UENP - Universidade Estadual do Norte do Paraná CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas Disciplina de Matemática Discreta

Termos Semelhantes(redução)

a) 2x+1 (não há termos semelhantes) b) x²+3x-5 (não há termos semelhantes) c) 2x+3x+4 => 5x+4 d) 5x + (3x – 4) - (2x – 9) 5x + 3x – 4 – 2x + 9 5x + 3x – 2x – 4 + 9 6x + 5 e) 8x – [ -2x + (10 + 3x – 7)] 8x – [ -2x + 10 +3x – 7] 8x +2x – 10 – 3x + 7 8x + 2x -3x - 10 +7 7x – 3

f) 2a² + { 3a – [ 6a – (3a² + a)]} 2a² + { 3a – [ 6a – 3a² – a]} 2a² + { 3a – 6a + 3a² + a} 2a² + 3a – 6a + 3a² + a 2a² + 3a² + 3a – 6a +a 5 a² -2a

Propriedades de potenciação

Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas e m e n números inteiros. Todas as bases são consideradas diferentes de zero. Exemplo: a)

u

m

u

n

= u

m+n

5

3

5

4

= 5

7 ou

x

1

x

2

= x

3 b)

u

m

u

n

= u

(m− n )

x

9

x

4

= x

(9− 4)

_{= x}

5 c)

u

0

= 1

8

0

= 1

d)

u

− m

= 1

u

x

− 3

_{= 1}

3

e)

(uv)

m

= u

m

v

n

(2x)

5

= 2

5

x

5

= 32x⁵

f)

(u

m

)

n

= u

m.n

(x

2

)

3

= x

2.3

= x

6 g)

(

u

v

)

m

=

u

m

v

m

(

a

b

)

7

=

a

7

b

7 Exercícios deFixação I

Simplifique as expressões considerando que as variáveis dos denominadores sejam diferentes de zero.

a)

x

4

y

3

x

2

y

5

⇒

x

2

.1

1. y

2

⇒

x

2

y

2 b)

(3x

2

)

2

y

4

3y

2

⇒

3

2

(x

4

) y

4

3y

2

⇒

9x

4

y

4

3y

2

⇒3x

4

y

2 c)

(

4

x

2

)

2

⇒

(4)

2

(x

2

₎

2

⇒

4

2

x

4

⇒

16

x

4 d)

(x

− 3

y

2

)

− 4

( y

6

x

− 4

)

− 2

⇒

x

12

y

− 8

y

− 12

x

8

⇒

x

4

y

− 4 e)

(

4a

3

b

a

2

b

3

)(

3b

2

2a

2

b

4

)

⇒

(

4a

b

2

)(

3

2a

2

b

2

)

⇒

12a

2a

2

b

4

⇒

6

ab

4

Propriedades dos radicais

Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas e m e n números positivos inteiros maiores que 1. Vamos supor que todas as raízes seja números reais e todos os denominadores não sejam zero.

Produtos Notáveis

Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas. a) Produto de uma soma de

uma diferença (u + v)(u – v) = u² - v²

b) Quadrado de uma soma de

dois termos (u + v)² = u² + 2uv + v²

c) Quadrado de uma diferença

de dois termos (u - v)² = u² - 2uv + v²

d) Cubo de uma soma de dois

termos (u + v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³

e) Cubo de uma diferença de

dois termos: (u – v)³ = u³ – 3u²v + 3uv² - v³

Expressões Algébricas

Multiplicação de expressões algébricas: Para a multiplicação

das expressões algébricas, deve-se multiplicar cada monômio da primeira expressão por cada monômio da segunda expressão.

Exemplo: a)

(3x+2)(5x +3)⇒

(3x+2)

X

(5x+3)

15x

2

+10x

+

9x+ 6

15x

2

+19x +6

b)

(x+5)( x− 3)

Resposta:

x

2

+2x− 15

c)

(3x

2

− 2x+5)(2x +3)

Resposta:

6x

3

− 5x

2

+4x+15

d)

(4x

3

+2x

2

− 3x+5)(3x

2

+2x+1)

Resposta:

12x

5

+14x

4

− x

3

+11x

2

+7x+5

Divisão de expressões algébricas: Para a divisão, deve-se

colocá-las na forma de fração e depois simplificar a expressão obtida. A simplificação ocorre assim como apresentado nos exercícios de fixação I. ou c)

x

2

_+3x+2

x +2

x

2

_{+3x +2}

_{x +2}

− x

2

_{− 2x}

0+1x +2

x + 1

− 1x− 2

0

Conjunto Domínio / Imagem

Definição de Domínio (D(f)): O conjunto Domínio são todos

os valores possíveis para a variável X.

Definição de Conjunto Imagem (Im(f)): O Conjunto Imagem

são os valores de Y, ou seja, quando você substitui na função um valor de x e encontra o valor correspondente de Y.

a)

x+1

D(f):

{x ∈!}

Im(f):

{x ∈!}

Nesse caso não há restrições para o valor de x, isto é, para o Domínio da função, x poderá assumir qualquer número Real. Da mesma forma que o valor resultado obtido com essa operação, isto é x+1 poderá ser tanto positivo quanto negativo, incluindo o valor 0, logo a Imagem da função poderá ser também qualquer número Real.

b)

√

x

D(f):

{x ∈!∣x>0}

Im(f):

{x ∈! + }

Para o Domínio, a raiz de x não poderá ser um valor negativo. Para a Imagem, o resultado somente poderá será um valor positivo.

c)

1

x−3

D(f):

{x ∈!∣x≠3}

Im(f):

{x ∈!}

Para o Domínio, o resultado do quociente não poderá ser 0 (zero). Para a Imagem, o resultado poderá será um valor positivo ou negativo, decimal o inteiro.

d)

log

₂

x

D(f):

{x ∈!∣x(1}

Im(f):

{x ∈! + }

Toda função definida pela lei de formação f(x)=log_ax,

com a ≠ 1 e a>0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio ou imagem, é o conjunto dos reais. O mesmo é válido para logaritmo neperiano ou natural (ln).

e)

tg x

D(f): Im(f):

Sugestão: Não há tangente de 90 e 270 graus.

f)

√

x

2

−5x+6

D(f): Im(f):

Sugestão: encontre as raízes através de Bháskara e em seguida

faça uma análise

1) Resolva as seguintes equações lineares

a)

2( 2x− 3)+ 3( x +1)= 5x+ 2

Resposta: x= 2,5 b)

5y− 2

8

= 2+

y

4

Resposta: y =6

3) Efetue as seguintes divisões das expressões algébricas

a)

x

2

_+7x+12

x+4

Resposta:

x +3

b)

x

3

_{− 5x}

2

_{+7x− 3}

x− 3

Resposta:

x

2

− 2x+1

c)

3x

3

+5x

2

+8x+7

3x+ 2

Resposta:

(x

2

_{+ x+2)+(3)}

Quando houver resto, esse é somado junto a expressão.

2) Encontre o domínio de cada função:

a)

f (x )=

√

x +3

Resposta: A expressão dentro do radical não pode ser negativa.

Como devemos ter

x +3≥ 0

, então

x≥ − 3

. O domínio de f é o intervalo [ -3, +∞ ).

b)

f (x )=

√

x

x− 5

Resposta: A expressão dentro do radical não pode ser negativa;

portanto,

x≥ 0

. Também, o denominador de uma função não pode ser zero; portanto,

x≠ 5

. O domínio de f é o intervalo [0, +∞ com o número 5 removido, o qual podemos) escrever como a união de dois intervalos, da seguinte maneira:

[ 0, 5 ) e (5, + ∞ ).

c)

A( s )=

√

3

4

s²

onde A(s) é a área de um triângulo

equilátero com lados de comprimento s.

Resposta: A expressão algébrica tem como domínio todos os

números reais, mas pelo que a função representa (cálculo da área), s não pode ser negativo. O domínio de A é o intervalo

[ 0, +∞).

d)

f (x )= x

2

₊₄

Resposta: Não há nenhuma restrição para essa expressão, logo

o domínio de f são todos os números reais.

e)

f (x )=

3x− 1

(x +3)(x − 1)

Resposta: Para essa expressão o denominador não poderá ser

zero. Assim, (x + 3) ou (x – 1) não poderão ser zero. Logo o domínio de f são todos os números reais, exceto

x≠ − 3

e

x≠ 1

. Esses valores podem ser expressos em forma de intervalo, isto é: ( -∞ , -3 ) ∪( -3, 1)∪( 1, +∞ )

f)

f (x )=

1

x

+ 5

x− 3

Resposta: Analogamente a questão anterior, os

denominadores não poderão ser zero. Logo

x≠ 0

e

x≠ 3

.

g)

f (x )=

√

4− x

2

x− 3

Resposta: A expressão dentro do radical não poderá ser

negativa,

4− x

2

≥ 0

, logo

x≠ +2

e

x≠ − 2

.

Além disso, e para o denominador, o qual não pode ser zero. Então,

x≠ +3

. O domínio de f é portanto, a união de

x≠ +2

∪

x≠ +2

∪

x≠ +3

.

h)

f (x )=

x

x

2

_{− 5x}

Resposta: A expressão

x

2

− 5x

não poderá ser zero. Assim,

se colocarmos o x em evidência teremos

x (x − 5)

.

Dessa forma,

x≠ 0

e

x≠ 5

, sendo esses resultados o domínio de f.

Inequações

Quando comparamos dois números reais a e b, somente uma das três afirmações é verdadeira:

a < boua = boua > b.

Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade. Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras:

• 4 é menor que 7(4 < 7)

• 32 é maior que 11 (32 > 11)

• -12 é menor que 0 (-12 < 0)

• 7/2 é maior que 2/3 (7/2 > 2/3)

Vejamos agora sentenças abertas representadas por desigualdades:

• O dobro de um número é maior que 8 (2x > 8)

• O consecutivo do triplo de um número é menor que menos 14 (3x + 1 < -14)

Essas sentenças abertas são denominadasinequações.

Inequações é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões algébricas.

A letra em cada uma das desigualdades é denominada incógnitax

ou variável, e cada expressão algébrica são os membros da inequação. O membro à direita é o 1º membro e o da esquerda é o 2º membro da inequação. Para resolver uma inequação, o primeiro passo é isolar o , por exemplo:x

3x + 5 > 7 3x > 7 - 5

x > 2/3

Ou seja, para satisfazer a inequação, x deve ter valor maior do que 2/7. Outro exemplo:

4x – 4 20> 4x>20 + 4 x>24/4 x>6

Ou seja, para satisfazer a inequação, x deve ter valor maior ou igual a 6.

Propriedades das Desigualdades

1ª Propriedade: Uma desigualdade não se altera quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a ambos de seus membros.

+ + + + + +

-Resolvendo Inequações de 1º grau

Passo 2 - Esboço do gráfico

+ + + + + +

-Passo 3 - Análise do Sinal (x + 2) 0>

Se a raiz é -2 e a reta é crescente, então os valores possível para que a expressão (x+2) > 0 seja satisfeita, são todos os valores

que -2, isto é, o intervalo está entre (-2, + ). maiores

Podendo ser expresso também por: S={x R | x > -2}

Passo 2 - Esboço do gráfico

Passo 3 - Análise do Sinal

2x - 7 -1 ou 2x -6 0

Se a raiz é 3 e a reta é crescente, então os valores possível para que a expressão 2x-6 0 seja satisfeita, são todos os valores

a 3, isto é, o intervalo está entre [3, + ). maiores ou igual

Podendo ser expresso também por: S={x R | x 3} Exemplo 03

Passo 1 - Determinar a raiz

-2x + 7 > 0 Dada a inequação

-2x + 7 = 0 Iguala a zero

x = 7/2 Encontra-se a raiz

Passo 2 - Esboço do gráfico

Passo 3 - Análise do Sinal -2x +7 >0

Se a raiz é 7/2 e a reta é decrescente, então os valores possível para que a expressão -2x+7 > 0 seja satisfeita, são todos os valoresmenores7/2, isto é, o intervalo está entre(- ,7/2). Podendo ser expresso também por: S={x R | x < 7/2} Exemplo 04

Passo 1 - Determinar a raiz

3x - 12 < 0 Dada a inequação

Iguala a zero

3x - 12 = 0

x = 4 Encontra-se a raiz

Passo 2 - Esboço do gráfico

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

+ + +

+ + +

-2ª Propriedade: Uma desigualdade não se altera quando

multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número positivo.

3ª Propriedade: Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número negativo.

Exemplo: -2 < 3 se multiplicarmos ambos os membros por – 1 e não invertermos a desigualdade tem-se uma sentença falsa, isto é:

*(-1) 2 < -3 (sentença falsa)

*(-1) 2 > - 3 (sentença verdadeira)

Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:

Ÿ Passo 1 - Determinar a raiz. Ÿ Passo 2 - Esboçar do gráfico; Ÿ Passo 3 - Analisar do sinal.

Exemplo 01

Passo 1 - Determinar a raiz

(x - 2) > 0 Dada a inequação

x+2 = 0 Iguala a zero

x = -2 Encontra-se a raiz

Exemplo 02

Passo 1 - Determinar a raiz

2x - 7 -1 Dada a inequação 2x-6 = 0 Iguala a zero x = 3 Encontra-se a raiz + + + + + +

-S ={ x R | – 7 / 3 < x < – 1 }

Exemplo 2

Exemplo 3

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1

Determine a solução da inequação x² – x4

≤ 0. 0. S= { x R | -1 x 1/2 } S= { x R | 0 x 4 } ≥ ≥ ≥ ≥ Passo 3 - Análise do Sinal 3x -12 <0

Se a raiz é 4 e a reta é crescente, então os valores possível para que a expressão 3x-12 < 0 seja satisfeita, são todos os valores menores que 4, isto é, o intervalo está entre (- ,4).

Podendo ser expresso também por: S={x R | x < 4} Resolvendo Inequação do 2° grau

De forma análoga, a inequação de 2° grau pode ser resolvida por meio do estudo do sinal de uma função do 2° grau, com os mesmos procedimentos:

Passo 1 - Determinação das raízes. Passo 2 - Esboço do gráfico; Passo 3 - Análise do sinal. Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

x,= -1 x ,, = -7/3

Obtendo as raízes por Bháskara ou Soma e Produto

Analisando o Sinal, temos:

Se as raízes são; -7/3 e -1 e a parábola possui concavidade para

cima, então os valores possíveis para 3x² + 10x + 7<0 seja

verdadeira devem ser estar no intervalo (-7/3, -1)

Analisando o Sinal, temos:

Se as raízes são; -1 e 1/2 e a parábola possui concavidade para

baixo, então os valores possíveis para que–2x² – x + 1 ≤0 seja

verdadeira, devem ser estar no intervalo (- , -1 ] e [1/2, + )

Analisando o Sinal, temos:

Se as raízes são; 0 e 4 e a parábola possui concavidade para

cima, então os valores possíveis para quex² – x4 0 seja

verdadeira, devem ser estar no intervalo (0 , 4].

Logo,

Obtendo as raízes por

Obtendo as raízes por

Bháskara ou Soma e Produto

Bháskara ou Soma e Produto

x,= -1 e x ,, = ½ 0 4 x,= e x ,, = -- -- -- - - - -≥ ≥ -7/3 0 -1 -1 4 1/2 Exemplo 4

Determine a solução da inequação x² – x6 + 9 > 0.

S= { x R | 3 > x > 3 } Analisando o Sinal, temos:

Se as raízes são; 3 e 3 e a parábola possui concavidade para cima, então os valores possíveis para quex² – 6x + 9 >0 seja verdadeira, devem ser estar no intervalo ( - ,3) e (3,+ ) Obtendo as raízes por

Bháskara ou Soma e Produto x,= 3 e x ,, =3

3

Lista de Exercícios 01

1) Resolva as inequações e represente graficamente o conjunto solução graficamente na reta real.

a)

x− 4>2

Resposta: x > 6 b)

x +3>5

Resposta: x > 2 c)

2x− 1)4x +3

Resposta:

x(− 2

−

x

−

3x

<

5

+

3

−

4x

<

2 − <x 2 4 − <x 1 2

Se x é negativo, então pela desigualdade, Exercício resolvido isso é (-1), * temos: Resposta:

x

5 e)

5x +7

4

)− 3

)

− 19

d)

3x− 1(6x +8

Resposta:

x)− 3

2) Resolva as seguintes desigualdades

Resp. x >−

1

2

3 − x < 5 + 3x a) 3ª Propriedade da c) 3x − 5

<

3 4

x+

1

−

x 3 S = { x

∈

!

∣

x <2 2 31} d) 2 ≤ 5− 3x <11 S

={

x ∈ !

∣

1 ≥ x

>−

2

}

b) _{5x + 2 > x − 6 S = {x ∈ !∣ x > − 2 }} e) − 1

<

3− 7x 4

≤

6 S

= {

x ∈ !

∣

1 < x ≤ − 3 } f) 1 x +

1

<

2

3x

−

1

S = { x ∈ !

∣

x <3 } 1 x g) 2 −

≤

1 S

= {

x ∈ !

∣

x ≤ − 1 } h) x 9 4 2 −

>1

S= { x ∈ !∣ x <5 } i) x2− 3x + 2 >0 S

={

x ∈ !

∣

1 ≥ x ≥ 2

}

j)

(x− 3)( x+5)≤ 0

S = { x ∈ !∣− 5≥ x ≥ 3 } k) x2− 7x +6 ≤ 0 S = { x ∈ !∣1 ≤ x ≤ 6 } l) x2− 3x − 4 > 0 S = { x ∈ !∣− 1 < x > 4 } m) 3x2− 2x ≤ 0 S = { x ∈ !

∣

0≤ x ≤ 2 3} n) − x2+ x +12 >0 S = { x ∈ !∣− 3 < x < 4 } o) x2− 2x +1 < 0 _{S = ∅} p) x2− 6x +9 ≤ 0 S = {3 } q) x2− x + 6 >0 S = ! S = ∅ r) − 3x 2 2

+ x−

1 2

≥

0

3) Assinale a alternativa correta

(Alfenas) Os valores de k para que a função

f(x) = (k – 2)x + 1 seja estritamente decrescente são:

a

k

≤ –2

b) k≥ 2

c) k≥ –2

d) k < 2

e) k = 2 Resp. d) k <2

Função Linear -A equação de uma reta

Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos definem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta definida pelos pontos A = (x ; y ) e B = (x ; y ) da Figura 1.1 (a); um ponto qualquer0 0 1 1

P = (x; y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b).

Figura 1.1: Definindo a equação de uma reta

Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e APN forem semelhantes (neste caso uma semelhan

ça do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever

Simplicamos a equação (1.1) notando que a razão

é constante1. Tal constante é chamada de coeficiente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coeficiente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação y das ordenadas dos pontos

pela variação x de suas as abcissas; assim

Substituindo o valor do cofieciente angular dado em (1.2) na equação da reta (1.1) obtemos

chamada equação da reta na forma ponto-cofieciente angular. Isolando y nesta equação obtemos

ou, mais apropriadamente,

onde notamos que -ax + y é uma constante, denominada0 0

coeficiente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (1.4) como

y ax b= +

chamada equação da reta na forma reduzida.

Exemplo

Exemplo 1.1 (Reta por dois pontos dados)

Determine a equação da reta pelos pontos (1; 3) e (2; 5), mostrada na Figura 1.2.

Inicialmente calculamos seu coeciente angular a =Δ

y

Δ_x= 5− 3 2− 1= 2

A seguir, usando o ponto (1; 3), obtemos a equação da reta na forma ponto-coeficiente

y − 3 = 2 ( x − 1)

Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma reduzida

y = 2x + 1

Então, esta reta tem coe ciente angular! a = 2 e coe!ciente linear b = 1.

No exemplo anterior poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (2; 5), ao invés do ponto (1; 3). Neste caso a equação da reta na forma ponto-coeficiente seria

y - 5 = 2(x - 2); e a forma reduzida

y = 2x + 1:

Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeficiente não é única: mudando-se o ponto usado muda-se a equação; por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual ponto é usado para escrever sua equação.

Δ Δ

Determine os coeficientes angulares das seguintes retas. a)

y= 5x− 1

Resposta: (coeficiente angular é o

valor número que acompanha x), logo a resposta é 5. b)

2x− 5y= 9

Resposta:

2

5

c)

y− 7=

5

4

(x− 1)

Resposta:

5

4

Exercícios deFixação II I

1) Dados os seguintes pares ordenados da reta r, pede-se:

i) função f(x); ii) esboço do gráfico;

b) c)

Resposta (a): Para essa questão é necessário escolher dois

pares ordenados. Nesse caso, (2,1) e (3,4) foram os pares escolhidos aleatoriamente.

O coeficiente angular através da fórmula a = y2 − y1 x2 − x1 Nesse caso, tem-se 4 − 1

3− 2

=

3 1

= 3

Como a fórmula geral da reta é y=ax+b , o valor do coeficiente angular da reta é a = .3 Logo, y=3x+b.

Considerando ainda, que estamos trabalhando com uma reta contínua, podemos escolher qualquer outro par ordenado para a determinação do coeficiente linear. Nesse caso, foi novamente escolhido o par ordenado (3,4).

Dessa forma, temos:

4=3.3+b → 4=9+b → 4-9=b → b=-5 x y -3 2 -2 0 -1 -2 0 -4 1 -6 2 -8 x y -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 a) x y -1 -8 0 -5 1 -2 2 1 3 4 4 7

Logo, temos como coeficiente angular (a) o valor 3 e coeficiente linear (b) igual a -5.

i) f(x) = 3x-5 ii) esboço do gráfico

iii) Como a função constante ocorre quando qualquer valor que se substitua em x resulta sempre no mesmo resultado. O gráfico é linha reta sem ângulo. Nesse caso, não é constante. iv) O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear.

Exercícios deFixaçãoIV Resposta (b):

i) f(x) = -2x - 4 ii) gráfico

i) f(x) = x ii) gráfico

Lista de Exercícios 02 1) Dados osseguintesgráficos, pede-se:

i)

ii) duas coordenadas cartesianas;

Resposta (c):

iii)raiz da função;classifique a função quanto a: crescente ou decrescente (caso ocorra);

Função Crescente e Decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Questão ( )a

Função constante é toda função f : R→R, tal que f(x)=k, em que k é uma constante real.

Em uma função constante, todos os elementos do Domínio terão

a mesma imagem, ou seja: Im = k

O domínio pertence a todos os reais: D = R

Outra característica importante é a ausência de raiz: Raiz = Seu intercepto y é: y = k Função Constante Função Identidade Questão (b) 5/3 5 Questão (c) Questão (d)

Chama-se função identidade a toda função f: IR → IR definida por: f(x) = x

Note que a função identidade é um caso particular da função afim f(x) = ax + b, pois neste caso temos a = 1 e b = 0. As principais características da função identidade são: :: Domínio: R

:: Imagem: R

f (x )=

√

64

2

i) gráfico (função constante) ii) coordenadas (0,4) e (1,4) iii) raiz: Não existe

iv) Não há coeficiente angular, a função é uma constante.

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1 0 1 2 i. equação do grá co;fi

ii. a(s) raiz(es) (se houver);

iii. vértice (se houver);

iv. conjunto Domínio f;

v. conjunto Imagem I;

vi. o valor do ângulo

vii. classi cação (crescente/decrescentefi

/constante/identidade ) Grá co Afi Grá co Bfi Grá co Cfi x y -2 -3 -1 -1 0 1 1 3 2 5 y -4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -1 0 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y x y -2 9 -1 6 0 3 1 0 2 -3 x y -2 -1136 -1 -564 0 8 1 580 2 1152 Grá co Dfi Grá co Efi Grá co Ffi -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y x y -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 -2 -1 0 1 2 x y -3 3 -2 3 -1 3 0 3 1 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 1 -1 1 0 1 1 1 2 1 3

Exercício 02 - Refaça os grá cos apresentados nessa lista,fi comparando os resultados obtidos através do recurso de «linha tendência - Excel ou Libre Of ce».fi

Determinação das raízes de uma função quadrática através de Bháskara

− b±

√

(b

2

_{− 4.a.c)}

2.a

para f(x)= ax² + bx + c

a)

(

(x

2

+5x +6)⇒

x, = 2 e x,, = -3 b)

(

x

2

− 9)⇒

x, = 3 e x,, = -3 c) d)

(

x

2

− 3x+1)⇒

x, = 2,61 e x,, = 0,38

x

2

+2x− 1)⇒

x, = -0,41 e x,, = -2,41 Função quadrática

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma

f(x) = ax2+ bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0.

Caso f(x) for igual a 0 pode ser utilizado a forma de báskara para achar as raízes.

As raízes da função quadrática são os valores de x ou seja,o gráfico cortar o "eixo x""

Para:

, a função terá duas raízes. , a equação terá uma raiz apenas , não terá raiz

o vértice pode ser determinado pela fórmula: quando suaimagem(valor de y) for igual a0,

Vértice

raízes

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y (0,-4) (0,1)

Determinação da função quadrática pelo método de Soma e Produto

Fórmula geral: x

² – Sx + P

onde: S é a Soma das raízes (x, e x,,) e P o produto entre essas mesmas raízes.

Assim, é possível determinar a função (resumida) de uma função quadrática apenas observando suas raízes. Nográfico abaixo. ondeas raízessão: x, = -4 e x,, = 1.

Soma = -4 +1 = -3 Produto = -4 * +1 = -4

Logo, x² -(-3)x + (-4) =>

x² + 3x - 4

Atenção: É necessário observar o vértice do gráfico, uma

vez que a regra não apresenta informações sobre a concavidade da parábola, ou seja, se a > 0 ou a<0.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y -4 1

Em outro exemplo, para se obter as raízes da função f(x) = 3x² -3x -2 , é necessário encontrar primeiramente a função resumida.

A Soma é portanto -b/a = -(-3)/3 = 1 e o Produto c/a = -6/3 = -2

Agora podemos testar os possíveis valores, começando pelo produto e considerando que esses sejam apenas valores inteiros, temos:

O quê ? * quê ? = -2

Possibilidades: ( 1 )* ( -2 ) ou ( -1 ) * ( 2 )

Testando os mesmos valores para aSoma, a única possibilidade

a ser considerada é ( -1 ) + ( 2 ) = 1 Portanto: x, = -2 e x,, = 1

Aplicando os valores obtidos a x² - x + , temosS P f(x)= x² -x -2 Note que f(x)=3x² -3x-6 é 3 vezes f(x)= x² -x -2

Exercício (Matemática Aplicada)

Um fabricante produz caixas abertas de papelão retangular de 16 por 30 centímetros. Cortando pequenos quadrados, dos cantos e dobrando pra cima os lados. Figura 01. O Departamento de Pesquisa e de Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do retângulo (material utilizado), o qual resulta numa caixa com o maior volume possível.

a) Seja x o comprimento do lado do quadrado a ser cortado e seja V o volume da caixa resultante. Determine a função que representa esse volume. b) Caso haja alguma restrição quanto ao valor de x, pede-se que seja justificado.

c) Faça um gráfico de V versus x em um intervalo apropriado e use o gráfico para estimar o valor de x que resulta no maior volume.

d) Estime o maior volume.

Trigonometria

Para explicar a função Seno de um ângulo qualquer, é necessário familiarizar-se com o círculo trigonométrico e as posições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante junto as retas x (abscissa) e y

Seno:

(ordenada) do plano cartesiano.

Observando a Figura 1, o valor de seno é dado através de uma reta r que possui um ângulo o qual produz uma “sombra” sobre o eixo y . O valor de seno está portanto compreendido entre -1 a 1.

Figura 1 – Seno e Cosseno

Cosseno:

Analogamente, o valor de cosseno é dado através de uma reta r que possui um ângulo o qual produz uma “sombra” sobre o eixo x . O valor de cosseno está compreendido entre -1 a 1. Tanto para seno quanto cosseno os valores são dados dentro do círculo trigonométrico.

Tangente:

Para a tangente, os valores obtidos são além do círculo trigonométrico. Uma reta paralela ao eixo y é utilizado como escala, observando que esta somente existe do lado direito do círculo trigonométrico. Figura 2.

Figura 2 – Tangente e Cotangente

16cm 30 cm 30 -2x 16 -2x a) b) x x x x x x x x x

Cotangente:

Nesse caso, para a cotangente, uma reta paralela ao eixo de x é utilizado como escala. Analogamente, a reta da cotangente somente existe do lado de cima ao círculo trigonométrico. Figura 2.

Secante:

Para a secante, os valores estão localizados além do círculo trigonométrico. É o eixo y a escala utilizada para a determinação da secante. Observe a Figura 3, onde a partir da reta (r), onde essa toca o círculo trigonométrico é construída uma segunda reta (l), a qual é perpendicular a reta (r). O prolongamento da reta (l) ao tocar no eixo y, permite determinar o valor da secante.

Figura 3 – secante e cossecante

Cossecante:

Analogamente a secante, a cossecante é dada como o prolongamento da reta(l) sobre o eixo x. Figura 3.

Gráficos abertos das funções trigonométricas

Identidades Fundamentais csc θ

=

1 sen θ tan θ

=

sen θ cos θ sen 2 θ+ cos2θ= 1 sec θ

= 1

cos

θ cot θ

=

cos θ sen θ 1 + tg 2 θ = sec2θ cot θ

=

1 tan θ 1 + cot 2 θ = csc 2θ