UFPE — MA989 — 2013.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA
LISTA DE EXERC´ ICIOS 05 – v. 1.0
Assuntos: Pares ordenados e produtos cartesianos. Alguns tipos b´asicos de rela¸c˜oes.
Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸c˜ao de um item esteja dispon´ıvel, s´o conferi-la ap´os tentar resolvˆe-lo seri- amente. Podem ser usados os recursos da l´ogica de predicados com igualdade e os axiomas de ZF em nossa Parte I (cf. Lista 04).
pares ordenados e produtos cartesianos
Defini¸ c˜ ao. Do ponto-de-vista formal, uma no¸c˜ao de par ordenado ´e uma regra que associa, a todos os elementos
1x e y, um par ordenado (x, y) satisfazendo duas propriedades:
i. A propriedade caracter´ıstica
2:
∀x, y, x
′, y
′, ( (x, y) = (x
′, y
′) ⇐⇒ (x = x
′∧ y = y
′) ) ;
ii. Para todos os conjuntos X e Y , a classe (formada por compreens˜ao irrestrita) X × Y :=
z ∃x ∈ X : ∃y ∈ Y : z = (x, y) , mais comu- mente denotada por
(x, y) x ∈ X, y ∈ Y , ´e um conjunto em ZF.
Quest˜ ao 1. (Produtos cartesianos). Nesta quest˜ao, produtos cartesianos ser˜ao considerados do ponto-de-vista formal. Sejam A, B, C e D conjuntos.
1.a. Descrever, por extens˜ao, ∅ × ∅, {∅} × {∅} e ∅ × {∅}. Eles s˜ao iguais ? 1.b. [Halmos, Sec. 6] Provar que: A × B = ∅ ⇐⇒ (A = ∅ ∨ B = ∅);
∅ 6= A × B ⊆ X × Y = ⇒ (A ⊆ X ∧ B ⊆ Y ); e que a condi¸c˜ao ∅ 6= A × B
´e necess´aria para se chegar `a conclus˜ao anterior;
1.c. Demonstrar que (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D), A × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) e, analogamente, (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), mas que ´e poss´ıvel termos (A ∪ B) × (C ∪ D) 6= (A × C) ∪ (B × D);
1
Assumindo pureza, “a todos os conjuntos”.
2
Assim, a primeira e a segunda entradas distinguem-se uma da outra.
1.d. Mostrar que A × B e B × A podem ser diferentes (O produto cartesiano n˜ao
´e comutativo !). Obter uma lista de condi¸c˜oes sobre A e B que equivale a A × B = B × A. Demonstrar tal equivalˆencia;
1.e. Mostrar que (A × B) × C e A × (B × C) podem ser diferentes (O produto cartesiano n˜ao ´e associativo !) mesmo se A = B = C !
Obs. Ap´os estudarmos as propriedades b´asicas das fun¸c˜oes (e, em particu- lar, bije¸c˜oes), obteremos que, apesar de nem ser comutativo nem associativo, o produto cartesiano admite bije¸c˜oes canˆonicas (mais precisamente, “isomor- fismos naturais”) entre A × B e B × A, e entre (A × B) × C e A × (B × C).
Existe mais de uma realiza¸c˜ao da teoria formal dos pares ordenados.
Abaixo, damos dois exemplos: a de Wiener (1914) foi a primeira a apa- recer; e a de Kuratowski (1921) ´e usualmente adotada em ZF.
Defini¸ c˜ oes. Dados os conjuntos X e Y , denotamos:
(X, Y )
W= b { {{X}, ∅}, {{Y }} } (par ordenado de Wiener); e (X, Y )
K= b { {X}, {X, Y } } (par ordenado de Kuratowski).
Quest˜ ao 2. Sejam A, B, C e D conjuntos.
2.a. Descrever, por extens˜ao, (∅, ∅)
We (∅, ∅)
K. Eles s˜ao iguais ? 2.b. Demonstrar que (A, B )
K= (C, D)
K⇐⇒ ((A = C) ∧ (B = D));
2.c. Seja a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Kuratowski) dada por compreens˜ao irrestrita: K
A,B= b
(a, b)
Ka ∈ A, b ∈ B =
{x|a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b)
K}. Construir, a partir de A e B , um conjunto X (em ZF) do qual K
A,B´e subconjunto
3;
2.d. Demonstrar que (A, B )
W= (C, D)
W⇐⇒ ((A = C) ∧ (B = D));
2.e. Consideremos a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Wiener) dada por compreens˜ao irrestrita: W
A,B= b
(a, b)
Wa ∈ A, b ∈ B
= {y|a ∈ A, b ∈ B : y = (a, b)
W}. Construir, a partir de A e B , um conjunto Y (em ZF) do qual W
A,B´e subconjunto
4.
3
Disto, temos a boa defini¸c˜ ao de K
A,Bem ZF : dados A e B, existe um ´ unico conjunto extensionalmente igual a {x ∈ X |a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b)
K} em ZF.
4