Estudo da Concentra¸c˜ ao da Polui¸c˜ ao do Ar com Parˆ ametro Fuzzy
Jennifer Cristina Borges1
Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas, UNESP, S˜ao Jos´e do Rio Preto, SP
Rosana Sueli da Motta Jafelice2
Faculdade de Matem´atica, UFU, Uberlˆandia, MG
Luiz Antˆonio de Oliveira3
Instituto de Geografia, UFU, Uberlˆandia, MG
Ana Maria Amarillo Bertone4
Faculdade de Matem´atica, UFU, Uberlˆandia, MG
Resumo. O objetivo deste trabalho ´e modelar matematicamente uma fonte de polui¸c˜ao, que consideramos como sendo a chamin´e de uma ind´ustria, que contamina a atmosfera com uma nuvem de polui¸c˜ao que se espalha pela cidade de Uberlˆandia. Modelamos o problema considerando uma equa¸c˜ao diferencial parcial advectiva-difusiva em um dom´ınio irregular, no caso o mapa de Uberlˆandia, com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet homogˆenea e os parˆametros difus˜ao e velocidades s˜ao calculados atrav´es de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRF). As vari´aveis de entrada do SBRF para a, vari´avel de sa´ıda, difus˜ao s˜ao:
temperatura e concentra¸c˜ao de poluentes. A vari´avel de entrada dos SBRF que tem como vari´aveis de sa´ıda, as velocidades na dire¸c˜aoxey, ´e a for¸ca de atrito causada por barreiras, como por exemplo: edif´ıcios, vegeta¸c˜ao e outros. Utilizamos dados reais de temperatura, varia¸c˜oes de concentra¸c˜ao de poluentes e varia¸c˜oes das velocidades na dire¸c˜ao x e y da cidade de Uberlˆandia, esses dados s˜ao importantes na obten¸c˜ao dos SBRF utilizados para calcular os parˆametros da equa¸c˜ao. A equa¸c˜ao ´e resolvida atrav´es de aproxima¸c˜oes num´ericas via M´etodo de Elementos Finitos e o M´etodo de Cranck-Nicolson para a discretiza¸c˜ao no tempo. Atrav´es dessa modelagem ´e poss´ıvel verificar qual ´e a melhor localiza¸c˜ao de um
“polo industrial” em Uberlˆandia, nos pontos estudados.
Palavras-chave. Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais; Sistema Baseado em Regras Fuzzy; Con- centra¸c˜ao de Poluentes; Dados de Sat´elite; M´etodo de Elementos Finitos.
1 Introdu¸ c˜ ao
O prop´osito do estudo ´e modelar na cidade de Uberlˆandia uma fonte de polui¸c˜ao que consideramos como sendo uma chamin´e de uma ind´ustria que contamina a atmosfera com uma nuvem de polui¸c˜ao que se espalha por toda a cidade em uma malha irregular.
Consideramos, tamb´em, a presen¸ca de um vento regional, e a possibilidade de um decaimento de aeross´ois poluentes por conta do assentamento das part´ıculas. Como es- tamos considerando um certo vento regional, podemos tomar a velocidade como sendo v = (v1, v2). Vamos construir um modelo evolutivo para descrever esta situa¸c˜ao e pro- gramar um c´odigo num´erico de modo que possamos obter aproxima¸c˜oes da evolu¸c˜ao do
1jennifercristina6@hotmail.com
2rmotta@ufu.br
3luiz.oliveira@ufu.br
4amabertone@ufu.br
quadro de impacto num determinado per´ıodo de tempo. Esse trabalho difere do problema desenvolvido por [5] e [6], que realiza o estudo em uma cidade hip´otetica retangular com parˆametro fuzzy apenas na difus˜ao; nesta abordagem utilizamos dados reais de tempera- tura, informa¸c˜oes da difus˜ao e das velocidades de Uberlˆandia, em malha compat´ıvel com o mapa da cidade.
Assim, com a inten¸c˜ao de tornar este estudo mais pr´oximo da realidade, considera- mos a fronteira do dom´ınio como sendo o contorno da cidade de Uberlˆandia e utilizamos dados reais de temperatura obtidos pelo sat´elite Landsat-8. Inicialmente, obtemos a apro- xima¸c˜ao da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao determin´ıstica atrav´es do M´etodo dos Elementos Finitos (MEF) e do M´etodo de Cranck-Nicolson. Em seguida, incorporamos SBRF para levar em considera¸c˜ao fatores reais que influenciam a difus˜ao de poluentes e as velocidades. Inicial- mente, definimos conjunto fuzzy. Dado um conjuntoX universo definimos como conjunto A fuzzy pela sua fun¸c˜ao de pertinˆencia µA(x) ∈ [0,1]. Em [1], comenta os detalhes das quatro componentes da estrutura do SBRF que s˜ao: fuzzifica¸c˜ao, base de regras, m´etodo de inferˆencia e defuzzifica¸c˜ao.
Na pr´oxima se¸c˜ao apresentamos alguns componentes que interferem na concentra¸c˜ao de poluentes do ar.
2 Fatores que Influenciam a Concentra¸ c˜ ao de Poluentes do Ar em Uberlˆ andia
Nesta se¸c˜ao estudamos os fatores que influenciam os parˆametros fuzzy com a cola- bora¸c˜ao de um especialista na ´area de climatologia. Para determinar a concentra¸c˜ao de poluentes do ar em Uberlˆandia, precisamos de 896 valores de temperatura da cidade, que ´e o n´umero de n´os da malha. Assim, utilizamos imagens de sat´elite adquiridas no portal eletrˆonico do centro de sensoriamento remoto do Servi¸co Geol´ogico dos Estados Unidos (USGS) para obtermos tais temperaturas. Optamos por manipular as imagens no mˆes de junho e setembro por apresentar uma diferen¸ca expressiva de temperaturas.
Utilizamos valores de temperatura aparente de superf´ıcie do Thermal Infrared Sensor (TIRS)/Landsat-8, banda 10, para os meses de junho e setembro de 2014. Apresentamos duas imagens de sat´elite do Landsat-8, ambas da banda 10 (infravermelho termal) e de faixa espectral (10,6-11,9 µm) [4].
A imagem apresentada na Figura 1 foi coletada pelo sat´elite com passagem em 14 de ju- nho de 2014 `as 10:15min:12s. Todos os processamentos de corre¸c˜ao e convers˜ao de imagens foram realizados no software Envi 4.7 e no ArcGis 10.1 com a colabora¸c˜ao do especialista na ´area (para maiores detalhes ver [1]). Posteriormente, para um melhor detalhamento dos dados, definiu-se classes (intervalos) de temperatura de superf´ıcie, ap´os todo os pro- cessamentos e convers˜oes obtemos a Figura 2 que apresenta o mapa de Uberlˆandia com as temperaturas do mˆes de junho, e a seguinte escala: 1cm ´e equivalente a 1,5km. Esse mesmo processo foi utilizado para gerar o mapa de Uberlˆandia com as temperaturas no mˆes de setembro. O terceiro autor, coordenador do Laborat´orio de Climatologia da Uni- versidade Federal de Uberlˆandia, organizou e forneceu essas figuras obtidas pelo software ArcGis 10.1.
Figura 1: Imagem do sat´elite do mˆes de junho processada no Envi 4.7.
Figura 2: Imagem do mapa de Uberlˆandia com as temperaturas no mˆes de junho.
Na Figura 3 ´e representada a malha discretizada utilizada para a aproxima¸c˜ao num´erica da equa¸c˜ao (1). Essa malha foi obtida utilizando o contorno em vermelho apresentado na Figura 2, que geramos no software livre GMSH [3] juntamente com o software Matlab, e a partir da´ı, obtemos a malha triangularizada para a aplica¸c˜ao do MEF.
100 200 300 400 500 600 700
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1 2
3 4
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12 13 14
15
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20 21
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24 25
26 27 28 29 30
31 33 32
34 35
36 37 38 39 40 41 42 43
44
45 46 47
48
49 50
51
52 53
54 55
56 57 58
59
60 61
62
6364 65 66
67 68
6970 71 7273
74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84
85 86
87
88
89
90
91
92 93
94
95
96
97 98
99 100 101
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104
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107 108
109
110
111 112
113 114
115
116 117
118 119
120
121 122
123 124
125 126
127
128
130 129 131
132
133
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135
136 137
138 139 140
141 142
143
144
145 146
147 148
149 150
151
152
153 154
155 156
157 158
159 160
161 162 163
164
165 166 167
168
169 170
171
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174
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177
178 179180
181
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184
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190 191 192
193 194
195 196
197 198 199
200
202 201 203
204 205
206 207
208 209 210
211
212 213
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216
217
218 219 220
221
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225
226 227
228 229
230 231 232
233 234
235 236 237
238 239
240
241
242
243 244
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246 247 249248
250 251
252 253 254 255 256 257 258 259
260 261
262 263
264265 266267 268 269270271
272 273
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276277278 279 280 281
282 283284285286 287 288 289 290
291292 293294295 296297
298 299
300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 311310 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 325324 326 327 328 329
330
331 332 333 334 335 336 337
338 339
340 341
343342 344 345
346 347 348
349
350351 352 353 354 355
356 357358 359 360 362361
363364 365
366
367368 369 370
371
372 373 374 375 376 377
378 379380 381 382
383
384 385
386
387
388389 390
391 392393 394
395
396 397398
399 400 401 402 403404
405 406
407 408 409
410 411 412
413 414 415 417 416 418
419 420
421
422
423 424 425 426
427 428
429
430 431
432 433 434
435 436 437
438439 440
441 442 443 444
445 446 447
448
449 450 451
452 453
454 455
456 457
458 459
461460 462 463 464 465 466 467 468
469 471470
472 473 474 475 476 477478
479 480 481
482 483
484 485
486 487
488 489
490 491
492 493 494
495 496
497 498
499 500
501 502 503 504
505
506507 508 509 510
511
512 513 514
515 516 517 518
519 520 521
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523 524 525
526 527
528 529 530
531
532533 534 535 536
537 538 539 540
541542 543 544
545 546
547 548 549
550 551
552 553 554
556555
557 558
559 560
561 562 563 564
565 566
567
568 569 570 571 572 573
574 575 576
577 578
579 580 581
582 583
584 585 586
587 588 589590
591 592
594593 595 596
597598 599
600 601
602 603
604605 606
607608 609 610 611 612
613
614 615 616 617
618 619
620
621 622
623
624 625
626 627 628
629 630 631
632 633 634
635 636 637
638 639
640 641
642
643 644
645
646 647
648 649
650 651 652 653
654 655 656 657 658 659
660 661 662
663
664 665
666 667 668
669 670 671
672 673
674 675 676
677 678 679
680
681 682 683
684 685
686 687
688 689
690 691 692
693 694 695
696697 698
699700 701 702
704703
705 706
707 708709 710
711 712
713
714 715 716
717 718 719
720 721 723722 725724 726
727 728 729 730
731 732 733 734 735 736 737 738 739
740 741742 743744
745746 747 748 749
750 751
752 754753 755 756 757758 759 760
761 762 763
765766764 767768
769770 771 772 773 774 775776
777 778779
780
781782 783 784785
787786 789788
790
792 791 793 794
795 796
797 798
799 801 800
802 803
804
805 806 807 808 809 810 811
812 813
814 815
816 817 818
819
820 822821
823 824 825 826
827 829 828
831832830 833 834 835 837838836
839 840 841842
843 844
845 846 847 848 849
850 851852 853
854
855856 857858 859 860
861 862863 864 865 866
867868 869870 871
872873 874875 876
877878 879
880 881
882 883
884 885 886
887
888 889
890 891 892 893 894 895 896
Figura 3: Mapa de Uberlˆandia discretizado.
Para relacionar cadan´o da malha da Figura 3 com o mapa das temperaturas Figura 2, foi necess´ario sobrepor estas e fazer a intersec¸c˜ao para criar os 896n´os na Figura 2. Assim, temos o valor da temperatura em cada n´o da malha. Para o mˆes de setembro fizemos de maneira an´aloga. As temperaturas m´ınima, m´edia e m´axima para o mˆes de junho s˜ao 14.5oC, 23.39oC, 27.5oC, respectivamente. As temperaturas m´ınima, m´edia e m´axima para o mˆes de setembro s˜ao 23.5oC, 33.19oC, 37.5oC, respectivamente.
De [2], temos que a varia¸c˜ao da concentra¸c˜ao M P10 (part´ıculas com diˆametro aero- dinˆamico inferior a 10 µm) ´e 0−300µm, medida no centro de Uberlˆandia em 2003. A classe de velocidades de vento predominante no ano de 2012 foi de 0.5−2m/s (varia¸c˜ao da resultante da velocidade).
3 Modelo Determin´ıstico para a Polui¸ c˜ ao do Ar
A equa¸c˜ao que descreve o fenˆomeno abordado no problema ´e dada por:
∂u
∂t −α ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2
+v1
∂u
∂x+v2
∂u
∂y +σu=f (x, y)∈Ω, t∈(0, T]
u= 0 em ∂Ω
u(x, y,0) =u0(x, y)
(1)
ondeu(x, y, t) ´e a concentra¸c˜ao de poluentes no instantet,αrepresenta a difus˜ao na regi˜ao, v1 ev2 s˜ao a velocidade de transporte (que ocorrer´a nos eixosx ey, respectivamente), oσ representa o decaimento e of representa a fonte de poluentes (no nosso caso, a chamin´e).
A fun¸c˜ao f ´e definida como:
f(x, y, t) = 0, ∀(x, y)6= (xi, yi) para algum i∈ {1,· · · ,896} e f(xi, yi, t) =d, ∀t∈N.
Vamos considerar as condi¸c˜oes de contorno u = 0, isto ´e, assumindo que a cidade de Uberlˆandia seja grande o suficiente, que a concentra¸c˜ao de poluentes na fronteira seja igual a zero [4]. A aproxima¸c˜ao num´erica da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) ´e obtida com σ = 0.001, α= 0.8,v1 = 0.02m/s2,v2= 0.001m/s2, o valor da fonte ´ed= 0.002 e a condi¸c˜ao inicial
´e dada por:
u0(x, y) = 0, ∀(x, y)6= (xi, yi) para algumi∈ {1,· · · ,896} e u0(xi, yi) =d.
Na Figura 4 ´e apresentado o gr´afico da concentra¸c˜ao dos poluentes na primeira itera¸c˜ao. Na Figura 5 ´e apresentado o gr´afico da concentra¸c˜ao de poluentes non´o 644 para 100 itera¸c˜oes.
Observe que independente do n´o que colocamos a fonte de poluentes, obtemos a mesma concentra¸c˜ao de poluentes, pois consideramos os parˆametros α,v1,v2 e σ constantes.
Figura 4: Concentra¸c˜ao de poluentes no ar no in´ıcio do processo.
0 20 40 60 80 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10−4
Tempo (t)
Concentração de Poluentes
Figura 5: Concentra¸c˜ao de poluentes em cada itera¸c˜ao non´o 644.
4 Modelo Fuzzy para a Polui¸ c˜ ao no Ar
Na equa¸c˜ao (1), incorporamos a difus˜ao, velocidade no eixo x e y como parˆametros fuzzy, e lembrando que em (1) o dom´ınio considerado ´e a cidade de Uberlˆandia. Assim, a equa¸c˜ao do modelo se apresenta da forma:
∂u
∂t −α(T, u) ∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2
+v1(A)∂u
∂x+v2(A)∂u
∂y +σu=f (x, y)∈Ω, t∈(0, T]
u= 0 em∂Ω
u(x, y,0) =u0(x, y).
(2)
Note que, neste caso esses parˆametros s˜ao calculados em fun¸c˜ao de algumas carac- ter´ısticas da posi¸c˜ao da malha atrav´es de um SBRF, sendo o valor da fonte d = 100.
Vamos utilizar a temperatura (T) e a concentra¸c˜ao de polui¸c˜ao (u) de cada ponto da ci- dade (malha) como fatores que influenciam na difus˜aoα. Tamb´em, consideramos a for¸ca de atrito (A) como vari´avel que influencia nas velocidades. Assim, utilizamos os SBRF apresentados na subsec¸c˜ao 4.1, para obtermos os diferentes valores deα,v1 ev2 um para cada ponto do dom´ınio discretizado, onde acontece a difus˜ao.
A fun¸c˜aof ´e definida como:
f(x, y, t) = 0, ∀(x, y)6= (xi, yi) para algum i∈ {1,· · · ,896} e
f(xi, yi, t) =
d, set <˜t 0, set≥˜t, d >0.
Na simula¸c˜ao consideramos a condi¸c˜ao inicial dada por:
u0(x, y) = 0, ∀(x, y)6= (xi, yi) para algumi∈ {1,· · · ,896} e u0(xi, yi) =d.
O valor de ˜t = 5 representa o tempo de funcionamento da ind´ustria. Consideramos que a ind´ustria emite poluentes no per´ıodo matutino, pois a passagem do sat´elite ´e nesse per´ıodo. Estamos considerando que cada itera¸c˜ao representa uma hora, desta forma, a ind´ustria emite poluentes por cinco horas. Podemos observar que a equa¸c˜ao (2) n˜ao ´e linear, pois precisamos determinar a difus˜ao da polui¸c˜ao no presente instante afim de encontrar a solu¸c˜ao em cada tempo posterior. Assim utilizamos o c´alculo da extrapola¸c˜ao da concentra¸c˜ao da polui¸c˜ao feita poruext= 2ui+1−ui, i= 1,2, . . ., obtendo a concentra¸c˜ao no presente instante e determinamos a difus˜ao pelo SBRF. Logo a aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao num´erica da equa¸c˜ao (2) ´e obtida utilizando o MEF e o m´etodo de Crank-Nicolson, e os parˆametros fuzzy α,v1 ev2.
4.1 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy
Nesta subse¸c˜ao apresentamos os SBRF que s˜ao utilizados para obter os parˆametros fuzzy da equa¸c˜ao diferencial parcial advectiva-difusiva (2).
A difus˜ao depende da temperatura e da concentra¸c˜ao de poluentes. Utilizamos as varia¸c˜oes da temperatura e da concentra¸c˜ao deM P10 j´a apresentadas no se¸c˜ao 2. Consi- deramos o dom´ınio da temperatura [14.5,37.5], sendo do valor m´ınimo ao valor m´aximo das temperaturas nos meses de junho e setembro. A outra vari´avel de entrada, concentra¸c˜ao de poluentes apresenta o dom´ınio [0,300]. As fun¸c˜oes de pertinˆencia s˜ao triangulares e trapezoidais. A vari´avel lingu´ıstica de sa´ıda, difus˜ao da polui¸c˜ao (α) consideramos o dom´ınio [0,1] e as fun¸c˜oes de pertinˆencia s˜ao triangulares. Cada vari´avel lingu´ıstica tem trˆes termos lingu´ısticos. Assim, o SBRF tem nove regras fuzzy, apresentamos uma regra:
• Se a temperatura ´e ´e alta e a concentra¸c˜ao de poluentes ´e m´edia ent˜ao a difus˜ao ´e alta.
O m´etodo de inferˆencia ´e o m´etodo de Mamdani e o m´etodo de defuzzifica¸c˜ao ´e o Centro de Gravidade.
As velocidades dependem da for¸ca de atrito. Para obter a varia¸c˜ao das velocidades na dire¸c˜ao x e y utilizamos [2] j´a mencionado na se¸c˜ao 2, ou seja, a varia¸c˜ao da resul- tante da velocidade est´a entre 0.5 e 2m/s. Como os valores fornecidos s˜ao referentes `a resultante da velocidade e estamos trabalhando com as componentes xe y da velocidade, devemos determinar as varia¸c˜oes das componentes. Consideramos no SBRF a velocidade na dire¸c˜ao do eixox variando de 0 a 0.5m/s e a velocidade na dire¸c˜ao do eixoy variando de 0 a 0.01m/s, ou seja, a resultante ´e igual 0.5m/s, quando as componentes s˜ao 0.01m/s e 0.5m/s. A vari´avel lingu´ıstica de entrada parav1 e v2 ´e a for¸ca de atrito, com dom´ınio [0,1]. As fun¸c˜oes de pertinˆencia s˜ao trapezoidais. A vari´avel lingu´ıstica de sa´ıdav1 (Velo- cidade na dire¸c˜ao x, com dom´ınio [0,0.5]. No outro SBRF tem como vari´avel de sa´ıda v2
(Velocidade na dire¸c˜ao y) com dom´ınio [0,0.01]. As fun¸c˜oes de pertinˆencia para v1 e v2
s˜ao trapezoidais.
Como temos as temperaturas em cada n´o da malha, precisamos do valor do atrito em cada n´o. Devido `a dificuldade de obter barreiras nos pontos da cidade, optamos por utilizar uma distribui¸c˜ao randˆomica entre 0 e 1, para o valor do atrito em cada n´o da malha.
Uma das regras fuzzy baseada no conhecimento do especialista na ´area ´e a seguinte:
• Se a for¸ca de atrito ´ealta ent˜ao as velocidades v1 ev2 s˜ao baixas.
Consideramos a cidade de Uberlˆandia dividida em 5 regi˜oes como mostra a Figura 6, escolhemos um n´o em cada regi˜ao para estudarmos a concentra¸c˜ao de poluentes nessas regi˜oes. Os n´os escolhidos foram:
• n´o 130: Regi˜ao Sul (Proximidades do bairro Shooping Park e da Faculdade UNITRI);
• n´o 159: Regi˜ao Leste (Proximidades do Par- que do Sabi´a);
• n´o 512: Regi˜ao Oeste (Imedia¸c˜oes do bairro Jardim Europa);
• n´o 644: Regi˜ao Central(Centro da cidade);
• n´o 696: Regi˜ao Norte (Proximidades do Dis-
trito Industrial). Figura 6: Regionaliza¸c˜ao de Uberlˆandia.
Os gr´aficos das Figuras 7 e 8 apresentam a concentra¸c˜ao de poluentes ap´os 8 itera¸c˜oes nosn´os 644, 130, 159, 512 e 696. As simula¸c˜oes foram feitas nesses cincon´os para identi- ficar qual seria a melhor localiza¸c˜ao para se construir outras ind´ustrias. Esta identifica¸c˜ao
´e realizada verificando-se onde a concentra¸c˜ao de poluentes assume o menor valor. Ob- serve que os gr´aficos das figuras mostram que a concentra¸c˜ao de poluentes aumenta at´e a itera¸c˜ao 5, mostrando que a ind´ustria est´a emitindo poluente. Nas itera¸c˜oes seguintes, a concentra¸c˜ao de poluentes diminui a cada itera¸c˜ao. Este comportamento ´e compat´ıvel com o esperado. Na Figura 9 ´e apresentada a diferen¸ca de concentra¸c˜ao de poluentes entres os meses de junho e setembro em cada n´o e atrav´es dessa figura nota-se que a regi˜ao mais adequada para a constru¸c˜ao de outras ind´ustrias ´e pr´oximo don´o 644.
1 2 3 4 5 6 7 8 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tempo (t)
Concentração de Poluentes
Nó 644 Nó 130 Nó 159 Nó 512 Nó 696
Figura 7: Concentra¸c˜ao de poluentes no ar em cada n´o, no mˆes de junho.
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Tempo (t)
Concentração de Poluentes
Nó 644 Nó 130 Nó 159 Nó 512 Nó 696
Figura 8: Concentra¸c˜ao de poluentes no ar em cada n´o, no mˆes de setembro.
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Tempo (t)
Diferença de Concentração de Poluentes
Nó 644 Nó 130 Nó 159 Nó 512 Nó 696
Figura 9: Diferen¸ca de con- centra¸c˜ao de poluentes dos meses em cada n´o.
5 Conclus˜ oes
Como on´o 644 est´a localizado na regi˜ao central da cidade, pela l´ogica n˜ao seria vi´avel construir uma ind´ustria neste local, assim devemos observar o n´o que teria a segunda menor concentra¸c˜ao. Logo, a melhor localiza¸c˜ao seria no n´o 159 que est´a localizado na regi˜ao leste da cidade. Portanto conclu´ımos que a melhor localiza¸c˜ao para se construir outras ind´ustrias na cidade de Uberlˆandia seria na regi˜ao Leste da cidade, considerando os n´os estudados. No modelo determin´ıstico a concentra¸c˜ao de poluentes ´e a mesma em qualquer ponto da cidade, pois n˜ao ´e levado em conta fatores importantes que influenciam a dispers˜ao e a velocidade dos poluentes. Assim, acreditamos que, devido `a incerteza dos fenˆomenos naturais, a combina¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais e a teoria da l´ogica fuzzy nos permite retratar o fenˆomeno estudado mais pr´oximo da realidade poss´ıvel.
Agradecimentos
A primeira autora agradece `a CAPES pela bolsa de doutorado e a segunda autora agradece `a bolsa da Capes/Est´agio Sˆenior/Processo no 88881.119095/2016-01.
Referˆ encias
[1] J. C. Borges, Estudo da Concentra¸c˜ao da Polui¸c˜ao do Ar com Parˆametro Fuzzy em Uberlˆandia, Disserta¸c˜ao de Mestrado, UFU, 2016.
[2] M. V. O. Fernandes, Simula¸c˜ao da Concentra¸c˜ao de Material Particulado Inal´avel de Origem Veicular em uma Interse¸c˜ao Sinalizada de Uberlˆandia-MG, Disserta¸cao de mestrado em Engenharia Qu´ımica, UFU, 2013.
[3] Gmsh: a three finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities. http://geuz.org/gmsh/. Acesso: 28 de janeiro, 2015.
[4] S. A. Marciel e L. A. Oliveira, Avalia¸c˜ao do valores gerados de temperatura de su- perf´ıcie dos sensores TIRs do sat´elite Landsat 8 aplicados ao per´ımetro urbano do munic´ıpio de Uberlˆandia-MG,AMBI ˆENCIA, 12(3): 821-830, 2016.
[5] C. C. Oliveira, P. H. Mello, R. S. M. Jafelice and J.F. Meyer, A Model of Dispersion of Pollutants in the Air using Fuzzy Parameters, In International Symposium on Mathematical and Computational Biology, Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2010.
[6] D. S. Oliveira, Aplica¸c˜oes de Equa¸c˜oes Diferenciais com Parˆametro Fuzzy, Monografia, UFU, 2011.
