Assuntos: Pares ordenados e produtos cartesianos. Alguns tipos básicos de rela¸cões binárias, inclusive rela¸cões de ordem e fun¸cões.

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UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 07 – v. 1.1

Assuntos: Pares ordenados e produtos cartesianos. Alguns tipos básicos de rela¸cões binárias, inclusive rela¸cões de ordem e fun¸cões.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os pas- sos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸cão de um item esteja dispon´ıvel, só conferi-la após tentar resolvê-lo seriamente. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igual- dade e nossa Parte I dos axiomas de ZF (vide Lista 06).

pares ordenados e produtos cartesianos

Defini¸ c˜ ao. Do ponto-de-vista formal, uma no¸c˜ao de par ordenado ´e uma regra que associa, a todos os elementos

¹

x e y, um par ordenado (x, y) satisfazendo duas propriedades:

i. A propriedade caracter´ıstica

²

:

∀x, y, x

^′

, y

^′

, ( (x, y) = (x

^′

, y

^′

) ⇐⇒ (x = x

^′

∧ y = y

^′

) ) ; ii. Dados quaisquer conjuntos X e Y , a classe

X ×Y :=

z ∃x ∈ X : ∃y ∈ Y : z = (x, y) , formada por abstra¸c˜ao e mais comumente denotada por

(x, y) x ∈ X, y ∈ Y , ´e um conjunto (leg´ıtimo) em ZF.

Quest˜ ao 1. (Produtos cartesianos). Nesta quest˜ao, produtos cartesianos ser˜ao considerados do ponto-de-vista formal. Sejam A, B, C e D conjuntos.

1.a. Descrever, por extens˜ao, ∅ × ∅, {∅} × {∅} e ∅ × {∅}. Eles s˜ao iguais ? 1.b. [Halmos, Sec. 6] Provar que: A × B = ∅ ⇐⇒ (A = ∅ ∨ B = ∅);

∅ 6= A × B ⊆ X × Y = ⇒ (A ⊆ X ∧ B ⊆ Y ); e que a condi¸c˜ao ∅ 6= A × B

é necessária para se chegar à conclusão anterior;

1.c. Demonstrar que (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D), A × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) e, analogamente, (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), mas que ´e poss´ıvel termos (A ∪ B) × (C ∪ D) 6= (A × C) ∪ (B × D);

1

Assumindo pureza, “a todos os conjuntos”.

2

Assim, a primeira e a segunda entradas distinguem-se uma da outra.

(2)

1.d. Mostrar que A × B e B × A podem ser diferentes (O produto cartesiano n˜ao

é comutativo !). Obter uma lista de condi¸cões sobre A e B que equivale a A × B = B × A. Demonstrar tal equivalência;

1.e. Mostrar que (A × B) × C e A × (B × C) podem ser diferentes (O produto cartesiano n˜ao ´e associativo !) mesmo se A = B = C !

Obs. Na continua¸cão desta disciplina, obteremos que, apesar de nem ser comutativo nem associativo, o produto cartesiano admite bije¸cões canônicas (mais precisamente, “isomorfismos naturais”) entre A × B e B × A, e entre (A × B) × C e A × (B × C).

Existe mais de uma realiza¸c˜ao da teoria formal dos pares ordenados.

Abaixo, damos dois exemplos: a de Wiener (1914) foi a primeira a apa- recer; e a de Kuratowski (1921) ´e usualmente adotada em ZF.

Defini¸ c˜ oes. Dados os conjuntos X e Y , denotamos:

(X, Y )

W

= b { {{X}, ∅}, {{Y }} } (par ordenado de Wiener); e (X, Y )

K

= b { {X}, {X, Y } } ( par ordenado de Kuratowski ).

Quest˜ ao 2. Sejam A, B, C e D conjuntos.

2.a. Descrever, por extens˜ao, (∅, ∅)

W

e (∅, ∅)

K

. Eles s˜ao iguais ? 2.b. (Longo e exige alguma maturidade). Demonstrar que:

(A, B)

K

= (C, D)

K

⇐⇒ ((A = C) ∧ (B = D)) ⇐⇒ (A, B)

W

= (C, D)

W

. Dica: Considerar os casos A = B e A 6= B separadamente;

2.c. (Dif´ıcil). Seja a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Kuratowski) dada por abstra¸c˜ao: K

A,B

= b

(a, b)

_K

a ∈ A, b ∈ B =

{x|a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b)

K

}. Construir, a partir de A e B , um conjunto X (em ZF) do qual K

A,B

´e subconjunto

³

;

2.d. (Dif´ıcil). Seja a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Wiener) dada por abstra¸c˜ao: W

A,B

= b

(a, b)

_W

a ∈ A, b ∈ B =

{y|a ∈ A, b ∈ B : y = (a, b)

W

}. Construir, a partir de A e B , um conjunto Y (em ZF) do qual W

A,B

´e subconjunto

⁴

.

3

Disto, temos a boa defini¸c˜ ao de K

A,B

em ZF : dados A e B, existe um ´ unico conjunto extensionalmente igual a {x ∈ X |a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b)

K

} em ZF.

4

Disto, temos a boa defini¸c˜ ao de W

A,B

em ZF : dados A e B, existe um ´ unico conjunto

extensionalmente igual a {y ∈ Y |a ∈ A, b ∈ B : y = (a, b)

W

} em ZF.

(3)

rela¸ c˜ oes bin´ arias num conjunto

Defini¸ c˜ oes. Dados os conjuntos X e Y , dizemos que R ´e uma rela¸ c˜ ao de X em Y se, e somente se, R ⊆ X × Y . Em caso afirmativo, denotamos

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, (xRy ⇐⇒ (x, y) ∈ R), e dizemos que: x relaciona-se a y por R; X é o dom´ ınio de R (Dom(R) = X); e Y é o contradom´ ınio de R (ContraDom(R) = Y ). Denotamos a nega¸cão xRy pelo modo tradicional x6Ry, ou seja: ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, (x6Ry ⇐⇒ ¬(xRy) ⇐⇒ (x, y) ∈ / R).

Dizemos que R é uma rela¸ c˜ ao em X se, e somente se, R é uma rela¸cão de X em X (ou seja, R ⊆ X × X).

Dos tipos de rela¸cão abaixo, aqueles assinalados com asterisco (*) são opcionais nesta disciplina e podem ser ignorados numa primeira leitura. No entanto, recomendamos que o(a) leitor(a) tente entendê-los e compará-los com os demais tipos.

Defini¸ c˜ oes. Dada uma rela¸c˜ao R em X, dizemos que:

− R ´e reflexiva se, e somente se, ∀x ∈ X, xRx, ou seja, (x, x) ∈ R;

− R ´e irreflexiva (ou estrita) se, e somente se, ∀x ∈ X, x6Rx, ou seja, (x, x) ∈ / R;

− (*) R ´e correflexiva se, e somente se, ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ x = y, ou seja, (x, y) ∈ R = ⇒ x = y;

− R ´e sim´ etrica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ yRx, ou seja, (x, y) ∈ R = ⇒ (y, x) ∈ R;

− R ´e assim´ etrica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ y6Rx, ou seja, (x, y) ∈ R = ⇒ (y, x) ∈ / R;

− R ´e antissim´ etrica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, (xRy ∧yRx) ⇒ x = y, ou seja, ( (x, y ) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ) = ⇒ x = y;

− R ´e transitiva se, e somente se, ∀x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz) = ⇒ xRz, ou seja, ( (x, y ) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ) = ⇒ (x, z) ∈ R;

− (*) R ´e antitransitiva se, e somente se,

∀x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz) = ⇒ x6Rz, ou seja, ( (x, y ) ∈ R ∧ (y, z ) ∈ R ) = ⇒ (x, z) ∈ / R;

− (∗)R ´e euclidiana (ou euclidiana ` a direita) se, e somente se,

∀x, y, z ∈ X, (xRy ∧ xRz) = ⇒ yRz, ou seja,

( (x, y ) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R ) = ⇒ (y, z) ∈ R;

(4)

− (*) R ´e euclidiana ` a esquerda se, e somente se,

∀x, y, z ∈ X, (yRx ∧ zRx) = ⇒ yRz, ou seja, ( (y, x) ∈ R ∧ (z, x) ∈ R ) = ⇒ (y, z ) ∈ R;

− (*) R ´e extens´ ıvel (ou serial) se, e somente se, ∀x ∈ X, ∃y ∈ X : xRy, ou seja, cada x em X se relaciona a algum elemento de X por R;

− R ´e tricotˆ omica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, uma, e apenas uma, das seguintes situa¸c˜oes ocorre: xRy ou yRx ou x = y; ou seja, (x, y) ∈ R ou x = y ou (y, x) ∈ R. Isto pode ser descrito por meio de conectivos como: ∀x, y ∈ X, ( xRy ∨ ˙ x = y ∨ ˙ yRx) ∧ ¬ ( xRy ∧ x = y ∧ yRx);

− (*) R é conexa se, e somente se, ∀x, y ∈ X, ( xRy ∨ x = y ∨ yRx) (ou seja, relaxamos a exclusividade m´ utua na defini¸cão anterior, mas mantemos a exaustão);

− R ´e total (ou linear ou fortemente conexa) se, e somente se,

∀x, y ∈ X, (xRy ∨ yRx), ou seja, ( (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R );

− R é bem fundada se, e somente se, para todo subconjunto não-vazio C de X, existe um elemento m ∈ C tal que nenhum elemento de C é relacionado a m por R. Simbolicamente:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, s6Rm.

Dizemos que tal m ´e um elemento R−minimal de S.

Obs. Alguns autores utilizam o termo intransitiva para designar uma rela-

¸cão que não é transitiva, enquanto outros usam aquele termo como sinônimo de antitransitiva. Entenda a diferen¸ca !

Obs. Enfatizemos que, destes 15 tipos, os 9 sem asterisco aparecem bas- tante em matem´atica e devem ser recordados. Mais adiante, estudaremos as seguintes combina¸c˜oes (important´ıssimas):

− (*) Rela¸ c˜ oes de equivalˆ encia: rela¸cões que são reflexivas, simétricas e transitivas, a serem estudadas na continua¸cão desta disciplina;

− Rela¸ c˜ oes de ordem parcial: rela¸cões que são reflexivas, antissimé- tricas e transitivas;

− Rela¸ c˜ oes de ordem estrita: rela¸c˜oes que s˜ao irreflexivas e transiti-

vas (o que equivale a serem assim´etricas e transitivas).

(5)

Quest˜ ao 3. Alguns exemplos para fixa¸cão dos conceitos acima. Pode ser ´ util ler os enunciados da Questão 5 (caracteriza¸cões de tipos) antes de resolvê-los.

3.a. Verificar que a rela¸cão R = b {(0, 0); (0, 1); (1, 0); (0, 2); (3, 2)} ( P × P no conjunto P = {0, 1, 2, 3} não é de nenhum dos 15 tipos definidos acima ! Dica: Este exemplo enfatiza o papel do quantificador ∀ (“para todo”) na defini¸cão de cada tipo especial de rela¸cão mencionado !

3.b. Verificar o que pode ser dito sobre as seguintes rela¸cões binárias na hu- manidade mesmo que de modo aproximado, uma vez que não fixamos uma modelagem matemática para a humanidade: parentesco (“ser parente de”);

“ser irmã(o) de”; “ser filho(a) de”; “ser pai ou mãe de”; descendência (“ser descendente de”); ancestralidade (“ser ancestral de”); e “ser cônjugue de”;

3.c. Verificar o que pode ser dito sobre as seguintes rela¸cões binárias entre os competidores ao final de torneio eliminatório simples (quem perde uma par- tida é eliminado(a)): “foi eliminado por”; e “eliminou”;

3.d. Verificar o que pode ser dito a respeito das seguintes rela¸c˜oes bin´arias em

^N

:

“ser m´ ultiplo de” (que é igual a “ser divis´ıvel por”); “ser divisor de” (simboli- zada por x|y ou por x\y); “não ser m´ ultiplo de”; “não ser divisor de” (x 6 |y);

<; ≤; >; e ≥;

3.e. Recordar que, em

^Z

, ser par significa ser m´ ultiplo de 2, e ser ´ımpar é a nega¸cão de ser par. Verificar o que pode ser dito a respeito das seguintes rela¸cões binárias em

^Z

: <, ≤, >, ≥, al´em de

− ∀x, y ∈

^Z

, xR

¹

y ⇐⇒ x e y s˜ao pares;

− ∀x, y ∈

^Z

, xR

²

y ⇐⇒ x e y s˜ao ´ımpares;

− ∀x, y ∈

^Z

, xR

³

y ⇐⇒ x ´e par e y ´e ´ımpar;

− ∀x, y ∈

^Z

, xR

⁴

y ⇐⇒ x ´e ´ımpar e y ´e par;

3.f. Verificar o que pode ser dito a respeito das seguintes rela¸c˜oes bin´arias:

− ∀(a, b), (c, d) ∈

^N

×

^N

, (a, b)R

⁵

(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c;

− ∀(x, y), (w, z) ∈

^Z

×

^Z

, (x, y)R

⁶

(w, z) ⇐⇒ xz = yw;

− ∀(x, y), (w, z) ∈ (

^Z

\{0}) × (

^Z

\{0}), (x, y)R

7

(w, z) ⇐⇒ xz = yw;

− ∀(x, y), (w, z) ∈ (

^N

\{0}) × (

^N

\{0}), (x, y)R

8

(w, z) ⇐⇒ xz = yw.

(6)

Defini¸ c˜ ao. Dado um conjunto A, a rela¸ c˜ ao vazia ∅ em A é o conjunto vazio visto como rela¸cão em A (ou seja, como subconjunto de A × A), ou seja, a rela¸cão vazia em A é aquela em que todo elemento de A não se re- laciona a elemento algum de A. Poder´ıamos escrevê-la, por exemplo, como

∅ = {(a, b) ∈ A × A|a = b ∧ a 6= b} (Por quˆe ?)

Obs. Uma rela¸cão ser a rela¸cão vazia num conjunto A não significa a mesma coisa que o conjunto A ser vazio.

Quest˜ ao 4. Verificar que, no conjunto vazio, a ´ unica rela¸cão é a vazia e, devido à vacuidade do conjunto, tal rela¸cão satisfaz todos os 15 conceitos (tipos) apresentados acima !

Defini¸ c˜ ao. Dado um conjunto A, definimos sua rela¸ c˜ ao-identidade Id

A

como sendo a rela¸ c˜ ao de igualdade = aplicada aos elementos de A, isto ´e, Id

A

:= {(a, b) ∈ A × A|a = b}, tamb´em descrita como {(a, a)|a ∈ A}.

Quest˜ ao 5. Dado um conjunto A n˜ ao-vazio, denotemos, arbitrariamente, por N

A

a rela¸ c˜ ao de diferen¸ ca 6= em A: N

A

= {(a, b) ∈ A × A|a 6= b}.

Dica: Em alguns dos itens abaixo, faz diferen¸ca se A é unitário ou não.

Ser´a que faz diferen¸ca se o n´ umero de elementos

⁵

de A for, digamos, igual a 2 ou maior que 2 ?

5.a. De quais tipos s˜ao as rela¸c˜oes ∅, Id

A

, N

A

e A × A em A ?

5.b. Verificar o que pode ser dito sobre as rela¸c˜oes ⊆, (, ⊇ e ) em P (A);

5.c. Demonstrar que A × A = Id

A

⊔ N

A

;

5.d. (Fácil; só para prática). Seja R uma rela¸cão em A. Demonstrar que:

i. R ´e reflexiva ⇐⇒ Id

A

⊆ R ⇐⇒ R ∩ Id

A

= Id

A

; ii. R ´e correflexiva ⇐⇒ R ⊆ Id

A

⇐⇒ R ∩ Id

A

= R;

iii. R ´e irreflexiva ⇐⇒ R ⊆ N

A

⇐⇒ R ∩ Id

A

= ∅;

iv. R ⊔ Id

A

´e reflexiva (dita fecho reflexivo de R);

v. Se R ´e reflexiva, ent˜ao R\Id

A

´e irreflexiva;

5

Formalizaremos a ideia de n´ umero de elementos (cardinalidade) de um conjunto na

continua¸c˜ ao desta disciplina.

(7)

5.e. (Exerc´ıcio para a prática de demonstra¸cão). Seja R uma rela¸cão em A.

Provar as afirma¸cões abaixo. Para as implica¸cões, também investigar se suas rec´ıprocas são verdadeiras ou falsas, buscando contraexemplos para as falsas:

i. Se R é simétrica e antissimétrica, então R é correflexiva;

ii. Se R é simétrica e assimétrica ou R é reflexiva e irreflexiva, então R = ∅;

iii. R é assimétrica se, e somente se, R é antissimétrica e irreflexiva;

iv. Se R é assimétrica, então R ⊔ Id

A

´e antissim´etrica e reflexiva;

v. Se R é antissimétrica, então R\Id

A