2.1Equa¸c˜oesDiferenciais 2Fundamenta¸c˜aoTe´orica 1Introdu¸c˜ao AN´ALISEDIFERENCIALDAVIBRAC¸˜AOLIVRECOMAMORTECIMENTOVISCOSODEUMSISTEMAMASSA-MOLAPARADIFERENTESFLUIDOS

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI ´ ARIDO - UFERSA CURSO DE BACHARELADO EM CI ˆ ENCIA E TECNOLOGIA Trabalho de Conclus˜ ao de Curso (2018)

AN ´ ALISE DIFERENCIAL DA VIBRAC ¸ ˜ AO LIVRE COM AMORTECIMENTO VISCOSO DE UM SISTEMA

MASSA-MOLA PARA DIFERENTES FLUIDOS

Igor R. B. de Freitas, Matheus da Silva Menezes (Orientador)

Neste trabalho pretende-se abordar os estudos te´ oricos referentes as equa¸ c˜ oes diferencias e uti- lizar o m´ etodo de resolu¸ c˜ ao dos coeficientes constantes para encontrar a fun¸ c˜ ao que descreve o comportamento vibrat´ orio do sistema massa-mola quando imerso em diferentes fluidos. Na an´ alise te´ orica foi usado o m´ etodo dos coeficientes constantes para obter as fun¸ c˜ oes dos sis- temas: superamortecido, criticamente amortecido e subamortecido, seguido da resolu¸ c˜ ao de problemas te´ oricos. Na an´ alise experimental foi realizado uma videoan´ alise com o aux´ılio do software Tracker, com o objetivo de averiguar o comportamento do sistema quando imerso em trˆ es diferentes fluidos. Os resultados obtidos nos problemas propostos foram semelhantes aqueles vistos em teoria, comprovando assim a eficiˆ encia do m´ etodo. Na an´ alise compor- tamental, os gr´ aficos n˜ ao foram iguais a teoria, por´ em conseguiu-se uma boa descri¸ c˜ ao do fenˆ omeno.

Palavras-chave: equa¸ c˜ oes diferenciais; sistema massa-mola; superamortecido; criticamente amortecido; subamortecido

1 Introdu¸ c˜ ao

Nas ciˆ encias e na engenharia, modelos matem´ aticos s˜ ao desenvolvidos para auxiliar na compreens˜ ao de fenˆ omenos f´ısicos. Estes modelos frequentemente geram uma equa¸ c˜ ao que cont´ em algumas derivadas de uma fun¸ c˜ ao desconhecida. Tal equa¸ c˜ ao ´ e chamada de equa¸ c˜ ao diferencial [1]. Existem in´ umeras aplica¸ c˜ oes em que esses modelos podem ser usados, algumas s˜ ao: dinˆ amica populacional, decaimento radioativo, lei do movimento de Newton, dissemina¸ c˜ ao de doen¸ cas, entre outras.

Uma importante aplica¸ c˜ ao na engenharia, ´ e a an´ alise de vibra¸ c˜ oes. Mais recentemente, com o avan¸ co da tecnologia e, consequentemente da ind´ ustria, diversos problemas surgiram decorrentes desse fenˆ omeno, levando m´ aquinas e estruturas ` a falhas repentinas ou a sua inutiliza¸ c˜ ao, um exemplo disso ocorreu com a ponte de Tacoma Narrows (1940). Apesar de seus efeitos danosos, a vibra¸ c˜ ao pode ser utilizada a favor em v´ arias aplica¸ c˜ oes industriais e de consumo [2].

Diante de sua vasta aplica¸ c˜ ao ´ e importante conhecer as equa¸ c˜ oes diferenciais e saber desenvolver os m´ etodos para encontrar a fun¸ c˜ ao desconhecida de um fenˆ omeno. Vamos estudar a teoria matem´ atica relacionada as equa¸ c˜ oes diferenciais e desenvolver um dos m´ etodos utilizados para encontrar a fun¸ c˜ ao que descreve o comportamento vibrat´ orio de um sistema. O sistema em an´ alise ´ e o massa-mola com amortecimento viscoso, para qual teremos trˆ es casos distintos e poss´ıveis.

Com isso, tra¸ camos alguns objetivos: descrever a equa¸ c˜ ao diferencial, sua classifica¸ c˜ ao e teoria ma- tem´ atica relacionada; demonstrar a resolu¸ c˜ ao anal´ıtico-matem´ atica do modelo diferencial do sistema massa-mola amortecido para os diferentes casos; realizar experimento pr´ atico e com o auxilio de um software computacional verificar o comportamento gr´ afico em diferentes fluidos.

2 Fundamenta¸ c˜ ao Te´ orica

2.1 Equa¸ c˜ oes Diferenciais

Para o melhor entendimento dos estudos desenvolvidos neste trabalho, apresentaremos um breve

resumo da teoria fundamental relacionada ` as equa¸ c˜ oes diferenciais. As demonstra¸ c˜ oes dos teoremas mais

gerais fogem do escopo do presente trabalho e ser˜ ao omitidas em seu texto, podendo serem vistas na bibliografia b´ asica dos cursos de equa¸ c˜ oes diferenciais. Para darmos inicio ao estudo, faz-se necess´ ario entender o que ´ e uma equa¸ c˜ ao diferencial. Entre outros autores, [3] vem mostrar que:

Defini¸ c˜ ao 2.1 Uma equa¸ c˜ ao que cont´ em as derivadas (ou diferencias) de uma ou mais vari´ aveis depen- dentes em rela¸ c˜ ao a uma ou mais vari´ aveis independentes ´ e chamada de equa¸ c˜ ao diferencial (ED).

Essas equa¸c˜ oes, por sua vez, podem ser classificadas por tipo, ordem e linearidade. Quanto ao tipo podem ser ordin´ aria ou parcial, onde a equa¸ c˜ ao que apresenta derivadas com rela¸ c˜ ao a uma ´ unica vari´ avel independente ´ e chamada de equa¸ c˜ ao diferencial ordin´ aria (EDO), todavia, se a equa¸ c˜ ao apresenta derivadas com rela¸ c˜ ao a duas ou mais vari´ aveis independentes ´ e denominada de equa¸ c˜ ao diferencial parcial (EDP). A classifica¸ c˜ ao por ordem, corresponde a derivada de maior ordem na equa¸ c˜ ao. Quanto

`

a linearidade, dada a EDO de n-´ esima ordem por:

a

(x) d

y

dx

+ a

(x) d

y

dx

+ a

(x) d

y

dx

+ ... + a

(x) dy

dx + a

(x)y = g(x). (1) A equa¸ c˜ ao acima ´ e dita linear se a vari´ avel dependente y e todas as suas derivadas y

, y

, ..., y

s˜ ao do primeiro grau e os coeficientes a

, a

, a

, ..., a

de y, y

, y

, ..., y

, s˜ ao constantes ou dependem de fun¸ c˜ oes cuja vari´ avel ´ e independente.

2.1.1 Equa¸ c˜ ao Linear de Segunda Ordem

A equa¸ c˜ ao linear em (1) est´ a escrita em sua forma geral de n-´ esima ordem ou de ordem n. Fazendo n = 2, obtemos a equa¸ c˜ ao linear de segunda ordem na forma:

a

(x) d

y

dx

+ a

(x) dy

dx + a

(x)y = g(x), (2)

no qual o coeficiente a

(x) deve ser diferente de zero. ´ E importante ressaltar dois casos em que a equa¸ c˜ ao acima pode ser apresentada, o primeiro para g(x) = 0, dizemos que a equa¸ c˜ ao ´ e homogˆ enea, caso contr´ ario, quando g(x) 6= 0, a equa¸ c˜ ao ´ e dita heterogˆ enea. Frequentemente, problemas que envolvem o sistema massa-mola resultam em uma equa¸ c˜ ao linear de segunda ordem, motivo pelo qual nossa fundamenta¸ c˜ ao te´ orica ´ e voltada para esse tipo de equa¸ c˜ ao diferencial.

2.1.2 Dependˆ encia e Independˆ encia Linear

Para entendermos a solu¸ c˜ ao geral de uma equa¸ c˜ ao homogˆ enea, precisamos definir alguns conceitos auxiliares como dependˆ encia e independˆ encia linear. Um conjunto de duas fun¸ c˜ oes c

f

(x) e c

f

(x) ´ e dito linearmente dependente (LD) em um intervalo I, se houver constantes c

e c

n˜ ao todas nulas para todo x nesse intervalo, que satisfa¸ ca a seguinte condi¸ c˜ ao:

c

f

(x) + c

f

(x) = 0, (3)

entretanto, se para a rela¸ c˜ ao ser satisfeita, c

= c

= 0, ent˜ ao o conjunto ´ e linearmente independente (LI). Sempre que necess´ ario podemos recorrer a esse conceito para saber se um conjunto de fun¸ c˜ oes ´ e LD ou LI, mas nem sempre aplic´ a-lo ´ e o mais vi´ avel, para isso foi desenvolvido uma ferramenta chamada wronskiano. Supondo que cada uma das fun¸ c˜ oes f

, f

tenham pelo menos uma derivada, ent˜ ao o wronskiano pode ser calculado como o determinante da matriz:

W (f

, f

) =

f

f

f

f

. (4)

Teorema 2.2 Sejam y

e y

duas solu¸ c˜ oes da equa¸ c˜ ao diferencial linear homogˆ enea de ordem 2 em um intervalo I. Ent˜ ao, o conjunto de solu¸ c˜ oes ser´ a linearmente independente em I se e somente se W (y

, y

) 6= 0 para todo x no intervalo I.

2.1.3 Equa¸ c˜ ao Homogˆ enea de 2

Ordem - Solu¸ c˜ ao Geral

A equa¸ c˜ ao homogˆ enea de segunda ordem, possui a forma:

a

(x) d

y

dx

+ a

(x) dy

dx + a

(x)y = 0. (5)

Segundo [4], a solu¸ c˜ ao de uma equa¸ c˜ ao pode ser definida da seguinte maneira:

Defini¸ c˜ ao 2.3 A solu¸ c˜ ao de uma equa¸ c˜ ao diferencial de ordem n em um intervalo I ´ e toda fun¸ c˜ ao f que est´ a definida em I, possui pelo menos n derivadas continuas em I e que quando substitu´ıdas na equa¸ c˜ ao diferencial, reduzam a mesma a uma identidade.

A solu¸ c˜ ao geral de uma equa¸ c˜ ao diferencial de ordem n em um intervalo I ´ e formada por uma fam´ılia de n solu¸ c˜ oes y

(x), 1 ≤ k ≤ n no mesmo intervalo I dependendo de n constantes. Sendo assim, a solu¸ c˜ ao geral de uma equa¸c˜ ao linear homogˆ enea de 2

ordem, ´ e tal que:

y(x) = c

y

(x) + c

y

(x), (6)

qualquer solu¸ c˜ ao particular pode ser obtida atribuindo-se valores as constantes c

e c

, e que as fun¸ c˜ oes y

(x) e y

(x) s˜ ao solu¸ c˜ oes conhecidas e linearmente independentes. Quaisquer duas solu¸ c˜ oes da equa¸ c˜ ao linear homogˆ enea de 2

ordem, que sejam linearmente independentes, formam o que chamamos de con- junto fundamental de solu¸ c˜ oes (CFS), respons´ avel por gerar todas as demais solu¸ c˜ oes a partir da combina¸ c˜ ao linear em (6).

2.1.4 Problema de Valor Inicial (PVI)

Em geral, os m´ etodos matem´ aticos utilizados para resolver uma EDO fornecem como resultado uma solu¸ c˜ ao geral, por´ em, na pr´ atica estamos interessados em uma solu¸ c˜ ao particular, ou seja, uma fun¸ c˜ ao y(x) que satisfa¸ ca determinadas condi¸ c˜ oes de contorno que s˜ ao impostas sobre ela e suas derivadas, e o problema para encontrar tal fun¸ c˜ ao dada as condi¸ c˜ oes iniciais sobre x

, ´ e chamado de problema de valor inicial (PVI). Sendo assim, o problema de valor inicial de segunda ordem, possui as seguintes condi¸ c˜ oes inicias:

d

y

dx

= f (x, y, y

) y(x

) = y

, y

(x

) = y

,

onde x

, y

e y

s˜ ao dados conhecidos. Outro tipo de problema que consiste em encontrar a solu¸ c˜ ao de uma EDO dado as condi¸ c˜ oes iniciais em pontos diferentes ´ e denominado de problema de valor de contorno (PVC). Para sabermos se um PVI possui uma solu¸ c˜ ao ´ unica, devemos fazer uso do teorema a seguir.

Teorema 2.4 Sejam a

(x), a

(x), a

(x) e g(x) cont´ınuas no intervalo I e seja a

(x) 6= 0 para todo x nesse intervalo. Se x = x

for um ponto qualquer nesse intervalo, ent˜ ao existe uma ´ unica solu¸ c˜ ao y(x) do problema de valor inicial nesse intervalo.

2.1.5 Equa¸ c˜ oes Diferenciais com Coeficientes Constantes

As equa¸ c˜ oes lineares homogˆ eneas de 2

ordem com coeficientes constantes, s˜ ao equa¸ c˜ oes na forma de:

a d

y dx

+ b dy

dx + cy = 0, (7)

sendo a, b e c constantes. Para encontrar a solu¸ c˜ ao geral de equa¸ c˜ oes diferenciais que possuem essa estrutura, dentre os m´ etodos dispon´ıveis utilizamos o dos coeficientes constantes, esse m´ etodo constitui em supor que uma das solu¸ c˜ oes da equa¸ c˜ ao acima ´ e y(x) = e

, onde s ´ e constante. Essa suposi¸ c˜ ao ´ e interessante pois e

´ e a ´ unica fun¸ c˜ ao cuja derivada ´ e um m´ ultiplo de si mesma. Partindo dessa suposi¸ c˜ ao inicial, temos que suas derivadas s˜ ao:

y

(x) = se

y

(x) = s

e

, (8)

dessa forma, substituindo (8) em (7) e deixando o termo repetitivo e

em evidˆ encia, temos:

a(s

e

) + b(se

) + c(e

) = 0 e

(as

+ bs + c) = 0,

sabendo que e

6= 0, ent˜ ao para a igualdade ser satisfeita a express˜ ao reduz-se em:

as

+ bs + c = 0. (9)

A Equa¸ c˜ ao (9) ´ e denominada de equa¸c˜ ao auxiliar ou caracter´ıstica, para encontrar a solu¸ c˜ ao geral da

equa¸ c˜ ao diferencial associada devemos encontrar o valor de s, sendo assim teremos que considerar trˆ es

casos poss´ıveis para suas ra´ızes:

1. Quando ∆ > 0, duas ra´ızes reais e distintas;

2. Quando ∆ = 0, duas ra´ızes iguais;

3. Quando ∆ < 0, duas ra´ızes complexas;

Caso I: ra´ ızes reais e distintas

Para o caso em que ∆ > 0, aplicando a f´ ormula de Bhaskara encontramos as ra´ızes:

s

= −b ± √

b

− 4ac

2a ,

como as ra´ızes s

e s

s˜ ao reais e distintas, a solu¸ c˜ ao geral torna-se:

y(x) = c

e

+ c

e

. (10) Caso II: ra´ ızes reais e iguais

Para o caso em que ∆ = 0, temos duas ra´ızes iguais como:

s

= − b 2a ,

por´ em, duas solu¸c˜ oes iguais n˜ ao formam o CFS e assim n˜ ao podemos descrever a solu¸ c˜ ao geral para esse caso. Para resolvermos esse problema, recorreremos a outro m´ etodo para solu¸ c˜ oes de EDs: redu¸ c˜ ao de ordem

. Por meio desse m´ etodo ´ e poss´ıvel encontrar outra solu¸ c˜ ao, de tal maneira que, ambas sejam linearmente independentes. Pela redu¸ c˜ ao de ordem, obtemos:

y

(x) = y

(x)

Z e

y

(x) dx ∴ P (x) = b a

= e

Z e

(e

)

dx

= e

Z e

e

dx y

(x) = xe

.

Agora, a solu¸ c˜ ao geral pode ser formulada:

y(x) = c

e

+ c

xe

. (11) Caso III: ra´ ızes complexas

Para ∆ < 0, temos duas ra´ızes conjugadas e complexas, de maneira que:

s

= −b ± i √

4ac − b

2a ,

reorganizando, temos:

s

= α ± βi.

Aplicando as ra´ızes complexas, podemos obter a solu¸ c˜ ao geral:

y(x) = c

e

+ c

e

,

mas o uso dessa solu¸ c˜ ao geral n˜ ao ´ e pr´ atico, pois apresenta fun¸ c˜ oes exponenciais complexas, sendo assim

´

e prefer´ıvel trabalhar com fun¸ c˜ oes reais. Para isso, usamos a f´ ormula de Euler:

e

= cos θ + i sen θ, substituindo θ por βx e −βx, tem-se:

( e

= cos βx + i sen βx e

= cos βx − i sen βx ,

1A redu¸c˜ao de ordem constitui outro m´etodo para resolu¸c˜ao de EDs, motivo esse de n˜ao abordamos seus conceitos e demonstra¸c˜ao matem´atica, pois divergem dos objetivos pretendidos neste artigo.

somando e subtraindo os termos obtemos as seguintes express˜ oes:

e

+ e

= 2 cos βx e

− e

= 2i sen βx.

Vamos montar duas solu¸ c˜ oes y

(x) e y

(x), fazendo c

= c

= 1 para y

(x) e c

= 1, c

= −1 para y

(x).

Portanto:

y

(x) = e

+ e

y

(x) = e

− e

. Mas:

y

(x) = e

(e

+ e

) = 2e

cos βx y

(x) = e

(e

− e

) = 2ie

sen βx,

e como consequˆ encia do conjunto fundamental de solu¸ c˜ oes, y

(x) e y

(x) podem ser escritos como com- bina¸ c˜ ao linear para obtermos a solu¸ c˜ ao geral:

y(x) = c

e

cos βx + c

e

sen βx. (12)

2.2 Vibra¸ c˜ ao Livre com Amortecimento Viscoso

A vibra¸ c˜ ao livre ´ e compreendida como a vibra¸ c˜ ao que um sistema exerce como resultado de uma perturba¸ c˜ ao inicial. O sistema escolhido em nossa an´ alise ´ e o massa-mola, que ap´ os uma perturba¸ c˜ ao inicial por meio de uma distens˜ ao em sua mola, vibra livremente em meio viscoso. Na Figura 1 temos a representa¸ c˜ ao do sistema em estudo.

Figura 1: Sistema massa-mola em diferentes estados. (a) mola n˜ ao estendida, (b) posi¸ c˜ ao de equil´ıbrio e (c) movimento amortecido. (Adaptado) [3]

Para encontrarmos o modelo matem´ atico que descreve o comportamento vibrat´ orio do sistema apre- sentado, antes ´ e necess´ ario fazermos algumas considera¸ c˜ oes relevantes. Primeiro, vamos considerar que a mola possui massa suficientemente pequena, de modo que, os efeitos de seu peso sobre o bloco sejam desprez´ıveis e que a for¸ ca restauradora que exerce ´ e oposta ao seu alongamento e ´ e dado pela lei de Hooke na forma F

= −kx, onde k ´ e a constante da mola e x representa o alongamento da mola a partir da posi¸ c˜ ao n˜ ao estendida; segundo, o sistema sofre deslocamento somente no eixo vertical x; e terceiro, o fluido que envolve a haste ou bloco, dependendo da configura¸ c˜ ao do sistema, exerce uma for¸ ca contr´ aria ao seu deslocamento e possui magnitude diretamente proporcional a sua velocidade, sendo expressa por:

F = −c dx

dt , (13)

onde c ´ e a constante de amortecimento. Essa for¸ ca ´ e a respons´ avel por dissipar a energia mecˆ anica

do sistema e o seu valor depende de v´ arios fatores como: tamanho e forma do corpo em vibra¸ c˜ ao,

viscosidade, frequˆ encia de vibra¸ c˜ ao, velocidade, entre outros. Aplicando a segunda lei de Newton ao bloco e considerando o sentido positivo do eixo x para baixo, temos:

X F

= m d

x dt

m d

x

dt

= mg − k(x + s) − c dx dt m d

x

dt

= mg − ks − kx − c dx dt ,

por meio da condi¸ c˜ ao de equil´ıbrio mostrada na Figura 1(b), onde mg = ks, encontramos o modelo matem´ atico que descreve a vibra¸ c˜ ao livre com amortecimento viscoso:

m d

x dt

+ c dx

dt + kx = 0. (14)

A solu¸ c˜ ao dessa equa¸ c˜ ao diferencial ´ e obtida utilizando o m´ etodo dos coeficientes constantes, como ex- plicado em 2.1.5. Sua equa¸ c˜ ao auxiliar ´ e expressa:

ms

+ cs + k = 0, cujas ra´ızes s˜ ao:

s

= −c ± √

c

− 4mk 2m

= −c 2m ±

r c

2m

− k

m , (15)

antes de encontrarmos as poss´ıveis solu¸ c˜ oes, vamos reescrever essas ra´ızes em termos da constante de amortecimento cr´ıtico e o fator de amortecimento.

Segundo [2], o amortecimento cr´ıtico c

´ e definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o radicando da Equa¸ c˜ ao (15) torne-se zero:

c

2m

− k m = 0 c

= 2m

r k

m = 2mω

, (16)

onde ω

= q

m

, ´ e a frequˆ encia natural de vibra¸ c˜ ao do sistema.

O fator de amortecimento ζ ´ e definido pela raz˜ ao entre a constante de amortecimento do sistema c e o amortecimento cr´ıtico c

, da seguinte maneira:

ζ = c c

. (17)

Podemos reescrever:

c 2m = c

c

· c

2m = ζω

, e como consequˆ encia as ra´ızes tornam-se:

s

= (−ζ ± p

ζ

− 1)ω

,

admitindo 0 ≤ ζ ≤ ∞, o radicando do termo acima pode ser positivo, negativo ou zero. Vejamos os trˆ es casos poss´ıveis para o comportamento do fenˆ omeno.

2.2.1 Caso I: sistema superamortecido

Para ζ > 1 as ra´ızes s˜ ao reais e distintas, e sua solu¸ c˜ ao geral conforme a Equa¸ c˜ ao (10) ´ e:

x(t) = c

e

√

ζ²−1)ωnt

+ c

e

√

ζ²−1)ωnt

. (18)

Para as condi¸ c˜ oes iniciais em que x(0) = x

e x

(0) = x

, substituindo na solu¸ c˜ ao geral encontrada e resolvendo o sistema formado, encontramos:

c

= x

+ x

ω

(ζ + p ζ

− 1) 2ω

p ζ

− 1 e c

= −x

− x

ω

(ζ − p ζ

− 1) 2ω

p ζ

− 1 , (19)

visto que as ra´ızes s

e s

s˜ ao ambas negativas, a Equa¸ c˜ ao (18) descreve um movimento aperi´ odico, que

para t → ∞, diminuir´ a at´ e zero.

2.2.2 Caso II: sistema criticamente amortecido

Para ζ = 1 as ra´ızes s˜ ao reais e iguais, que pela Equa¸ c˜ ao (11) sua solu¸ c˜ ao geral ´ e:

x(t) = c

e

+ c

te

, (20) aplicando as condi¸ c˜ oes inicias x(0) = x

e x

(0) = x

, obtemos:

c

= x

e c

= x

+ ω

x

. (21) A fun¸ c˜ ao do movimento desse sistema tamb´ em ´ e aperi´ odico, por´ em diferente do sistema superamorte- cido, a fun¸ c˜ ao tende a zero em um intervalo de tempo muito menor, sendo este o princ´ıpio b´ asico de funcionamento de um amortecedor.

2.2.3 Caso III: sistema subamortecido

Para ζ < 1, as ra´ızes s˜ ao complexas e distintas e a solu¸ c˜ ao geral possui a forma da Equa¸ c˜ ao (12), como:

x(t) = c

e

cos βt + c

e

sen βt x(t) = c

e

cos( p

1 − ζ

ω

t) + c

e

sen( p

1 − ζ

ω

t), (22) mas a express˜ ao acima pode ser reescrita em uma forma alternativa com a introdu¸ c˜ ao de uma nota¸ c˜ ao, fazendo:

c

= A sen φ e c

= A cos φ,

que utilizando a rela¸c˜ ao trigonom´ etrica do sen(φ+θ) = sen φ cos θ +sen θ cos φ, e substituindo na Equa¸c˜ ao (22) encontramos a solu¸c˜ ao geral na forma:

x(t) = e

(c

cos( p

1 − ζ

ω

t) + c

sen( p

1 − ζ

ω

t))

= Ae

(sen φ cos( p

1 − ζ

ω

t) + cos φ sen( p

1 − ζ

ω

t)) x(t) = Ae

sen( p

1 − ζ

ω

t + φ). (23)

Onde a frequˆ encia angular ω

= p

1 − ζ

ω

´ e denominado de frequˆ encia de vibra¸ c˜ ao amortecida. A constante A ´ e a amplitude de vibra¸ c˜ ao livre e φ ´ e o ˆ angulo de fase, que atrav´ es das rela¸ c˜ oes seguintes ´ e poss´ıvel encontrarmos seus valores:

A = q

c

+ c

e φ = tg

c

c

. (24)

Para as condi¸ c˜ oes iniciais x(0) = x

e x

(0) = x

, aplicados na solu¸ c˜ ao geral da Equa¸ c˜ ao (22) chegamos em:

c

= x

e c

= x

+ ζω

x

p 1 − ζ

ω

. (25)

Analisando a Equa¸ c˜ ao (23) percebemos que o movimento desse sistema ´ e oscilat´ orio, por´ em devido ao fator e

, sua amplitude diminui exponencialmente com o tempo, levando o sistema ` a posi¸ c˜ ao zero.

A Figura 2 mostra a diferen¸ ca do comportamento gr´ afico de cada caso que discutimos anteriormente.

Figura 2: Compara¸ c˜ ao entre os movimentos com tipos diferentes de amortecimento. [2]

Notamos que, somente ´ e poss´ıvel encontrar a solu¸ c˜ ao particular do sistema subamortecido se sou- bermos o fator de amortecimento ζ, entretanto, na pr´ atica seu valor ´ e desconhecido. Pensando nisso foram desenvolvidos v´ arios m´ etodos para determina¸ c˜ ao

desse fator, aqui discutiremos apenas o m´ etodo de decremento logar´ıtmico.

2Para mais informa¸c˜oes sobre os m´etodos de determina¸c˜ao do fator de amortecimento, recomendamos `a leitura de [5].

2.2.4 Decremento Logar´ ıtmico

O decremento logar´ıtmico representa a taxa de redu¸ c˜ ao da amplitude de uma vibra¸ c˜ ao livre amorte- cida, sendo definido como o logaritmo natural da raz˜ ao de duas amplitudes distintas [2]. Considerando t

e t

os instantes de tempo de duas amplitudes consecutivas com diferen¸ ca de i ciclos entre eles, onde i = 1, 2, 3, ... n´ umero inteiro, ent˜ ao t

= t

+ iτ

, e τ

= 2π/ω

´ e o per´ıodo de vibra¸ c˜ ao amortecida. A raz˜ ao das amplitudes ´ e expressa por:

x

x

= Ae

sen( p

1 − ζ

ω

t

+ φ) Ae

sen( p

1 − ζ

ω

t

+ φ) . (26)

Como consequˆ encia, sen ω

t

= sen ω

(t

+ i2π/ω

) = sen ω

t

. Substituindo na Equa¸ c˜ ao (26) e aplicando o logaritmo natural, temos:

x

x

= e

e

= e

ln

x

x

= iζω

τ

, fazendo λ =

1 i

ln

x

x

, reorganizando e isolando ζ, encontramos:

λ = ζ 2π

p 1 − ζ

ζ = λ

√ 4π

+ λ

(27)

3 Metodologia

Para comprovar o m´ etodo de resolu¸ c˜ ao de equa¸ c˜ oes diferenciais apresentado neste trabalho, utilizamos em nossa metodologia dois m´ etodos de an´ alise, s˜ ao eles: te´ orico e experimental. A an´ alise te´ orica consiste em encontrarmos a solu¸ c˜ ao de problemas te´ oricos e depois com o auxilio do software Excel plotar seus respectivos gr´ aficos.

Na an´ alise experimental, realizamos um experimento em laborat´ orio afim de constatar o fenˆ omeno e comparar o seu comportamento com a teoria vista. Para a realiza¸ c˜ ao do experimento foram necess´ arios os seguintes materiais: cˆ amera digital, suporte universal; barbante (fino e resistente); becker de 600 ml; 3 massas de 50 g; mola; r´ egua; adesivo de cor; 500 ml de ´ agua; 500 ml de detergente; e 500 ml de shampoo.

O aparato experimental deve ser montado conforme ilustrado na Figura 3. ´ E extremamente importante

Figura 3: Modelo do aparato experimental. (Autoria pr´ opria)

que o adesivo possua um contraste bem n´ıtido com o barbante e esteja fixo no meio dele, para facilitar a an´ alise do software.

Com o aparato experimental pronto, para a execu¸ c˜ ao do experimento realizamos uma perturba¸ c˜ ao

(distens˜ ao) no sistema massa-mola, e em seguida, uma grava¸ c˜ ao em v´ıdeo foi feita, para usarmos o software

Tracker e descrever o comportamento da posi¸ c˜ ao da massa em fun¸ c˜ ao do tempo. O experimento foi

executado trˆ es vezes seguidas, onde para as mesmas condi¸ c˜ oes inicias variamos o fluido de amortecimento

e com ele o fator de amortecimento para obtermos diferentes sistemas vibrat´ orios. Os fluidos utilizados

foram: ´ agua, detergente e shampoo.

3.1 Problemas Te´ oricos

Os problemas que vamos solucionar a seguir, constituem parte da an´ alise te´ orica e abordam os trˆ es casos de vibra¸ c˜ ao amortecida que foram vistos na teoria. Vejamos seus enunciados:

Problema 1: o cilindro de 1, 2 Kg est´ a preso a um amortecedor viscoso e ` a mola de rigidez k = 180 N/m. Se o cilindro ´ e liberado a partir do repouso, no instante t = 0, da posi¸ c˜ ao em que est´ a deslocado de uma distˆ ancia x = 150 mm em rela¸ c˜ ao a sua posi¸ c˜ ao de equil´ıbrio, trace um gr´ afico do deslocamento x em fun¸ c˜ ao do tempo para o caso em que c = 100 Kg/s. (Adaptado) [6]

Problema 2: o cano da arma de ca¸ ca tem massa de 1, 2 Kg e ´ e retornado para a posi¸ c˜ ao de tiro ap´ os o recuo de um recuperador de constante c = 29, 4 Kg/s. Determine (a) a constante k que deveria ser usada para o recuperador retornar o cano para a posi¸ c˜ ao de tiro no menor tempo poss´ıvel sem qualquer oscila¸ c˜ ao, (b) a equa¸ c˜ ao do movimento, sabendo que x

= 0, 15 m e v

= 0. (Adaptado) [7]

Problema 3: uma massa de 1, 2 Kg ´ e presa a uma mola de cuja constante ´ e 180 N/m e todo o sistema ´ e ent˜ ao submerso em um l´ıquido que oferece uma for¸ ca de amortecimento numericamente igual a 3 vezes a velocidade instantˆ anea. Determine a equa¸ c˜ ao do movimento, considerando que a massa ´ e solta do repouso do ponto 0, 15 m abaixo da posi¸ c˜ ao de equil´ıbrio. (Adaptado) [3]

3.2 Estrat´ egias de Resolu¸ c˜ ao

• Resolu¸ c˜ ao anal´ıtica diferencial do problemas te´ oricos;

• An´ alise Comportamental (experimento);

4 Resultados e Discuss˜ oes

A seguir apresentamos os resultados e discuss˜ oes aos problemas te´ oricos propostos e a an´ alise com- portamental em diferentes fluidos.

4.1 Problema 1

Para resolver esse problema, ´ e necess´ ario sabermos qual tipo de sistema amortecido estamos traba- lhando e assim saber qual equa¸ c˜ ao usarmos, para isso devemos calcular o valor do fator de amortecimento.

Substituindo a Equa¸ c˜ ao (16) em (17) e aplicando os dados do problema, temos:

ζ = 3, 4021

Como ζ > 1, conclu´ımos que o sistema ´ e superamortecido, agora para chegarmos na equa¸ c˜ ao de seu movimento precisamos encontrar as constantes c

e c

, que pela Equa¸ c˜ ao (19) obtemos:

c

= 0, 1535 m e c

= −0, 003466 m,

e substituindo tudo na Equa¸ c˜ ao (18) encontramos a equa¸ c˜ ao do seu movimento, como:

x(t) = 0, 1535e

− 0, 003466e

. O comportamento gr´ afico da fun¸ c˜ ao acima est´ a representado na Figura 4.

4.2 Problema 2

Para resolver a primeira parte deste problema, devemos observar que no pr´ oprio enunciado ficou claro que sistema deve retornar para posi¸ c˜ ao de equil´ıbrio no menor tempo poss´ıvel e o ´ unico sistema em que isso ocorre ´ e no sistema criticamente amortecido. Sabendo que ζ = 1, conclu´ımos que c = c

e pela Equa¸ c˜ ao (16) isolamos k e encontramos seu valor, como:

29, 4 = 2 · 1, 2 · s

k

1, 2 ∴ k ∼ = 180 N/m.

Na segunda parte devemos calcular os valores das constantes c

e c

atrav´ es da Equa¸ c˜ ao (21), obtendo assim:

c

= 0, 15 m e c

= 1, 8371 m/s, que substitu´ıdas na Equa¸ c˜ ao (20), encontramos a fun¸ c˜ ao do sistema:

x(t) = 0, 15e

+ 1, 8371te

.

O gr´ afico dessa fun¸ c˜ ao pode ser vista na Figura 4.

4.3 Problema 3

Para resolvermos o problema proposto devemos ter em mente qual sistema estamos trabalhando, para chegarmos a essa conclus˜ ao devemos calcular o fator de amortecimento. Segundo o enunciado a for¸ ca de amortecimento ´ e 3 vezes a velocidade instantˆ anea, logo pela Equa¸ c˜ ao (13) o coeficiente c = 3 Kg/s, ent˜ ao aplicando a Equa¸ c˜ ao (17) obtemos o seguinte resultado:

ζ = 0, 1021,

caracterizando assim um sistema subamortecido, pois ζ < 1. Agora precisamos calcular as constantes c

e c

que pela Equa¸c˜ ao (25), temos:

c

= 0, 15 m e c

= 0, 01540 m/s, e pela Equa¸ c˜ ao (24) a amplitude de vibra¸ c˜ ao livre e ˆ angulo de fase:

A = 0, 1508 m e φ = 1, 4685 rad.

Substituindo todos os parˆ ametros encontrados na Equa¸ c˜ ao (23), chegamos na equa¸ c˜ ao do movimento desse sistema:

x(t) = 0, 1508e

sen(12, 1834t + 1, 4685), e o gr´ afico dessa fun¸c˜ ao est´ a representado na Figura 4.

Figura 4: Comportamento gr´ afico dos problemas te´ oricos. (Autoria pr´ opria)

Como podemos notar na Figura 4, os gr´ aficos dos problemas te´ oricos apresentaram um comportamento semelhante ao esperado de acordo com a fundamenta¸ c˜ ao vista (ver Figura 2), com uma pequena diferen¸ ca no inicio de cada gr´ afico, que pode ser justificado pelas condi¸ c˜ oes inicias do problema em quest˜ ao. Os problemas foram escolhidos propositalmente para abordar os casos vistos na fundamenta¸ c˜ ao e assim poder v´ alidas o m´ etodo dos coeficientes constantes para resolver equa¸ c˜ oes diferenciais.

4.4 Experimento Comportamental

O Tracker ´ e um software freeware(gratuito) utilizado para videoan´ alise de fenˆ omenos f´ısicos, dentre suas funcionalidades destacam-se: coletar dados, criar gr´ aficos e gerar curvas de ajustes. Tudo isso ´ e poss´ıvel, a partir da an´ alise quadro a quadro realizada em v´ıdeo, sendo o v´ıdeo uma sequˆ encia de imagens denominadas de frames. Na Figura 5, temos o resultado de uma videoan´ alise em diferentes fluidos.

Podemos concluir que o sistema massa-mola quando imerso em diferentes fluidos, o seu fator de

amortecimento ´ e alterado. Por exemplo, ´ e o caso da ´ agua e o detergente, que embora possuam o mesmo

sistema subamortecido o fator de amortecimento deles s˜ ao diferentes, por esse motivo no detergente o

sistema oscilou menos. No shampoo, o sistema oscilou uma ´ unica vez, e como o intervalo de tempo em

que ocorreu foi muito pequeno, podemos afirmar que esse sistema possui o comportamento esperado de

um sistema criticamente amortecido.

Figura 5: Dados obtidos pelo Tracker do sistema massa-mola em diferentes fluidos. (Autoria pr´ opria)

4.5 Considera¸ c˜ oes Finais

Este trabalho explorou parte da teoria matem´ atica das equa¸ c˜ oes diferenciais, com ˆ enfase na teoria relacionada para descrever a vibra¸c˜ ao livre de um sistema massa-mola com amortecimento viscoso. Todos os objetivos delimitados foram alcan¸ cados, onde o m´ etodo dos coeficientes constantes mostrou-se eficaz e os gr´ aficos obtidos dos problemas propostos s˜ ao acurados ` a aqueles vistos na fundamenta¸ c˜ ao. A limita¸ c˜ ao encontrada neste estudo diz respeito a videoan´ alise do comportamento do sistema, isso porque embora todos os procedimentos descrito na metodologia tenham sidos executados corretamente, os gr´ aficos for- necidos pelo software n˜ ao s˜ ao iguais aos vistos em teoria devido a diversos erros inerentes ao experimento e que na an´ alise ideal n˜ ao s˜ ao considerados, contudo, o comportamento geral est´ a de acordo com os fenˆ omenos estudados. ´ E compreens´ıvel que o software ´ e um ferramenta que nos fornece dados estimados do que se quer analisar, portanto, os seus gr´ aficos n˜ ao coincidem como na teoria, mas nos fornece uma boa compreens˜ ao do fenˆ omeno.

Referˆ encias

[1] NAGLE, R. Kent; SAFF, Edward B.; SNIDER, Arthur David. Equa¸ c˜ oes Diferenciais. 8. ed. S˜ ao Paulo: Pearson, 2012. 562p. Tradu¸ c˜ ao de: Daniel Vieira.

[2] RAO, Singiresu S.. Vibra¸ c˜ oes Mecˆ anicas. 4. ed. S˜ ao Paulo: Pearson, 2008. 424p. Tradu¸ c˜ ao de:

Arlete Simille.

[3] ZILL, Dennis G.. Equa¸ c˜ oes diferenciais com aplica¸ c˜ oes em modelagem. 10. ed. S˜ ao Paulo:

Cengage Learning, 2016. 437p. Tradu¸ c˜ ao de: M´ arcio Koji Umezawa.

[4] BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C.. Equa¸ c˜ oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 604p. Tradu¸ c˜ ao de: Val´ eria de Magalh˜ aes I´ orio.

[5] GARBIN, Nayane L. S.. Estudos de t´ ecnicas para a determina¸ c˜ ao da matriz de amorteci- mento em sistemas estruturais. 2016. 61 f. TCC (Gradua¸ c˜ ao) - Curso de Engenharia Mecˆ anica, Departamento Acadˆ emico de Engenharia Mecˆ anica, Universidade Tecnol´ ogica Federal do Paran´ a, Pato Branco, 2015.

[6] MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G.. Mecˆ anica para engenharia: Dinˆ amica. 6. ed. Rio de Janeiro:

LTC, 2009. 520p. Tradu¸ c˜ ao de: Jos´ e Lu´ıs Lopes da Silveira.

[7] BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; CORNWELL, Phillip J.. Mecˆ anica vetorial para

engenheiros: Dinˆ amica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012. 753p. Tradu¸ c˜ ao de: Antˆ onio Eust´ aquio

de Melo Pertence.