XI Simpósio de Mecânica Computacional
II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional Juiz De Fora, MG, 28-30 de Maio De 2014
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE HELMHOLTZ COM O MÉTODO
DOS ELEMENTOS DE CONTORNO USANDO A TÉCNICA DE
INTERPOLAÇÃO DIRETA COM FUNÇÕES DE BASE RADIAL
Carlos Friedrich Loeffler Pedro Vinicius Moreira Pereira Hercules de Melo Barcelos
carlosloeffler@bol.com.br, pedrovinicius012@gmail.com, engercules@gmail.com Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, UFES
Universidade Federal do Espirito Santo – Av. Fernando Ferrari, 540 – Bairro Goiabeiras – 29075 – 910, Vitoria, ES – Brasil
1 INTRODUÇÃO
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) tem excelente desempenho nas aplicações onde o campo de variáveis é escalar e estacionário, casos estes nos quais os operadores que caracterizam matematicamente a equação de governo são auto-adjuntos (Brebbia et. al., 1984). No entanto, muitos problemas de interesse prático não se expressam em termos de equações cujos operadores diferenciais possuem tal propriedade ou, então, a forma integral inversa associada é demasiadamente complicada.
Um significativo esforço de pesquisa no contexto do MEC visou sua flexibilização matemática, através da geração de formulações alternativas baseadas no emprego de funções auxiliares e procedimentos de interpolação. Nesse sentido, a primeira grande contribuição veio com a formulação com Dupla Reciprocidade (FDR) que permitiu a simulação acessível de casos transientes, problemas de valor característico, resposta dinâmica e aqueles caracterizados por fontes ou ações de domínio, anteriormente resolvidos de modo custoso e relativamente complexo. Isto foi conseguido graças ao emprego de algumas estratégias interessantes, entre as quais está a introdução de uma sequência de funções de interpolação com funções de base radial (Buhmann, 2003), em substituição a uma variável primal do modelo, a partir da qual se elege uma função primitiva que permite a aplicação dos recursos da integração por partes e Teorema da Divergência (Brebbia & Walker, 1980).
Não obstante os resultados satisfatórios, esta formulação esbarra na enorme dimensão das matrizes exigidas nestas simulações e em certas imprecisões numéricas no processamento dos esquemas incrementais de avanço no tempo.
Modernamente, com o desenvolvimento intensivo de novas técnicas de aproximação envolvendo multivariáveis, novas classes de funções de base radial foram testadas e aplicadas com êxito (Wang, 2002; Wendland 1991), em problemas de interpolação, ajuste de curvas e solução de equações diferenciais parciais, particularmente com as formulações sem malha do Método dos elementos Finitos. Este mesmo esforço tem sido aplicado no aprimoramento do MEC, visando a melhor solução de problemas matematicamente não homogêneos, como no caso das Equações de Poisson, da acústica e da condução de calor transiente. Também sumamente importantes são os problemas fisicamente não homogêneos, como os que se apresentam na análise sísmica.
2 OBJETIVO
3 FORMULAÇÃO
Considera-se a Equação de Helmholtz em sua forma integral inversa (Brebbia & Walker, 1980), dada por:
d ) X ; ( * u ) X ( u w c 1 d ) X ; ( * u ) X ( q d ) X ; ( * q ) X ( u ) ( u ) ( c 2 2n (1)Na Eq. (1), u(X) é o potencial escalar e q(X) sua derivada normal; reciprocamente, u*(ξ,X) é a solução fundamental e q* (ξ,X) é sua derivada normal; wn são as freqüências naturais associadas. O coeficiente c(ξ) depende do posicionamento do ponto com relação ao domínio físico Ω(X) e, no caso de ser localizado no contorno Γ(X), também da suavidade deste (Brebbia et al.,1984).
Na presente formulação, o núcleo completo da integral de domínio é interpolado por funções de base radial diretamente, de acordo com a Eq. (2):
X) ; (X F α X) ; ( * u(X)u ξ i i i (2)
Como as funções de interpolação Fi utilizadas pertencem a classe das funções radiais, seu argumento é composto pela distância Euclidiana r(Xi, X), que caracteriza o posicionamento relativo entre os pontos base Xi e os pontos genéricos do domínio X. Após o processo de discretização, estes pontos X gerarão os pontos nodais em que o potencial u(X) é calculado. Para cada ponto fonte ξ, a interpolação dada pela Eq. (1) corresponde a uma varredura de todos os pontos base Xi em relação aos pontos X do domínio, ponderada pelos coeficientes ξαi. A quantidade de pontos base Xi deve ser igual aos dos valores discretos em X. Assim, os
coeficientes de ξαi podem ser obtidos através da solução do sistema de equações algébricas. O detalhamento deste procedimento é dado a seguir. Primeiramente, a partir da sentença básica de interpolação, dada pela Eq. (3):
u
[F]α (3)
Pode-se escrever para cada valor do ponto fonte ξ:
[ Λ][F] Λ]u
[ξ ξ (4)
Esta mesma expressão poderia ser escrita diretamente como:
]u [ α]
[F][ (5)
Igualando estas expressões:
α] [F][ ] ][F][
Λ][u] [ [F] Λ][F]α [ [F] α] [ξ 1 ξ 1 ξ (7)
Nesta formulação, uma vez que a solução fundamental também compõe o núcleo a ser interpolado, o ponto fonte ξ deve ter posição diferente daquela dos futuros pontos nodais. São usados aqui elementos de contorno lineares, de forma que os valores de u(X) são tomados inicialmente centrados no elemento e depois são interpolados.
Similarmente à FDR, o método proposto também usa uma função de interpolação primitiva Ψj, tal que a integral do termo fonte exposta na Eq. 2 fica:
d ) X ( d )) X ( n ) X ( ( d )) X ( ( d ) X ; X ( Fi i j ,jii j ,ji i j j i (8) A expressão anterior foi testada com êxito em aplicações preliminares consistindo no cálculo de volumes e valor de imagem de funções, além de simulações com o MEC resolvendo problemas de Poisson.Então, considerando a Eq. 8, a equação integral de governo passa a ser expressa por:
] d ) X ( [ w c 1 d ) X ; ( * u ) X ( q d ) X ; ( * q ) X ( u ) ( u ) ( c
2 n2 j
j (9) Com a discretização, para um dado ponto fonte ξ genérico, tem-se:(10) Ressalta-se que os pontos de interpolação Xj são diferentes dos pontos fonte ξ, para evitar a singularidade. Por outro lado, estes pontos de interpolação Xj são coincidentes com os pontos nodais X na aproximação da integral de domínio. A avaliação numérica das integrais apresentadas anteriormente é muito simples e bem conhecida. Assim:
n 1 n 1 n 1 1 n n 1 1 1 i c ii ic ci cc i c ii ic ci cc A ... A N ... N .... .... ... .... q q 0 G 0 G u u I H H H (12)
Nos problemas de Helmholtz é preciso explicitar os valores nodais referentes ao potencial, que estão embutidos no vetor Ai. Com este procedimento também se explicitará uma matriz que é equivalente a matriz de massa em problemas de dinâmica. Para tanto, examina-se separadamente cada termo do vetor Ai. Primeiramente, verifica-se que para os n pontos fonte tem-se:
n 1 n 2 1 N ...N ) ... N ( A (13)
Considerando a Eq. (6), repetida por conveniência:
] Λ][ ] Λ][ ξ ξ u [ ] F [ F [ ] F [ ] [ 1 1 (14) Pode-se escrever: i n c 1 ii cc n 1 n n 1 n n 1 1 1 n 2 1 u .... u ... 0 0 ... . .... 0 .... ... 0 .... F F ... ... F F ) N ... N N ( A
....
...
(15)Figura 1 – Pontos no interior: pontos auxiliares interpolantes e pontos fonte A quantidade de pontos auxiliares interpoladores pode ser maior, igual ou menor do que a quantidade de pontos fonte internos. Um número maior dos primeiros produz resultados melhores, conforme observado nas experiências realizadas. Determinado o vetor ξA, com base na Eq. 12 o sistema de equações em sua forma completa fica:
i c ii ic ci cc 2 i c ii ic ci cc i c ii ic ci cc u u M M M M q q 0 G 0 G u u I H H H (16)
4 RESULTADOS NUMÉRICOS
Primeiro exemplo: Resolve-se um problema no qual a equação de governo é dada por:
Figura 2 - Características geométricas do problema e valor de erro médio obtidos. A solução neste caso é uma função exponencial dada por:
1 cosh senhx
u(x) (18)
Neste exemplo, a quantidade de pontos fonte e interpolantes no interior foi a mesma. A Fig. 3 ilustra graficamente o comportamento dos resultados, para duas malhas com diferente quantidade de elementos.
Figura 3 – Curva de erro médio percentual para duas malhas de contorno com diferentes quantidades de pontos internos interpolantes.
Verifica-se que quanto maior for a quantidade de pontos internos auxiliares, melhor são os resultados. Como tais pontos não participam da integração no contorno, não há problema de crescimento de erro com a quantidade deles.
Segundo exemplo: ainda se aborda um problema unidimensional, mas agora a solução é harmônica. A equação de governo então é dada por:
u w u(x) x u(x) c 2 2 2 2 (19) A solução, mantendo as condições de contorno impostas no primeiro exemplo resulta:
) 1 w cos( w ) wx ( sen u(x) (20)
Neste exemplo os valores de w são acrescidos gradativamente para avaliar os resultados. A Fig. 4 a seguir ilustra o comportamento do erro médio percentual.
Nota-se a boa precisão dos resultados para as baixas frequências. Embora os erros cresçam para valores de freqüência mais altos, ressalta-se que a matriz de massa gerada pela MECIC é multiplicada pelo quadrado destes valores, resultando numa participação potencialmente maior desta matriz com relação às matrizes H e G que representam a rigidez. Estes resultados são bem superiores aos obtidos com a FDR para o mesmo espectro de variação mostrado (Loeffler & Mansur, 1986).
Deve-se ressaltar ainda que os valores do erro foram calculados dividindo-se a diferença do valor numérico e analítico pelo valor analítico. Neste exemplo, são encontrados valores do potencial u(x) próximos de zero, resultando em valores elevados do erro que são artificiais. Portanto, a não monotonicidade da curva se deve a presença destes valores muito próximos de zero que surgem para certas frequências, aumentando o erro percentual.
5 CONCLUSÕES
Tal como observado na solução dos problemas de Poisson, a MECIC obteve resultados superiores aos da FDR nestas aplicações unidimensionais, em que foi examinada a Equação de Helmholtz. A razão se deve, sobretudo, a técnica consistir basicamente num procedimento em que o operador Laplaciano é abordado eficientemente através dos procedimentos típicos do MEC, enquanto o outro termo, isento de derivadas, é aproximado através de funções radiais num procedimento típico de interpolação, campo este no qual tais funções têm seu melhor desempenho dentre as diversas áreas em que são aplicadas atualmente.
6 REFERÊNCIAS
Brebbia,C. A., Telles, J. C., and Wrobel, L.C., 1984, “Boundary Element Techniques”, Springer-Verlag.
Brebbia, C. A., Walker, S., 1980 “Boundary Element Techniques in Engineering”, Newnes-Butterworths, London.
Buhmann, M. D., 2003 “Radial Basis Functions: Theory and Implementations”. 1ed. New York, Cambridge University Press.
Cruz, A. L., 2012 " Modelagem Direta de Integrais de Domínio usando Funções de Base Radial no contexto do Método dos Elementos de Contorno”, Dissertação de Mestrado, PPGEM/UFES.
Loeffler & Mansur “Vibrações Livres de Barras e Membranas Através do Método dos Elementos de Contorno”, Revista Brasileira de Engenharia (RBE), ISSN 0102-2695, Caderno de Engenharia Civil, Vol 4, n 2, pag. 5-23, 1986.
Wang, J. G., Liu, G. R., “A point interpolation meshless method based on radial basis functions”, Int. J. Numer. Meth. Engng 2002; 54:1623–1648 (DOI: 10.1002/nme.489).
Wendland, H., 1995 “Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree”. Adv. Comput. Math. vol. 4, pp 389-396.
