Linhas de Transmissão: Parâmetros elétricos básicos - Capacitância. Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto ET77J Sistemas de Potência 1

(1)

Linhas de Transmissão: Parâmetros elétricos básicos - Capacitância

Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto

(2)

ET77J – Sistemas de Potência 1

Objetivo da Aula

2

 Estudar a capacitância por unidade de

comprimento como um dos parâmetros básicos

utilizados na modelagem de linhas de transmissão

em corrente alternada.

(3)

Conteúdo Programático

 Capacitância em um condutor;

 Capacitância em linhas monofásicas;

 Capacitância em linhas trifásicas;

 Linhas transpostas;

 Linhas com vários condutores por fase.

(4)

Construção de Conhecimento Esperado

4

 Desenvolver proficiência na obtenção analítica da

capacitância de linhas de transmissão aéreas.

(5)

Idéia geral

Determinar equações práticas para a capacitância da linha de transmissão aérea Baseada na disposição,

quantidade e raio dos condutores

(6)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Capacitância

• Quantidade de carga que um capacitor consegue armazenar.

6

𝐶𝐶 = 𝑞𝑞 𝑉𝑉

Para a qual: q = carga elétrica [C]; V = diferença de potencial elétrico [V]; C = capacitância [F].

(7)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Quando um capacitor está carregado, as placas contêm cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos, +q e −q;

• Entretanto, por convenção, dizemos que a carga de um capacitor é q, o valor absoluto da carga de uma das placas;

– o valor de C depende da geometria das placas.

(8)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Campo elétrico

• O campo elétrico consiste em uma distribuição de vetores na região em torno de um objeto eletricamente carregado.

8

(9)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Campo elétrico

• Definido em um ponto nas proximidades de um objeto carregado;

• Uma carga de prova positiva q₀, colocada no ponto P, experimenta uma força eletrostática.

Para a qual: = campo elétrico [N/C]; ⃗𝐹𝐹 = Força eletrostática [N];

𝐸𝐸 = ⃗𝐹𝐹

𝑞𝑞

₀

(10)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Visualização do campo elétrico

10

As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas (onde começam) e se aproximam das cargas negativas (onde terminam).

(11)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

• “Linhas de Campo elétrico” – distribuição dos vetores campo elétrico no espaço.

• Em qualquer ponto, a orientação de uma linha de campo retilínea ou a orientação da tangente a uma linha de campo não retilínea é a orientação do campo 𝐸𝐸 nesse ponto.

(12)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

• As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por unidade de área, medido em um plano perpendicular às linhas, é proporcional ao módulo de 𝐸𝐸.

– Assim, 𝐸𝐸 tem valores elevados nas regiões em que as linhas de campo estão próximas e valores pequenos nas regiões em que as linhas de campo estão afastadas.

12

(13)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Campo elétrico produzido por uma carga pontual

Para a qual: ⃗𝐹𝐹=força eletrostática [N]; q = carga elétrica [C]; q₀ = carga de prova [C];

𝐸𝐸 = campo elétrico [N/C]; r= distância da carga pontual [m]; 𝜖𝜖₀ =constante de permissividade 8,85.10^-12 [C²/N.m²].

⃗𝐹𝐹 = 1

4𝜋𝜋𝜀𝜀₀

𝑞𝑞𝑞𝑞₀ 𝑟𝑟² ̂𝑟𝑟

Lei de Coulomb

𝐸𝐸 = ⃗𝐹𝐹

𝑞𝑞₀ = 1

4𝜋𝜋𝜀𝜀₀ 𝑞𝑞 𝑟𝑟² ̂𝑟𝑟

(14)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Fluxo do campo elétrico

• Quantidade de linhas de campo elétrico que atravessam uma superfície fechada.

• Definido pela lei de Gauss

14

𝜀𝜀₀Φ = 𝑞𝑞_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} 𝜀𝜀₀ � 𝐸𝐸. 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴 = 𝑞𝑞_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝜀𝜀₀ � 𝐸𝐸. cos Φ𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝑞𝑞_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

Para a qual: q_env = carga elétrica envolvida pela superfície gaussiana [C]; 𝐸𝐸= campo elétrico [N/C];

𝜖𝜖₀=constante de permissividade 8,85.10^-12 [C²/N.m²], 𝑑𝑑 ⃗𝐴𝐴 = elemento de área considerado [m²];

Φ=fluxo total do campo elétrico [N.m²/C]

Válida apenas no ar ou vácuo, caso contrário, um fator k (presença de dielétrico) precisa ser considerado.

(15)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Campo elétrico para um condutor carregado

Considere a carga por unidade de comprimento q=Q/l

𝜀𝜀₀ � 𝐸𝐸. cos Φ𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝑞𝑞_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

(16)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Campo elétrico para um condutor carregado

16

E é constante sobre a superfície gaussiana;

O ângulo entre o elemento diferencial de área e o campo é igual a zero;

𝜀𝜀 =𝜀𝜀_𝑟𝑟𝜀𝜀₀ , sendo 𝜀𝜀_𝑟𝑟 = 1 permissividade relativa do meio

(17)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Diferença de potencial

• Representa o trabalho para mover uma carga unitária (1 C) entre dois pontos.

𝑉𝑉₁ − 𝑉𝑉₂ = 𝑊𝑊 𝑞𝑞

⃗𝐹𝐹 = 𝑞𝑞𝐸𝐸 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹. 𝑥𝑥

𝑊𝑊_{𝐷𝐷1−𝐷𝐷2} = �^𝐷𝐷2 ⃗𝐹𝐹. 𝑑𝑑 ⃗𝑥𝑥 = �^𝐷𝐷2𝑞𝑞𝐸𝐸. 𝑑𝑑 ⃗𝑥𝑥

(1)

(2)

(18)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Diferença de potencial

• Substituindo (2) em (1):

18

(19)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

– Diferença de potencial entre dois condutores

• A diferença de potencial entre os dois condutores é obtida usando-se o princípio da superposição

(20)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

20

(21)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Premissas

• D >> r_a; r_b, ou seja, um observador em um condutor enxerga o outro condutor como um ponto;

• A diferença de potencial total deve-se ás contribuições de q_a e q_b;

(22)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha monofásica a dois fios

– Considere um condutor cilíndrico de raio “r₁” e outro condutor de raio “r₂” (retorno), que estão distantes entre si em “D” metros, e que q₂ = - q₁.

22

(23)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha monofásica a dois fios

– como q₂ = - q₁, a diferença de potencial entre os condutores 1 e 2 é dada por:

2 1 1 2

2 1 1

12

2 1

1 12 1

2 ln 2 ln

r r

D q

D rr D V q

D r q

r D V q

⋅

= ⋅













= ⋅

− ⋅

= ⋅

ε π ε

π

ε π ε

π

(24)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha monofásica a dois fios

– logo, a capacitância entre os condutores será:

24

) / ( ln

2 ln

2

2 1

2

2 1

1 12

12 1 F m

r r

D r

r q D

q V

C q



 





⋅

= ⋅



 





⋅ ⋅

⋅

= ⋅

= π ε π ε

(25)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha monofásica a dois fios

– Caso r₁ = r₂ = r, podemos simplificar a equação anterior:

) / ln (

ln 2

2

12 2 F m

r D r

C D



 





= ⋅



 





= π ⋅ε π ε

(26)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha monofásica a dois fios

– Considere a seguinte situação:

26

(27)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha monofásica a dois fios

– O circuito anterior pode ser representado por:

(28)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– Considere 3 condutores retilíneos, paralelos e de raios distintos, que constituem uma linha trifásica onde

28

3 0

2

1 + q + q = q  

(29)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– Obter a matriz

















⋅

















=

















P P P

V V V C

C C

C

C C

C q

q q

3 2 1

33 32

31

23 22

21

13 12

11

3 2 1



(30)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– Calcular a diferença de potencial elétrico entre o condutor 1 e P. Por sua vez, essa diferença de potencial é composta de três parcelas:

30

3 1 2

1 1

1

1P VC Pq VC Pq VC Pq

V = + +

- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q1;

- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q2;

- A diferença de potencial entre o condutor C1 e P devido à carga q3.

(31)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– A diferença de potencial entre o condutor C₁ e P devido à carga q₁, q_{2 e} q₃:

) ( 2 ¹ ln ₁¹

1

1 V

r D V_C _Pq q ^P 

 





= ⋅

ε π

 ln ( )

2 ² ²₁₂

2

1 V

D D V_C _Pq q ^P 



 





= ⋅

ε π



) ( 2 ³ ln ³₁₃

3

1 V

D D V_C _Pq q ^P 



 





= ⋅

ε π



(32)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– A partir da soma das três parcelas, obtemos:

32

) ( ln

ln 2 ln

1

13 3 3

12 2 2

1 1 1

1

3 1 2

1 1

D V q D

D q D

r q D

V

V V

P P

Pq C Pq

C Pq

C P



 



 

 



⋅ 

+



 



⋅ 

+



 



⋅ 

= ⋅

+ +

=



 ε 

π

(33)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– Utilizando o mesmo raciocínio realizado em termos de fluxo concatenado (para indutância), e

considerando e ,

podemos simplificar a equação acima por:

) 1 (

1 ln 1 ln

2 ln 1

3 13 2 12

1 1

1 V

q D q D

q r

V 



 



 



 



⋅ 

+



 



⋅ 

+



 



⋅ 

= ⋅   

ε π

∞

P → q₁ + q₂ + q₃ = 0

(34)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– Analogamente para as demais condutores:

34

𝑉𝑉₂ = 1

2𝜋𝜋 ⋅ 𝜀𝜀 ̇𝑞𝑞¹⋅ln 1

𝐷𝐷₁₂ + ̇𝑞𝑞₂ ⋅ln 1

𝑟𝑟₂ + ̇𝑞𝑞₃⋅ln 1

𝐷𝐷₂₃ (𝑉𝑉)

𝑉𝑉₃ = 1

2𝜋𝜋 ⋅ 𝜀𝜀 ̇𝑞𝑞¹⋅ln 1

𝐷𝐷₁₃ + ̇𝑞𝑞₂ ⋅ln 1

𝐷𝐷₂₃ + ̇𝑞𝑞₃ ⋅ln 1

𝑟𝑟₃ (𝑉𝑉)

(35)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– Logo,

















⋅















 



 



 



 



 







 



 



 



 



 







 



 



 



 



 





= ⋅

















3 2 1

3 23

13

23 2

12

13 12

1

3 2 1

ln 1 ln 1

ln 1

ln 1 ln 1

ln 1

ln 1 ln 1

ln 1 2

1

q q q

r D

D

D r

D

D D

r

V V V



ε π

1

C−

(36)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma linha trifásica com espaçamento assimétrico

– A equação acima é a forma matricial da equação

– assim para obtermos a matriz de capacitâncias “C”, basta invertermos a matriz C^-1 da equação acima.

36

q C

V = ⁻¹ ⋅ 

(37)

Parâmetros Elétricos de LTs

– Outra forma de representar a equação matricial anterior pode ser obtida utilizando-se a hipótese inicial de que . Assim, eliminando q₃ da primeira e da segunda equação, e eliminando q₁ da terceira equação, temos:

3 0

2

1 + q + q = q  

1

−

















⋅















 



 



 







 



 



 







 



 



 





= ⋅

















3 2 1

3 13 23

13 2

23 12

23

12 13 1

13

3 2 1

ln ln

0

0 ln

ln

0 ln

ln 2

1

q q q

r D D

D r D D

D

D D r

D

V V V



ε π

(38)

















⋅



















 







 







 





= ⋅

















3 2 1

ln 0

0

0 ln

0

0 0

ln 2

1

q q q

r r D

r D D

V V V



ε π

1

C−

Parâmetros Elétricos de LTs

– Considerando uma disposição equilátera para os condutores:

38

) / ( ln

3 2

2

1 F m

r C D

C C



 





= ⋅

=

= π ε

(39)

Parâmetros Elétricos de LTs

– Transposição de fase

• Se a disposição dos condutores não for simétrica, é possível tornar a matriz de capacitancias simétrica a partir da transposição dos condutores

Posição aérea dos condutores

Também é possível:

l/6; l /3; l /3; l /6

(40)

Parâmetros Elétricos de LTs

– Transposição de fase

• Se a disposição dos condutores não for simétrica, é possível tornar a matriz de capacitâncias simétrica a partir da transposição dos condutores:

40

















⋅

















































= ⋅

















3 2 1 3

2 1

ln 0

0

0 ln

0

0 0

ln 2

1

q q q

r D r

D r

D

V V V

eq eq

eq



ε π

) / ( ln

3 2

2

1 F m

r C D

C C

eq 











= ⋅

=

= π ε

3 D12 D23 D13

D_eq = ⋅ ⋅

Distância Média Geométrica

D_eq é o espaçamento equilátero equivalente das três distâncias, causado pela transposição dos três condutores.

1

C−

(41)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Considerando múltiplos condutores por fase

– Usualmente, cada condutor elétrico utilizado em transmissão de energia elétrica é composto por um conjunto de subcondutores, formando assim um cabo encordoado ou um feixe.

(42)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Considerando múltiplos condutores por fase

– Para linha trifásica

42

Casos mais comuns de cabos múltiplos por fase

(43)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma LT trifásica

– Considerando múltiplos cabos por fase

• Raio médio geométrico

(44)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Capacitância para uma LT trifásica

– Portanto, para uma linha transposta com múltiplos cabos:

44

) / ( ln

3 2 2

1 F m

sCb D

Deq C

C C

















= ⋅

=

= π ε

(45)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Reatância capacitiva

– A reatância capacitiva (X_c) por fase da linha de transmissão corresponde à parte imaginária da impedância complexa em derivação ou shunt (Z_sh) da linha, e depende do valor da freqüência (f) e da capacitância (C), sendo calculada por:

) 2 (

1

1 m

C f

X_C C ⋅ Ω

⋅

= ⋅

π ω

(46)

Parâmetros Elétricos de LTs

 Reatância capacitiva

– O resultado da reatância acima pode ser utilizado em sua forma matricial, desde que C seja a matriz de capacitância trifásica.

– Geralmente escrevemos o efeito capacitivo das linhas em termos de susceptância em derivação ou shunt:

46

) / 1 C (Siemens m B_sh = Xc = ω⋅

(47)

Referências bibliográficas

 STEVENSON, William D..Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978. 347 p.

 MONTICELLI, Alcir Jose; GARCIA, Ariovaldo. Introdução a sistemas de energia elétrica.

Campinas, SP: UNICAMP, c2003. 251 p.

 Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. LINHAS de transmissão e redes de distribuição: código: ET30B/ET38D. [Curitiba]: [s.n.], [19--?]. 1 v. (várias paginações).

 FUCHS, Rubens Dario. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. Rio de Janeiro: LTC; Escola Federal de Engenharia, 1977. 2 v.

 HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física – Eletromagnetismo.

9. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2012. v3.

 BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.

 CASTRO, C. A. IT 720 - Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2019, Campinas.

(48)

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