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Revisão de Férias
MATEMÁTICA III
SETOR 1712
1. (Fuvest) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obti-veram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; II. 16 não obtiveram nota mínima em português; III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em in-glês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em in-glês e
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, mate-mática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi a) 44. b) 46. c) 47. d) 48. e) 49.
2. (Fac. Albert Einstein ) Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões Norte, Sul e Sudeste são as regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89 já estiveram na Região Sul e 78 já es-tiveram na Região Norte. Sabendo que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o número desses turistas que já estiveram nas Regiões Norte e Sul é
a) 10. b) 13. c) 17. d) 20.
3. (Ufrgs) Considere as seguintes afirmações sobre núme-ros complexos.
I. (2+i)(2 i)(1 i)(1 i)− + − =10. II. 7 1i 3 2i 5 1i.
2 3 2 3 2 2
+ + + = +
III. Se o módulo do número complexo z é 5, então o mó-dulo de 2z é 10.
Quais afirmações estão corretas? a) Apenas I.
b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) I, II e III.
4. (Unicamp) Sejam a e b números reais não nulos. Se o número complexo z= +a bi é uma raiz da equação qua-drática x2+bx+ =a 0, então a) | z | 1 . 3 = b) | z | 1 . 5 = c) | z |= 3. d) | z |= 5.
5. (G1 - cftmg) Sabe-se que, para preparar uma determi-nada suplementação alimentar, a quantidade de suple-mento a ser diluída deve ser de 3% do volume de leite. Se for utilizado meio litro de leite e se a medida usada para o suplemento for uma colher que tem 3 cm ,3 então, o número de colheres do suplemento que será necessário, nessa preparação, é igual a
a) 5. b) 6. c) 7. d) 8.
6. (Fcmmg) Em agosto de 2017 completaram-se 11 anos da promulgação da Lei Maria da Penha, lei criada para coi-bir a violência doméstica e familiar contra a mulher. A pes-quisa Visível e Invisível: a Vitimização de Mulheres no
Bra-sil, realizada em março de 2017 pelo Datafolha, a pedido
do Fórum Brasileiro de Segurança Pública, revelou que 29% das mulheres brasileiras sofreram violência física, verbal ou psicológica em 2016. Dados desta pesquisa po-dem ser acompanhados pelo gráfico abaixo.
2 SISTEMA DE ENSINO VETOR – www.sistemavetor.com.br A partir das 2.073 mulheres ouvidas, em 130
municí-pios brasileiros, o estudo projetou que 503 mulheres fo-ram vítimas de agressões físicas a cada hora no Brasil e que dois a cada três brasileiros (66%) presenciaram uma mulher sendo agredida física ou verbalmente no mesmo período. Os resultados da pesquisa sinalizaram, também, que a violência é algo socialmente tolerado e que, entre 2015 e 2017, foi registrado no país um aumento de 18% para 29% no número de mulheres que se declararam ví-timas de violência, índice que se mantinha estável, entre
15% e 19%, desde 2005.
Considerando-se as mulheres ouvidas na pesquisa, quan-tas, aproximadamente, sofreram agressões por ofensa se-xual?
a) 40 b) 146 c) 166 d) 601
7. (G1 - cftmg) Um consumidor adquiriu um telefone em um site de compras pela internet que cobrou frete de 15% sobre o valor dessa mercadoria. Após ter recebido o pro-duto, ele decidiu devolvê-lo sem que houvesse alguma justificativa para tal. A empresa aceitou a devolução, re-embolsando o valor pago no telefone. Porém, cobrou os mesmos 15% do valor da mercadoria, o que acarretou um prejuízo total para esse consumidor de
a) 15%. b) 20%. c) 25%. d) 30%.
8. (Famerp) Em 2016, um determinado país teve T casos de cânceres em homens, dos quais 64% correspondiam aos dez tipos mais frequentes. Sabe-se que 30% dos dez tipos mais frequentes correspondiam ao câncer de prós-tata, que totalizaram, naquele ano, 60.000 casos. Nes-sas condições, T é igual a
a) 312.500. b) 292.500. c) 296.500. d) 298.000. e) 305.000.
9. (Espcex (Aman)) Seja a igualdade
4 a b i cos isen , 3 5 6 6 π π − = +
onde i é a unidade imagi-nária. Se a e b são números reais, então o quociente a
b é igual a a) 3. 5 b) 3 3. 5 c) 3 3. 5 − d) 3. 5 − e) 15 3. 4
10. (G1 - ifsul) Três irmãos trabalham na mesma indústria, porém em turnos diferentes: um trabalha no intervalo das 8 h às 16 h; outro das 4 h às 12 h e o terceiro das 10 h às 18 h. Em qual intervalo de tempo esses irmãos trabalham juntos nessa indústria?
a) Das 4 h às 18 h. b) Das 8 h às 16 h. c) Das 10 h às 16 h. d) Das 10 h às 12 h.
11. (Unicamp) Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lido por 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemos afirmar corretamente que, nesse grupo,
a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros. b) nenhuma pessoa leu os dois livros.
c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros. d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois livros. 12. (Enem) Num dia de tempestade, a alteração na pro-fundidade de um rio, num determinado local, foi regis-trada durante um período de 4 horas. Os resultados es-tão indicados no gráfico de linhas. Nele, a profundidade
h, registrada às 13 horas, não foi anotada e, a partir de h, cada unidade sobre o eixo vertical representa um me-tro.
Foi informado que entre 15 horas e 16 horas, a profun-didade do rio diminuiu em 10%.
Às 16 horas, qual é a profundidade do rio, em metro, no local onde foram feitos os registros?
a) 18 b) 20
SISTEMA DE ENSINO VETOR – www.sistemavetor.com.br 3 c) 24 d) 36 e) 40 13. (Mackenzie) Se 2 i 2i β +
+ tem parte imaginária igual a zero, então o número real β é igual a
a) 4 b) 2 c) 1 d) 2− e) 4−
14. (Unisc) A parte real do número complexo
2 1 (3i) z 1 i + = − é a) 1 b) −1 c) 2 d) 2− e) 4−
15. (G1 - ifsul) As corridas com obstáculos são provas de atletismo que fazem parte do programa olímpico e consis-tem em corridas que têm no percurso barreiras que os atletas têm de saltar. Suponha que uma prova tenha um percurso de 1.000 metros e que a primeira barreira es-teja a 25 metros da largada, a segunda a 50 metros, e assim sucessivamente.
Se a última barreira está a 25 metros da linha de che-gada, o total de barreiras no percurso é
a) 39 b) 41 c) 43 d) 45
16. (Fuvest) Sejam a e b dois números inteiros positi-vos. Diz-se que a e b são equivalentes se a soma dos di-visores positivos de a coincide com a soma dos divisores positivos de b.
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: a) 8 e 9.
b) 9 e 11. c) 10 e 12. d) 15 e 20. e) 16 e 25.
17. (G1 - ifsc) Roberto e João são amigos de infância e, sempre que podem, saem para pedalar juntos. Um dia, empolgados com a ideia de saberem mais sobre o desem-penho da dupla, resolveram cronometrar o tempo que gastavam andando de bicicleta. Para tanto, decidiram pe-dalar numa pista circular, próxima à casa deles.
Constataram, então, que Roberto dava uma volta com-pleta em 24 segundos, enquanto João demorava 28 se-gundos para fazer o mesmo percurso. Diante disso, João questionou:
– Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo mo-mento, em quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste mesmo ponto de largada? Assinale a alternativa CORRETA.
a) 3 min 8 s b) 2 min 48 s c) 1 min 28 s d) 2 min 28 s e) 1 min 48 s
18. (Fatec) Os termos da sequência 11 17 35 37 19 13 ; ; ; 6; ; ; ; 2 3 6 6 3 2 obedecem a um crité-rio de formação.
O oitavo termo dessa sequência é a) 23. 2 b) 21. 2 c) 23. 3 d) 22. 3 e) 20. 3
19. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Um torneio de xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é
a) 12 b) 23 c) 46 d) 69
20. (G1 - cftmg) Seja x um número inteiro, 0 x 60 e o conjunto A K | K 60 .
x
= =
Nessas condições, o número máximo de elementos do conjunto A é
a) 6. b) 8. c) 12. d) 16.
SISTEMA DE ENSINO VETOR – www.sistemavetor.com.br 5 Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Sejam M, P e I, respectivamente, o conjunto dos alunos que não obtiveram nota mínima em matemática, o con-junto dos alunos que não obtiveram nota mínima em português e o conjunto dos alunos que não obtiveram nota mínima em inglês.
Logo, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, temos
= + + − − − + =
n(M P I) 14 16 12 5 3 7 2 29.
Por conseguinte, sabendo que 20 alunos foram aprova-dos nas três disciplinas, segue que a resposta é
29+20=49.
Resposta da questão 2:
[D]
Calculando o número de turistas que já visitaram a região Norte ou a região Sul:
180−33=147
A número desses turistas que já estiveram nas Regiões Norte e Sul é igual a:
(
)
(
) ( ) (
)
(
)
(
)
n Norte Sul n Norte n Sul n Norte Sul 147 89 78 n Norte Sul n Norte Sul 20
= + − = + − = Resposta da questão 3: [D] [I] Verdadeira.
(
) (
) ( ) ( )
(
) (
)
(
) (
) ( ) ( )
(
( )
)
(
( )
)
(
) (
) ( ) ( )
(
) (
) ( ) ( )
2 2 2 2 2 i 2 i 1 i 1 i 2 i 1 i 2 i 2 i 1 i 1 i 4 1 1 1 2 i 2 i 1 i 1 i 5 2 2 i 2 i 1 i 1 i 10 + − + − = − − + − + − = − − − − + − + − = + − + − = [II] Falsa. 7 1 3 2 21 2i 9 4i i i 2 3 2 3 6 6 7 1 3 2 30 6i i i 2 3 2 3 6 6 7 1 3 2 5 1 i i 5 i i 2 3 2 3 2 2 + + + + + = + + + + = + + + + = + + [III] Verdadeira. 2z 2 z 2z 2 z = = Como z = 5, 2z 2 5 2z 10 = = Resposta da questão 4: [B]Se z= +a bi é raiz, então z= −a bi também é raiz. Logo, pelas Relações de Girard, temos
2 2 2 b a bi a bi b 2a 1 a a a b 0 (a bi)(a bi) 1 b 2a 5a a 0 2 b 5 . 1 a 5 + + − = − = − − + = + − = = − − = = − = Portanto, segue que
2 2 1 2 1 | z | . 5 5 5 = + − = Resposta da questão 5: [A]
Note que 3% de meio litro de leite corresponde a 0,03 0,5 =0,015 litros ou 15 ml.
Como a colher possui 3 cm ,3 ou seja, 3 ml temos que a quantidade de colheres é 15 5 colheres.
3 =
Resposta da questão 6:
[C]
De acordo com o gráfico 8% das mulheres ouvidas so-freram agressões por ofensa sexual, logo:
8 8% de 2073 2073 166 100 = mulheres. Resposta da questão 7: [D]
Considere que o valor do telefone é dado por x temos que:
Logo, o valor de compra mais o valor do frete é dado por: 15
x (15%)x x x x 0,15x 1,15x
100
+ = + = + =
Como o consumidor teve que pagar os mesmos 15% para devolução, temos:
6 SISTEMA DE ENSINO VETOR – www.sistemavetor.com.br 15 1,15x (15%)x 1,15x x 1,15x 0,15x 1,30x 100 + = + = + = Note que: 1,30x= +x 0,30x= +x (30%)x Logo, o prejuízo total é de 30%.
Resposta da questão 8: [A] Calculando: 0,64 0,30 T =60000 =T 312500 Resposta da questão 9: [A] 4 a b 4 4 i 1 cos isen 3 5 6 6 a b 2 2 i cos isen 3 5 3 3 a b 1 3 i i 3 5 2 2 a 1 3 a 3 2 2 b 3 5 3 b 5 2 2 π π π π − = + − = + − = − + = − = − − = = − Então, a 3 2 b 2 5 3 a 3 b 5 3 a 3 3 b 5 3 3 a 3 b 5 = − − = = = Resposta da questão 10: [D]
Para obter em qual intervalo de tempo os três irmãos trabalham juntos, deve-se fazer a intersecção entre os três intervalos (I )3 de tempo: 3 3 3 I [8,16] [4,12] [10,18] I [8,12] [10,18] I [10,12] = = = Intervalo: Das 10 h às 12 h.
Observe a intersecção através da reta real:
Resposta da questão 11:
[C]
A única alternativa correta é a [C]. Se cinco pessoas leram o livro A e quatro pessoas distintas leram o livro B, há um total de 9 pessoas, sendo possível que ao menos uma pessoa não tenha lido nenhum dos livros.
Resposta da questão 12:
[A]
Entre 15 h e 16 h a profundidade diminuiu 2 metros, que representa 10% da profundidade às 15 h. Assim, se pode inferir que a profundidade às 15 h era de 20 metros (20 10% =2) e às 16 h era de 18 metros.
Resposta da questão 13: [A] De 2 i , 2i β + +
( )
(
) (
)
2 2 2 2 2 2 2 2 i 2i 2i 2i 2 4i i 2i 2i 2 2 4 i 4 2 2 4 i 4 4 4 0 4 4 β β β β β β β β β β β β β β β β + − + − − + − − + + − + + + − + + − = + = Resposta da questão 14: [E]SISTEMA DE ENSINO VETOR – www.sistemavetor.com.br 7 2 2 2 2 1 (3i) z 1 i 1 9i z 1 i 1 9 z 1 i 8 z 1 i 8 1 i z 1 i 1 i 8 8i z 1 i 8 8i z 2 z 4 4i Re(z) 4 + = − + = − − = − − = − − + = − + − − = − − − = = − − = − Resposta da questão 15: [A]
Para obter o número total de barreiras, basta dividir o ta-manho total do percurso pelo espaço que cada barreira está uma da outra, ou seja,
100025=40.
Porém, como a última barreira está a 25 metros da linha de chegada, deve-se subtrair uma barreira, logo:
40 1− =39 barreiras. Resposta da questão 16: [E] Calculando os divisores:
Divisores de 8 1, 2, 4, 8 Soma 15 Divisores de 9 1, 3, 9 Soma 13 Divisores de 10 1, 2, 5, 10 Soma 18 Divisores de 11 1, 11 Soma 12 Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Soma 28 Divisores de 15 1, 3, 5, 15 Soma 24 Divisores de 16 1, 2, 4, 8, 16 S → → = → → = → → = → → = → → = → → = → →
oma 31 Divisores de 25 1, 5, 25 Soma 31 = → → =Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equivalentes.
Resposta da questão 17:
[B]
Para obter após quanto tempo os dois amigos se encon-tram na linha de chegada, basta obter o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dos dois tempos. Ou seja:
28 24 2 14, 12 2 7, 6 2 MMC(28, 24) 2 2 2 3 7 1 168 7, 3 3 7, 1 7 1, 1 1 = =
Dividindo 168 segundos por 60 para obter o tempo em minutos temos: 168 2,8 2 min 60 = = e 48 segundos. Resposta da questão 18: [E] 11 17 35 37 19 13 33 34 35 36 37 38 39 ; ; ; 6; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 6 6 3 2 6 6 6 6 6 6 6 =
Portanto, o oitavo termo desta sequência será: 40 20
. 6 = 3
Resposta da questão 19:
[A]
O resultado pedido corresponde ao máximo divisor co-mum dos números 120, 180 e 252, ou seja,
3 2 2 2 2 2 mdc(120, 180, 252) mdc(2 3 5, 2 3 5, 2 3 7) 2 3 12. = = = Resposta da questão 20: [C]
De acordo com a lei de formação do conjunto A, conclu-ímos que k é um divisor positivo de 60. Utilizando o processo de Euclides para determinar o número n de di-visores positivos de 60, obtemos:
A decomposição do 60 em fatores primos será dada por 2
60=2 3 5, portanto, o número de divisores de 60 será dado por:
