
) / d = curvatura final
,ε
ε
ξ
ξ
s cd
x
x
=
−
=
1
−
.a
g
a
go
c
s
a
a
c
s
go
s
c
s
c
go
=
+
+
=
+
+
=
+
3
3
1
1 2
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ξ
/
/
(
)
Verificação das flechas
______________________________________________________________________imites
,a
q
≤ l / 500;
a
g
+ a
q
≤ l / 300.
Dispensa da verificação da flecha
(altura útil)
d
≥
⋅
l
ψ
2
ψ
3
ψ
2= 1,0 nas vigas biapoiadas,
1,2 nas vigas contínuas,
1,7 nos vãos biengastados,
0,5 nos balanços.
ψ
3= 17 para o aço CA50,
25 para o aço CA25.
Verificação da fissuração
______________________________________________________________________ w ε As fissura N Na) 0,1 mm em peça não protegida em meio agressivo;
b) 0,2 mm em peça não protegida em meio não agressivo, e
c) 0,3 mm em peça protegida.
Verificação da fissuração
______________________________________________________________________
Armadura mínima
ε = constante na seção transversal
σ
ct
= E
c
ε; σ
s
= E
s
ε; ou σ
s
= α
e
σ
ct
,
N = (A
c
- A
s
) σ
ct
+ A
s
σ
s
=[A
c
+ (α
e
- 1) A
s
] σ
ct
σ
α
ct c e s ctN
A
A
f
=
+
(
−
1
)
≤
A
smin
f
y
= [A
c
+ (α
e
-1) A
smin
] f
ct
A
A f
f
f
A f
f
s
c ct
c ct
min
(
)
=
−
α
−
1
≅
Verificação da fissuração
______________________________________________________________________
Fissuração estabilizada
N
B D
armin armax≅2armin
σct σ ct=fct=0,15kN/cm2 σs 19,83 kN/cm2 σs=1,23kN/cm2 τb= tensão de aderência A N 4 φ 10
Verificação da fissuração
______________________________________________________________________
A fissuração progressiva estabiliza quando:
a
rmin
< a
r
< a
rmax
Abertura média (w)
.w
a
a
a
E
r
s
c
r
s
r
s
s
=
(
ε
−
ε
)
≅
ε
=
σ
w
E
b
s
s
r
=
−
+
1
10 2
0 75
4
45
φ
η
σ
ρ
,
Segundo a NBR - 6118
Verificação da fissuração
______________________________________________________________________
Fissuração não estabilizada
.
w
N
N
σ
ct< f
ctσ
ctτ
b[
ε
(s)
ε
(s)
]
ds
2
w
arr 0 s c∫
−
=
Verificação da fissuração
______________________________________________________________________w
f E
b
tk
s
s
=
−
⋅
1
10
1
2
0 75
2
η
φ σ
,
A NBR – 6118 propõe
7,5φ
7,5φ
7,5φ
7,5φ
7,5φ
7,5φ
7,5φ
7,5φ
c < 7,5φ
c < 7,5φ
a
A
crVerificação da fissuração
______________________________________________________________________
Critério da NBR - 6118
a) 0,1 mm para peças não protegidas (peças sem revestimento), em meio agressivo;
b) 0,2 mm para peças não protegidas, em meio não agressivo, e
c) 0,3 mm para peças protegidas (peças revestidas).
> w
lim
w
E
b
s
s
r
=
−
+
1
10 2
0 75
4
45
φ
η
σ
ρ
,
>w
lim
w
f E
b
tk
s
s
=
−
⋅
1
10
1
2
0 75
2
η
φ σ
,
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________
entre os valores extremos σ
mine σ
maxP
P r barra com dobra barra reta
Introdução
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________
Resistência à fadiga (Gráfico de Wohler)
10
6f
fad,k2
x10
6n
10
410
5σ
sf
y0,8f
yamplitude
∆σ
sσ
s,maxσ
s,minResistência à fadiga
______________________________________________________________________
Resistência à fadiga
armadura em barra reta:
f
fad,k
= 18 kN/cm
2
;
armadura em barra curva:
f
fad,k
= 14 kN/cm
2
.
Coeficiente de fadiga (
κ
f
)
.κ
f
s
fad k
f
=
∆σ
,
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________
Caso da armadura de flexão
M
d,max
= γ
f
M
k,max
Momento máximo na combinação frequente
M
max,CF=
M
gk+ ψ
1M
qk,max.
M
min,CF=
M
gk+ ψ
1M
qk,minMomento mínimo na combinação frequente
ψ
1= 0,6
→
em edifícios
0,8
→
em pontes rodoviárias
1,0
→
em pontes ferroviárias.
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________M
CFM
M
M
M
s CF s CF CF s s CF s max, ,max min, ,min max, min, ,max ,minσ
=
σ
=
σ
σ
−
−
=
∆
∆σ
M
M
f
CF s k yd f max, ,max ,maxσ
γ
=
∆
∆
M
M
f
CF
s
k
yd
f
σ
γ
=
,max
⇒
∆
σ
∆
γ
s
CF
k
yd
f
M
M
f
=
⋅
,max
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________Coeficiente de fadiga
.. f fad k yd k CF k fad s fMf
f
M
M
f
, ,max ,1
⋅
⋅
∆
=
∆
=
γ
σ
κ
.1
, max , min, max,≥
⋅
⋅
⋅
−
=
k fad f s yk k CF CFf
f
M
M
M
γ
γ
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________
Para armadura reta de aço CA-50
..
κ
fM
CF
k
CF
k
M
M
M
M
=
∆
⋅
⋅
=
∆
⋅
≥
,max
,max
,
,
,
43 48
1 4
1
18
1 725 1
Armadura corrigida
A
s cor
,
=
A
s
⋅ κ
fM
Resistência à fadiga
______________________________________________________________________Caso do Estribo
..κ
γ
fV sw fad k CF k yd f fad kf
V
V
f
f
=
∆σ
=
∆
⋅
⋅
≥
, ,max ,1
1
Coeficiente de fadiga
Para armadura curva de aço CA-50
κ
fV
CF
k
CF
k
V
V
V
V
=
∆
⋅
⋅
=
∆
⋅
≥
,max
,max
,
,
,
43 48
1 4
1
14
2 218 1
Determinação de Deslocamentos
..
