LCC 2006/2007 Ana Jacinta Soares. Notas sobre a disciplina

(1)

C´

alculo

LCC 2006/2007 Ana Jacinta Soares

(2)

Programa Resumido

Cap´ıtulo I Tópicos sobre o corpo dos números reais. Cap´ıtulo II Sucessões e séries de números reais.

Cap´ıtulo III Limite e continuidade de fun¸c˜oes reais de vari´avel real. Cap´ıtulo III Derivadas e primitivas.

Cap´ıtulo IV Integrais.

Principais Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1 ] J. Campos Ferreira, Introdu¸cão à Análise Matemática, Gulbenkian, 1999.

[2 ] T. Apostol, C´alculo, Vol. 1, Editora R´evert´e, 1991.

[3 ] Fernando Miranda e Lisa Santos, Introdu¸cão à Análise Real, DMat–UM, 2004.

[4 ] Lisa Santos, T´opicos de An´alise Real, DMat–UM, 2004.

(3)

Cap´ıtulo I

T´

opicos sobre o corpo dos n´

umeros reais

Este é um cap´ıtulo de base, onde introduziremos algumas propriedades do conjunto R dos números reais. Na primeira parte, enunciaremos propriedades algébricas das quais resultam todas as regras de manipula¸cão dos números reais. Na segunda parte, apresentaremos algumas no¸cões sobre cardinalidade. Na terceira e última parte, intro-duziremos conceitos ditos topológicos – relacionadas com a no¸c˜ao de proximidade – que conferem ao conjunto R a estrutura adequada para introduzir as no¸cões de limite e de continuidade.

1 Estrutura¸

c˜

ao alg´

ebrica de

R

O conjunto R, quando munido das opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão que, a cada par x, y∈ R, fazem corresponder a sua soma x + y ∈ R e o seu produto x · y ∈ R, respectivamente, constitui uma estrutura alg´ebrica dita corpo ordenado completo, que passaremos a descrever nas subseçcões seguintes (para uma análise mais detalhada deste assunto, cf. por exemplo a referˆencia bibliográfica [1]).

1.1 O corpo ordenado R

A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais deR verificam as seguintes propriedades, ditas axio-mas, que conferem aR a estrutura de corpo.

Axiomas da adi¸c˜ao. A adi¸c˜ao verifica as seguintes propriedades. A1. Associatividade

(x + y) + z = x + (y + z) , ∀x, y, z ∈ R (1a) A2. Comutatividade

(4)

A3. Existˆencia de elemento neutro (zero, representado por 0)

∃0 ∈ R : x + 0 = x , ∀x ∈ R (1c) A4. Existˆencia de sim´etrico (o sim´etrico de x representa-se por −x)

∀x ∈ R , ∃(−x) ∈ R : x + (−x) = 0 (1d ) Axiomas da multiplica¸c˜ao. A multiplica¸c˜ao verifica as seguintes propriedades. M1. Associatividade

(x· y) · z = x · (y · z) , ∀x, y, z ∈ R (2a) M2. Comutatividade

x· y = y · x , ∀x, y, z ∈ R (2b) M3. Existˆencia de elemento neutro (unidade, representado por 1)

∃1 ∈ R : 1 =/ 0 , x · 1 = x , ∀x ∈ R (2c) M4. Existˆencia de inverso (o inverso de x representa-se por x−1)

∀x ∈ R , x =/ 0 , ∃ x−1∈ R : x · x−1= 1 (2d ) Axioma da distributividade. Para as duas opera¸c˜oes, vale a seguinte propriedade. D1. Distributividade da multiplica¸cão relativamente à adi¸cão

x· (y + z) = x · y + x · z , ∀x, y, z ∈ R (3) A adi¸cão e a multiplica¸cão verificam algumas propriedades entre as quais destacamos a unicidade de sim´etrico para cada x∈R e a unicidade de inverso para cada y ∈R\{0}. Outras opera¸cões no corpo R

Definem-se mais duas opera¸c˜oes, uma subtraçcão e uma divisão, respectivamente por

x− y = x + (−y) , ∀x, y ∈ R (4a) x/y = x· y−1, ∀x ∈ R , ∀y ∈ R\{0} (4b) Ordena¸c˜ao de R

Em R ´e poss´ıvel destacar um subconjunto, que se indica por R+_{, constitu´ıdo pelos}

elementos ditos positivos, que ´e fechado para a adi¸cão e para a multiplica¸cão, isto é

x, y∈ R+ =⇒ x + y ∈ R+ (5a) x, y∈ R+ =⇒ x · y ∈ R+ (5b)

(5)

O conjunto constitu´ıdo pelos sim´etricos dos elementos deR+ representa-se porR− e os seus elementos dizem-se os n´umeros reais negativos.

Dados x, y∈ R, dizemos que x ´e menor do que y, e escrevemos x < y, quando y−x ∈ R+. Analogamente, dizemos que x ´e maior do que y, e escrevemos x > y, quando x−y ∈ R+. As express˜oes x > 0 e x < 0 significam que x∈ R+ _{e que x}_{∈ R}−_{, respectivamente.}

A rela¸c˜ao bin´aria < confere ao corpoR a estrutura de corpo ordenado. De facto, trata-se de uma rela¸c˜ao de ordem, por se verificarem as seguintes propriedades.

Axiomas de ordem O1. Transitividade

Se x < y e y < z ent˜ao x < z .

O2. Tricotomia

Dados x, y ∈ R , ou x = y ou x < y ou y < x .

O3. Monotonicidade da adi¸cão (a rela¸cão de ordem respeita a adi¸cão) Se x < y então x + z < y + z , ∀x, y, z ∈ R .

O4. Monotonicidade da multiplica¸cão (a rela¸cão de ordem respeita a multiplica¸cão por elementos positivos) Se x < y e 0 < z então x· z < y · z .

Se x < y e z < 0 ent˜ao y· z < x · z .

A propriedade tricot´omica dos n´umeros reais permite escrever

R = R+_{∪ R}_˙ −_{∪ {0}}_˙ ₍₆₎

e tratar, do ponto de vista geom´etrico, o conjuntoR como uma recta, a chamada recta real, onde se identifica um ponto privilegiado – o zero do corpo – a que se chama origem

r r t r r a b ₀ c d -A A R + R−

Figura 1: Representa¸c˜ao geom´etrica do conjuntoR.

Outras nota¸c˜oes usuais s˜ao

x≥ 0 para indicar x = y ou x > y

(6)

1.2 N´umeros naturais, inteiros e racionais

O conjunto N dos n´umeros naturais ´e o menor subconjunto de R contendo a unidade e satisfazendo a propriedade indutiva, isto ´e, o menor subconjunto tal que

1∈ N e n ∈ N =⇒ n + 1 ∈ N (8) O conjuntoN é fechado para a adi¸cão e para a multiplica¸cão, mas não é fechado para a subtraçcão nem para a divisão.

O conjuntoZ dos números inteiros representa a totalidade dos números naturais reunidos com os seus simétricos e o zero, isto é

Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N} (9a)

O conjunto Z pode ainda ser definido como o subconjunto dos reais que se exprimem na forma

z = x− y , x, y ∈ N (9b)

sendo fechado para a adi¸cão, para a subtraçcão e para a multiplica¸cão, mas não para a divisão. Usamos as nota¸cões

Z+₌_{N , Z}−₌_{{−n : n ∈ N} , Z}+

0 =Z+∪ {0} , Z−0 =Z−∪ {0} (10)

para os inteiros positivos, os inteiros negativos, os inteiros n˜ao negativos e os inteiros n˜ao positivos, respectivamente.

O conjuntoQ dos números racionais é constitu´ıdo por todos os números reais que podem ser escritos na forma

u = p

q , com p, q∈ Z e q =/ 0 (11) sendo fechado para as quatro opera¸c˜oes que temos vindo a referir. Usamos as nota¸c˜oes

Q+₌_R+_{∩ Q , Q}−₌_R−_{∩ Q , Q}+

0 =Q+∪ {0} , Q−0 =Q−∪ {0} (12)

com sentido semelhante ao introduzido em (10). ´E imediato que

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R (13)

onde todas as inclusões são estritas. Em particular, os números reais que não são racionais constituem o conjuntoR\Q dos números irracionais.

1.3 Conjuntos limitados

Antes de passarmos às defini¸cões, refira-se que se supõem conhecidos os significados de intervalo, intervalo limitado, intervalo ilimitado e ainda de intervalo aberto, intervalo fechado e intervalo semi-aberto (ou semi-fechado). Quando falarmos em intervalo de extremos a e b, suporemos sempre a < b, `a excep¸cão do intervalo fechado e limitado em que admitimos a possibilidade de ser a = b; nesse caso, o intervalo [a, a] reduz-se ao conjunto{a} e diz-se um intervalo degenerado.

(7)

Conjunto limitado inferiormente

Dado um conjunto X⊂ R, dizemos que X ´e limitado inferiormente quando

∃a ∈ R : ∀x ∈ X , x ≥ a (14a) ou seja, quando

∃a ∈ R : X ⊂ [a, +∞[ (14b)

Nas condi¸c˜oes (14a-14b), diz-se que a é um minorante de X . Ser´a também um minorante de X todo o número real c < a. Eventualmente, existirão outros minorantes d > a. Quando X é limitado inferiormente, define-se o ´ınfimo de X, que se representa por inf X, como o maior dos minorantes de X. Assim, α = inf X se e s´o se

I1) ∀x ∈ X, x ≥ α (α ´e minorante de X)

I2) Existindo c∈ R tal que (∀x ∈ X, x ≥ c), ent˜ao c ≤ α

(α ´e o maior dos minorantes de X)

O ´ınfimo de um conjunto limitado inferiormente ´e ´unico. Quando, em particular, o ´ınfimo de um conjunto X ´e um elemento do pr´oprio conjunto, ele designa-se por m´ınimo

de X e representa-se por min X.

Conjunto limitado superiormente

Analogamente, dado um conjunto X⊂R, diz-se que X ´e limitado superiormente quando ∃b ∈ R : ∀x ∈ X , x ≤ b (15a) ou seja, quando

∃b ∈ R, X ⊂ ] − ∞, b] (15b)

Todo o n´umero real b que satisfa¸ca as condi¸c˜oes (15a)-(15b) diz-se um majorante de X . O menor dos majorantes de X diz-se o supremo de X e representa-se por sup X. Assim, tem-se β = sup X se e s´o se

S1) ∀x ∈ X , x ≤ β (β ´e majorante de X)

S2) Existindo d∈ R tal que (∀x ∈ X, x ≤ d), ent˜ao d ≥ β

(β ´e o menor dos majorantes de X)

O supremo de um conjunto limitado superiormente é único. Quando, em particular, sup X∈X, o supremo designa-se por máximo de X e representa-se por max X.

Conjunto limitado

Um conjunto X⊂ R diz-se limitado quando X ´e, simultanemamente, limitado inferior-mente e limitado superiorinferior-mente, isto ´e, quando

(8)

ou, equivalentemente, quando

∃ a, b ∈ R, X ⊂ [a, b] (16b) Exemplo 1

Considere-se o conjunto X ={x∈ Q : x ≥ 0 ∧ x2 ≤ 10}.

Tem-se X = [0,√10 ]∩ Q , ou seja, X consiste no conjunto dos racionais do intervalo [0,√10 ].

X ´e limitado porque X⊂[ 0,√10 ]. O conjunto dos majorantes de X ´e o intervalo [√10, +∞[ e o conjunto dos minorantes de X ´e o conjunto ]− ∞, 0 ] .

Tem-se ainda sup X =√10 e como √10̸∈ X, conclui-se que X n˜ao possui m´aximo. Por outro lado, inf X = 0 e 0∈ X, pelo que min X = 0 .

1.4 Axioma do supremo

Vamos agora apresentar a propriedade do corpo ordenado R que, no actual contexto, melhor o distingue de Q. Note-se que o conjunto Q, munido com as mesmas opera¸cões e com a mesma rela¸cão de ordem, também constitui um corpo ordenado. No entanto, como se viu no Exemplo 1, Q não é fechado para a opera¸cão de radicia¸cão.

Axioma do supremo (ou da completude deR)

Qualquer subconjunto de R não vazio e limitado superiormente possui supremo em R. O axioma do supremo confere a R a estrutura de corpo ordenado completo. Do que se viu no Exemplo 1, é evidente que o corpo ordenadoQ não é completo, o que, do ponto de vista do Cálculo, constitui a “carência mais grave” do conjunto Q.

Do axioma do supremo, extrai-se o seguinte resultado.

Propriedade 1

Qualquer subconjunto de R n˜ao vazio e limitado inferiormente possui ´ınfimo em R. Demonstra¸c˜ao

Seja X um subconjunto deR n˜ao vazio e limitado inferiormente.

Considere-se o conjunto Y constitu´ıdo pelos sim´etricos dos elementos de X,

Y ={y ∈ R : y = −x, x ∈ X}

´

E imediato que

Y⊂R , Y =/∅ , Y ´e limitado superiormente

Do axioma do supremo, sai que sup Y∈R. Como sup Y =−inf X, sai tamb´em que −infX ∈R. Consequentemente, inf X =−(−inf X) ∈ R .

2 Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

Nesta seçcão, vamos apenas introduzir algumas no¸cões de cardinalidade. Para uma exposi¸c˜ao detalhada sobre este assunto, cf. as referˆencias bibliográficas recomendadas.

(9)

Dado n ∈ N, representaremos por In o conjunto de todos os n´umeros naturais n˜ao

superiores a n, ou seja, pomos

In={1, 2, . . . , n} (17)

Dizemos que um conjunto X⊂ R é finito quando X é vazio, possuindo zero elementos, ou quando, para algum natural m, existe uma bijeçc˜ao entre o conjunto X e o conjunto Im, caso em que X possui m elementos. Do ponto de vista intuitivo, uma tal bijeçc˜ao

representa uma contagem dos elementos do conjunto X.

A propriedade que passamos a enunciar estabelece um resultado muito útil que, do ponto de vista intuitivo, é bastante imediato. Omitimos aqui a sua demonstra¸cão.

Propriedade 2

Seja X⊂R um conjunto finito possuindo n elememtos. Ent˜ao:

(a) qualquer conjunto A⊂X é também finito e possui, no máximo, n elementos; (b) existindo uma bijeçc˜ao entre X e outro conjunto Y , também Y ´e finito e possui n elementos.

Um conjunto Y ⊂R diz-se infinito quando não é finito. Consequentemente, um conjunto Y ser´a infinito quando n˜ao for vazio nem existir, para qualquer n∈ N, uma bijeçcão entre Y e In. Para mostrar que um conjunto é infinito, podemos usar as seguintes

propriedades que n˜ao demonstraremos.

Propriedade 3

Um conjunto Y⊂R é infinto se e só se é poss´ıvel definir uma bijeçcão entre Y e um seu subconjunto próprio1.

Propriedade 4

Sejam X, Y dois conjuntos tais que X⊂Y com X infinto. Ent˜ao Y ´e infinito. Exemplo 2

O conjunto N é infinito. De facto, designando por P o conjunto dos naturais pares, é fácil verificar que a aplica¸cão

φ : N −→ P n 7−→ 2n

constitui uma bijeçcão entre N e P. Da Propriedade 4 e da condi¸cão (13), sai que Z, Q e R são também infinitos.

Um conjunto X diz-se numerável quando existe uma bijeçcão entre X e N. Notar que, assim, se X ´e numerável ent˜ao X ´e infinito.

(10)

Exemplo 3

(a) O conjunto N ´e numer´avel.

(b) Usando a defini¸c˜ao, não é dif´ıcil verificar que o conjunto Z também é numerável (exerc´ıcio da Folha 1).

Mostra-se ainda que:

• o conjunto Q dos números racionais é numerável; • o conjunto R dos números reais não é numerável;

• todo o intervalo não degenerado de números reais é não numerável; • o conjunto R\Q dos números irracionais é não numerável.

Para uma abordagem mais desenvolvida sobre este assunto, confrontar a bibliografia recomendada, nomeadamente a referˆencia [5].

3 Estrutura¸

c˜

ao topol´

ogica de

R

As no¸cões que introduziremos nesta seçcão serão essenciais no estudo das fun¸cões reais de varivel real, nomeadamente no estudo de limite e de continuidade. Tais no¸cões estão fortemente relacionadas com o conceito de proximidade e, como tal, ´e essencial come¸car por definir uma distância emR. Iremos definir essa distância a partir da no¸cão de valor absoluto ou módulo.

3.1 Valor absoluto

Dado x∈R, chamamos valor absoluto de x ao maior dos n´umeros x e −x. Escrevemos

|x| = max { x, −x } (18a)

Sai de imediato que |0| = 0 e que |x| =

{

x se x≥ 0

−x se x < 0 (18b)

O valor absoluto verifica as seguintes propriedades.

Propriedade 5

Sejam x, y, z∈ R. Ent˜ao:

(a) |x| ≥ 0 e |x| = 0 sse x = 0; (b) | − x| = |x|;

(11)

(c) |x| ≥ x e |x| ≥ −x; (d) − |x| ≤ x ≤ |x|;

(e) sendo a≥ 0, tem-se |x| ≤ a sse −a ≤ x ≤ a; (f) sendo a≥ 0, tem-se |x| ≥ a sse x ≥ a ∨ x ≤ −a; (g) |x · y| = |x| · |y|;

(h) x y

= |x|_|y| , sempre que y̸= 0; (i) |x + y| ≤ |x| + |y|;

(j) |x| − |y| ≤ | |x| − |y| | ≤ |x − y|; (l) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.

3.2 Distˆancia

A no¸c˜ao de valor absoluto permite introduzir o conceito de distância entre dois n´umeros reais. Dados x, y∈R, chama-se distância de x a y ao número d(x, y) definido por

d(x, y) =|x − y| (19)

A distˆancia assim definida verifica as seguintes propriedades.

Propriedade 6

Sejam x, y, z ∈ R . Ent˜ao

(a) d(x, y) ≥ 0 , ∀x, y ∈ R, e d(x, y) = 0 sse x = y (b) d(x, y) = d(y, x)

(c) d(x, y)≤ d(x, z)+d(z, y) (Desigualdade tringular)

Usando a no¸c˜ao de distˆancia, podemos exprimir o conceito de intervalo aberto (ou fechado) de centro a e raio ε da seguinte forma

]a− ε, a + ε[ = { x ∈ R : d(x, a) < ε } = { x ∈ R : |x − a| < ε } (20a) [a− ε, a + ε] = { x ∈ R : d(x, a) ≤ ε } = { x ∈ R : |x − a| ≤ ε } (20b)

3.3 No¸c˜oes topol´ogicas

Vamos introduzir as no¸c˜oes topol´ogicas come¸cando, em cada caso, com uma abordagem intuitiva referente ao conjunto

X = [0, 3[\{1} ∪ {4} t d d t

(12)

Conjunto Aberto

Comecemos por considerar, em X, os elementos

a = 0, b = 2, c = 4.

Notemos que, em rela¸c˜ao ao ponto b, para além de b pertencer a X, tamb´em pertencem a X todos os n´umeros reais suficientemente pr´oximos de b, o que se pode traduzir dizendo que ´e poss´ıvel definir um intervalo do tipo ]b− r, b + r[ totalmente contido em X. Relativamente ao ponto a, j´a não é verdade que os reais suficientemente próximos de a s˜ao tamb´em elementos de X, pois qualquer intervalo do tipo ]a− r, a + r[ contém necessariamente elementos do complementar de X; os problemas colocam-se obviamente `

a esquerda de a. Relativamente a c, a situa¸cão “agrava-se” porque os problemas se colocam de ambos os lados. No que se segue, iremos dizer que b é um ponto interior ao conjunto X e que a e c n˜ao s˜ao pontos interiores a X. Formalizamos esta ideia da seguinte forma. Dados um conjunto A⊂ R e um ponto x ∈ R, dizemos que x é ponto interior de A quando

∃r > 0 : ] x − r , x + r [ ⊂ A (22) Designamos por interior de A o conjunto int A constitu´ıdo pela totalidade dos pontos interiores a A.

Para qualquer conjunto A⊂ R, tem-se sempre intA ⊂ A, o que significa que o interior de A pode ser obtido de A excluindo, eventualmente, alguns pontos de A. Quando, em particular, for int A = A, dizemos que A ´e um conjunto aberto.

Exemplo 4

(a) Se C =R então int C = R . Logo, C é aberto. (b) Se X =∅ então int (X) = ∅ , Logo ∅ é aberto. (c) Se X =Q então int X = ∅ , Logo Q não é aberto.

(d) Se D = ]0, 1]∩Q então intD =∅, porque não existe um intervalo do tipo ]x−r, x+r[ constitu´ıdo exclusivamente por racionais. Logo, D n˜ao é aberto.

O resultado que se apresenta a seguir ´e relevante na caracteriza¸c˜ao dos abertos deR. Propriedade 7

A coleçcão dos abertos deR goza das seguintes propriedades: A1) ∅ e R são abertos;

A2) se A⊂R e B ⊂R são abertos então A ∩ B é aberto; A3) se (Ai)i∈I é uma fam´ılia arbitrária de abertos então

∪

i∈I

(13)

Demonstra¸c˜ao:

A1) Basta atender ao exemplo 4.

A2) Sejam A, B⊂ R abertos. Mostremos que todo o ponto de A ∩ B é ponto interior de A ∩ B. Seja x∈ A∩B. Então x ∈ A e x ∈ B. Como A e B são abertos, x ∈ int A e x ∈ int B, pelo que, existem εa> 0 e εb> 0 tais que ]x− εa, x + εa[⊂ A e ]x − εb, x + εb[⊂ B . Tomando

ε = min{εa, εb}, resulta que ]x−ε, x+ε[⊂ A e ]x−ε, x+ε[⊂ B , donde ]x−ε, x+ε[⊂ A∩B

e x∈ int (A ∩ B) .

A3) Seja (Ai)_i_∈I uma fam´ılia arbitr´aria de abertos. Mostremos que todo o ponto de

∪

i∈I Ai ´e

ponto interior de∪_i_∈I Ai.

Seja x∈∪_i_∈I Ai. Ent˜ao x∈ Akpara algum k∈I. Como Ak´e aberto, tamb´em x∈ int Ak,

existindo ε > 0 tal que ]x− ε, x + ε[⊂ Ak⊂

∪

i∈I Ai. Logo x∈ int

(∪

i∈I Ai

) .

Observa¸c˜ao 1

Da Propriedade 7.A2), resulta que a interseçcão de um número finito de abertos é um aberto. No entanto, nada se pode concluir sobre a interseçcão de um número infinito de abertos. Tal interseçcão pode n˜ao ser um aberto. Por exemplo, para cada n∈ N, o conjunto An = ] −1 n, 1 n [ ´ e um aberto em R. No entanto, ∩ n∈N An = {0}, que não constitui um aberto emR . Conjunto Fechado

Retomemos o conjunto X = [0, 3[\{1}∪{4}, que introduzimos no in´ıcio desta subsec¸c˜ao, e consideremos em R\X os pontos

α = 1, β = 3, γ = 6.

Relativamente ao ponto α = 1, podemos constactar que, apesar de α∈ R\X, à sua volta, em qualquer intervalo do tipo ]α− r, α + r[ , existem elementos de X. Relativamente ao ponto β = 3, a situa¸c˜ao é análoga, podendo afirmar-se que em qualquer intervalo do tipo ]β− r, β + r[ existem elementos de X. Finalmente, em rela¸cão ao ponto γ = 6, a situa¸cão é diferente; não s´o γ n˜ao est´a em X, como at´e é poss´ıvel exibir um intervalo do tipo ]γ−r, γ+r[ que não possui elementos de X. No contexto da estrutura¸cão topológica de R, iremos dizer que α e β são pontos aderentes ao conjunto X e que γ não é ponto aderente a X. A caracter´ıstica dos reais α e β que fez deles pontos aderentes a X ´e comum aos elementos do pr´oprio conjunto X. Veja-se, por exemplo, que em rela¸cão a c = 4, ´e ´obvio que qualquer intervalo ]c− r, c + r[ contém elementos de X, pois o próprio c é um elemento de ]c− r, c + r[ ∩X. Desta forma todos os elementos de X são também aderentes a X. Formalizamos estas ideias como se segue. Dados um conjunto A⊂ R e um ponto x∈R, dizemos que x é ponto aderente a A se

(14)

O conjunto dos pontos aderentes a A designa-se por aderˆencia de A ou por fecho de A, e representa-se por A .

Para qualquer conjunto A⊂ R, tem-se sempre A ⊂ A, o que significa que o fecho de A pode ser obtido de A juntando-lhe, eventualmente, mais alguns pontos. Quando, em particular, for A = A, dizemos que A ´e um conjunto fechado.

Exemplo 5

(a) Se A = [0, 1[ ent˜ao A = [0, 1] . Logo, A n˜ao ´e fechado.

(b) Se B = [0, 1] ent˜ao B = [0, 1]. Logo, B ´e fechado.

(c) Se C =R ent˜ao C = R e, portanto, C ´e fechado.

(d) Se D = ]0, 1[∩ Q então D = [0, 1], porque qualquer intervalo ]x − r, x + r[ centrado em x∈[0, 1] contém racionais do intervalo ]0, 1[. Logo, D não é fechado.

(e) Se E =∅ ent˜ao E = ∅ . Logo, E ´e fechado.

Uma quest˜ao pertinente seria a de indagar como se relacionam os conceitos de conjunto aberto e conjunto fechado. A resposta ´e dada pelo resultado que passamoas a enunciar.

Propriedade 8

Um conjunto F⊂R é fechado se e só se o seu complementar, R\F , é aberto. Demonstra¸cão: Omitida.

Da Propriedade 7 sobre abertos e da Propriedade 8 , obt´em-se o seguinte resultado para fechados.

Propriedade 9

A coleçcão dos fechados deR goza das seguintes propriedades: F1) ∅ e R são fechados;

F2) se F⊂R e G⊂R são fechados então F ∪ G é fechado; F3) se (Fi)_i_∈I é uma fam´ılia arbitrária de fechados então

∩

i∈I

Fi ´e fechado.

Demonstra¸c˜ao: Exerc´ıcio. Observa¸c˜ao 2

(a) Há conjuntos que não s˜ao abertos nem fechados. Por exemplo, [0, 1[ e ]0, 1[∩ Q . (b) Há conjuntos que são, simultaneamente, abertos e fechados.

(15)

(c) Da Propriedade 9.F2), sai que toda a interseçcão de um número finito de fechados ´

e um fechado. No entanto, a reunião de um número infinito de fechados pode não ser um fechado. Considere-se, por exemplo, X = ]0, 1[ , que ´e um aberto em R. Tem-se X =∪

x∈X

{x}, sendo cada {x} um conjunto fechado em R. Mas X n˜ao ´e fechado!

(d) ∀X ⊂R , int X é aberto e X é fechado. (e) Se X⊂Y então int X ⊂int Y .

Fronteira

Novamente em rela¸c˜ao a X = [0, 3[\{1}∪{4}, é imediato que o ponto β = 3 é simultanea-mente aderente a X e ao seu complementar, R \ X = [−∞, 0[ ∪ {1} ∪ [3, ∞[\{4}. A situa¸cão é an´aloga relativamente ao ponto c = 4. Diremos por isso que β e c são pontos fronteiros de X. Mais em geral, dado um conjunto A⊂ R e um ponto x ∈ R, dizemos que x é ponto fronteiro de A quando x∈ A ∩ R\A, ou equivalentemente quando

∀r > 0, ] x − r, x + r [ ∩ A =/ ∅ ∧ ] x − r, x + r [ ∩ R\A =/ ∅. (24) O conjunto de todos os pontos fronteiros de A chama-se fronteira de A e representa-se por f rA. Exemplo 6 (a) Se A = [0, 1[ então f rA ={0, 1}. (b) Se B = [0, 2[\{1} então frB = {0, 1, 2}. (c) Se C =]0, 1[∩ Q então frC = [0, 1]. Propriedade 10

Seja X⊂ R. Então X = fr X ˙∪ int X. (reunião disjunta) Demonstra¸cão:

´

E imediato que intX⊂X e que frX ⊂X, pelo que intX ∪ frX ⊂X.

Resta mostrar que X⊂fr X ∪ int X . Seja x ∈ X . Ent˜ao, ∀r > 0 , ]x − r, x + r[∩X =/ ∅ . • No caso em que ∃r∗_{> 0 : ]x}_{− r}∗_{, x + r}∗_[_{⊂X , resulta x ∈ intX .}

• Caso contrário, ter-se-á também que ∀r > 0 : ]x − r, x + r[ ∩ R \ X =/∅ , pelo que x ∈ frX .

Pontos de acumula¸c˜ao

Mais uma vez, retomemos o conjunto X = [0, 3[\{1} ∪ {4} e consideremos os pontos a = 0, b = 2, c = 4,

todos elementos de X, e ainda os pontos

(16)

todos elementos deR\X. Para a no¸cão que vamos introduzir, em nada importa o que se passa com o próprio ponto, apenas é relevante o que se passa estritamente à sua volta. Em primeiro lugar, relativamente ao ponto b = 2, tanto `a sua esquerda como à sua direita, em qualquer intervalo ]b− r, b + r[, existem pontos de X distintos do próprio b. A situa¸cão é completamente análoga em rela¸c˜ao ao ponto α = 1. Iremos dizer que b e α s˜ao pontos de acumula¸cão à esquerda e à direita de X. Já a respeito do ponto a = 0, mas só `a sua direita, qualquer intervalo ]a−r, a+r[ contém pontos de X distintos do próprio a. Diremos que a é ponto de acumula¸cão à direita de X mas n˜ao ´e ponto de acumula¸cão `

a esquerda de X. Por raz˜oes an´alogas, iremos dizer que β é ponto de acumula¸cão à esquerda de X mas n˜ao ´e ponto de acumula¸cão à direita de X. Finalmente, em rela¸c˜ao a cada um dos pontos c = 4 e γ = 6, a situa¸c˜ao é totalmente distinta. `A volta de c, ´e poss´ıvel definir um intervalo ]c− r, c + r[ que não contém outros pontos de X e à volta de γ, é poss´ıvel definir um intervalo do tipo ]γ− r, γ + r[ que não contém pontos de X. Ao ponto c, que está em X mas n˜ao é ponto de acumula¸c˜ao de X, chamaremos ponto isolado de X. Formalizemos estas ideias.

Dados um conjunto A⊂R e um ponto x∈R , dizemos que x ´e ponto de acumula¸c˜ao de A quando

∀r > 0 , ( ] x − r, x + r [ \{x}) ∩ A =/ ∅ (25) Em particular, dizemos que x é ponto de acumula¸cão à esquerda de A quando

∀r > 0 , ] x − r, x [ ∩ A =/ ∅ (26a) e que x é ponto de acumula¸cão à direita de A quando

∀r > 0 , ] x, x + r [ ∩ A =/ ∅ (26b) O conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de X designa-se por derivado de X e representa-se por X′. O conjunto dos pontos de acumula¸cão `a esquerda de X representa-se por X₋′ e o conjunto dos pontos de acumula¸cão `a direita de X representa-se por X₊′ . É claro que X₊′ ⊂X e que X₋′ ⊂X .

Propriedade 11

Seja X⊂R . Ent˜ao X = X ∪ X′. Demonstra¸c˜ao:

(i) J´a sabemos que X⊂X. Da defini¸c˜ao de X′, ´e evidente que X′⊂ X . Logo X∪ X′⊂ X .

(ii) Para mostrar que X⊂X ∪ X′, vamos mostrar que se x∈ X mas x ̸∈ X então x ∈ X′. Consideremos ent˜ao x∈ X. A interseçcão de X com qualquer intervalo ]x − ε, x + ε[ é n˜ao vazia, pelo que, em qualquer intervalo ]x− ε, x + ε[ existe pelo menos um elemento do conjunto X, ou seja,

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Mas como x̸∈ X, podemos garantir que, para cada ε > 0, tal yε´e distinto de x, ou seja,

que

∀ε > 0, ∃yε∈ ]x − ε, x + ε[ ∩ X ∧ yε̸= x

e, portanto, que

∀ε > 0 : ]x − ε, x + ε[ \{x} ∩ X =/∅

significando que x∈ X′. A demonstra¸c˜ao fica completa.

Como consequˆencia da propriedade 11, dado X⊂R, tem-se que

X ´e fechado se e s´o se X′⊂X (27) Ponto isolado

Dizemos que x ´e um ponto isolado de A quando x∈ A mas x ̸∈ A′, ou seja, quando ∃r > 0 : ] x − r, x + r [ ∩ A = {x} (28) Exemplo 7

(a) Se A = ( [0, 3[\{1}) ∪ {4} ent˜ao A′ = [0, 3] e 4 ´e o ´unico ponto isolado de A. (b) Se B = ]0, 3[∩ Q ent˜ao B′ = [0, 3] e B n˜ao possui pontos isolados.

(c) Se C ={1, 2, 3} ent˜ao C′ =∅ e todos os pontos de CZ s˜ao isolados. (d) Se D =

{ 1

n : n∈ N }

ent˜ao D′={0} e todos os pontos de D s˜ao isolados.

Observa¸c˜ao 3

Os pontos de acumula¸c˜ao de um dado conjunto A s˜ao os candidatos ao estudo de limites, quando esse conjunto é o dom´ınio de uma certa fun¸cão. Em particular, os pontos de A′ que não est˜ao em A conduzem, em geral, aos casos mais interessantes de limite. Por outro lado, os pontos isolados de um conjunto não servem para estudar limites. Registe--se ainda que os pontos de acumula¸cão de um só lado aparecerão no estudo dos limites ditos laterais.