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1. Determine os poss´ıveis valores da vari´ avel aleat´ oria em cada item:

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Academic year: 2022

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a

LISTA DE ESTAT´ ISTICA Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas

Profa. Anna Regina Corbo

1. Determine os poss´ıveis valores da vari´ avel aleat´ oria em cada item:

a) A vari´ avel aleat´ oria ´ e o n´ umero de conex˜ oes soldadas n˜ ao-conformes em uma placa com 1.000 conex˜ oes.

b) Em um sistema de comunica¸c˜ ao por voz com 50 linhas, a vari´ avel aleat´ oria ´ e o n´ umero de linhas em uso em um certo tempo.

c) A vari´ avel aleat´ oria ´ e o teor de umidade de um lote de mat´ eria-prima, medida para o ponto percentual mais pr´ oximo.

2. Verifique que as seguintes fun¸c˜ oes s˜ ao fun¸c˜ oes de densidade e determine as probabili- dades requeridas:

a) x -2 -1 0 1 2

f (x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 i) P (X 6 2)

ii) P (X > 2)

iii) P (−2 < X < 2) iv) P (X 6 −1 ou X > 1)

b) f(x) = (

34

)(

14

)

x

, x = 0, 1, 2, · · · i) P (X = 2)

ii) P (X 6 2) iii) P (X > 2) iv) P (X > 1)

3. Determine a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria do Exerc´ıcio 2.a). Com base nesta, determine tamb´ em as seguintes probabilidades:

a) P (X 6 1, 25) b) P (X 6 2, 2) c) P (−1, 1 < X 6 1) d) P (X > 0)

4. A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer ´ e uma vari´ avel aleat´ oria com a seguinte fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao:

F (x) =

 

 

0, x <

18

0.2,

18

6 x <

14

0.9,

14

6 x <

38

1,

38

6 x

. Determine as seguintes probabilidades:

a) P (X 6 1/8) b) P (X 6 1/4)

c) P (X 6 5/16) d) P (X > 1/8) e) P (X 6 1/2)

5. Determine a m´ edia e a variˆ ancia da vari´ avel aleat´ oria do Exerc´ıcio 2.a).

6. Os poss´ıveis valores de uma vari´ avel aleat´ oria X s˜ ao (0, 1, 2, 3, x), onde x ´ e uma

inc´ ognita. Se cada valor for igualmente prov´ avel e a m´ edia de X for igual a 6, de-

termine x.

(2)

7. A vari´ avel aleat´ oria discreta X tem uma distribui¸c˜ ao binomial con n = 10 e p = 0, 01.

Determine as probabilidades:

a) P (X = 5) b) P (X 6 2) c) P (X > 9) d) P (3 6 X < 5)

8. Designe por X o n´ umero de bits recebidos com erros em um canal digital de comu- nica¸c˜ ao e considere que X seja uma vari´ avel binomial com p = 0, 0001. Se 1000 bits forem transmitidos, determine o seguinte:

a) P (X = 1) b) P (X > 1) c) P (X 6 2)

9. Um conjunto de 50 molas ´ e verificado quanto a conformidade com um determinado padr˜ ao. O n´ umero m´ edio de molas n˜ ao conformes em um conjunto ´ e igual a 5. Suponha que o n´ umero de molas n˜ ao conformes em um conjunto seja uma vari´ avel aleat´ oria binomial X.

a) Quais os valores de n e p?

b) Qual ´ e P (X 6 2)?

c) Qual ´ e P (X > 49)?

10. A probabilidade de um alinhamento ´ optico com sucesso em um experimento ´ e de 0, 8.

Considere que as tentativas de se obter este alinhamento sejam independentes.

a) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente quatro tentativas?

b) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no m´ aximo quatro tentativas?

c) Qual ´ e a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no m´ınimo quatro tentativas?

11. Em seu caminho matinal, vocˆ e se aproxima de um determinado sinal de trˆ ansito, que est´ a verde em 20% do tempo. Suponha que cada manh˜ a represente um tentativa independente.

a) Qual ´ e a probabilidade de que a primeira manh˜ a que a luz esteja verde seja a quarta manh˜ a que vocˆ e se aproxima?

b) Qual ´ e a probabilidade de que a luz n˜ ao esteja verde durante exatamente 10

manh˜ as consecutivas?

(3)

12. Cart˜ oes de circuito integrado s˜ ao verificados em um teste funcional. Um lote cont´ em 140 cart˜ oes e 20 s˜ ao selecionados sem reposi¸c˜ ao para o teste funcional.

a) Se 20 cart˜ oes forem defeituosos, qual ser´ a a probabilidade de que no m´ınimo um cart˜ ao defeituoso esteja na amostra?

b) Se 5 cart˜ oes forem defeituosos, qual ser´ a a probabilidade de que no m´ınimo um cart˜ ao defeituoso apare¸ca na amostra?

13. Um estado tem uma loteria em que seis n´ umeros s˜ ao selecionados aleatoriamente de 40, sem reposi¸c˜ ao. Um jogador escolhe seis n´ umeros antes do sorteio acontecer.

a) Qual ´ e a probabilidade de que os seis n´ umeros escolhidos pelo jogador coincidam com todos os seis n´ umeros sorteados?

b) Qual ´ e a probabilidade de que cinco dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?

c) Qual ´ e a probabilidade de que quatro dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?

d) Qual ´ e a probabilidade de que no m´ aximo cinco dos seis n´ umeros escolhidos pelo jogador apare¸cam entre os n´ umeros sorteados?

14. Suponha que o n´ umero de consumidores que entrem em um banco em uma hora seja uma vari´ avel aleat´ oria de Poisson, Suponha tamb´ em que P (X = 0) = 0, 05. Determine a m´ edia de X.

15. O n´ umero de chamadas telefˆ onicas que chegam a uma central ´ e frequentemente mode- lado como uma vari´ avel aleat´ oria de Poisson. Considere que, em m´ edia, h´ a 10 chamadas por hora.

a) Qual ´ e a probabilidadede que haja exatamente 5 chamadas em uma hora?

b) Qual ´ e a probabilidade de que haja 3 ou menos chamadas em uma hora?

c) Qual ´ e a probabilidade de haja exatamente 15 chamadas em 2 horas?

d) Qual ´ e a probabilidade de que haja exatamente 5 chamadas em 30 minutos?

16. Em uma se¸c˜ ao de uma auto-estrada, o n´ umero de buracos, que ´ e bastante significante para requerer reparo, ´ e suposto seguir uma distribui¸c˜ ao de Poisson com m´ edia de dois buracos por quilˆ ometro.

a) Qual ´ e a probabilidade de que n˜ ao haja buracos que requeiram reparo em 5km de auto-estrada?

b) Qual ´ e a probabilidade de que no m´ınimo um buraco requeira reparo em 0,5km de auto-estrada?

c) Se o n´ umero de buracos estiver relacionado ` a carga do ve´ıculo na auto-estrada e

algumas se¸c˜ oes dessa auto-estrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de ve´ıculos,

enquanto outras se¸c˜ oes estiverem sujeitas a uma carga leve de ve´ıculos, como vocˆ e se

sente a respeito da suposi¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao de Poisson para o n´ umero de buracos que

requeiram reparo?

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17. O IBOPE ´ e um dos maiores institutos de pesquisa do Brasil e conduz pesquisas sema- nais para determinar qual a porcentagem de lares est˜ ao sintonizados em determinado canal de TV (canais abertos ou fechados). A tabela abaixo mostra os resultados obtidos na semana entre os dias 06 e 12 de setembro do ano passado:

Coloca¸c˜ ao Canal ´Indice IBOPE

1 TV Globo 18,2

2 TV Record 15,2

3 Band 14,3

4 Sportv 13,1

5 Rede TV 12,5

6 SBT 9,1

7 Universal Channel 6,3

8 MTV 5,0

9 Telecine 3,1

10 Multishow 2,2

11 FOX 1,0

* O indice IBOPE ´e estimado pela raz˜ao entre a audiˆencia do canal e o total de televisores. Em julho deste ano, era estimado 110,2 milh˜oes de televisores no Brasil. Deste modo, cada ponto no

´ındice IBOPE representa 1%, ou seja, 1.102.000 de lares.

a) Suponha que imediatamente ap´ os o t´ ermino da semana em quest˜ ao, os diretores do canal a cabo Universal Channel encomendaram um estudo onde seria necess´ ario ligar para 25 pessoas aleatoriamente e entrevistar aquelas que afirmassem ter assistido ao canal na semana anterior. Suponha tamb´ em que a equipe respons´ avel pela pesquisa elaborasse um relat´ orio dizendo que n˜ ao foi encontrado ningu´ em na amostra de 25 pessoas que tenha assistido ao canal na semana anterior, logo n˜ ao teria sido poss´ıvel a realiza¸c˜ ao de nenhuma entrevista. Qual a probabilidade disto acontecer, supondo que o ´ındice IBOPE ´ e confi´ avel?

b) Suponha que os diretores da TV Record planejam entrevistar 1.000 pessoas na semana seguinte ap´ os a pesquisa IBOPE acima. O objetivo da pesquisa seria determinar a rea¸c˜ ao do p´ ublico diante de um novo programa. Com base no ´ındice IBOPE, qual seria o n´ umero de pessoas que estariam aptas a responder tal pergunta, assumindo que as 1.000 pessoas seriam contatadas?

Gabarito:

1) a) X = {0, 1, 2, · · · , 1000}; b) X = {0, 1, 2, · · · , 50}; c) X = {0, 1, 2, · · · , 100}

2) a) f ´ e fun¸c˜ ao densidade pois P

2

x=−2

f (x) =

18

+

28

+

28

+

28

+

18

= 1 i) 1 ii) 0 iii) 0,75 iv) 0,5

b) f ´ e fun¸c˜ ao densidade pois P

x=0

f (x) =

34

h

1 4

0

+

141

+

142

· · ·

=

34

·

3/41

= 1

i) 0,0469 ii) 0,9844 iii) 0,0156 iv) 0,25

(5)

3) a)

78

b) 1 c)

34

d)

38

4) a) 0,2 b) 0,9 c) 0,9 d) 0,8 e) 1 5) E[X] = 0 V[X] = 1,5

6) x = 24

7) a) 2, 30 × 10

−8

b) 0, 9999 c) 9, 91 × 10

−18

d) 1, 138 × 10

−4

8) a) 0, 09049 b) 0, 09517 c) 0, 9998

9) a) n = 50, p = 0, 1 b) 0, 112 c) 4, 51 × 10

−48

10) a) 0, 0064 b) 0, 9984 c) 0, 008

11) a) 0, 1024 b) 0, 02147

12) a) 1 − (3, 562 × 10

−2

) b) 1 − (0, 4574)

13) a) 2, 6 × 10

−7

b) 5, 31 × 10

−5

c) 2, 20 × 10

−3

d) 1 − (2, 6 × 10

−7

) 14) E[X] = 2, 9957

15) a) 0, 0378 b) 0, 0103 c) 0, 0516 c) 0, 1755

16) a) 4, 54 × 10

−5

b) 0, 6321

17) a) 0,1966 ou 19, 66% (Distribui¸c˜ ao Binomial) b) 152 pessoas

Referências

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