Capítulo 8 Teste de Hipótese. Seção 8-1 Visão Geral. Definições

(1)

1

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2 Capítulo 8

Teste de Hipótese

8-1 Visão Geral

8-2 Fundamentos do Teste de Hipótese

8-3 Testando Afirmações sobre uma Proporção

8-4 Testando Afirmações sobre uma Média:

σ

Conhecido

8-5 Testando Afirmações sobre uma Média:

σ

Desconhecido

8-6 Testando Afirmações sobre o Desvio Padrão ou

Variância

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3 Seção 8-1

Visão Geral

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Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA

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4 Definições

Em estatística, uma

hipótese

é uma afirmação

ou setença sobre as propriedades de uma

população.

Um

Teste de hipótese

(ou

teste de significância

)

é um procedimento padronizado para testar

uma afirmação sobre as propriedades de uma

população.

(2)

2

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5 Regra do Evento Raro para a

Inferência Estatística

Se,

sob

uma

dada

suposição,

a

probabilidade de um evento particular

observado é excepcionalmente pequena,

nós

concluímos

que

a

suposição

provavelmente não é correta.

Slide

6 Exemplo:

As Indústrias ProCare Ltda. forneceram, certa

vez, um produto chamado “Gender Choice” (Escolha o

Sexo) que, de acordo com a propaganda, permitia aos

casais “aumentar em até 80% as suas chances de ter uma

menina.” Suponha que façamos um experimento com 100

casais que querem ter meninas e que eles sigam o Gender

Choice, “um sistema fácil de usar em casa” descrito na

embalagem cor de rosa para meninas. Com o propósito de

testar a afirmação de que há um acréscimo na proporção

de meninas vamos assumir que o Gender Choice não tem

efeito. Usando o bom senso e nenhum método formal de

estatística, o que podemos concluir sobre a suposição de

nenhum efeito do Gender Choice se 100 casais usando

Gender Choice tiverem 100 bebês sendo:

a) 52 meninas?

b) 97 meninas?

Exemplo:

Indústrias ProCare Industries Ltda.:

Parte a)

a) Nós em geral esperamos cerca de 50 meninas

em 100 nascimentos. O resultado de 52 meninas

é bastante próximo de 50, então não podemos

concluir que o Gender Choice é realmente

eficaz. Se os 100 casais não usaram nenhum

método especial para seleção de gênero, o

resultado

de

52 meninas

pode

ocorrer

facilmente. A suposição de não efeito do Gender

Choice

aparenta

ser

correta.

Não

temos

evidência para afirmar que p Gender Choice é

(3)

3

Slide

8 Exemplo:

Indústrias ProCare Industries Ltda.:

Parte b)

b) O resultado de 97 meninas em 100 nascimentos

é

extremamente

improvável

de

acontecer.

Podemos explicar este fato por duas maneiras:

Um evento

extremamente

raro ocorreu devido a

fatores aleatórios, ou o Gender Choice é eficiente.

A probabilidade extremamente baixa em termos 97

meninas

em

100 nascimentos

é

uma

forte

evidência contra a suposição inicial de que o

Gender Choice não funciona.

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9 Seção 8-2

Fundamentos de Teste de

Hipótese

Created by Erin Hodgess, Houston, Texas

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10 Pontos Chave

Esta seção apresenta os componentes individuais de um teste

de hipótese, e as seções seguintes usarão estes componentes

em um procedimento claro e objetivo.

A função de cada um deles deve ser bem compreendido:

Hipótese Nula

Hipótese Alternativa

Estatística do Teste

Região Crítica

Nível de Significância

Valor Crítico

P-valor

Erro Tipo I e II

(4)

4

Slide

11 Dada

uma

afirmação,

identificar

as

hipóteses nula e alternativa, e expressá-las

em forma simbólica.

Dada

uma

afirmação

e

uma

amostra,

calcular o valor da estatística do teste.

Dado um nível de significância. Identificar

o(s) valor(es) crítico(s).

Dado o valor da estatística do teste,

identificar o P-valor.

Formar uma conclusão a respeito do teste

de hipótese em uma linguagem simples e

não técnica.

Seção 8-2 Objetivos

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12 Exemplo:

Vamos usar novamente o exemplo do

Gender Choice que foi distribuido pelaws Indústrias

ProCare. As Indústrias ProCare afirmaram que os

casais que usarem a caixa rosa do Gender Choice

terão as chances de terem meninas maiores que 50%,

ou 0,5. Vamos novamente considerar o experimento

onde 100 casais usam o Gender Choice com a

intenção de terem uma menina. Vamos assumir que

nos 100 nascimentos temos exatamente 52 meninas, e

vamos formalizar algumas análises:

Sob circunstâncias normais a proporção de meninas é de 0,5,

então a afirmação de que o Gender Choice é funcional pode ser

expressa como p > 0,5.

Usando a distribuição normal como uma aproximação à

binomial nós achamos que P(52 ou mais meninas em 100

nascimentos) = 0,3821.

A Figura 8-1 a seguir mostra que com uma probabilidade de 0,5,

a ocorrência de 52 meninas em 100 nascimentos não é

incomum.

(5)

5

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14 Afirmação: Para casais que usam Gender Choice, a proporção

de meninas é p > 0.5.

Observações

Não há evidência suficiente para basear afirmação do Gender

Choice.

Há duas possíveis explicações para o resultado de 52 meninas

em 100 nascimentos: Ou uma variação aleatória ocorreu (com

probabilidade igual a 0.3821), ou a proporção de meninas

nascidas de casais que usaram Gender Choice é maior que 0.5.

Assumindo que p = 0.5, nós usamos a distribuição normal

como uma aproximação à distribuição binomial para achar que

P (Pelo menos 52 meninas em 100 nascimentos) = 0.3821.

ˆ

A amostra apresenta 52 meninas em 100 nascimentos, então a

proporção amostral é p = 52/100 = 0.52.

Suposição de trabalho: A proporção de meninas é p = 0.5

(com o Gender Choice sem surtir efeito).

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15 Componentes de um

Teste de Hipótese

Formal

Slide

16 Hipótese Nula:

H

₀

A

hipótese nula

(denotada por H

0 ) é

uma suposição de que o valor de um

parâmetro populacional (tal como a

proporção, média ou desvio padrão) é

igual a

algum valor pré-fixado.

Nós testamos a hipótese nula

diretamente.

(6)

6

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17 Hipótese Alternativa:

H

1 A

hipótese alternativa

(denotada por

H

₁

ou H

_a

ou H

_A

) é a suposição de que

o parâmetro populacional tem um

valor que difere do apresentado na

hipótese nula.

A forma simbólica para a hipótese

alternativa

deve

usar

um

destes

sinais:

≠≠≠≠

, <, >.

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18 Notas sobre Como Formar suas

Próprias Afirmações (Hipóteses)

Se você está executando um estudo e

quer usar um teste de hipótese para

basear

a sua afirmação, esta afirmação

dever ser escrita de tal forma que se

torne a hipótese alternativa.

Notas sobre Como Identificar

H

₀

e H

₁

(7)

7

Slide

20 Exemplo:

Identifique

as

hipóteses

nulas

e

alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas

afirmações

dadas

expresse

as

hipóteses

nula

e

alternativa correspondentes em forma simbólica.

a) A proporção de motoristas que admitem passar em

sinal vermelho é maior que 0,5.

b) A altura média dos jogadores de basquetes da liga

profissional é de no máximo 2,14m.

c) O desvio padrão do escore de QI dos atores é igual

a 15.

Slide

21 Exemplo:

Identifique

as

hipóteses

nulas

e

alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas

afirmações

dadas

expresse

as

hipóteses

nula

e

alternativa correspondentes em forma simbólica.

a)

A proporção de motoristas que admitem ultrapassar o sinal

vermelho é maior que 0,5. No passo 1 da Figura 8-2, nós

expressamos a afirmação dada como p > 0.5. No passo 2I,

nós vemos que se p > 0.5 é falso, então p

≤≤≤≤

0.5 deve ser

verdadeiro. No passo 3, observamos que a expressão p > 0.5

não contém a igualdade, então nós determinamos a hipótese

alternativa H

1

como p > 0.5, e a hipótese nula H

0

como p =

0.5. Slide

Slide

22 Exemplo:

Identifique

as

hipóteses

nulas

e

alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas

afirmações

dadas

expresse

as

hipóteses

nula

e

alternativa correspondentes em forma simbólica.

b)

A altura média dos jogadores de basquetes da liga

profissional é de no máximo 2,14m. No passo 1 da

Figura 8-2 nós expressamos “a média é de no máximo

2,14m” simbolicamente como

µµµµ ≤≤≤≤

2,14. No passo 2, nós

vemos que se

µµµµ ≤≤≤≤

2,14 é falsam então

µ

> 2,14 deve ser

verdadeiro. No passo 3, nós vemos que se a expressão

µ

> 2,14 não contém a igualdade, então a hipótese

alternativa H

1

será

µ

> 2,14, e H

0

será

µ

= 2,14.

(8)

8

Slide

23 Exemplo:

Identifique

as

hipóteses

nulas

e

alternativas. Use a Figura 8-2 e com base nas

afirmações

dadas

expresse

as

hipóteses

nula

e

alternativa correspondentes em forma simbólica.

c)

O desvio padrão do escore de QI dos atores é igual a 15.

No passo 1 da Figura 8-2 nós representamos esta

afirmação como

σσσσ

= 15. No passo 2, vemos que se

σσσσ

= 15

é falso, então

σσσσ ≠

≠

15 deve ser verdadeiro. No passo 3,

temos que a hipótese alternativa H

1

será

σσσσ ≠

≠

15, e que

H

0

será

σσσσ

= 15.

Slide

24 A

estatística do teste

é um valor usado

para tomar a decisão sobre a hipótese nula,

e é calculada convertendo a estatística

amostral em um escore com a suposição

de que a hipótese nula é verdadeira.

Estatística de Teste

Estatística do Teste - Fórmulas

z

=

x - µ

x

σ

n

Estatística do

teste para

média

z

=

p - p

/\

pq

n

√√√√

Estatística do

teste para

proporções

χχχχ

(n – 1)s

2 Estatística do

teste para

(9)

9

Slide

26 Exemplo:

Uma pesquisa com uma amostra

aleatória de 880 motoristas adultos mostrou

que 56% (ou p = 0.56) destes respondentes

admitiram que ultrapassavam o sinal fechado.

Encontre o valor da estatística do teste para a

afirmação de que a maioria dos adultos

admitem ultrapassar o sinal fechado. (Na

Seção 8-3 nós veremos que há algumas

suposições a serem observadas. Para este

exemplo, admitamos que estas suposições

são obedecidas

e

vamos

nos

focar

em

encontrar a estatística do teste adequada.)

Slide

27 Solução:

O exemplo anterior mostrou que a

afirmação

dada

resulta

nas

seguintes

hipóteses nula e alternativa: H

0 : p=0.5 e H

1 :

p>0.5. Devido a trabalharmos sob a suposição

de que a hipótese nula é verdadeira, ou seja,

p=0.5, nós temos a seguinte estatística do

teste:

n

pq

√√√√

z = p – p

/\

=

0.56 - 0.5

(

0.5)(0.5)

√√√√

880 =

3.56 Slide

Slide

28 Interpretação:

Nós

sabemos

dos

capítulos anteriores que o valor de

z=3,56 é excepcionalmente alto. Isto

indica que mais que ser maior que

50%, o resultado amostral de 56% é

significativamente

maior que 50%.

Veja figura abaixo:

(10)

10

Slide

29 Região Crítica, Valor Crítico,

Estatística do Teste

Slide

30 Região Crítica

A

região crítica

(ou

região de rejeição

) é o

conjunto de valores para a estatística do

teste que nos faz rejeitar a hipótese nula.

Por exemplo, veja a região sombreada em

vermelho na figura anterior.

Nível de Significância

O

nível de significância

(denotado por

αααα

)

é a

probabilidade de que a estatística do teste irá

pertencer à região crítica quando a hipótese

nula for verdadeira. Este é o mesmo

αααα

que

introduzimos na Seção 7-2. Valores comuns

para

αααα

são 0.05, 0.01, e 0.10.

(11)

11

Slide

32 Valor Crítico

Um

valor crítico

é qualquer valor que separa a

região crítica (onde rejeitamos a hipótese

nula) dos valores da estatística do teste que

não nos faz rejeitar a H

0 . O valor crítico

depende da natureza da hipótese nula, da

distribuição amostral que é utilizada, e do

nível de significância

αααα

.

Veja na figura anterior

que o valor crítico de z=1.645 corresponde ao

nível de significância de

αααα

=0.05.

Slide

33 Testes Bilateral, Unilateral à

Esquerda e Unilateral à Direita

As

caudas

em uma distribuição são

regiões

nos

extremos

das

mesmas

limitados por valores críticos.

Slide

34 Teste Bilateral

H

₀

: =

H

₁

:

≠≠≠≠

αααα

é dividido igualmente entre as

duas caudas da região crítica

(12)

12

Slide

35 Teste Unilateral à Direita

H

₀

: =

H

₁

: >

Pontos à Direita

Slide

36 Teste Unilateral à Esquerda

H

₀

: =

H

1 : <

Pontos à

Esquerda

P-Valor

O

P-valor

(ou

p-valor

ou

valor

de

probabilidade

) é a probabilidade de ter um

valor da estatística de teste que está

pelo

menos

tão

extremo

como

a

estatística

calculada

para

a

amostra

em

questão,

assumindo que a hipótese nula é verdadeira.

A hipótese nula é rejeitado se o P-valor é

muito pequeno, tal como 0,05 ou menos.

(13)

13

Slide

38 Conclusões em Testes de

Hipótese

Nós sempre testamos a hipótese

nula;

A

conclusão

inicial

será

sempre uma das abaixo:

1. Rejeitar a hipótese nula.

2. Falhar em rejeitar a hipótese nula.

Slide

39 Método Tradicional:

Rejeitamos H

₀

se a estatística de

teste pertence à região crítica.

Falhamos em rejeitar H

0 se a

estatística de teste não pertence à

região crítica.

Regra de Decisão

Slide

40 Método do P-valor:

Rejeitamos H

₀

se o P-valor

≤≤≤≤

αααα

(onde

αααα

é o nível de significância, como

0,05, por exemplo.).

Falhamos em rejeitar H

₀

se o

P-valor>

αααα

.

(14)

14

Slide

41 Uma outra opção:

Ao

invés

de

usar

um

nível

de

significância (feito 0,05, por exemplo),

simplesmente identifique o P-valor e

deixe a decisão para o leitor.

Regra de Decisão - cont

Slide

42 Regra de Decisão - cont

Intervalos de Confiança:

Devido ao IC para um parâmetro

populacional conter os valores mais

prováveis

para

este

parâmetro,

rejeitamos a afirmação de que o

parâmetro

não

é

igual

a

um

determinado valor se ele não estiver

contido no IC.

Procedimento para Encontrar o P-Valor

Figura 8-6

(15)

15

Slide

44 Exemplo:

Como calcular o P-valor: Primeiro,

verifique se as condições dadas resultam em

um teste bilateral ou unilateral à esquerda ou à

direita.

Em

seguida,

calcule

o

P-valor

e

formule sua conclusão a respeito da hipótese

nula.

a) Um nível de significância

αααα

=0.05 é usado para testar

a afirmação de que p>0.25

,

e os dados amostrais

resultaram em uma estatística de teste z=1.18

.

b) Um nível de significância

αααα

=0.05 é usado para testar

a afirmação de que p

≠≠≠≠

0.25 ,

e os dados amostrais

resultaram em uma estatística de teste z = 2.34

.

Slide

45 Exemplo:

Como calcular o P-valor: Primeiro,

verifique se as condições dadas resultam em

um teste bilateral ou unilateral à esquerda ou

à direita. Em seguida, calcule o P-valor e

formule sua conclusão a respeito da hipótese

nula.

a)

Com a afirmação de que p>0.25, temos que o

teste é unilateral à direita. Assim, de acordo com a

Figura 8-6, temos que o P-valor é a área à direita da

estatística do teste z=1.18.

Usando a Tabela A-2

encontramos que a área

à direita

é 0.1190. Assim,

temos que o P-valor=0.1190, sendo maior que o nível

de significância, e não podemos rejeitar a hipótese

nula. O P-valor é relativamente alto, o que indica que

este resultado amostral pode ocorrer facilmente

devido à aleatoriedade do processo.

Slide

46 Exemplo:

Como calcular o P-valor: Primeiro,

verifique se as condições dadas resultam em

um teste bilateral ou unilateral à esquerda ou à

direita. Em seguida, calcule

o P-valor

e

formule sua conclusão a respeito da hipótese

nula.

b) Com a afirmação de que p

≠≠≠≠

0.25, o teste é bilateral, e

como a estatística do teste z=2.34 está à direita do

centro da distribuição, de acordo com a Figura 8-6

temos que o P-valor é igual ao

dobro

da área à direita

de z=2.34.

Utilizando a Tabela A-2 nós vemos que a

área à direita de z=2.34 é 0.0096, assim, temos que

P-valor=2x0.0096=0.0192. O P-valor é menor que o nível

de significância, assim rejeitamos a hipótese nula. O

valor pequeno do P-valor indica que este resultado

amostral é bastante raro, considerando H

0 válida.

(16)

16

Slide

47 Escrevendo as Conclusões Finais

Figura 8-7

Slide

48 Aceitar Versus Não Rejeitar

Alguns autores usam “aceitar a

hipótese nula”.

Nós não estamos provando a hipótese

nula.

A amostra evidencia que não temos

força para rejeitar a hipótese nula

(Assim como não temos evidência de

que a hipótese é verdadeira).

Erro Tipo I

Um

Erro Tipo I

é o erro cometido ao

rejeitarmos

H

₀

quando

ela

é

verdadeira.

A

letra

grega

αααα

é

usada

para

representar a probabilidade de se

cometer o Erro Tipo I.

(17)

17

Slide

50 Erro Tipo II

Um

Erro Tipo II

é o erro cometido

quando não rejeitamos H

₀

e ela é

falsa.

A

letra

grega

ββββ

é

usada

para

representar a probabilidade de se

cometer o Erro Tipo II.

Slide

51 Exemplo

:

Assuma

que

estamos

realizando um teste de hipótese para

p>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nula

e alternativa são: H

₀

:p=0.5, e H

₁

:p>0.5

a) Identifique um erro tipo I.

b) Identifique um erro tipo II.

Slide

52 Exemplo:

Assuma

que

estamos

realizando um teste de hipótese para

p>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nula

e alternativa são: H

₀

:p=0.5, e H

₁

:p>0.5.

a) Um erro tipo I é o erro de se rejeitar uma

hipótese nula verdadeira, então neste caso, o

erro

tipo

I

ocorrerá

quando

tivermos

evidências de que p>0.5, quando na verdade

temos p=0.5.

(18)

18

Slide

53 Exemplo:

Assuma

que

estamos

realizando um teste de hipótese para

p>0.5. Aqui, temos que as hipóteses nula

e alternativa são: H

₀

:p=0.5, e H

₁

:p>0.5

b) Um erro tipo II é o erro de não rejeitarmos

uma hipótese nula falsa, ou seja, para este

exemplo seria não rejeitar p=0.5 (e por

conseqüência não aceitar que p>0.5) quando

na verdade temos p>0.5.

Slide

54 Erro Tipo I e Erro Tipo II

Controlando os Erros Tipo I e

Tipo II

Para qualquer

αααα

fixado, um aumento no tamanho da

amostra n causa uma diminuição em

β.

Para qualquer tamanho de amostra n fixo, uma

diminuição de

αααα

causará em aumento de

ββββ

.

Inversamente, um acréscimo em

αααα

causará uma

dimnuição em

ββββ

.

Para diminuir tanto

αααα

quanto

ββββ

, temos que aumentar

o tamanho da amostra.

(19)

19

Slide

56 Definição

O

poder do teste de hipótese

é a probabilidade

(1 -

β

) de rejeitar uma hipótese nula falsa, que

é calculada usando um valor fixo para o nível

de significância

α

e um valor fixo para o

parâmetro populacional que é uma alternativa

ao

valor

assumido

como

verdadeiro

na

hipótese nula. Em outras palavras, o poder do

teste de hipótese é a probabilidade de aceitar

uma hipótese alternativa verdadeira.

Slide

57 Metodologia

Detalhada do

Teste de Hipótese

– Método do

P-valor

Slide

58 Metodologia

Detalhada do

Teste de Hipótese

– Método

Tradicional

(20)

20

Slide

59 Metodologia Detalhada do Teste

de Hipótese - cont

Um IC para um parâmetro populacional contém os

valores mais verossímeis para este parâmetro. Nós

podemos então rejeitar uma afirmação de que o

parâmetro populacional não está incluído bo IC. Veja na

Tabela 8-2 abaixo os níveis de confiança do IC para os

níveis de significância de acordo com o tipo do teste

(bilateral ou unilateral):

Slide

60 Cuidado

:

Em alguns casos, a conclusão

baseada no IC pode diferir da conclusão do

teste

de

hipótese.

Veja

os

comentários

presentes em cada uma das seções seguinte.

Metodologia Detalhada do Teste

de Hipótese - cont

Recapitulando

In this section we have discussed:

Hipótese Nula

Hipótese Alternativa

Estatística do Teste

Região Crítica

Nível de Significância e P-valor

(21)

21

Slide

62 Seção 8-3

Testando uma Afirmação

sobre uma Proporção

Created by Erin Hodgess, Houston, Texas

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Slide

63 Pontos Chave

Esta

seção

apresenta

o

procedimento

completo para testar a hipótese feita sobre

uma

proporção populacional. Esta

seção

utiliza

os

componentes

apresentados

na

seção anterior para os métodos do P-valor,

tradicional ou uso do I.C.

Slide

64 1) As observações devem vir de um plano de

amostra aleatória simples.

2) As condições para a

distribuição binomial

são

satisfeitas (Seção 5-3).

3) As condições np

≥≥≥≥

5 e nq

≥≥≥≥

5 são satisfeitas,

então

a distribuição binomial pode ser aproximada pela

distribuição normal com

µ

= np and

σσσσ

= npq

.

Requisitos para Testar Afirmações

sobre uma Proporção Populacional p

(22)

22

Slide

65 Notação

p

= proporção populacional (usada na

hipótese nula)

q

= 1 –

p

∧∧∧∧

n

= número de tentativas

p

=

x

(proporção

amostral

)

n

Slide

66 p – p

pq

n

z

=

∧∧∧∧

Estatística de Teste para Testar

uma Afirmação sobre uma

Proporção

Método do P-Valor

Use a mesma metodologia descrita na

Seção 8-2

e na

Figura 8-8

.

Use a distribuição normal padronizada

(Tabela A-2).

(23)

23

Slide

68 Método Tradicional

Use a mesma metodologia descrita

na

Seção 8-2

e na

Figura 8-9

.

Slide

69 Método do Intervalo de Confiança

Use a mesma metodologia descrita

na

Seção 8-2

e na

Tabela 8-2

.

Slide

70 Exemplo:

Um

artigo

distribuído

pela

Associated Press incluía estes resultados de

relativos a uma pesquisa nacional: De 880

motoristas selecionados aleatoriamente, 56%

deles admitiam que ultrapassavam o sinal

vermelho. A afirmação é que a maioria dos

americanos avançam no sinal fechado, ou

seja, p>0.5. Os dados amostrais são n=880, e

p=0,56.

∧∧∧∧

np = (880)(0,5) = 440

≥≥≥≥

5

(24)

24

Slide

71 Exemplo:

Um artigo distribuído pela Associated Press incluía

estes resultados de relativos a uma pesquisa nacional: De 880

motoristas selecionados aleatoriamente, 56% deles admitiam que

ultrapassavam o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos

americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.

Os dados

amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos o

∧∧∧∧

Método do P-valor.

De acordo com a Tabela A-2, observamos que para valores de z =

3.50 ou maiores , nós usamos 0.9999 para a área acumulada à

esquerda da estatística do teste. O P-valor é 1 – 0.9999 = 0.0001.

Como o P-valor é menor que

αααα

= 0.05, rejeitamos a hipótese nula.

Não temos evidências suficientes para admitirmos a hipótese

nula como válida.

H

0 : p = 0.5

H

1 : p > 0.5

αααα

= 0.05

pq

n

p – p

z =

∧∧∧∧

0.56 – 0.5

(0.5)(0.5)

880 =

=

3.56 Slide

Slide

72 Exemplo:

Um artigo distribuído pela Associated Press

incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa

nacional:

De

880 motoristas

selecionados

aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o

sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos

americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.

Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos

o

Método do P-valor

.

∧∧∧∧

H

0 : p = 0.5

H

1 : p > 0.5

αααα

= 0.05

z = 3.56

Exemplo

:

Um artigo distribuído pela Associated Press

incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa

nacional:

De

880 motoristas

selecionados

aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam o

sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos

americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.

Os dados amostrais são n=880, e p=0,56. Nós usaremos

o

Método Tradicional

.

∧∧∧∧

H

0 : p = 0.5

H

1 : p > 0.5

αααα

= 0.05

pq

n

p – p

z =

∧∧∧∧

0.56 – 0.5

(0.5)(0.5)

880 =

=

3.56

(25)

25

Slide

74 Exemplo:

Um artigo distribuído pela Associated Press

incluía estes resultados de relativos a uma pesquisa

nacional:

De

880 motoristas

selecionados

aleatoriamente, 56% deles admitiam que ultrapassavam

o sinal vermelho. A afirmação é que a maioria dos

americanos avançam no sinal fechado, ou seja, p>0.5.

Os dados amostrais são n=880, e

p=0,56. Nós

usaremos o

Método do IC

.

∧∧∧∧

Para testar uma hipótese unilateral com nível de

significância

αααα

, nós iremos construir um intervalo de

confiança com 1 – 2

αααα

de nível de confiança . Nós

contruimos um IC com 90% de confiança.

Nós obtemos 0.533 < p < 0.588. Estamos 90% confiantes

que o valor verdadeiro de p está contido no intervalo de

limites 0.533 e 0.588. Assim, não podemos afirmar que

p>0.5, já que esse valor não pertence ao IC.

Slide

75 CUIDADO

Quando

testamos

afirmações

sobre

proporção

populacional, o método tradicional e o método do

P-valor são equivalentes e terão os mesmos resultados

desde que usem o mesmo desvio padrão baseado na

proporção suposta p

. Por outro lado, o IC usa um desvio

padrão estimado baseado na

proporção amostral p

.

Consequentimente,

é

possível

que

os

métodos

tradicional e P-valor tenham uma conclusão diferente do

que o método do IC.

Uma boa tática é utilizar o IC para estimar a proporção

populacional, mas utilizar os métodos tradicional ou

P-valor para teste de hipótese.

∧∧∧∧

Slide

76 (determinando a proporção amostral de residências com TV a cabo)

p

= = = 0.64

_n

x

96 (96+54)

∧∧∧∧

p

algumas vezes é calculado:

“96 residências pesquisadas têm TV a cabo e

54 não” é calculado usando

∧∧∧∧

p algumas vezes é informado diretamente:

“

10% dos carros esportivos observados são

vermelho” é expresso como

p

∧∧∧∧

= 0.10

(26)

26

Slide

77 Exemplo:

Quando Gregory Mendel realizou

seu famoso experimento de hibridação com

ervilhas, um dos experimentos resultou em

uma geração constituída de 428 ervilhas com

vagens verdes e 152 com vagens amarelos.

Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhas

desta geração teria bagos amarelos. Use 5% de

significância com o método do P-valor para

testar a afirmação de Mendel.

Nós notamos que n=428+152=580,

então p = 0.262, e p = 0.25.

∧∧∧∧

Slide

78 Exemplo:

Quando

Gregory

Mendel

realizou

seu

famoso experimento de hibridação com ervilhas, um

dos experimentos resultou em uma geração constituída

de 428 ervilhas com vagens verdes e 152 com vagens

amarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4 das ervilhas

desta geração teria bagos amarelos. Use 5% de

significância com o método do P-valor para testar a

afirmação de Mendel.

H

0 : p = 0.25

H

1 : p

≠≠≠≠

0.25 n = 580

αααα

= 0.05

p = 0.262

∧∧∧∧

0.262 – 0.25

(0.25)(0.75)

580 =

=

0.67 z =

p – p

pq

n

∧∧∧∧

Já que este é um teste bilateral, o P-valor será o dobro da

área à direita da estatística do teste. Usando a Tabela A-2,

o P-valor para z = 0.67 é 1 – 0.7486 = 0.2514.

Exemplo:

Quando Gregory Mendel realizou seu

famoso experimento de hibridação com ervilhas, um

dos

experimentos

resultou

em

uma

geração

constituída de 428 ervilhas com vagens verdes e 152

com vagens amarelos. Segundo a teoria de Mendel, 1/4

das ervilhas desta geração teria bagos amarelos. Use

5% de significância com o método do P-valor para

testar a afirmação de Mendel.

H

0 : p = 0.25

H

1 : p

≠≠≠≠

0.25 n = 580

αααα

= 0.05

p = 0.262

0.262 – 0.25

(0.25)(0.75)

580 =

=

0.67 z =

p – p

pq

n

∧∧∧∧

(27)

27

Slide

80 Recapitulando

Nesta seção nós vimos:

Teste estatístico para afirmações sobre uma

proporção.

Método do P-valor.

Método do IC.

Obtendo p.

∧∧∧∧

Slide

81 Seção 8-4

Testando Afirmações

sobre uma Média:

σσσσ

Conhecido

Created by Erin Hodgess, Houston, Texas

Revised to accompany 10

th

_{Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA}

Slide

82 Pontos Chave

Esta seção apresenta os métodos para se

testar afirmações sobre a média de uma

população, dado que o desvio padrão desta

população é conhecido. Esta seção utiliza a

distribuição

normal

com

os

mesmos

componentes introduzidos na Seção 8-2.

(28)

28

Slide

83 Requisitos para Testar Afirmações sobre

uma Média Populacional (com

σσσσ

Conhecido)

1)

A amostra foi extraída segundo um

plano de amostra aleatória simples.

2) O valor do desvio padrão populacional

σσσσ

é conhecido.

3) Pelo menos uma destas condições deve

ser satisfeita: a população é normalmente

distribuída ou n>30.

Slide

84 Estatística do Teste para Testar

Afirmações sobre uma Média

(com

σσσσ

Conhecido)

n

x

– µ

_x

z

=

_σσσσ

=

z =

x

_σσσσ

– µ

x

n

98.2 – 98.6

= −

6.64

0.62

106 Exemplo:

Temos

uma

amostra

da

temperatura

corporal

de

106 pessoas,

tendo

média

98.20°F.

Assuma que esta amostra veio de uma amostra

aleatória simples e que o desvio padrão populacional

σσσσ

é conhecido e igual a 0.62°F.

Teste com 5% de

significância a idéia popular de que a temperatura

corporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Use

o método do P-valor.

H

0 :

µµµµ

= 98.6

H

1 :

µµµµ ≠≠≠≠

98.6 αααα

= 0.05

x = 98.2

σσσσ

= 0.62

(29)

29

Slide

86 Exemplo:

Temos

uma

amostra

da

temperatura

corporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assuma

que esta amostra veio de uma amostra aleatória

simples e que o desvio padrão populacional

σσσσ

é

conhecido e igual a 0.62°F.

Teste com 5% de

significância a idéia popular de que a temperatura

corporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Use

o método do P-valor.

H

0 :

µµµµ

= 98.6

H

1 :

µµµµ ≠≠≠≠

98.6 αααα

= 0.05

x = 98.2

σσσσ

= 0.62

z = –6.64

Slide

87 Exemplo:

Temos

uma

amostra

da

temperatura

corporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assuma

que esta amostra veio de uma amostra aleatória

simples e que o desvio padrão populacional

σσσσ

é

conhecido e igual a 0.62°F.

Teste com 5% de

significância a idéia popular de que a temperatura

corporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Use

o método do P-valor.

H

0 :

µµµµ

= 98.6

H

1 :

µµµµ ≠≠≠≠

98.6 αααα

= 0.05

x = 98.2

σσσσ

= 0.62

z = –6.64

Como o P-valor é igual a 0.0002, e como este valor é menor que o

nível de significância

αα

α

=0.05, nós rejeitamos a hipótese nula.

Assim,

temos

evidência

suficiente

para

concluir

que

a

temperatura corporal média de adultos saudáveis é diferente de

98.6°F.

Slide

88 Exemplo:

Temos

uma

amostra

da

temperatura

corporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assuma

que esta amostra veio de uma amostra aleatória

simples e que o desvio padrão populacional

σσσσ

é

conhecido e igual a 0.62°F.

Teste com 5% de

significância a idéia popular de que a temperatura

corporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Use

o método tradicional.

H

0 :

µµµµ

= 98.6

H

1 :

µµµµ ≠≠≠≠

98.6 αααα

= 0.05

x = 98.2

σσσσ

= 0.62

z = –6.64

Nós encontramos como valores críticos z= –1.96

e z=1.96. Nós rejeitamos a hipótese nula, pois a

estatística do teste z= –6.64 pertence à região

crítica.

Temos evidência suficiente para concluir que a temperatura

corporalmédia de adultos saudáveis é diferente de 98.6°F.

(30)

30

Slide

89 Exemplo:

Temos

uma

amostra

da

temperatura

corporal de 106 pessoas, tendo média 98.20°F. Assuma

que esta amostra veio de uma amostra aleatória

simples e que o desvio padrão populacional

σσσσ

é

conhecido e igual a 0.62°F.

Teste com 5% de

significância a idéia popular de que a temperatura

corporal média de adultos sadios é igual a 98.6°F. Use

o método do intervalo de confiança.

Para um teste de hipótese bilateral com 5% de

significância, construímos um IC com 95% de

confiabilidade. Assim, temos:

98.08 <

µµµµ

< 98.32

Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo de 98.08 a 98.32

contém o valor verdadeiro de

µµµµ

, assim, aparentemente 98.6

nãopode ser o valor verdadeiro de

µµµµ

.

H

0 :

µµµµ

= 98.6

H

1 :

µµµµ ≠≠≠≠

98.6 αααα

= 0.05

x = 98.2

σσσσ

= 0.62

Slide

90 Relações Subjacentes ao Teste

de Hipótese

Se,

sob

uma

dada

suposição,

temos

uma

probabilidade extremamente pequena de obtermos

um resultado amostral tão extremo como o que

observamos, podemos concluir que a suposição

inicial provavelmente não é correta.

Quando testamos uma afirmação, fazemos uma

suposição de igualdade (com a hipótese nula). A

seguir,

comparamos

esta

suposição

com

o

resultado obtido com a amostra e tomamos uma

destas conclusões:

Se o resultado amostral (ou resultado mais extremo)

pode ocorrer facilmente quando a suposição (hipótese

nula) é verdadeira, podemos atribuir a relativamente

curta discrepância entre a suposição e o resultado

amostral ter ocorrido devido a fatores aleatórios.

Se o resultado amostral não pode ocorrer facilmente

quando a suposição (hipótese nula) é verdadeira, nós

explicamos a relativamente grande discrepância entre a

suposição e o resultado amostral concluindo que a

Relações Subjacentes ao Teste

de Hipótese - cont

(31)

31

Slide

92 Recapitulando

Nesta seção nós apresentamos:

Requisitos para testar afirmações sobre médias

populacionais, com

σ

conhecido.

Método do P-valor.

Método Tradicional.

Método do Intervalo de Confiança.

Relações para os testes de hipótese.

Slide

93 Seção 8-5

Testando Afirmações

sobre uma Média :

σσσσ

Desconhecido

Created by Erin Hodgess, Houston, Texas

Revised to accompany 10

th

Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA

Slide

94 Pontos Chave

Esta seção apresenta a metodologia para

testar afirmações sobre a média populacional

quando não temos o valor de

σ

. Os métodos

desta seção utilizam a distribuição t de

Student vista anteriormente.