Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e cont´ınua se o conjunto de poss´ıveis valores da V.A. ´ e um intervalo de n´ umeros reais.

(1)

Centro Federal de Educa¸c˜ ao Tecnol´ ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: Estat´ıstica

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ ITULO 4: Vari´ aveis Aleat´ orias Cont´ınuas

Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e cont´ınua se o conjunto de poss´ıveis valores da V.A. ´ e um intervalo de n´ umeros reais.

Ex.: Temperatura, Peso, Voltagem.

Defini¸ c˜ ao 1: Para uma vari´ avel aleat´ oria cont´ınua X, uma fun¸c˜ ao densidade de probabili- dade ´ e uma fun¸c˜ ao tal que:

1. f (x) > 0 para todo x.

2. Z

∞

−∞

f (x)dx = 1

3. P (a 6 X 6 b) = Z

b

a

f(x)dx

A fun¸c˜ ao densidade de probabilidade f(x) ´ e usada para calcular uma ´ area que representa a probabilidade de X assumir um valor em [a, b].

Mas qual ´ e o valor de P (X = a), para um valor qualquer de a (probabilidade pontual)?

Note que P (X = a) = P (a 6 X 6 a) = R

a

f (x)dx = 0.

Deste modo, temos

P (x

₁

6 X 6 x

₂

) = P (x

₁

< X < x

₂

) Exemplo 1

Seja f(x) = 1, 5x

²

para −1 < x < 1, uma fun¸c˜ ao densidade de probabilidade. Determine:

a) P (X > 0)

(2)

1 M´ edia e Variˆ ancia de uma VA cont´ınua

Definidas de modo similar ` as VA discretas. No entanto, utilizamos a generaliza¸c˜ ao dos so- mat´ orios: a integral.

Suponha que X seja uma V.A. cont´ınua com fun¸c˜ ao densidade de probabilidade f (x). A M´ edia ou Valor Esperado de X ´ e dada por:

µ = E[X] = Z

∞

−∞

xf (x)dx A Variˆ ancia de X ´ e dada por:

σ

²

= V [X] = Z

∞

−∞

(x − µ)

²

f (x)dx O Desvio-padr˜ ao de X ´ e

σ = p V [X]

Exemplo 2

O tamanho (em micrˆ ometros) de uma part´ıcula ´ e modelada pela fun¸c˜ ao densidade:

f(x) = 2x

⁻³

, para x > 1.

Determine a m´ edia de X.

2 Fun¸ c˜ ao de Distribui¸ c˜ ao Cumulativa

A fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao de uma VA cont´ınua X ´ e dada por:

F (x) = P (X 6 x) = Z

x

−∞

f (t)dt , para − ∞ < x < ∞.

De acordo com esta defini¸c˜ ao, podemos determinar a fun¸c˜ ao densidade de uma VA cont´ınua a partir de uma diferencia¸c˜ ao da fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao, ou seja,

f (x) = d dx F (x) Exemplo 3

O tempo at´ e que uma rea¸c˜ ao qu´ımica esteja completa ´ e aproximado pela fun¸c˜ ao de distri- bui¸c˜ ao:

F (x) =

0, x < 0

1 − e

^−0,01x

, x > 0 a) Determine a fun¸c˜ ao densidade de X.

b) Que propor¸c˜ ao de rea¸c˜ oes ´ e completada em 200ms?

(3)

3 Principais distribui¸ c˜ oes de probabilidade cont´ınuas

3.1 Distribui¸ c˜ ao Uniforme Cont´ınua

Uma vari´ avel aleat´ oria cont´ınua X definida em [a, b] tem distribui¸ c˜ ao uniforme se sua fun¸c˜ ao densidade ´ e do tipo:

f(x) = 1

b − a , para a 6 x 6 b.

Graficamente, temos:

Neste caso, a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da VA cont´ınua X ´ e dada por:

F (x) = Z

x

a

1 b − a dx = x − a b − a Ou seja,

F (x) =



 

 

 

 

0, se x < a x − a

b − a , se a 6 x 6 b 1, se x > b

Graficamente,

Nota¸ c˜ ao: X ∼ U nif [a, b].

Exemplo 4

X: corrente el´ etrica em miliamperes (mA).

(4)

3.2 Distribui¸ c˜ ao Exponencial

Uma vari´ avel aleat´ oria tem uma distribui¸ c˜ ao exponencial com parˆ ametro λ > 0 se a fun¸c˜ ao densidade de X ´ e:

f (x) = λe

^−λx

, para 0 6 x < ∞ onde λ ´ e a “contagem de Poisson” m´ edia do modelo.

Observa¸ c˜ ao: Modelo utilizado quando a probabilidade de uma determinada VA ´ e alta no in´ıcio mas decai exponencialmente no intervalo determinado.

Nota¸ c˜ ao: X ∼ Exp(λ)

A fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao ´ e dada por:

F (x) = P (X 6 x) = Z

x

−∞

f (t)dt = Z

x

0

f(t)dt = Z

x

0

λe

^−λt

dt = −e

^−λx

+ e

^−λ·0

= 1 − e

^−λx

Ou seja:

F (x) = 1 − e

^−λx

Se a vari´ avel aleat´ oria X for exponencialmente distribu´ıda, com parˆ ametro λ, ent˜ ao:

E[X] = 1

λ e V [X] = 1 λ

²

onde E[X] ´ e a distˆ ancia (ou tempo) at´ e a pr´ oxima resposta favor´ avel.

Exemplo 5

Numa rede de computadores, as conex˜ oes s˜ ao exponencialmente distribu´ıdas com m´ edia de

25 conex˜ oes por hora. Qual ´ e a probabilidade de n˜ ao haver conex˜ oes em um intervalo de 6

minutos, a partir do instante em que as conex˜ oes s˜ ao iniciadas?

(5)

3.3 Distribui¸ c˜ ao Normal (ou Distribui¸ c˜ ao Gaussiana)

Uma vari´ avel aleat´ oria X, com fun¸c˜ ao densidade de probabilidade:

f (x) = 1

√ 2πσ e

^−(x−µ)²^2σ²

, para − ∞ < x < ∞

tem uma distribui¸ c˜ ao normal com parˆ ametros µ e σ

²

onde E[X] = µ e V [X] = σ

²

. Nota¸ c˜ ao: X ∼ N (µ, σ

²

).

(a) Curva mais estreita: X ∼ N (µ, σ

²

= 1) (b) Curva mais larga: X ∼ N (µ, σ

²

= 4)

O gr´ afico da densidade normal ´ e uma curva sim´ etrica centrada em µ e com largura pro- porcionalmente definida pelo valor de σ

²

.

No entanto, a fun¸c˜ ao densidade normal n˜ ao possui uma forma exata para a integral. Deste modo, n˜ ao ´ e poss´ıvel determinar uma express˜ ao para a fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao F . Neste caso, na fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao do modelo normal a probabilidade acumulada ´ e calculada numericamente ou atrav´ es de tabelas.

Defini¸ c˜ ao 2: Uma vari´ avel aleat´ oria normal com µ = 0 e σ

²

= 1 ´ e dita uma vari´ avel aleat´ oria normal padr˜ ao e ´ e denotada por Z. Seu c´ alculo ´ e feito com o aux´ılio da

“Tabela de Distibui¸c˜ ao Normal Padr˜ ao”.

Defini¸ c˜ ao 3: A fun¸c˜ ao distribui¸c˜ ao cumulativa de uma vari´ avel aleat´ oria normal padr˜ ao ´ e denotada por:

F (z) = P (Z 6 z)

(6)

Exemplo 6

Calcular as probabilidades abaixo, com o aux´ılio da “Tabela de Distibui¸c˜ ao Normal Padr˜ ao”:

a) P (Z < 1, 26) b) P (Z < −1, 37)

c) P (−1, 25 < Z < 0, 37) 3.3.1 Padroniza¸ c˜ ao

No entanto, na maioria das vezes em que a vari´ avel aleat´ oria X ´ e normal, ela n˜ ao ´ e padr˜ ao.

Ou seja, X ´ e normal com E[X] = µ e V [X] = σ

²

, para µ e σ quaisquer. Neste caso, a vari´ avel aleat´ oria:

Z = X − µ σ

ser´ a uma VA normal com E[Z ] = 0 e V [Z] = 1. Ou seja, Z ´ e VA normal padr˜ ao e seu c´ alculo pode ser feito com o aux´ılio da tabela correspondente.

Exemplo 7

Medida da corrente em um fio tem distribui¸c˜ ao normal, com m´ edia de 10mA e desvio-padr˜ ao de 2mA.

a) Qual ´ e a probabilidade da medida exceder 13mA?

b) Qual ´ e a probabilidade da medida da corrente estar entre 9 e 11mA?

c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar abaixo deste valor seja 0, 98.

3.3.2 Gr´ afico de Probabilidade Normal

Como sabemos se uma distribui¸c˜ ao normal ´ e um modelo razo´ avel para os dados? O gr´ afico de probabilidade ´ e um m´ etodo para determinar se os dados da amostra obedecem a uma distribui¸c˜ ao hipot´ etica, baseada no exame visual subjetivo dos dados.

Uma forma simples de realizar esta an´ alise ´ e utilizando um histograma de frequˆ encias relativas, conforme vimos no Cap´ıtulo 1. Se a forma do histograma “parecer” a forma da curva de densidade normal, ent˜ ao aceitamos a normalidade dos dados.