Instituto de Matemática, UFF Outubro de 2010

(1)

Renata de Freitas e Petrucio

Viana

Rela¸cões Opera¸cões sobre rela¸cões Propriedades básicas

Rela¸c˜ oes

Renata de Freitas e Petrucio Viana

Instituto de Matem´atica, UFF Outubro de 2010

(2)

Viana

Sum´ ario

• Rela¸c˜oes.

• Opera¸c˜oes sobre rela¸c˜oes.

• Propriedades b´asicas.

(3)

Viana

De Roever

• Semˆantica relacional de programas.

De Roover

(1943 – ****)

(4)

Viana

Motiva¸c˜ ao

• Objetos podem ser especificados de acordo com a maneira como eles se relacionam com outros objetos.

Exemplo:

Renata ´e a melhor professora que eu j´a tive.

(5)

Viana

• Vários conceitos matemáticos importantes podem ser vistos como rela¸cões.

Exemplos:

=, ≤, ∈, ⊆

444

Rela¸c˜ao 444

sim/n˜ao a,b

//

(6)

Viana

• Programas, determin´ısticos ou n˜ao-determin´ısticos, podem ser vistos como rela¸c˜oes.

Exemplos:

444

MDC 444

4 12,8

//

444

Divisor 444 comum

2 12,8

//

(7)

Viana

“Rela¸c˜oes est˜ao em toda parte!”

(8)

Viana

Defini¸c˜ ao

Defini¸cão SejamA e B conjuntos. Dizemos queR é uma rela¸cão de Aem B seR⊆A×B.

Observe que rela¸c˜oes s˜ao conjuntos de pares ordenados.

• ∅´e uma rela¸c˜ao.

• Se Ae B são conjuntos, entãoA×B é uma rela¸cão.

(9)

Viana

Exemplos importantes

(a) =

(b) ≤,<,≥e >

EmN, as rela¸c˜oes≤e <s˜ao definidas a partir de +.

Defini¸c˜ao Sejama,b ∈N. Dizemos que a≤b se, e somente se, existec ∈Ntal que a+c =b.

Defini¸c˜ao Sejama,b ∈N. Dizemos que a<b se, e somente se, existec ∈N^∗ tal que a+c =b.

(10)

Viana

Exemplos importantes

EmR, a rela¸c˜ao≤´e definida a partir de + e ².

Defini¸c˜ao Sejama,b∈R. Dizemos quea≤b se, e somente se, existec ∈R tal quea+c² =b.

Exerc´ıcio Definir≤em Ze em Q.

(11)

Viana

Exemplos importantes

(c) Divisibilidade.

EmN, a rela¸cão de divisibilidade|é definida a partir da opera¸cão de multiplica¸cão.

Defini¸c˜ao Sejama,b ∈N. Dizemos que a|b se, e somente se, existec ∈Ntal que a·c =b.

Exerc´ıcio Definir |emZ, em Qe em R.

(12)

Viana

Exemplos importantes

(d) Primos entre si.

Defini¸cão Sejama,b ∈N. Dizemos que ae b sãoprimos entre si se, e somente se, para todoc ∈N, sec|ae c|b, entãoc = 1.

Defini¸cão Sejama,b ∈Z. Dizemos que ae b sãoprimos entre si se, e somente se, para todoc ∈Z, sec|ae c|b, entãoc = 1 ouc =−1.

(13)

Viana

Exemplos importantes

(e) Congruˆencia m´odulon.

Quest˜ao Como jogar par ou ´ımpar com 3 pessoas?

E com 4 pessoas?

E com 5?

E comn,n∈N^∗?

(14)

Viana

Opera¸c˜ oes sobre rela¸c˜ oes

No¸cões e opera¸cões usuais sobre conjuntos adequam-se às rela¸cões, pois rela¸cões são conjuntos.

∈, ⊆, =, ∪, ∩, ⁻

Observa¸c˜oes:

• Os objetos que pertencem a uma rela¸c˜ao s˜aopares ordenados.

• Para a aplica¸cão da opera¸cão de complementa¸cão, deve-se considerar um universo adequado.

(15)

Viana

Opera¸c˜ oes sobre rela¸c˜ oes

Existem opera¸cões especiais que se aplicam a rela¸cões, que levam em conta que os elementos das rela¸cões são pares ordenados.

(16)

Viana

Revers˜ ao

Defini¸c˜ao SejaR uma rela¸c˜ao de Aem B.

Oreverso deR ´e a rela¸c˜ao:

R⁻¹={(b,a)∈B×A : (a,b)∈R}.

(17)

Viana

Propriedades b´ asicas de

⁻¹

(1) (R⁻¹)⁻¹=R

(2) R⁻¹ =R⁻¹

(3) (R∩S)⁻¹=R⁻¹∩S⁻¹

(4) (R∪S)⁻¹=R⁻¹∪S⁻¹

(18)

Viana

Composi¸c˜ ao

Defini¸c˜ao

SejamR⊆A×B e S ⊆C ×D. Acomposi¸cãode R com S é a rela¸cão:

R◦S ={ (x,z)∈A×D :

existey ∈B∩C tal que (x,y)∈R e (y,z)∈S }.

(19)

Viana

Propriedades b´ asicas de ◦

(1) (R◦S)◦T =R◦(S ◦T)

(2) R◦R=???

(3) R◦S =???

(4) R◦S =???

(5) R◦(S∩T) =???

(6) R◦(S∪T) =???

(20)

Viana

Rela¸c˜ oes especiais

Defini¸c˜ao SejamA e B conjuntos.

(a) ∅´e uma rela¸c˜ao de Aem B.

(b) A×B ´e uma rela¸c˜ao de Aem B.

(b) Id_A ={(a,a) : a∈A}´e uma rela¸c˜ao de Aem A, chamadaidentidade em A.

(b) DfA ={(a,b)∈A×A : a6=b}´e uma rela¸c˜ao deA em A, chamadadiversidade em A.

(21)

Viana

Propriedades b´ asicas das rela¸c˜ oes especiais

Para toda rela¸c˜ao R⊆A×B:

(1) R◦Id_B =R

(2) IdA◦R=R

(3) ???

(22)

Viana

Princ´ıpio b´ asico da investiga¸c˜ ao cient´ıfica

“Se est´a complicado, simplifique.”

(23)

Viana

Endorrela¸c˜ oes

Defini¸cão SejaA um conjunto. Dizemos queR é uma endorrela¸cãoem A seR⊆A×A.

(24)

Viana

Algebra das endorrela¸c˜ ´ oes

Para todas as rela¸c˜oesR,S,T em A:

(1) (R◦S)◦T =R◦(S ◦T)

(2) R◦Id_A= Id_A◦R =R

(3) R◦ ∅=∅ ◦R =∅

(4) R◦(S∪T) = (R◦S)∪(R◦T)

(25)

Viana

Algebra das endorrela¸c˜ ´ oes

(5) (R∩S)⁻¹=R⁻¹∩S⁻¹

(6) (R∪S)⁻¹=R⁻¹∪S⁻¹

(7) (R⁻¹)⁻¹=R

(8) R⁻¹ =R⁻¹

(9) (R◦S)⁻¹=S⁻¹◦R⁻¹

(26)

Viana

Exerc´ıcios

1. Exerc´ıcios do Menezes

(Paulo B. Menezes,Matemática Discreta para Computa¸cão e Informática, 2a. edi¸cão, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006).

2. Exerc´ıcios do Scheinerman

(E.R. Scheinerman,Matem´atica Discreta, Thomson, S˜ao Paulo, 2006).

3. Exerc´ıcios da Lista 8.