M2 Sistemas Lineares

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Disciplina: ´Algebra Linear Professora: Lidiane Buligon

Material: UNIDADE I - Sistemas Lineares

1 Sistema Lineares

1.1 Equa¸

c˜

oes Lineares

Denomina-se equa¸cão linear de n incógnitas, toda equa¸cão que pode ser escrita na forma: a1x1+ a2x2+ · · · + a_nx_n = b, (1)

em que,a1, a2,· · · , an s˜ao chamados de coeficientes das vari´aveis x1, x2,· · · , xn e b o termo

independente.

Para que a equa¸cão seja linear o expoente das incógnitas deve ser um e não pode haver produto entre as elas.

1.2 Sistema de Equa¸

c˜

oes Lineares

Um sistema de equa¸cões lineares composto por m equa¸cões e n incógnitas é um conjunto de equa¸cões do tipo:          a11x1+ a12x2+ . . . + a1_nx_n = b1 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2 ... am1x1+ am2x2+ . . . + amnxn = bm (2)

com aij, i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n, n´umeros reais (ou complexos) s˜ao chamados de coeficientes

das vari´aveis x1, x2,· · · , xn e bi s˜ao os termos independentes.

Quando b1 = b2 = · · · = bm = 0, o sitema ´e denominado homogˆeneo. Representado por:

         a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = 0 a21x1+ a22x2+ . . . + a2_nx_n = 0 ... am1x1+ a_m2x2+ . . . + a_mnx_n = 0 (3)

Todo sistema linear homogˆeneo admite uma solu¸c˜ao trivial, x1 = x2 = · · · = xm = 0.

Um sistemas de equa¸c˜oes lineares pode ser escrito na forma ma matricial:      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn           x1 x2 ... xn      =      b1 b2 ... bn      (4) ou simplesmente Ax= b, (5)

sendo A a matriz dos coeficientes, b a coluna dos termos independentes e x a matriz-coluna das variáveis (solu¸cão na Equa¸cão (5)).

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1.2.1 Sistemas Triangulares.

1. Um sistema linear de ordem n ´e triangular inferior se tiver a forma:        a11x1 = b1 a21x1+ a22x2 = b2 . . . an1x1+ a_n2x2+ . . . + a_nnx_n = b_n , (6)

com aii 6= 0, i = 1, . . . , n, e sua solu¸cão é obtida por substitui¸cão direta, ie, determina-se

x1 como x1 =

b1

a11

, com essa informa¸cão abordá-se a segunda equa¸cão, determinando x2,

e assim sucessivamente.

A formula¸cão algébrica da solu¸cão é: ( x1 = _ab1 11 xi = bi−Pi−1 j=1aijxj aii , i= 2, 3, . . . , n . (7)

2. Um sistema linear de ordem n ´e triangular superior se tiver a forma:        a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1 a22x2+ . . . + a2_nx_n = b2 . . . annxn= bn , (8)

com aii 6= 0, i = 1, . . . , n, e sua solu¸cão é obtida de forma análoga ao item anterior.

A formula¸cão algébrica da solu¸cão é: ( xn = _abn nn xi = bi−Pn j=i+1aijxj aii , i= n − 1, . . . , i (9)

Defini¸c˜ao 1 Uma matriz triangular inferior ´e uma matriz quadrada A = (aij)n×n, tal que

aij = 0, ∀i < j. E, se aij = 0, ∀i > j, A ´e dita uma matriz triangular superior.

1.3 Solu¸

c˜

ao do Sistema de Equa¸

c˜

oes Lineares

Uma solu¸cão do sistema de equa¸cões é uma n-upla de números (x1, x2,· · · , x_n) que satisfa¸ca

simultaneamente estas m equa¸c˜oes.

Tendo estabelecido o conceito de solu¸cão, da Equa¸cão (2), deve-se questionar, primeira-mente, sob que condi¸cões ou hipóteses a existência desta está assegurada, para então, construir métodos de resolu¸cão ou obten¸cão de solu¸cão numérica para a Equa¸cão (2).

Se considerarmos um sistema de uma equa¸c˜ao e uma inc´ognita, da forma ax = b, teremos as seguintes possibilidades:

i) se a 6= 0, nesse caso a solu¸cão da equa¸cão é única, x = b a;

ii) se a = 0 e b = 0, nesse caso temos 0.x = 0 e qualquer número real será solu¸cão da equa¸cão; iii) se a = 0 e b 6= 0, nesse caso temos 0.x = b, não havendo solu¸cão para a equa¸cão.

A classifica¸cão abaixo, quanto ao número de solu¸cões associadas a Equa¸cão (2), salienta que a existência de somente três possibilidades para o número de solu¸cões, a saber.

1. Sistema Poss´ıvel ou Consistente: O sistema possui pelo menos uma solu¸c˜ao. Ainda, um sistema linear consistente ´e

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(i) Determinado, se admite uma única solu¸cão; (ii) Indeterminado, se admite mais de uma solu¸cão.

2. Sistema Imposs´ıvel ou Inconsistente: é todo sistema que não admite solu¸cão. 1.3.1 Exemplo 1.

Sejam os Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares de Ordem 2:

(1a) x + y = 6 x− y = 2 (1b) x + y = 1 2x + 2y = 2 (1c) x + y = 1 x+ y = 4 (10)

det(1a) = −2 6= 0 det(1b) = 0 det(1c) = 0 (11)

Veja suas representa¸c˜oes gr´aficas:

Figura 1: Figura adaptada de [4].

Observe que o Sistema (1a) possui determinante diferente de zero, logo

1 1 1 −1 x y = 6 2 ⇔ Ax = b, | A | 6= 0, ∃A−1 |A−1 Ax = A−1 b ∴ x = A−1 b (12) O resultado em (12) ´e v´alido para qualquer valor de n, desde que se garanta | A | 6= 0. 1.3.2 Matriz Ampliada

A matriz ampliada associada ao sistema ´e representada por:      a11 a12 . . . a1n | b1 a21 a22 . . . a2n | b2 ... ... ... ... | ... am1 am2 . . . amn | bm      (13)

Esta nota¸cão é importante para facilitar a visualiza¸cão da matriz dos coeficientes e da matriz-coluna dos termos independentes.

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1.3.3 Sistemas Equivalentes

Dois sistemas de equa¸cões são equivalentes se, e somente se, admitem a mesma solu¸cão. Um sistema de equa¸cões lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam as seguintes opera¸cões elementares:

1. Permuta¸c˜ao (troca) de duas linhas. Nota¸c˜ao: Li ↔ Lj

2. Multiplica¸cão de uma linha por um número real diferente de zero. Nota¸cão: KLi → Lj

3. Substitui¸cão de uma linha pela sua soma com outra linha previamente multiplicada por um número real diferente de zero. Nota¸cão: Li+ kLj → Li

Se A e B são matrizes m × n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida de A através de um número finito de opera¸cões elementares sobre as linhas de A.

Nota¸c˜ao A → B ou A ∼ B. 1.3.4 Exemplo 2. 1. L2 ↔ L3   1 0 4 −1 −3 4  →   1 0 −3 4 4 −1   2. L2 → −3L2   1 0 4 −1 −3 4  →   1 0 −12 3 −3 4   3. L3 → L3+ 2L1   1 0 4 −1 −3 4  →   1 0 4 −1 −1 4  

Estas opera¸cões elementares fundamentam um método de resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares denominado escalonamento.

1.3.5 Forma Escada

Uma matriz m × n é dita reduzida à forma escada, Fig. 1.3.5, se: I. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. III. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas.

IV. Se as linhas 1, · · · , r são linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então k1 < k2 <· · · < k_r, isto é, o número de zeros no in´ıcio da linha

i+ 1 ´e maior do que o n´umero de zeros no in´ıcio da linha i.

Agora, uma matriz m × n é dita linha reduzida à forma escada se além das condi¸cões (I), (III) e (IV ), apresenta a condi¸cão:

II. Cada coluna que cont´em o primeiro elemento n˜ao nulo de alguma linha tem todos seus outros elementos iguais a zero.

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Figura 2: Esbo¸co de uma matriz reduzida `a forma escada. Figura adaptada de [1].

        1 0 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 1 0 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 0 1 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 1 ∗ 0 ∗ 0 0 0 0 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 0 0 0 0         1.3.6 Exemplo 3.

Quais das matrizes abaixo est˜ao linha reduzida `a forma escada:

1.   1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 

 Não, pois a segunda condi¸cão não é satisfeita.

2.   0 2 1 1 0 −3 0 0 0 

 Não, pois não satisfaz a primeira e nem a quarta condi¸cão.

3.   0 1 −3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 

 Não, pois não satisfaz a primeira e nem a terceira condi¸cão.

4.   0 1 −3 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 

 Sim, pois satisfaz todas as condi¸c˜oes.

OBS: Dado um sistema n × n, o processo de usar as opera¸cões (I), (III) e (IV ) para transformar um sistema linear em outro cuja matriz aumentada está em forma escada é chamado de Método de Gauss.

1.3.7 Posto e Nulidade

Defini¸c˜ao 2 Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz linha reduzida `a forma escada linha

equivalente a A. O posto de A, denotado por p (ou pA), é o número de linhas não nulas de B.

A nulidade de A é o número n − p, com n o número de colunas da matriz A.

O posto da matriz dos coeficientes de A denotado por pc, é o número de linhas não nulas da

matriz dos coeficientes reduzida à forma escada. O posto é o número de equa¸cões do sistema que não podem ser escritas como combina¸cão linear uma das outras. A nulidade nos fornece o grau de liberdade do sistema. Se pA= pc denotamos simplismente por p.

Com a Def. (1), podemos classificar, quanto ao número de solu¸cões associadas a Equa¸cão (2), conforme Se¸cão 1.3:

1. Sistema Poss´ıvel ou Consistente ou Compat´ıvel: admite solu¸c˜ao se pA= pc

(i) Determinado: pA= pc = n;

(ii) Indeterminado: pA= pc < n.

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1.3.8 Exemplo 4.

Discuta os seguintes sistemas lineares:

1.    2x + 4y = 16 5x − 2y = 4 10x − 4y = 3 2.    x+ 2y + z = 0 −x + 3z = 5 x− 2y + z = 1 3. x + 2y + z + t = 1 x+ 3y − z + 2t = 3 4.        2x − y = 3 x+ 4y = 2 x− 5y = 1 4x + 16y = 8

Referˆ

encias

[1] Boldrini, J. L., Costa, S. I. R., Ribeiro, V. L. F. F. e Wetzler, H. G., ´Algebra Linear. Harper & Row do Brasil Editora, 1980.

[2] Leon, S. J.: ´Algebra Linear com aplica¸c˜oes, 4a

edi¸c˜ao, LTC, 2008.

[3] Steinbruch, A.; Winterle, P.: ´Algebra linear, Makron Books Editora, 1987.