Nivelamento de Matemática. Profa.Esp. Antoneli da Silva Ramos

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1 Nivelamento de Matemática

Profa.Esp. Antoneli da Silva Ramos

(2)

2 Aula 01- Unidade 01

Razão, Proporção, Regra de Três e

Porcentagem

(3)

3  Razão e Proporção

 Forma fracionaria, forma decimal e forma percentual de uma razão

 Regra de três

 Grandezas Diretamente Proporcionais

 Grandezas Inversamente Proporcionais

 Porcentagem

Unidade I

(4)

4 OBJETIVOS

• Entender o conceito de razão, proporção e semelhança.

• Relacionar situações cotidianas que podem ser tratadas de forma proporcional

• Identificar e compreender Regra de três e porcentagem.

• Entender e ser capaz de resolver

porcentagem em diversas situações.

(5)

5 Razão: Estamos fazendo comparações diariamente e constantemente e quando fazemos comparações, estamos relacionando dois números.

Na linguagem matemática, todas essas comparações são expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim

“ratio”, e significa divisão.

RAZÃO E PROPORÇÃO

(6)

6 Definição: Sendo a e b dois números

racionais com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b o quociente ^𝑎

𝑏 ou a:b , onde a é o antecedente e b é o consequente.

Exemplo: Uma razão é uma divisão entre dois números, então :

𝟒 𝟕 ou 4:7 assim como ^𝟒,𝟓

𝟐 ou 4,5: 2

RAZÃO E PROPORÇÃO

(7)

7 RAZÃO E PROPORÇÃO

Comparação Razão De cada 20 habitantes 5

são analfabetos

5 20 = 1 4 Um dia de sol para cada

dois dias de chuva

1 2 De cada 12 alunos, 4

gostam de matemática

4 12 = 1

3

(8)

8 Razão e Proporção Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si.

Por exemplo:

Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de sumo de laranja e 2 litros de água.

O sumo de laranja está para a água na razão

de 3:2 ou na razão 3/2.

(9)

9 RAZÃO E PROPORÇÃO Exemplo: Ao preparar um suco minha mãe dilui 1 copo de suco concentrado em 6 copos de agua.

Então com 2 copos de sucos concentrados

diluídos em 12 copos de agua, ela poderia

preparar o dobro de suco, com 3 copos de

sucos concentrados diluídos em 18 copos de

agua ela poderia preparar o triplo e assim por

diante.

(10)

10 RAZÃO E PROPORÇÃO Para facilitar a compreensão vamos organizar o raciocínio em uma tabela:

Copos de sucos concentrados

1 2 3 5 7 10

Copos de agua 6 12 18 30 42 60

A razão de 1 copo de suco concentrado para 6 copos de água pode ser representado por 1: 6 ou ^𝟏

𝟔 e lê se :” “ 1 está

para 6”

(11)

11 Razão e Proporção Numa razão, os termos (números) têm um

nome próprio, tendo em conta o sítio onde se escrevem.

Por exemplo:

Na razão 1/6 ou 1:6 o número 1 chama-se antecedente e o número 6 chama-se

consequente.

(12)

12 RAZÕES ESPECIAIS As razões especiais são algumas razões entre grandezas de mesmo tipo ou de tipos diferentes que são utilizadas com bastante frequência no nosso cotidiano. Dentro das razões especiais as mais utilizadas são:

Escala, Velocidade média e Densidade

demográfica.

(13)

13 RAZÕES ESPECIAIS Escala: usada principalmente em mapas, maquetes e plantas a escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a medida do comprimento real do objeto.

𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 𝒅 (𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜)

𝑫 (𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙)

(14)

14 Escala Suponha que em um mapa, a distância em

linha reta entre Brasília e Teresina é representada por 2,5cm, enquanto, na realidade, essa distância é de 1 250 km.

Qual foi a escala utilizada neste mapa?

Primeiramente devo transformar em uma única

medida 1250km= 125milhoes de centímetros

(15)

15 Escala

𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 𝟐, 𝟓𝒄𝒎 (𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐) 𝟏𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎( 𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍) 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎 ^𝟏

Logo a escala utilizada foi de 1 para 50milhões

de centímetros o que significa dizer que cada

cm no MAPA representa 500 km do real.

(16)

16 RAZÕES ESPECIAIS

Velocidade Média: É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrer essa distância.

Razão = ^{𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎}

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

(17)

17 RAZÕES ESPECIAIS Exemplo: Um automóvel percorreu 525km em 7horas. Qual foi a velocidade média do automóvel nesse percurso?

Razão = ^{𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎}

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

Razão = ⁵²⁵

7 = 75 km /h

(18)

18 Se as grandezas não são da mesma espécie

(quilômetros percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número cuja unidade depende das

unidades das grandezas a partir das quais se

determina a razão. EX: Para irmos de uma cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3 horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas grandezas.

Razão = ²⁴⁰

3 = 80 km/h

(19)

19 Se as grandezas são da mesma espécie

(comprimento e largura, ou área e área), suas

medidas devem ser expressas na mesma

unidade e nesse caso, a razão é um número

puro.

(20)

20 Ex: Determine a razão entre as áreas das

superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m ² e a de basquete possui uma área de 240 m ² , vamos escrever:

Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete:

Razão = ^𝟏𝟖𝟎

𝟐𝟒𝟎 = ^𝟑

𝟒

(21)

21 RAZÕES ESPECIAIS Densidade Demográfica: é a razão entre o numero de habitantes (população) de uma região e a área dessa região (quilômetros quadrados dessa região), ou seja, o numero de seus habitantes e a área ocupada desta região.

Densidade= ^{𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐}

á𝒓𝒆𝒂

(22)

22 RAZÕES ESPECIAIS Exemplo: Determine a densidade

demográfica de uma cidade com 20.000 habitantes e uma área de 400𝑘𝑚 ² .

Densidade= ^{𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐}

á𝒓𝒆𝒂 = ^{𝟐𝟎.𝟎𝟎𝟎}

𝟒𝟎𝟎 = 50 hab / 𝒌𝒎 ^𝟐

(23)

23 Mais uma aplicação de razão entre duas

grandezas é no cálculo do valor da densidade de um corpo, que é a razão entre a massa

desse corpo e o seu volume.

Densidade= 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐

(24)

24 Proporção

Proporção: relação das partes de um todo entre si, ou entre cada uma delas e o todo,

quanto a tamanho, quantidade ou grau; razão,

ou seja, a igualdade entre duas razões forma

uma proporção, lembrando que a razão é a

divisão entre dois números a e b.

(25)

25 Proporção

Ex: Em uma pesquisa, foi obtido o seguinte resultado:

de 30 alunos entrevistados em uma faculdade, 10 gostam de Matemática, portanto também poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 deverão gostar de Matemática.

Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 estão representando em 30 o mesmo que 40 em 120. veja: ^𝟏𝟎

𝟑𝟎 = ^𝟒𝟎

𝟏𝟐𝟎

(26)

26 REGRA DE TRÊS Definição: É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Daí o nome regra de três.

Constituem regra de três os problemas que

envolvem pares de grandezas diretamente ou

inversamente proporcionais.

(27)

27 REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO

Para entendermos melhor a Regra de Três na resolução de determinados problemas, é necessário que você domine grandezas proporcionais.

Proporção: A proporção representa a

igualdade entre duas razões e só faz

sentido quando não sabemos uma das

parcelas dessa igualdade.

(28)

28 • Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte: em toda

proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

𝟐 𝟒 = ^𝟗

𝟏𝟖 logo

𝟐 𝟒 𝟗 𝟏𝟖

, multiplicando meios pelos

extremos resulta em 36 = 36

(29)

29 EXEMPLO PROPORÇÃO EXEMPLO: Determine o valor do termo desconhecido:

a) ^𝟏𝟓 _𝟒 = ^𝟑𝟎 _𝒙 logo

15x = 120 X = ^𝟏𝟐𝟎

𝟏𝟓 X= 8

(30)

30 EXEMPLO PROPORÇÃO

b) ^𝟏

𝟒 = ^𝒙+𝟑 _𝟐𝟎 logo

20 = 4x + 12 20 – 12 = 4x

8 = 4x X = ^𝟖

𝟒 X= 2

(31)

31 REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO Para generalizar podemos chamar os termos da proporção de a,b,c e d, escrevendo:

𝑎

𝑏 = ^𝑐

𝑑

E denominamos:

a e d são extremos da proporção.

b e c são meios da proporção.

(32)

32 REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO

Considera a razão ³

8 .

Se multiplicares ambos os termos da razão pelo mesmo número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão:

3 𝑥3

8 𝑥3 = 9 24

Quando escrevemos a igualdade ³ ₈ = ₂₄ ⁹ temos uma proporção.

Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões

(33)

33 REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO

A proporção ³

8 = ⁹

24 deve ler-se:

“3 está para 8 assim como 9 está para 24”.

Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm um determinado nome de acordo com o sítio onde se encontram escritos.

– Os números 3 e 24 são chamados os extremos.

– Os números 8 e 9 são chamados os meios.

(34)

34 REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO

Exemplo:

Numa escola, a razão do número de professores para o número de auxiliares é de 16:2.

a) Que conclusão podemos tirar da informação dada?

RESPOSTA

Como a razão entre o número de professores e o

número de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que

para cada 16 professores existem 2 auxiliares.

(35)

35 REGRA DE TRÊS E PROPORÇÃO

b)Se o número total de professores e auxiliares for igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares têm a escola?

RESPOSTA:

Por cada 18 trabalhadores(professores mais auxiliares) existem 16 professores. Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.

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1

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Aula 01- Unidade 01

Razão, Proporção, Regra de Três e

Porcentagem

3

 Razão e Proporção

 Forma fracionaria, forma decimal e forma percentual de uma razão

 Regra de três

 Grandezas Diretamente Proporcionais

 Grandezas Inversamente Proporcionais

 Porcentagem

Unidade I

4

OBJETIVOS

• Entender o conceito de razão, proporção e semelhança.

• Relacionar situações cotidianas que podem ser tratadas de forma proporcional

• Identificar e compreender Regra de três e porcentagem.

• Entender e ser capaz de resolver

porcentagem em diversas situações.

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Razão: Estamos fazendo comparações diariamente e constantemente e quando fazemos comparações, estamos relacionando dois números.

Na linguagem matemática, todas essas comparações são expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim

“ratio”, e significa divisão.

RAZÃO E PROPORÇÃO

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Definição: Sendo a e b dois números

racionais com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b o quociente 𝑎

𝑏 ou a:b , onde a é o antecedente e b é o consequente.

Exemplo: Uma razão é uma divisão entre dois números, então :

𝟒

𝟕 ou 4:7 assim como 𝟒,𝟓

𝟐 ou 4,5: 2

RAZÃO E PROPORÇÃO

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RAZÃO E PROPORÇÃO

Comparação Razão De cada 20 habitantes 5

são analfabetos

5

20 = 1 4 Um dia de sol para cada

dois dias de chuva

1 2 De cada 12 alunos, 4

gostam de matemática

4

12 = 1

3

8

Razão e Proporção Usa-se uma razão quando queremos comparar unidades, entre si.

Por exemplo:

Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de sumo de laranja e 2 litros de água.

O sumo de laranja está para a água na razão

de 3:2 ou na razão 3/2.

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RAZÃO E PROPORÇÃO Exemplo: Ao preparar um suco minha mãe dilui 1 copo de suco concentrado em 6 copos de agua.

Então com 2 copos de sucos concentrados

diluídos em 12 copos de agua, ela poderia

preparar o dobro de suco, com 3 copos de

sucos concentrados diluídos em 18 copos de

agua ela poderia preparar o triplo e assim por

diante.

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RAZÃO E PROPORÇÃO Para facilitar a compreensão vamos organizar o raciocínio em uma tabela:

Copos de sucos concentrados

1 2 3 5 7 10

Copos de agua 6 12 18 30 42 60

A razão de 1 copo de suco concentrado para 6 copos de água pode ser representado por 1: 6 ou 𝟏

𝟔 e lê se :” “ 1 está

para 6”

11

Razão e Proporção Numa razão, os termos (números) têm um

nome próprio, tendo em conta o sítio onde se escrevem.

Por exemplo:

Na razão 1/6 ou 1:6 o número 1 chama-se antecedente e o número 6 chama-se

consequente.

12

RAZÕES ESPECIAIS As razões especiais são algumas razões entre grandezas de mesmo tipo ou de tipos diferentes que são utilizadas com bastante frequência no nosso cotidiano. Dentro das razões especiais as mais utilizadas são:

Escala, Velocidade média e Densidade

racionais com b ≠ 0, denomina-se razão entre a e b o quociente ^𝑎

𝟕 ou 4:7 assim como ^𝟒,𝟓

A razão de 1 copo de suco concentrado para 6 copos de água pode ser representado por 1: 6 ou ^𝟏

𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 𝟐, 𝟓𝒄𝒎 (𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐) 𝟏𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎( 𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒆𝒂𝒍) 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 𝟓𝟎.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝒄𝒎 ^𝟏

Razão = ^{𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎}

Razão = ^{𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎}

Razão = ⁵²⁵

Razão = ²⁴⁰

superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m ² e a de basquete possui uma área de 240 m ² , vamos escrever:

Razão = ^𝟏𝟖𝟎

𝟐𝟒𝟎 = ^𝟑

Densidade= ^{𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐}

demográfica de uma cidade com 20.000 habitantes e uma área de 400𝑘𝑚 ² .

Densidade= ^{𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐}

á𝒓𝒆𝒂 = ^{𝟐𝟎.𝟎𝟎𝟎}

𝟒𝟎𝟎 = 50 hab / 𝒌𝒎 ^𝟐