C ´ALCULO NUM´ERICO

Apostila elaborada pelo professor Wanderson Rodrigues Bispo com a colabora¸c˜ao do monitor Shander Sanchez

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca - CEFET/RJ Unidade Descentralizada de Nova Igua¸cu

Mar¸co de 2008

Sum´ ario

1 Erros em C´ alculo Num´ erico 2

1.1 Introdu¸c˜ao . . . . 2

1.2 Exerc´ıcios . . . . 4

2 Resolu¸c˜ ao Num´ erica de Sistemas Lineares 6 2.1 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . . 6

2.2 Decomposi¸c˜ao LU . . . . 9

2.3 M´etodos Iterativos . . . . 10

2.4 Exerc´ıcios . . . . 14

3 Zero de Fun¸c˜ oes 17 3.1 M´etodo da Bisse¸c˜ao . . . . 18

3.2 M´etodo da Falsa-Posi¸c˜ao . . . . 19

3.3 M´etodo da Itera¸c˜ao Linear . . . . 20

3.4 M´etodo de Newton-Raphson . . . . 23

3.5 Exerc´ıcios . . . . 25

4 Aproxima¸c˜ ao de Fun¸c˜ oes 27 4.1 Teoria de Interpola¸c˜ao . . . . 27

4.2 Interpola¸c˜ao Polinomial . . . . 28

4.3 F´ormula de Lagrange . . . . 30

4.4 Diferencia¸c˜ao Num´erica . . . . 30

4.5 F´ormula de Newton . . . . 33

4.6 Ajuste de Curvas . . . . 35

4.6.1 Crit´erios de Ajuste . . . . 36

4.6.2 Ajuste Polinomial . . . . 38

4.7 Exerc´ıcios . . . . 40

5 Integra¸c˜ ao Num´ erica 42 5.1 M´etodo dos Trap´ezios . . . . 42

5.2 M´etodo de Simpson . . . . 44

5.3 M´etodo da Quadratura Gaussiana . . . . 47

5.4 Exerc´ıcios . . . . 50

1

Erros em C´ alculo Num´ erico

1.1 Introdu¸c˜ ao

Na computa¸c˜ao dos m´etodos num´ericos, normalmente surgem 3 tipos de erro: erros de arredondamento, erros inerentes e erros de truncamento. Analisaremos cada um a seguir.

1. Erros de arredondamento

S˜ao erros introduzidos pelos computadores, gra¸cas ao car´ater finito de sua mem´oria de armazenamento.

2. Erros Inerentes

S˜ao erros contidos nos dados de entrada do programa. S˜ao normalmente provenientes de imperfei¸c˜oes nos levantamento de dados (falha humana ou de aparelhos de medi¸c˜ao).

3. Erros de Truncamento

S˜ao os erros dos m´etodos num´ericos propriamente ditos. S˜ao organizados por simpli- fica¸c˜oes quando da dedu¸c˜ao das f´ormulas num´ericas. Por exemplo, considere o c´alculo do numero e:

e = X

1

n! = 1 + 1 2! + 1

3! + 1 4! + 1

5! + termos truncados

Assim, o erro no c´alculo do n´umero e est´a associado aos termos truncados da s´erie acima.

Defini¸c˜ ao 1.1 - N´ umero Aproximado

2

CAP´ITULO 1. ERROS EM C ´ ALCULO NUM ´ ERICO 3 E a aproxima¸c˜ao de um valor exato, sendo a diferen¸ca entre os dois bem pequena. Con- ´ sideramos um valor exato quando n˜ao existe aproxima¸c˜ao ou incerteza associado a ele.

Defini¸c˜ ao 1.2 - D´ıgitos Significativos

Os d´ıgitos 1, 2, · · · , 9 constituem algarismos significativos de um n´umero. O n´umero 0 tamb´em constitue um algarismo significativo, exceto nos casos em que ´e usado para fixar a posi¸c˜ao da parte decimal ou preencher casas decimais de d´ıgitos desprezados.

Exemplos 1.1

• 3, 124 → 4 d´ıgitos significativos

• 405 → 3 d´ıgitos significativos

• 0, 0095 → 2 d´ıgitos significativos

• 45, 1300 → 4 d´ıgitos significativos (no caso em que os zeros preenchem espa¸cos vazios)

• 45, 1300 → 6 d´ıgitos significativos (no caso em que os zeros s˜ao ori´undos de arredonda- mento)

Erros de Aproxima¸c˜ ao

No caso de erros de truncamento, que s˜ao erros obtidos atrav´es dos m´etodos num´ericos aplicados, podemos ainda definir os tipos de erro que ocorrem na aproxima¸c˜ao de um valor exato. Considere x e x

valores exato e aproximado de um n´umero, respectivamente.

i) Erro absoluto - ´ E a diferen¸ca, em m´odulo, entre o valor exato e o valor aproximado de um n´umero. Nota¸c˜ao: “∆”.

∆x = |x − x

|

ii) Erro relativo - ´ E a raz˜ao entre o erro absoluto e o valor exato de um n´umero. Nota¸c˜ao:

“ δ ”.

δx = ∆x x Exemplo 1.1 Se x = 3, 251408 e x

= 3, 2524643, ent˜ao

∆x = |x − x

| = 0, 0010554 = 1, 0554 × 10

e

δx = ∆x

x = 1, 0554 × 10

3, 251408 = 3, 24597836 × 10

.

Proposi¸c˜ ao 1.1 Sejam x e y valores exatos e x

e y

valores aproximados de dois n´umeros.

Ent˜ao:

i) ∆(x + y) = ∆x + ∆y

ii) δ(x + y) = δx x

x

+ y

+ δy y

x

+ y

iii) ∆(x − y) = ∆x − ∆y

iv) δ(x − y) = δx x

x

− y

+ δy y

x

− y

v) ∆(xy) = x

∆y + y

∆x

vi) δ(xy) = δx + δy vii) ∆

³ x y

´

' y

∆x − x

∆y (y

)

viii) δ

³ x y

´

= δx − δy

1.2 Exerc´ıcios

1. Demonstre a proprosi¸c˜ao 1.1 da se¸c˜ao anterior.

2. Calcule a ´area de um c´ırculo de raio 100 m, utilizando os seguintes valores aproximados para π : 3.14, 3.1416, 3.14159 e 3.1415926.

3. Determine os erros absoluto e relativo do exerc´ıcio anterior, considerando como valor exato a ´area obtida atrav´es do ´ultimo valor de π.

4. Efetue os seguintes arredondamentos:

a) 38.46235 para 3 casas decimais;

b) 2.57325 para 4 casas decimais;

c) 0.00731235 para 6 casas decimais;

d) 0.8004982 para 5 casas decimais.

5. Sejam f (x, y) = e

, x ¯ = 7, 321 e ¯ y = 6, 242. Determine f(¯ x, y), e apresente o ¯ resultado de acordo com o n´umero de algarismos significativos que pode garantir.

Despreze o erro da fun¸c˜ao exponencial e os erros dos c´alculos intermedi´arios.

6. O volume de uma esfera de raio r ´e dado por V =

πr

. Sabendo que ¯ r = 22, 50cm e

¯

π = 3, 142, obtenha o valor aproximado do volume da esfera e apresente o resultado de acordo com o n´umero de algarismos significativos que pode garantir. Despreze os erros de arredondamento das opera¸c˜oes elementares.

7. Calcule um valor aproximado de cos(38

) a partir da express˜ao cos(x) = p

1 − sen

(x), considerando o valor aproximado de sen(38

) com 5 casas decimais significativas.

Apresente o resultado de acordo com o n´umero de algarismos significativos que pode

garantir. Despreze o erro do valor da ra´ız quadrada e dos c´alculos intermedi´arios e

considere 1 um n´umero exato.

CAP´ITULO 1. ERROS EM C ´ ALCULO NUM ´ ERICO 5

8. As arestas de um paralelep´ıpedo retˆangulo medem aproximadamente ¯ a = 30cm, ¯ b =

40cm e ¯ c = 20cm. Com que aproxima¸c˜ao devem ser medidas as arestas para se obter o

volume do paralelep´ıpedo com um erro absoluto que, em m´odulo, n˜ao exceda 192cm

?

9. Pretende-se calcular a ´area de um c´ırculo de raio aproximadamente igual a 25cm, com

um erro absoluto que, em m´odulo, nao exceda 0.05cm

. Com que aproxima¸c˜ao se deve

medir o raio do c´ırculo e quantas casas decimais significativas se devem usar no valor

aproximado de π? (Despreze os erros das opera¸c˜oes elementares.)

Resolu¸c˜ ao Num´ erica de Sistemas Lineares

M´ etodos Diretos e M´ etodos Iterativos

O objetivo nesse cap´ıtulo ´e apresentarmos m´etodos num´ericos para resolu¸c˜ao de sistemas lineares. Dependendo do m´etodo escolhido, buscaremos uma solu¸c˜ao exata ou uma solu¸c˜ao aproximada, o que nos permite definir duas classes de m´etodos: m´etodos diretos e m´etodos iterativos. No caso dos m´etodos diretos, as solu¸c˜oes n˜ao apresentam nenhum tipo de erro de truncamento, ou seja, a solu¸c˜ao encontrada ser´a a solu¸c˜ao exata. Os erros que possam vir a ocorrer ser˜ao decorrentes da m´aquina empregada (erros de arredondamento).

Na segunda classe temos os chamados m´etodos iterativos, que diferente dos m´etodos diretos, n˜ao produzem solu¸c˜oes exatas e sim, solu¸c˜oes aproximadas.

2.1 M´ etodo de Elimina¸c˜ ao de Gauss

Come¸caremos nosso estudo com um m´etodo direto, o m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss. Con- sidere o sitema linear abaixo:

 

 



 

 

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= b

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= b

... . .. ...

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= b

(2.1)

Podemos escrever o sistema (2.1) na forma matricial Ax = b

³ X

j=1

a

x

= b

, i = 1, 2, · · · , n

´

, onde A = [a

]

, x = {x

}

e b = {b

}

.

Sabemos da ´algebra linear que o sistema (2.1) admite solu¸c˜ao se det A 6= 0, ou seja, se A

´e invert´ıvel, e assim sua solu¸c˜ao ´e x = A

b. Mas do ponto de vista computacional, calcular a inversa de uma matriz ´e muito custoso e, para evitar esse problema, utilizaremos o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss.

6

CAP´ITULO 2. RESOLUC ¸ ˜ AO NUM ´ ERICA DE SISTEMAS LINEARES 7 Elimina¸c˜ ao Gaussiana

A id´eia do m´etodo de Gauss ´e transformar o sistema dado num sistema triangular inferior (ou superior), utilizando escalonamento de matrizes. Ap´os esse processo, teremos o seguinte sistema:

 

 



 

 

u

x

+ u

x

+ · · · + u

x

= g

u

x

+ · · · + u

x

= g

... . .. ...

u

x

= g

. (2.2)

Uma vez triangularizado o sistema, atrav´es do algoritmo da retrosubstitui¸c˜ao, encon- tramos a solu¸c˜ao procurada:

x

= g

−

X

u

x

u

, i = n, n − 1, · · · , 2, 1, onde

X

u

x

= 0 sempre que j > n.

O que garante que o sistema Ax = b ´e equivalente ao sistema Ux = g ´e o processo de escalonamento, onde o segundo sistema ´e obtido a partir do primeiro atrav´es de opera¸c˜oes elementares.

Exemplo 2.1 Vamos utilizar o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss para resolver o seguinte sistema linear

 



2x

+ x

+ x

= 7 4x

+ 4x

+ 3x

= 21 6x

+ 7x

+ 4x

= 32

. (2.3)

Considerando a matriz ampliada do sistema, temos

[A | b] =



 2 1 1 | 7 4 4 3 | 21 6 7 4 | 32



 . Passo 1: zerar a

e a

• defino 1

pivˆo: a

= 2

• defino os multiplicadores de linha = ⇒

 



m

=

=

= 2 m

=

=

= 3

• defino as novas linhas da matriz = ⇒

 



L

= L

− m

L

L

= L

− m

L

ap´os estas opera¸c˜oes teremos uma nova matriz

[A | b]

=



 2 1 1 | 7 0 2 1 | 7 0 4 1 | 11



 .

Passo 2: zerar a

• defino 2

pivˆo: a

= 2

• defino os multiplicadores de linha = ⇒ m

=

=

= 2

• defino as novas linhas da matriz = ⇒ L

= L

− m

L

e assim,

[A | b]

=



 2 1 1 | 7

0 2 1 | 7

0 0 −1 | −3



 = [U | g]

Usando o algoritmo da retrosubstitui¸c˜ao,

x

=

g

−

z }| {

X

u

x

u

= −3

−1 = 3

x

=

g

− u

x

u

= 7 − 1(3)

2 = 2

x

=

g

− u

x

− u

x

u

= 7 − 1(2) − 1(3)

2 = 1

e a solu¸c˜ao do sistema (2.3) fica

x = (1, 2, 3)

ou x =



 1 2 3



 .

ALGORITMO DE GAUSS

Passo k: (O objetivo ´e eliminar x

das equa¸c˜oes)

• i = k + 1, · · · , n, com n = dim A

CAP´ITULO 2. RESOLUC ¸ ˜ AO NUM ´ ERICA DE SISTEMAS LINEARES 9

• assumo a

6= 0 → k

pivˆo

• defini¸c˜ao dos multiplicadores de linha = ⇒ m

= a

a

, i = k + 1, · · · , n

• defini¸c˜ao das novas linhas da matriz = ⇒

 



 

a

:= a

− m

a

b

:= b

− m

b

.

2.2 Decomposi¸c˜ ao LU

“Toda matriz n˜ao singular admite uma decomposi¸c˜ao em duas matrizes triangulares, uma superior e outra inferior”. Quem garante esse resultado ´e o pr´oximo teorema.

Teorema 2.1 - Teorema de Gauss

Seja A uma matriz quadrada de ordem n tal que det A 6= 0. Sejam U uma matriz trian- gular superior,

U =

½ u

se i ≤ j 0 se i > j , e L uma matriz triangular inferior unit´aria,

L =

 



0 se i < j 1 se i = j l

se i > j

.

Ent˜ao existe e ´e ´unica a decomposi¸c˜ao A = LU , onde U ´e a matriz resultante do processo de elimina¸c˜ao gaussiana e l

= m

(multiplicadores de linha).

Aproveitando nosso ´ultimo exemplo, podemos encontrar a decomposi¸c˜ao LU da matriz associada ao sistema (2.3)

A =



 2 1 1 4 4 3 6 7 4



 =

z }|

{



 1 0 0 2 1 0 3 2 1





z }|

{



 2 1 1

0 2 1

0 0 −1



 .

Exerc´ıcio 2.1 Resolver o sistema linear abaixo atrav´es do m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss utilizando quatro casas decimais de precis˜ao na solu¸c˜ao.

 



x + y + z = 1

2x − y + 3z = 0

−x + y − 5z = 2

.

2.3 M´ etodos Iterativos

Vamos agora introduzir dois novos m´etodos que pertencem a classe dos m´etodos iterativos.

Estes m´etodos n˜ao mais resolvem o sistema exatamente, mas sim, a partir de uma estimativa inicial, constr´oem uma sequˆencia de aproxima¸c˜oes que converge para a solu¸c˜ao exata do sistema. Devido as limita¸c˜oes de mem´oria computacinal, esses m´etodos se mostram mais interessantes que os diretos, os quais gastam grande quantidade de mem´oria computacional (problemas de interesse da engenharia possuem aproximadamente 10

inc´ognitas).

M´ etodo de Gauss–Jacobi Considere o sistema linear X

j=1

a

x

= b

, i = 1, 2, ... , n Podemos escrevˆe–lo como:

x

= 1 a



  b

− X

j=1 j6=i

a

x



  , i = 1, 2, ... , n

O m´etodo de G.J. usa a maneira de escrever um sistema linear para gerar uma sequˆencia de aproxima¸c˜oes:

x

= 1 a



  b

− X

j=1 j6=i

a

x



 

| {z }

F ormula de Gauss−Jacobi

, i = 1, 2, ... , n k = 0, 1, 2, ...

Exemplo 2.2 Resolva numericamente o sistema abaixo usando o m´etodo de Gauss-Jacobi.

 



10x

+ 3x

+ x

= 14 2x

− 10x

+ 3x

= −5

x

+ 3x

+ 10x

= 14

, chute: x

= (0, 0, 0)

, x

=



 0 0 0





solu¸c˜ao:

Input: x

= (0, 0, 0)

K = 0

 

 



 

 

x

=

h

b

− a

x

− a

x

i

=

(14 − 3 × 0 − 1 × 0) = 1, 4 x

=

h

b

− a

x

− a

x

i

=

(−5 − 2 × 0 − 3 × 0) = 0, 5 x

=

33

h

b

− a

x

− a

x

i

=

(14 − 1 × 0 − 3 × 0) = 1, 4

Output: x

= (1, 4 , 0, 5 , 1, 4)

CAP´ITULO 2. RESOLUC ¸ ˜ AO NUM ´ ERICA DE SISTEMAS LINEARES 11 Input: x

= (1, 4 , 0, 5 , 1, 4)

K = 1

 



 

x

=

( 14 − 3 × 0, 5 − 1 × 1, 4) = 1, 11 x

=

( −5 − 2 × (1, 4) − 3 × (1, 4)) = 1, 20 x

=

( 14 − 1 × (1, 4) − 3 × (0, 5)) = 1, 11 Output: x

= (1, 11 , 1, 20 , 1, 11)

Com algumas itera¸c˜oes do algoritmo, convergimos para x = (1, 1, 1)

. ¥

Exerc´ıcio 2.2 Verifique que x

= 1, 000251, x

= 1, 005795 e x

= 1, 000251.

M´ etodo de Gauss–Seidel

Podemos construir uma variante do m´etodo de G.J. permitindo que as vers˜oes atualizadas das componentes de x entre na computa¸c˜ao na mesma itera¸c˜ao K na qual s˜ao calculadas.

Isto d´a origem ao m´etodo de Gauss-Seidel.

F´ormula Gauss-Seidel :

x

=



 

 

 b

−

T ermo novo

z }| { X

j=1

a

x

−

antigo

z }| { X

j=i+1

a

x



 

 

 , i = 1, 2, ... , n k = 0, 1, 2, ...

Exemplo 2.3 Refa¸ca o exemplo anterior empregando agora o m´etodo GS:

Input: x

= (0, 0, 0)

K = 0

 

 



 

 

x

=

h

b

− a

x

− a

x

i

=

(14 − 3 × 0 − 1 × 0) = 1, 4 x

=

h

b

− a

x

− a

x

i

=

(−5 − 2 × 1, 4 − 3 × 0) = 0, 78 x

=

33

h

b

− a

x

− a

x

i

=

(14 − 1 × 1, 4 − 3 × 0, 78) = 1, 026 Output: x

= (1, 4 , 0, 78 , 1, 026)

Input: x

= (1, 4 , 0, 78 , 1, 026)

K = 1

 



 

x

=

( 14 − 3 × (0, 78) − 1 × (1, 026)) = 1, 0634

x

=

( −5 − 2 × (1, 0634) − 3 × (1, 026)) = 1, 02048

x

=

( 14 − 1 × (1, 0634) − 3 × (1, 02048)) = 0, 98752

Output: x

= (1, 0634 , 1, 02048 , 0, 98752)

. ¥

Exerc´ıcio 2.3 Verifique que x

= 0, 99979 , x

= 0, 99985 e x

= 1, 00007.

Estudo da Convergˆ encia

Por se tratar de um m´etodo iterativo, necessitamos estabelecer crit´erios de parada para interromper a computa¸c˜ao.

I) Controle do n´umero de itera¸c˜oes :

Se a estrutura de repeti¸c˜ao do programa exceder um dado n´umero de itera¸c˜oes, interrompemos a computa¸c˜ao.

itera ≥ itera m´ax → stop

II) Controle na precis˜ao da solu¸c˜ao :

Se a diferen¸ca, em m´odulo, entre duas aproxima¸c˜oes consecutivas for menor que um parˆametro pr´e-estabelecido ε > 0, finalize a computa¸c˜ao .

max

¯ ¯

¯ x

− x

¯ ¯

¯ ≤ ε → stop

Vantagens dos m´ etodos iterativos :

• Em sistemas mal condicionados (detA ∼ = 0), os erros de arredondamento normalmente destroem uma solu¸c˜ao direta. J´a as solu¸c˜oes iterativas propagam pouco este tipo de erro;

• Caso a matriz for esparsa, tamb´em devemos optar por solu¸c˜oes iterativas, pois nestas situa¸c˜oes elas apresentam boa velocidade.

Desvantagens :

• Sua convergˆencia n˜ao ser´a garantida;

• Para matrizes cheias, apresentam um n´umero maior de contas.

Coment´ario :

Caso a solu¸c˜ao n˜ao seja convergente, podemos tentar uma reorganiza¸c˜ao das equa¸c˜oes

antes de aplicarmos o m´etodo iterativo. Por exemplo, considere o sistema abaixo:

CAP´ITULO 2. RESOLUC ¸ ˜ AO NUM ´ ERICA DE SISTEMAS LINEARES 13

 

 

 



−x

+ 3x

+ 5x

+ 2x

= 10 x

+ 9x

+ 8x

+ 4x

= 15 2x

+ x

+ x

− x

= −3

x

+ x

= 2

Tomando chute x

= (0, 0, 0, 0), a solu¸c˜ao de ”GS”diverge, lim

k→∞

x

6= x .Entretanto, ao reordenamentodo sistema, [L

↔ L

]



 



−1 9

1 1



 



(antes)

−→



 

 2

9 5

1



 



(depois)

a solu¸c˜ao converge para:

x = ( −1, 000001 , 0, 000001 , 0, 999999 , 1, 999999 )

.

Crit´erio de convergˆencia:

“Toda matriz diagonal dominante ´e convergente, para qualquer chute inicial.”

Condi¸c˜ao de diagonal dominante:

|a

| ≥ X

j=1 j6=i

|a

| , ∀i = 1, 2, ... , n.

2.4 Exerc´ıcios

1. Resolver os sistemas abaixo pelo m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss:

a)

 



10x

+ 2x

+ x

= 15 20x

− 5x

+ 2x

= 32 5x

+ 15x

− 2x

= 33

b)

 



3x

+ 10x

+ x

= −16 x

− 5x

+ 10x

= 1 x

+ 2x

+ 5x

= 2

c)

 



5x

− 2x

= 10

10x

− 3x

= −50

−2x

+ 5x

− 2x

= 60

d)

 



50x

− 5x

+ 2x

= 300

− 2x

+ 5x

= 10

10x

− 20x

= −950

2. Encontre a decomposi¸c˜ao LU das matrizes dos coeficientes associados aos sistemas do exerc´ıcio anterior.

3. Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares:

 

 

 



x

+ 2x

− x

= 1

2x

− x

= 1

− x

+ 2x

− x

= 1

− x

+ 2x

= 1

a) Mostre que esse sistema n˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de diagonal dominante;

b) Se permutarmos as linhas desse sistema, podemos utilizar os m´etodos de Gauss- Jacobi e Gauss-Seidel para resolvˆe-lo tendo garantia de convergˆencia?

4. Considere o sistema linear abaixo:

 

 

 



x

− 3x

+ x

− 4x

= −1

x

− 2x

= 3

10x

+ x

+ x

= −8

x

− x

+ 3x

= 8

CAP´ITULO 2. RESOLUC ¸ ˜ AO NUM ´ ERICA DE SISTEMAS LINEARES 15 a) Resolva o sistema utilizando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss;

b) Podemos determinar a solu¸c˜ao aproximada do sistema, usando o M´etodo de Gauss- Seidel para qualquer aproxima¸c˜ao inicial? Porquˆe?

5. Considere o seguinte sistema linear:

½ 0, 78000x

− 0, 56300x

= 0, 21700 0, 91300x

− 0, 65900x

= 0, 25400

a) Calcule os vetores E

= A¯ x

− b e E

= A¯ x

− b, onde ¯ x

= (0, 34100; −0, 08700) e

¯

x

= (0, 99900; −1, 00100). Considerando os resultados obtidos para E

e E

, qual das duas aproxima¸c˜oes {¯ x

; ¯ x

} ´e a melhor?

b) Resolva o sistema dado usando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss trabalhando com 5 casas decimais;

c) Sabendo que a solu¸c˜ao exata do sistema ´e {1; −1} e observando os ´ıtens anteriores, pergunta-se: o sistema ´e bem condicionado? Justifique.

6. Considere o sistema linear abaixo:

 



kx

+ 3x

+ x

= 1 kx

+ 6x

+ x

= 2 x

+ 6x

+ x

= 3

a) Determine para que valores de k se tem garantia de que os m´etodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi geram uma sequˆencia convergente, para qualquer aproxima¸c˜ao inicial;

b) Escolha o menor valor inteiro positivo de k e determine uma solu¸c˜ao aproximada do sistema, usando os m´etodos acima, com crit´erio de parada estabelecido pelo erro abaixo

max

|x

− x

| ≤ ε = 1 × 10

.

7. Considere o sistema linear abaixo:

 



x

− 2x

− 5x

+ 18 = 0

−4x

+ x

− 2x

+ 8 = 0

−x

+ 5x

+ 2x

− 15 = 0 .

Verifique que, para o sistema de equa¸c˜oes dado, o m´etodo de Gauss-Jacobi ´e conver-

gente. Utilize-o para obter uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao, x

, partindo da aproxima¸c˜ao

x

= (1.05, 2.16, 3.0)

.

8. Considere o sistema de equa¸c˜oes lineares AX = B, onde

A =



 −1 2 4 5 −2 1

2 3 0



 , X =



 x y z



 e B =



 17.0 4.8 9.3



 .

a) Verifique que ´e poss´ıvel, partindo de um sistema de equa¸c˜oes equivalente ao anterior, provar a convergˆencia do m´etodo de Gauss-Seidel para a solu¸c˜ao, X

, do sistema;

b) Considerando X

= (0.6, −0.7, 0.2)

, determine X

utilizando Gauss-Seidel.

9. Explique a diferen¸ca entre m´etodos diretos e m´etodos iterativos.

Cap´ıtulo 3

Zero de Fun¸c˜ oes

O estudo das equa¸c˜oes alg´ebricas ´e, juntamente com a trigonometria uma das ´areas mais anti- gas da matem´atica. Ainda na idade m´edia, os matem´aticos ´arabes solucionaram a equa¸c˜ao do 2

grau, e na renascen¸ca foram solucionadas as equa¸c˜oes do 3

e 4

graus.

Ap´os muito esfor¸co e dedica¸c˜ao por parte dos que pesquisam matem´atica, ficou provado que para equa¸c˜oes de grau maior que 4, n˜ao ´e poss´ıvel obter uma solu¸c˜ao do tipo combina¸c˜ao dos coeficientes da equa¸c˜ao. ´ E justamente a´ı que surgem os m´etodos que capturam as ra´ızrs dessas equa¸c˜oes.

Estes m´etodos, tamb´em conhecidos como iterativos, constr´oem uma sequˆencia de aprox- ima¸c˜oes que poder´a convergir para a solu¸c˜ao do problema. A seguir, ser˜ao apresentados 4 destes m´etodos: Bisse¸c˜ao, Falsa-Posi¸c˜ao, Itera¸c˜ao Linear e Newton-Raphson.

raiz de uma equa¸c˜ ao

Um escalar ξ ´e dito um zero de uma fun¸c˜ao f (x) (ou simplesmente raiz da equa¸c˜ao f(x) = 0), se e somente se, f (ξ) = 0. Estes zeros s˜ao representados geometricamente pela interse¸c˜ao da fun¸c˜ao f (x) com o eixo x.

f(x)

x3

raízes simples

raiz múltipla

x1 x2

Figura 3.1: ra´ızes simples e ra´ız m´ultipla

Conforme ilustrado na figura acima, temos dois tipos de ra´ızes: simples (f

(ξ) 6= 0) e

17

m´ultipla (f

(ξ) = 0). Os dois primeiros m´etodos supracitados (Bisse¸c˜ao e Falsa-Posi¸c˜ao) s´o capturam ra´ızes simples, enquanto que o ´ultimo (Newton-Raphson) captura ambas.

3.1 M´ etodo da Bisse¸c˜ ao

Seja f (x) uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, b] contendo apenas 1 raiz de f (x) (se f (a) · f (b) < 0 ent˜ao existe 1 raiz simples no intervalo). A id´eia do m´etodo ´e:

1. escolher [a, b] contendo ξ;

2. calcular o ponto m´edio do intervalo, c = a + b 2 ; 3. quebrar o intervalo da seguinte forma

f (b) · f(c) > 0 ⇒ b := c f (b) · f(c) < 0 ⇒ a := c 4. reinicie o algoritmo.

Exemplo 3.1 Aproxime a raiz ξ da equa¸c˜ao e

− 4x = 0, sabendo que ξ ∈ [0, 0.5].

1

passo

 



a = 0 b = 0.5 c = 0.25

f (a) = 1 f (b) = −0.3513 f (c) = 0.2840 f (b) · f (c) < 0 ⇒ a := c

2

passo

 



a = 0.25 b = 0.5 c = 0.3750

f (a) = 0, 2840 f (b) = −0.3513 f (c) = −0.0450 f (b) · f (c) > 0 ⇒ b := c

3

passo

 



a = 0.25 b = 0.3750 c = 0.3125 f (a) = 0.2840 f (b) = −0.0450 f (c) = 0.1168 f (b) · f (c) < 0 ⇒ a := c

...

crit´ erios de parada

Se ¯ ξ ´e a aproxima¸c˜ao da raiz ξ da equa¸c˜ao f(x) = 0 pertencente ao intervalo [a, b], ent˜ao temos dois crit´erios de parada:

I) |f ³ ξ ¯ ´

| ≤ ε II) |b − a| ≤ ε,

onde ε ´e um parˆametro pr´e-estabelecido.

CAP´ITULO 3. ZERO DE FUNC ¸ ˜ OES 19

3.2 M´ etodo da Falsa-Posi¸c˜ ao

E uma variante do m´etodo da bisse¸c˜ao, na medida em que utiliza o mesmo algoritmo que ´ o m´etodo da bisse¸c˜ao, diferindo apenas na escolha do ponto “c”, que passa a ser a raiz da secante que liga os pontos ¡

a, f(a) ¢ e ¡

b, f (b) ¢

. Veja a figura 3.2.

a

c b raiz

f(a) f(b)

f(x)

Figura 3.2: novo ponto “c” escolhido O novo valor de “c” ser´a dado por

c = f (b)a − f (a)b f(b) − f (a) .

Exerc´ıcio 3.1 Verifique que com o m´etodo da falsa-posi¸c˜ao, ap´os 3 itera¸c˜oes, o exemplo anterior nos leva ao seguinte resultado: c = 0.3575 e f(c) = −0.0002.

ALGORITMO BISSECAO

entrada: (f(x),a,b,aux) defina c:= (a+b)/2;

se |b-c| <= aux entao raiz:= c e stop;

caso contrario,

se f(b)f(c) < 0 entao a:=c;

caso contrario, b:=c;

fim-se;

fim-se;

reinice o algoritmo

ALGORITMO FALSA-POSICAO

entrada: (f(x),a,b,aux)

defina c:= (f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a));

se |b-c| <= aux ent~ao raiz:= c e stop;

caso contr´ario,

se f(b)f(c) < 0 ent~ao a:=c;

caso contr´ario, b:=c;

fim-se;

fim-se;

reinice o algoritmo

Exerc´ıcio 3.2 Encontre as ra´ızes das equa¸c˜oes abaixo:

a) x

− 9x + 3 = 0;

b) x

− 11x

+ 39x − 45 = 0;

c) x

− 5x

+ 17x + 21 = 0;

d) e

− x = 0.

3.3 M´ etodo da Itera¸c˜ ao Linear

Vamos estudar agora os chamados m´etodos do ponto fixo. O mais simples deles ´e o m´etodo da itera¸c˜ao linear, o qual, mesmo n˜ao tendo boa eficiˆencia computacional, ´e importante para a introdu¸c˜ao do m´etodo de Newton-Raphson.

Inicialmente, vamos reescrever o problema “Encontrar ξ ∈ R tal que f (ξ) = 0” como

“Encontrar ξ ∈ R tal que ξ = ϕ(ξ)”, onde ϕ(x) ´e uma fun¸c˜ao de itera¸c˜ao da equa¸c˜ao f (x) = 0.

Pra tornar estes problemas equivalente, fa¸camos f (x) = x − ϕ(x), assim, como f(ξ) = 0, temos que ξ − ϕ(ξ) = 0 e, portanto, ξ = ϕ(ξ) .

Exemplo 3.2 Considere a equa¸c˜ao x

+ x − 6 = 0. A sua fun¸c˜ao de itera¸c˜ao ´e a fun¸c˜ao ϕ(x) = √

6 − x.

Uma vez determinada ϕ(x), o M.I.L. consiste em construir uma sequˆencia de aprox- ima¸c˜oes {x

}

a partir de um chute inicial x

e gerada atrav´es da rela¸c˜ao recursiva x

:= ϕ(x

) , i = 0, 1, 2, · · · .

No exemplo acima, partindo de x

= 1, 5 ter´ıamos 1. x

= ϕ(x

) = √

6 − 1.5 = 2.1213;

2. x

= ϕ(x

) = √

6 − 2.1213 = 1.9694;

CAP´ITULO 3. ZERO DE FUNC ¸ ˜ OES 21 3. x

= ϕ(x

) = √

6 − 1.9694 = 2.0076;

4. x

= ϕ(x

) = √

6 − 2.0076 = 1.9981;

5. x

= ϕ(x

) = √

6 − 1.9981 = 2.0005;

e, portanto podemos perceber que o processo converge para ξ = 2.

Entretanto, o M.I.L. n˜ao ´e incondicionalmente convergente como os m´etodos da bisse¸c˜ao e falsa-posi¸c˜ao. Ao tomarmos como fun¸c˜ao de itera¸c˜ao ϕ(x) = 6 − x

(note que ϕ(x) n˜ao ´e

´unica), geramos um processo iterativo divergente, verifique!

estudo da convergˆ encia

Como vimos, ϕ(x) n˜ao ´e ´unica. Na verdade, sua forma geral ´e dada pela rela¸c˜ao ϕ(x) = x + A(x)f (x),

com A(ξ) 6= 0. Podemos mostrar a equivalˆencia entre os problemas f (ξ) = 0 e ξ = ϕ(ξ) da seguinte maneira

I) Seja ξ tal que f (ξ) = 0, ent˜ao

ϕ(ξ) = ξ + A(ξ) f (ξ)

|{z}

=0

∴ ξ = ϕ(ξ).

II) Seja ξ tal que ξ = ϕ(ξ), ent˜ao

ϕ(ξ) = ξ + A(ξ)f(ξ) ∴ 0 = ϕ(ξ) − ξ = A(ξ)f(ξ),

e como A(ξ) 6= 0, temos que f (ξ) = 0. ¥

A interpreta¸c˜ao gr´afica do problema de ponto fixo ´e a interse¸c˜ao da curva y = ϕ(x) com a reta y = x, conforme ilustra a figura 3.3:

y= (x)ϕ y= (x)ϕ

i 00

situação convergente, lim xi =ξ

i 00

situação divergente, lim xi ≠ ξ

x₂ x₁ x₀ x x

y

y=x

y

x0 x1 x2

y=x

ξ ξ

ξ=ϕ (ξ) ξ=ϕ (ξ)

Figura 3.3: interpreta¸c˜ao gr´afica do MIL

Estas figuras sugerem que, para gerarmos um processo convergente, devemos ter baixas

derivadas de ϕ(x) na vizinhan¸ca de ξ. Esta sugest˜ao ´e confirmada pelo teorema de con-

vergˆenica do M.I.L.

Teorema 3.1 Teorema de Convergˆ encia do M.I.L. - Seja ξ uma raiz de f(x) = 0 isolada no intervalo [a, b] centrado em ξ. Seja ϕ(x) uma fun¸c˜ao de itera¸c˜ao de f(x) = 0. Se:

I) ϕ(x) ´e tal que ϕ

(x) ∈ C

[a, b];

II) |ϕ

(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈ [a, b];

III) x

∈ [a, b],

ent˜ao a sequˆencia {x

} gerada pelo processo x

:= ϕ(x

) converge para ξ.

crit´ erios de parada

O M.I.L utiliza os seguintes crit´erios de parada:

I) |x

− x

| ≤ ε;

II) |f (ξ)| ≤ ε,

onde ε ´e um parˆametro pr´e-estabelecido.

Observa¸c˜ ao 3.1 Devemos ser cuidadosos com o 1

crit´erio, pois em algumas situa¸c˜oes ele n˜ao corresponde `a |x

− ξ| ≤ ε, conforme ilustra a figura abaixo.

x_i+1 xi

ξ

ε x y

ϕ(ξ)

Figura 3.4: criterio de parada do MIL

ALGORITMO MIL

entrada(f(x),Phi(x),raiz,x0,aux)

1. se |f(x0)| <= aux entao raiz:= x0 e stop;

2. caso contrario

3. defina k=1;

4. xk:= Phi(k-1);

CAP´ITULO 3. ZERO DE FUNC ¸ ˜ OES 23 5. se (|f(xk)| <= aux .ou. |xk-x0| <= aux) entao

6. raiz:= xk e stop;

7. caso contrario

8. k:=k+1;

9. ir para o passo 4;

10. fim-se;

11. fim-se;

12. fim-se.

3.4 M´ etodo de Newton-Raphson

Vimos que o M.I.L. tem convergˆencia lenta e n˜ao garantida. A id´eia do m´etodo de Newton ´e construir um m´etodo de ponto fixo que garanta e acelere a convergˆencia do processo iterativo linear. Isto ser´a feito impondo que a derivada da fun¸c˜ao de itera¸c˜ao seja nula em x = ξ, ou seja, ϕ

(ξ) = 0.

J´a sabemos que ϕ(x) = x + A(x)f (x), portanto, ϕ

(x) = 1 + A

(x)f (x) + A(x)f

(x)

∴ ϕ

(ξ)

| {z }

=0

= 1 + A

(ξ) f (ξ)

|{z}

=0

+A(ξ)f

(ξ)

∴ A(ξ)f

(ξ) = −1

∴ A(ξ) = −1

f

(ξ) .

Logo, a fun¸c˜ao de itera¸c˜ao do m´etodo de Newton ser´a dada por ϕ

(x) = x − f(x)

f

(x) ,

e a sequˆenia de aproxima¸c˜oes {x

}

de Newton ser´a gerada pela rela¸c˜ao recursiva x

= ϕ

(x

), i = 0, 1, 2, · · · ,

e assim, temos a f´ormula de Newton-Raphson

x

= x

− f (x

)

f

(x

) . (3.1)

Exerc´ıcio 3.3 Utilize expans˜ao em s´erie de Taylor para deduzir a f´ormula de Newton-

Raphson.

interpreta¸c˜ ao geom´ etrica

As aproxima¸c˜oes futuras geradas pela f´ormula de Newton ser˜ao as ra´ızes das tangentes `a curva y = f (x) avaliadas nas aproxima¸c˜oes atuais x

, conforme mostra a figura a seguir,

xi

xi+1

f(x )_i

ξ

y=f(x)

θ

Figura 3.5: criterio de parada do MIL Calculando a derivada de f (x) e avaliando em x

, temos

f

(x

) = tan θ =

z }| {

f (x

) −f(x

) x

− x

x

− x

= − f (x

)

f

(x

) x

= x

− f (x

)

f

(x

) .

Exemplo 3.3 Considere ainda o exemplo 3.2, no qual a partir de uma estimativa inicial x

= 1.5, desejamos obter numericamente a raiz ξ = 2 da equa¸c˜ao x

+ x − 6 = 0. Aplicando o m´etodo de Newton-Raphson, temos

x

= x

− f (x

) f

(x

)

⇒ x

= x

− x

+ x

− 6

2x

+ 1 = x

+ 6 2x

+ 1 , e assim, teremos a seguinte sequˆencia

x

= ϕ(x

) = 2.06250;

x

= ϕ(x

) = 2.00076;

x

= ϕ(x

) = 2.00000.

Observe que, com apenas 3 itera¸c˜oes, obtemos ξ = 2 com precis˜ao de 5 casas decimais!

CAP´ITULO 3. ZERO DE FUNC ¸ ˜ OES 25 Para uma pequena an´alise de convergˆencia, apresentamos o teorema abaixo, que descreve as condi¸c˜oes para que o m´etodo de Newton-Raphson seja convergente.

Teorema 3.2 Sejam f (x), f

(x), f

(x) ∈ C

[a, b] e seja ξ ∈ [a, b] raiz da equa¸c˜ao f(x) = 0.

Suponha que f

(x) 6= 0. Ent˜ao existe um intervalo I ⊂ [a, b] tal que ξ ∈ I e se x

∈ I, a sequˆencia {x

} gerada pela f´ormula recursiva x

:= ϕ(x

), ∀i, ir´a a convergir para a raiz ξ.

3.5 Exerc´ıcios

1. Dˆe um exemplo de uma fun¸c˜ao f (x) que tenha pelo menos uma raiz, mas que n˜ao pode ser determinada usando o m´etodo da bisse¸c˜ao.

2. A equa¸c˜ao x

− 7x + 12 = 0 tem 3 e 4 como ra´ızes. Considere a fun¸c˜ao de itera¸c˜ao dada por ϕ(x) = x

− 6x + 12. Determine o intervalo (a, b) onde, para qualquer que seja x

escolhido, a sequˆencia x

= ϕ(x

) converge para a raiz x = 3.

3. Seja f(x) = e

+ x − 3.

a) Prove, analiticamente, que a equa¸c˜ao f (x) = 0 tem, no intervalo [0, 1], apenas uma raiz, α;

b) Aproxime α utilizando o m´etodo da bisse¸c˜ao com 6 itera¸c˜oes.

4. Considere a equa¸c˜ao x

+ 3x + 3 = 0.

a) Justifique analiticamente que a equa¸c˜ao tem uma ´unica raiz real, α, pertencente ao intervalo [−1, −0.1].

b) Utilize o m´etodo de Newton-Raphson para aproximar a raiz α calculando apenas duas itera¸c˜oes, x

e x

. Escolha o chute inicial x

.

5. Considere a equa¸c˜ao e

− x = 0.

a) Justifique analiticamente que a equa¸c˜ao tem uma ´unica raiz real, α, pertencente ao intervalo [0.3, 0.6].

b) Quantas itera¸c˜oes teria de calcular pelo m´etodo da bisse¸c˜ao de modo a obter uma aproxima¸c˜ao de α com 3 casas decimais significativas, sabendo que, com 4 casas deci- mais significativas uma aproxima¸c˜ao para α ´e 0, 5672.

6. Determine um intervalo (a, b) e uma fun¸c˜ao de itera¸c˜ao ϕ(x) associada, de tal forma que, ∀x

∈ (a, b), a fun¸c˜ao de itera¸c˜ao gere uma sequˆencia convergente para a(s) ra´ız(es) de cada uma das fun¸c˜oes abaixo, usando o m´etodo iterativo linear (MIL) com tolerˆancia ε ≤ 1 × 10

:

a) f

(x) = √

x − e

; b) f

(x) = ln(x) − x + 2;

c) f

(x) = e

− x

; d) f

(x) = sen(x) − x

; e) f

(x) = x

4 − cos(x).

7. Determine a(s) raiz(es) da fun¸c˜ao f

(x), usando o m´etodo da bisse¸c˜ao e o m´etodo da falsa posi¸c˜ao com tolerˆancia ε ≤ 1 × 10

. Quantas itera¸c˜oes foram necess´arias para cada um dos m´etodos?

8. Determine as ra´ızes do exerc´ıcio (6), usando o m´etodo de Newton-Raphson.

9. Determine o ponto de interse¸c˜ao entre as fun¸c˜oes f

(x) e f

(x), f

(x) e f

(x) e entre

f

(x), f

(x) e f

(x).

Cap´ıtulo 4

Aproxima¸c˜ ao de Fun¸c˜ oes

A teoria de interpola¸c˜ao tem importantes aplca¸c˜oes nas ciˆencias exatas. Uma aplica¸c˜ao ´e fornecer ferramentas matem´aticas para o desenvolvimento de m´etodos num´ericos, nas ´areas de integra¸c˜ao num´erica, teoria de aproxima¸c˜ao e solu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais.

Um 2

uso importante ´e desenvolver maneiras de trabalhar com fun¸c˜oes tabeladas, por exemplo, interpolar linearmente uma tabela de logaritmos. Entretanto, esta aplica¸c˜ao cai cada vez mais em desuso com a populariza¸c˜ao das m´aquinas de calcular.

4.1 Teoria de Interpola¸c˜ ao

Defini¸c˜ ao 4.1 (Interpola¸c˜ao) - Dado um conjunto de pontos suporte (x

, y

), i = 0, 1, 2, · · · , N de uma certa fun¸c˜ao y = f(x), deseja-se calcular uma aproxima¸c˜ao para f (¯ x), x ¯ 6= x, em- pregando os pontos dados. Para tal, constru´ımos uma fun¸c˜ao ϕ(x) que interpola f(x) da seguinte maneira

i) ϕ(x

) = f (x

), ∀x

, i = 0, 1, · · · , N ; ii) ϕ(¯ x) ∼ = f (¯ x), ∀¯ x 6= x

, i = 0, 1, · · · , N.

Má aproximação Boa aproximação

y

x y

x ψ= (ξ)ϕ

ψ= (ξ)ϕ y=f(x)

y=f(x)

Figura 4.1: exemplos de interpola¸c˜ao

27

A fun¸c˜ao interpolante pode pertencer a v´arias fam´ılias:

a) ϕ(x) = a

+ a

x + · · · + a

x

b) ϕ(x) = a

+ a

e

+ a

e

+ · · · + a

e

c) Splines: colagem de polinˆomios.

problema de interpola¸c˜ ao geral

A partir de uma tabela com n + 1 pontos de suporte, deseja-se escolher n + 1 fun¸c˜oes de base ϕ

(x), cuja combina¸c˜ao linear ser´a usada para aproximar a fun¸c˜ao f (x),

ϕ(x) = X

j=0

a

ϕ

(x) = a

ϕ

(x) + a

ϕ

(x) + · · · + a

ϕ

(x), ϕ

(x) - fun¸c˜oes de base “dadas” (conhecidas);

a

- coeficientes inc´ognitos.

4.2 Interpola¸c˜ ao Polinomial

A escolha mais frequente para as chamadas fun¸c˜oes de base, ϕ

(x), s˜ao os monˆomios ϕ

(x) = x

, j = 0, 1, · · · , n, assim, o problema de interpola¸c˜ao passa a ser expresso por

ϕ(x) = X

j=0

a

x

= a

+ a

x + · · · + a

x

. O problema ´e determinarmos os coeficientes a

!

Para encontrarmos esses coeficientes, usamos a defini¸c˜ao de interpola¸c˜ao, que diz que ϕ(x) passa por todos os pontos suporte, ou seja,

ϕ(x

) = y

, i = 0, 1, · · · , n, portanto,

X

= a

(x

) = y

, i = 0, 1, · · · , n, e assim, temos o seguinte sistema linear

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= y

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= y

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= y

... . .. ...

a

x

+ a

x

+ · · · + a

x

= y

(4.1)