ALGEBRA LINEAR
Inversão de Matrizes
A . B = B . A = I
B é inversa de A e se representa por A-1
A . A-1 = A-1 . A = I
DEFINIÇÃO
•Notas:
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos
então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
2) se det (A-1) 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única .
Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
PROPRIEDADES
• Se a matriz A admite inversa ( ), esta é única.
det
A
0
• Se a matriz A é não singular, sua inversa A-1 também é. A
matriz inversa de A-1 é A.
• A matriz Unidade I é não singular (det I = 1) e é sua própria inversa. I = I-1.
• Se a matriz A é não singular, sua transposta AT também é. A
matriz inversa de AT é (A-1)T.
EXEMPLO
Encontrar a inversa da matriz
2 3 5 8 A I A
A . 1
OPERAÇÕES ELEMENTARES
• Permutação de duas linhas (ou de duas colunas)
• Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real não nulo.
EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES
TRANSFORMAÇÃO DE UMA MATRIZ NA MATRIZ UNIDADE
Qualquer matriz quadrada de ordem n, não singular, pode ser transformada na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão finita de operações elementares, isto é, I ~ A .
• Transformar a matriz A numa matriz triangular superior (inferior), ao mesmo tempo em que são substituídos cada um dos elementos da diagonal principal pelo número 1;
• Substituir todos os elementos situados acima (abaixo) da diagonal principal por zeros, isto é, processem a
INVERSÃO DE UMA MATRIZ POR MEIO DE OPERAÇÕES ELEMENTARES
A mesma sucessão finita de operações elementares que transforma a matriz A na matriz I, transforma a matriz I na A-1.
Para determinar a matriz inversa de A deve-se:
• coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical
EXEMPLO
Determinar a matriz inversa da matriz
3 5 2 2 2 4 3 1 2 A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 2 2 2 4 3 1 2 L
1 (1/2).L1 *
1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 3 5 2 2 2 4 2 3 2 1 1
1 0 1 0 1 2 0 0 2 1 0 4 0 4 0 0 2 3 2 1 1
L2 L3 * L3 L2 *
2 1 0 1 0 1 0 0 2 1 4 0 0 0 4 0 2 3 2 1 1
2 1 04 1 0 4 1 0 0 2 1 4 0 0 0 1 0 2 3 2 1
1 L1 L1 – (1/2).L2
2 1 04 1 0 4 1 8 1 0 8 5 4 0 0 0 1 0 2 3 0 1
0 4 1 2 1 4 1 0 4 1 8 1 0 8 5 1 0 0 0 1 0 2 3 0
1 L1 L1 – (3/2).L3
EXERCÍCIOS
1- Transformar na matriz Identidade a matriz utilizando as operações elementares.
3 1
4 3
A
3- Determinar a matriz inversa da matriz
4 3 5
2 3 1
7 1 2 A
2- Determinar a matriz inversa da matriz
3 5
4- Supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais X é a variável.
