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aLISTA DE ESTAT´ ISTICA Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas
Profa. Anna Regina Corbo
1. Determine os poss´ıveis valores da vari´ avel aleat´ oria em cada item:
a) A vari´ avel aleat´ oria ´ e o n´ umero de conex˜ oes soldadas n˜ ao-conformes em uma placa com 1.000 conex˜ oes.
b) Em um sistema de comunica¸c˜ ao por voz com 50 linhas, a vari´ avel aleat´ oria ´ e o n´ umero de linhas em uso em um certo tempo.
c) A vari´ avel aleat´ oria ´ e o teor de umidade de um lote de mat´ eria-prima, medida para o ponto percentual mais pr´ oximo.
2. Verifique que as seguintes fun¸c˜ oes s˜ ao fun¸c˜ oes de densidade e determine as probabili- dades requeridas:
a) x -2 -1 0 1 2
f (x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 i) P (X 6 2)
ii) P (X > 2)
iii) P (−2 < X < 2) iv) P (X 6 −1 ou X > 1)
b) f(x) = (
34)(
14)
x, x = 0, 1, 2, · · · i) P (X = 2)
ii) P (X 6 2) iii) P (X > 2) iv) P (X > 1)
3. Determine a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria do Exerc´ıcio 2.a). Com base nesta, determine tamb´ em as seguintes probabilidades:
a) P (X 6 1, 25) b) P (X 6 2, 2) c) P (−1, 1 < X 6 1) d) P (X > 0)
4. A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer ´ e uma vari´ avel aleat´ oria com a seguinte fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao:
F (x) =
0, x <
180.2,
186 x <
140.9,
146 x <
381,
386 x
. Determine as seguintes probabilidades:
a) P (X 6 1/8) b) P (X 6 1/4)
c) P (X 6 5/16) d) P (X > 1/8) e) P (X 6 1/2)
5. Determine a m´ edia e a variˆ ancia da vari´ avel aleat´ oria do Exerc´ıcio 2.a).
6. Os poss´ıveis valores de uma vari´ avel aleat´ oria X s˜ ao (0, 1, 2, 3, x), onde x ´ e uma
inc´ ognita. Se cada valor for igualmente prov´ avel e a m´ edia de X for igual a 6, de-
termine x.
7. A vari´ avel aleat´ oria discreta X tem uma distribui¸c˜ ao binomial con n = 10 e p = 0, 01.
Determine as probabilidades:
a) P (X = 5) b) P (X 6 2) c) P (X > 9) d) P (3 6 X < 5)
8. Designe por X o n´ umero de bits recebidos com erros em um canal digital de comu- nica¸c˜ ao e considere que X seja uma vari´ avel binomial com p = 0, 0001. Se 1000 bits forem transmitidos, determine o seguinte:
a) P (X = 1) b) P (X > 1) c) P (X 6 2)
9. Um conjunto de 50 molas ´ e verificado quanto a conformidade com um determinado padr˜ ao. O n´ umero m´ edio de molas n˜ ao conformes em um conjunto ´ e igual a 5. Suponha que o n´ umero de molas n˜ ao conformes em um conjunto seja uma vari´ avel aleat´ oria binomial X.
a) Quais os valores de n e p?
b) Qual ´ e P (X 6 2)?
c) Qual ´ e P (X > 49)?
10. A probabilidade de um alinhamento ´ optico com sucesso em um experimento ´ e de 0, 8.
Considere que as tentativas de se obter este alinhamento sejam independentes.
a) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente quatro tentativas?
b) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no m´ aximo quatro tentativas?
c) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no m´ınimo quatro tentativas?
11. Em seu caminho matinal, vocˆ e se aproxima de um determinado sinal de trˆ ansito, que est´ a verde em 20% do tempo. Suponha que cada manh˜ a represente um tentativa independente.
a) Qual ´ e a probabilidade de que a primeira manh˜ a que a luz esteja verde seja a quarta manh˜ a que vocˆ e se aproxima?
b) Qual ´ e a probabilidade de que a luz n˜ ao esteja verde durante exatamente 10
manh˜ as consecutivas?
12. Cart˜ oes de circuito integrado s˜ ao verificados em um teste funcional. Um lote cont´ em 140 cart˜ oes e 20 s˜ ao selecionados sem reposi¸c˜ ao para o teste funcional.
a) Se 20 cart˜ oes forem defeituosos, qual ser´ a a probabilidade de que no m´ınimo um cart˜ ao defeituoso esteja na amostra?
b) Se 5 cart˜ oes forem defeituosos, qual ser´ a a probabilidade de que no m´ınimo um cart˜ ao defeituoso apare¸ca na amostra?
13. Um estado tem uma loteria em que seis n´ umeros s˜ ao selecionados aleatoriamente de 40, sem reposi¸c˜ ao. Um jogador escolhe seis n´ umeros antes do sorteio acontecer.
a) Qual ´ e a probabilidade de que os seis n´ umeros escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis n´ umeros sorteados?
b) Qual ´ e a probabilidade de que cinco dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?
c) Qual ´ e a probabilidade de que quatro dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?
d) Qual ´ e a probabilidade de que no m´ aximo cinco dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?
14. Suponha que o n´ umero de consumidores que entrem em um banco em uma hora seja uma vari´ avel aleat´ oria de Poisson, Suponha tamb´ em que P (X = 0) = 0, 05. Determine a m´ edia de X.
15. O n´ umero de chamadas telefˆ onicas que chegam a uma central ´ e frequentemente mode- lado como uma vari´ avel aleat´ oria de Poisson. Considere que, em m´ edia, h´ a 10 chamadas por hora.
a) Qual ´ e a probabilidadede que haja exatamente 5 chamadas em uma hora?
b) Qual ´ e a probabilidade de que haja 3 ou menos chamadas em uma hora?
c) Qual ´ e a probabilidade de haja exatamente 15 chamadas em 2 horas?
d) Qual ´ e a probabilidade de que haja exatamente 5 chamadas em 30 minutos?
16. Em uma se¸c˜ ao de uma auto-estrada, o n´ umero de buracos, que ´ e bastante significante para requerer reparo, ´ e suposto seguir uma distribui¸c˜ ao de Poisson com m´ edia de dois buracos por quilˆ ometro.
a) Qual ´ e a probabilidade de que n˜ ao haja buracos que requeiram reparo em 5km de auto-estrada?
b) Qual ´ e a probabilidade de que no m´ınimo um buraco requeira reparo em 0,5km de auto-estrada?
c) Se o n´ umero de buracos estiver relacionado ` a carga do ve´ıculo na auto-estrada e
algumas se¸c˜ oes dessa auto-estrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de ve´ıculos,
enquanto outras se¸c˜ oes estiverem sujeitas a uma carga leve de ve´ıculos, como vocˆ e se
sente a respeito da suposi¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao de Poisson para o n´ umero de buracos que
requeiram reparo?
17. O IBOPE ´ e um dos maiores institutos de pesquisa do Brasil e conduz pesquisas sema- nais para determinar qual a porcentagem de lares est˜ ao sintonizados em determinado canal de TV (canais abertos ou fechados). A tabela abaixo mostra os resultados obtidos na semana entre os dias 06 e 12 de setembro do ano passado:
Coloca¸c˜ ao Canal ´Indice IBOPE
1 TV Globo 18,2
2 TV Record 15,2
3 Band 14,3
4 Sportv 13,1
5 Rede TV 12,5
6 SBT 9,1
7 Universal Channel 6,3
8 MTV 5,0
9 Telecine 3,1
10 Multishow 2,2
11 FOX 1,0
* O indice IBOPE ´e estimado pela raz˜ao entre a audiˆencia do canal e o total de televisores. Em julho deste ano, era estimado 110,2 milh˜oes de televisores no Brasil. Deste modo, cada ponto no
´ındice IBOPE representa 1%, ou seja, 1.102.000 de lares.
a) Suponha que imediatamente ap´ os o t´ ermino da semana em quest˜ ao, os diretores do canal a cabo Universal Channel encomendaram um estudo onde seria necess´ ario ligar para 25 pessoas aleatoriamente e entrevistar aquelas que afirmassem ter assistido ao canal na semana anterior. Suponha tamb´ em que a equipe respons´ avel pela pesquisa elaborasse um relat´ orio dizendo que n˜ ao foi encontrado ningu´ em na amostra de 25 pessoas que tenha assistido ao canal na semana anterior, logo n˜ ao teria sido poss´ıvel a realiza¸c˜ ao de nenhuma entrevista. Qual a probabilidade disto acontecer, supondo que o ´ındice IBOPE ´ e confi´ avel?
b) Suponha que os diretores da TV Record planejam entrevistar 1.000 pessoas na semana seguinte ap´ os a pesquisa IBOPE acima. O objetivo da pesquisa seria determinar a rea¸c˜ ao do p´ ublico diante de um novo programa. Com base no ´ındice IBOPE, qual seria o n´ umero de pessoas que estariam aptas a responder tal pergunta, assumindo que as 1.000 pessoas seriam contatadas?
Gabarito:
1) a) X = {0, 1, 2, · · · , 1000}; b) X = {0, 1, 2, · · · , 50}; c) X = {0, 1, 2, · · · , 100}
2) a) f ´ e fun¸c˜ ao densidade pois P
2x=−2
f (x) =
18+
28+
28+
28+
18= 1 i) 1 ii) 0 iii) 0,75 iv) 0,5
b) f ´ e fun¸c˜ ao densidade pois P
∞x=0
f (x) =
34h
1 4
0