Matemática. Revisão: Geometria Espacial 1. Exercícios

Revisão: Geometria Espacial 1 Exercícios

1.

(Uerj 2021 - adaptada) Um recipiente com a forma de uma pirâmide de base quadrada foi completamente preenchido com um líquido. Sua aresta da base mede 4 𝑐𝑚 e a altura, 9 𝑐𝑚. Em seguida, todo esse líquido foi transferido para outro recipiente, com a forma de um prisma reto, sendo sua base um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4 𝑐𝑚. Considere que as espessuras dos recipientes são desprezíveis e que as bases estão em planos horizontais, sendo as alturas definidas em relação às bases.

A altura ℎ, em centímetros, que o líquido atingirá no segundo recipiente é:

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

2.

(Famerp 2018) A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 𝑐𝑚, como indicam as figuras.

3.

(Upe - 2018) Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna que tem a forma da figura abaixo?

a) 3,2 × 10⁴ b) 5,2 × 10³ c) 6,4 × 10³ d) 9,6 × 10⁴ e) 10,5 × 10⁴

4.

(Famerp 2021) Um recipiente tem a forma de pirâmide regular de base hexagonal, como mostra a figura. Sabe-se que 𝐹𝐸 = 80 𝑐𝑚 e que a distância do vértice Q ao plano que contém a base hexagonal FAMERP é igual a 30 𝑐𝑚.

A área de cada face externa lateral desse recipiente, em 𝑐𝑚², é igual a a) 150√21

b) 200√21 c) 120√21 d) 180√21 e) 100√21

5.

(Unicamp 2020, Adaptada) A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos 𝑎,  𝑏 e 𝑐.

A soma do número de vértices e de arestas desse poliedro é a) 28

b) 25 c) 20 d) 16 e) 15

6.

(Ufrgs 2019) Considere o paralelepípedo de vértices 𝐴,  𝐵,  𝐶,  𝐷,  𝐸,  𝐹,  𝐺,  𝐻 e a pirâmide de vértices 𝐵,  𝐹,  𝐺,  𝐻, inscrita no paralelepípedo, representados na figura a seguir.

A razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepípedo é a) ¹₆.

b) ¹ 5. c) ¹.

7.

(Uefs 2018) Um cubo de isopor foi cortado em dois paralelepípedos reto-retângulos congruentes, cada um com área total igual a 144 𝑐𝑚². A medida da aresta desse cubo é

a) 6 cm.

b) 8 cm.

c) 12 cm.

d) 18 cm.

e) 24 cm.

8.

(G1 - epcar (Cpcar) 2022) Uma caixa d’água no formato de paralelepípedo reto retângulo, como ilustrado na figura abaixo, está inicialmente vazia.

Abre-se um registro com capacidade de 100  𝑐𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ para encher a caixa d’água. Quando ela está cheia, abre-se um ladrão com capacidade de esvaziá-la a 0,04 ℎ𝐿 𝑚𝑖𝑛⁄ e fecha-se simultaneamente o registro.

A diferença entre o tempo de encher e esvaziar a caixa d’água, nessa ordem, em horas, é a) menor que 10

b) exatamente 10

c) maior que 10 e menor que 20 d) maior que 20 e menor que 25 e) maior que 25

9.

(Espcex (Aman) 2020) Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do tipo 𝑃. Com base nessas informações, pode-se concluir que o polígono 𝑃 é um

a) dodecágono.

b) octógono.

c) pentágono.

d) quadrilátero.

e) triângulo.

10.

(Unesp 2016) Um cubo com aresta de medida igual a 𝑥 centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista superior desse prisma, sendo que 𝐴𝐸𝐵 é um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é igual a 2(4 − √3)𝑐𝑚³, 𝑥 é igual a a) 2

b) ⁷ 2 c) 3 d) ⁵₂ e) ³₂

Gabaritos

1. C

O volume de líquido contido no recipiente em forma de pirâmide é 1

3⋅ 4²⋅ 9 = 3 ⋅ 4²𝑐𝑚³.

Portanto, a altura atingida no segundo recipiente é tal que 3 ⋅ 4²=¹

2⋅ 4²⋅ ℎ ⇔ ℎ = 6𝑐𝑚.

2. D

Calculando:

𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 =6 ⋅ 4

2 ⋅ 3 = 36 𝑐𝑚² 𝑉_{𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒}=¹

3⋅ 𝑏²⋅ 4 = 36 ⇒ 𝑏²= 27 = 3√3 𝑐𝑚 3. D

Desde que a base do prisma é um triângulo retângulo de hipotenusa 10 𝑚 e cateto 8 𝑚, é fácil ver que tal triângulo é semelhante ao triângulo retângulo pitagórico de lados 5 𝑚,  4 𝑚e 3 𝑚. Logo, o outro cateto da base do prisma mede 6 𝑚.

Sabendo que 1 𝑚³= 1000 𝑑𝑚³ e que 1 𝑑𝑚³= 1 L, temos 3

3 4

1 6 8 4 96 m 2

96000 dm 9,6 10 L.

   =

=

= 

4. B

O segmento 𝐹𝐸 corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito à base. Logo, segue que o lado do hexágono mede ⁸⁰₂ = 40𝑐𝑚. Ademais, o apótema da base mede ^40√3₂ = 20√3𝑐𝑚.

Considerando o triângulo retângulo cujos catetos são a altura da pirâmide e o apótema da base, e cuja hipotenusa é o apótema, 𝐴, da pirâmide, temos

𝐴²= 30²+ (20√3)²⇒ 𝐴²= 2100    ⇒ 𝐴 = 10√21𝑐𝑚.

A resposta é

1

2⋅ 40 ⋅ 10√21 = 200√21 𝑐𝑚². 5. B

Considere a figura.

6. A

Calculando:

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 ⇒ {𝐻𝐺 = 𝑥 𝐺𝐹 = 2𝑥 𝐺𝐵 = 3𝑥 𝑉_{𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒}=¹

3⋅ (^𝑥⋅2𝑥

2 ) ⋅ 3𝑥 = 𝑥³

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 𝑥 ⋅ 2𝑥 ⋅ 3𝑥 = 6𝑥³⟩ ⇒ ^{𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒}

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜=¹

6 7. A

Do enunciado, temos

Daí, 2𝑥²+ 4 ⋅𝑥

2⋅ 𝑥 = 144 2𝑥²+ 2𝑥²= 144 4𝑥²= 144 𝑥²= 36 Como 𝑥 > 0, 𝑥 = 6 𝑐𝑚 8. B

Vamos, inicialmente, calcular o volume da caixa em Litros.

100 𝑐𝑚 = 10 𝑑𝑚 0,02 ℎ𝑚 = 20 𝑑𝑚 400 𝑚𝑚 = 4 𝑑𝑚

Portanto o volume da caixa será dado por:

𝑉 = 10 ⋅ 20 ⋅ 4 = 800 𝑑𝑚³= 800 𝐿

Capacidade do registro em Litros: 100  ^𝑐𝐿

𝑚𝑖𝑛_𝑚𝑖𝑛^𝐿

Portanto, serão necessários 800 minutos para encher a caixa.

9. A

Com os dados do enunciado, pode-se calcular:

𝑉_{𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎} = 2(4 − √3) = 𝑥 ⋅ (𝑥²−𝑥²⋅ √3

4 )

𝑉_{𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎} = 2 ⋅ (4 − √3) =^𝑥₄³⋅ (4 − √3) →^𝑥₄³= 2 → 𝑥³= 8 → 𝑥 = 2

10. E

Seja 𝑛 o número de lados de cada polígono do tipo 𝑃.

Se 𝑉 = 13 e 𝐹 = 19, então, pela Relação de Euler, vem 𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 ⇔ 13 + 19 = 𝐴 + 2

⇔ 𝐴 = 30.

Por outro lado, temos

2𝐴 = 18 ⋅ 𝑛 + 1 ⋅ 6 ⇔ 𝐴 = 9𝑛 + 3.

Desse modo, encontramos 9𝑛 + 3 = 30 ⇔ 𝑛 = 3, ou seja, 𝑃 é um triângulo.