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Prof. Alvaro Muriel Lima Machado AJUSTAMENTO II – GA110 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA
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Ajustamento com Injunções
Equações de condição
condições X injunções Só observações Sem observações
equações de injunção X
parameter constraints Linha com zeros na matriz A Linha com zeros na matriz B
Em alguns casos, a matriz N é singular (rank(N) < u).
Deficiência = s = u – rank(N) Para se resolver o ajustamento deve-se acrescentar mais equações.
Ajustamento Paramétrico com Injunções
0 ) ( X
a= G
O modelo matemático para injunções ponderadas é
0 ' = + W CX
ou em sua forma linearizada
A função a ser minimizada assume a forma:
) ' ( ' 2 ) (
2 ' '
' P V K AX L V K CX W
V PV
V
T+ −
T+ − −
T+
φ =
Derivando e igualando a primeira derivada a zero, resulta:
) (
)
( A
TPA C
TP
CC
1A
TPL C
TP
C CX = − +
−+ ε
ou
X = − ( N + N )
−1( U + U )
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Ajustamento com Injunções
Algumas injunções frequentemente empregadas:
a) Posição b) Distância c) Altura d) Direção e) Posição relativa
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Ajustamento Paramétrico com Injunções
Dado um polígono ABCD com coordenadas conhecidas e isentas de erro no referencial X1X2, aplicou-se a transformação dada por:
Sabe-se que, após a transformação, o ponto D deve ter a coordenada fixada em (-16,00; 60,00). Os demais pontos tiveram suas coordenadas observadas segundo a tabela abaixo.
Coordenadas X1 X2
A 0 0
B 10 0
C 15 3
D 5 5
+ +
=
+
−
=
d ax bx y
c bx ax y
2 1 2
2 1 1
Ponto Y1 Y2
A 11,30 9,30 B 34,70 84,50 C 23,00 133,60
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Ajustamento: Método Paramétrico
1) Modelo Matemático
+ +
=
+
−
=
+ +
=
+
−
=
+ +
=
+
−
=
d ax bx y
c bx ax y
d ax bx y
c bx ax y
d ax bx y
c bx ax y
C C C
C C C
B B B
B B B
A A A
A A A
2 1 2
2 1 1
2 1 2
2 1 1
2 1 2
2 1 1
7
Ajustamento: Método Paramétrico
=
− + +
=
− +
−
0 0
2 2
1
1 2
1
D D
D
D D
D
y d ax bx
y c bx ax
0 ) ( X a = G
2) Modelo Matemático das Injunções
8
Ajustamento: Método Paramétrico
3) Matriz Lb
Ajustamento: Método Paramétrico
=
d
c
b
a
X
010
Ajustamento: Método Paramétrico
4) Cálculo da matriz A
11
Ajustamento: Método Paramétrico
6) Cálculo da matriz W’ = ƐC
5) Cálculo da matriz C
12
Ajustamento: Método Paramétrico
7) Cálculo da matriz N, U, Nc, Uc
C P C NC= T C
PL A U= T
T
C C C
U =C P
ε
PAA N= T
13
Ajustamento: Método Paramétrico
X X X
a=
0+
8) Cálculo de Xa
) ( ) ( N N
C 1U U
CX = − +
−+
14
Ajustamento: Método Paramétrico
No FreeMat...
Ajustamento: Método Paramétrico
No FreeMat...
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Ajustamento: Método Paramétrico com Injunções
Injunção ≡ restrição imposta a parâmetros )
( )
( N N
C 1U U
CX = − +
−+
=
= PL A U
PA A N
T T
=
=
C
ε
T C
C T C
P C U
C P C N
L
bL L =
0−
−
=
=
Observado Calculado
a
Valor Valor
X G ε
0 ) (
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Ajustamento: Método Paramétrico com Injunções
Os ângulos internos de um triângulo foram observados: A 40º B 60º C 78º
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Ajustamento: Método Paramétrico com Injunções
Rede de nivelamento geométrico: ajustamento com injunção
Linha Desnível (m) Extensão (km)
1: A B 25,15 7
2: B C -10,57 5
3: C D -1,76 3
4: D A -12,65 8
5: C E -7,06 3
6: E D 5,37 5
7: E A -7,47 5
m H
H m H
E B H
A
EB
17 , 60
62 , 1300
=
−
=
∆
=
19 Ajustamento: Método paramétrico com injunção
) ( )
( N N
C 1U U
CX = − +
−+
=
= PL A U
PA A N
T T
T
C C
T
C C
N C P C U C P ε
=
=
L
bL L =
0−
−
=
=
Observado Calculado
a
Valor Valor
X G ε
0 ) (
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Ajustamento: Método Paramétrico
a) Modelo matemático funcional
b) Equações de injunção
Ajustamento: Método Paramétrico
c) Matriz Lb d) Matriz de Pesos P
f) Matriz Lo e) Matriz Xo
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Ajustamento: Método Paramétrico
g) Matriz A h) Matriz C
i) Matriz Peso das injunções Pc
j) Matriz Erro de fechamento
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Ajustamento: Método Paramétrico
k) Matriz N l) Matriz U
m) Matriz Nc n) Matriz Uc
24
Ajustamento: Método Paramétrico
o) Vetor das correções X
p) Vetor de Resíduos V q) Variância a posteriori
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Ajustamento: Método Paramétrico
No FreeMat...
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Ajustamento Paramétrico com Injunções
Seja o modelo matemático envolvendo parâmetros e incógnitas.
0 ) , ( L
aX
a= F
Sejam as injunções
Este ajustamento pode ser resolvido em duas etapas:
a) Solução pelo método combinado sem considerar a injunção (X*) b) Cálculo da influência da injunção (δX)
0 ) ( X
a= G
X X X =
*+ δ
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
28 As equações de injunção
G ( X
a) = 0
podem ser linearizadas
0 ) ( ) ( ) ( )
(
0 0 00
=
∂ − + ∂
≈ +
= X X
X X G G X X G X
G
aaX a
ou onde e
CX + W ' = 0 W ' = G ( X
0)
X0
X
aC G
∂
= ∂
=
= 0 ) (
0 ) , (
a a a
X G
X L F
= +
= + +
0 '
0 W CX
W BV AX
Então
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
29 Equações Normais
mínimo W
CX K W BV AX K PV
VT − T + + − T + =
= 2 ( ) 2 ' ( ')
φ
As derivadas parciais em relação a V, K, X e K’, igualadas a zero, resultam nas seguintes equações matriciais:
=0
−
∂ =
∂ PV BK V
φ
T0 )
( + + =
−
∂ =
∂ AX BV W
K
φ
'=0
−
−
∂ =
∂ AK C K
X
T
φ
T0 ) '
'=−( + =
∂
∂ CX W
K
φ
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
30 As equações anteriores podem ser reunidas:
=
+
−
0 0 0 0
' 0 0
0 ' 0
0
0 0
0 0
0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
W W
K X K V
C C A
A B
B P
s u r n
s u r n
s s u s r s n s
T s u u u T r u n u
s r u r r r n r
s n u n T r n n n
Segue-se que:
e
com
W M A A M A
X
*= − (
T −1)
−1 T −1' ) ( A M
1A
1C K X =
T − − Tδ
X X X X
a=
0+
*+ δ
) ' (
) ) ( (
' C A M
1A
1C
1CX
*W
K =
T − − T −− −
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
31 Demonstra-se que:
*
*
*
*
)
1(
X T XT X X
X
= ∑ − ∑ C C ∑ C C ∑
∑
−1 1 2
0
( )
ˆ
*
−
=
−∑
Xσ A
TM A
onde
Matriz Variância-Covariância dos Parâmetros
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
32
Pontos x y
1 140,0 0,5 60,0 0,5 2 165,0 1,0 100,0 1,0 3 165,0 0,5 150,0 0,5 4 140,0 1,0 180,0 1,0
2
σ
xσ
y2 Dadas as coordenadas observadas dequatro pontos, estimar as coordenadas do centro e o raio da circunferência que melhor se ajusta aos mesmos.A circunferência deve passar pelo ponto (100,0; 50,0)
a) Modelo matemático Sejam
coordenadas do centro ajustadas raio ajustado valores observados ajustados a
a
y x ,
) ( ) (a
,
iai
y
x r
a0 ) ( )
(
( )−
2+
( )−
2−
2=
=
a aa i a a i
i
x x y y r
f
i = 1,2,3,4n = 8 observações r = 4 equações u = 3 parâmetros
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
b) Modelo linearizado AX + BV + W = 0
c) Vetor Solução Inicial
=
0 0 0
r y x X
o
= 70 120 100
d) Vetor dos valores observados
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
34 e) Matriz dos Pesos P
P = ( ) ∑
Lb −1Ajustamento: Método Combinado com Injunções
35 f) Vetor Erro de Fechamento
W = F ( L
b, X
0)
g) Matriz B
Lb
L
aB F
∂
= ∂
= B
4 equações
8 observações
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
36 g) Matriz B
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
37 h) Matriz A
X0
X
aA F
∂
= ∂
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
38 i) Cálculo da Matriz M
M = BP
−1B
Tj) Cálculo do Vetor de Correções X
1 1 1
*
(
T)
TX = − A M A
− −A M W
−Ajustamento: Método Combinado com Injunções
k) Injunção
G ( X
a) = 0
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
a a
a
r
G y G x C G
l) Cálculo de C e W’
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
40 m) Cálculo de K’
) ' ( ) ) ( (
' C A M
1A
1C
1CX
*W K =
T − − T −− −
n) Cálculo de δX
' ) ( A M
1A
1C K X =
T − − Tδ
o) Cálculo de Xa
X X X X
a=
0+
*+ δ
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
41
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
42
Ajustamento: Método Combinado com Injunções
43
