Quest˜ ao 1 (1.5 Ponto):

EA614 – An´ alise de Sinais

1

Semestre de 2011 – 1

Prova – Prof. Renato Lopes

Quest˜ ao 1 (1.5 Ponto):

Um sistema linear invariante no tempo possui fun¸c˜ ao de transferˆ encia

H(z) = 1 1 − 4z

,

com regi˜ ao de convergˆ encia | z | < 2. Calcule sua resposta ` as entradas x

[n] = 2 cos[

n] e x

[n] = 4

.

Quest˜ ao 2 (1.5 Ponto):

Determine o sinal x[n] cuja transformada Z ´ e dada por X(z) = (1 + z)(1 − z

).

Quest˜ ao 3 (1.5 Ponto):

Em um sistema linear, invariante no tempo e causal, a sa´ıda y(t) ´ e relacionada ` a entrada x(t) por

y(t) + d

dt y(t) = x(t).

Usando transformadas de Laplace, determine sua resposta ` a entrada x(t) = e

u(t).

Quest˜ ao 4 (1.5 Ponto):

Determine a fun¸ c˜ ao de transferˆ encia de um sistema a tempo cont´ınuo cuja sa´ıda ´ e a derivada da entrada. Qual a regi˜ ao de convergˆ encia?

Quest˜ ao 5 (1.5 Ponto):

Um sinal discreto e peri´ odico, com per´ıodo N = 4, possui os valores x[ − 2] = 0, x[ − 1] = − 1, x[0] = 0 e x[1] = 1 ´ e colocado na entrada de um filtro com resposta em frequˆ encia H(e

) = sin(Ω).

Determine a sa´ıda do filtro, y[n], mostrando que ela ´ e real. Lembre-se que e

= j.

Quest˜ ao 6 (1.5 Ponto):

Considere o sinal x

(t) = cos(8πt), e seja x

[n] um sinal discreto obtido a partir dos valores de x

(t) tomados a cada

/

segundos, ou seja, x

[n] = x

(n/3).

• Determine o per´ıodo fundamental N de x

[n]. Lembre-se que N ´ e inteiro.

• Determine os coeficientes X[0], X [1], . . . X[N − 1] da transformada de Fourier discreta de x

[n]. Lembre-se que essa transformada tamb´ em ´ e peri´ odica com per´ıodo N .

Quest˜ ao 7 (1 Ponto):

Considere o sinal discreto com per´ıodo N = 20 mostrado na figura 1. Usando as propriedades

de simetria da DFT, e lembrando que tanto x[n] quanto X[k] s˜ ao peri´ odicos, determine qual das

outras figuras corresponde ` a sua DFT.

2468101214161820

x[n], x[n] ∈ ℜ n 68101214161820

Parte Imaginária de X1[k], ℜ{X1[k]} = 0 k02468101214161820−20246

X2[k], X2[k] ∈ℜ k 68101214161820

Parte Imaginária de X3[k], ℜ{X3[k]} = 0 k02468101214161820−6−4−20246

X4[k], X4[k] ∈ℜ k

Figura 1: Sinais para o sistema da quest˜ ao 7.