INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO

(1)

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO

APONTAMENTOS SOBRE

CONTROLADORES ANALÓGICOS

Elementos coligidos por:

Prof. Luís Filipe Baptista

E.N.I.D.H. – 2012/2013

(2)

Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM 8.1

ÍNDICE

8. CONTROLADORES ANALÓGICOS 2

8.1. INTRODUÇÃO 2

8.2. ACÇÕES DE CONTROLO BÁSICAS 2

8.2.1. ACÇÃO DE CONTROLO DE DUAS POSIÇÕES (ON-OFF) 3

8.2.2. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL (P) 4

8.2.3. ACÇÃO DE CONTROLO INTEGRAL (I) 6

8.2.4. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL+INTEGRAL (PI) 8

8.2.5. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL+DERIVATIVA (PD) 10

8.2.6. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL+INTEGRAL+DERIVATIVA (PID) 11

8.3. TECNOLOGIAS DOS CONTROLADORES ANALÓGICOS 14

8.3.1. INTRODUÇÃO 14

8.3.2. CONTROLADORES PNEUMÁTICOS 15

8.3.3. CONTROLADORES ELECTRÓNICOS 17

8.4. ANÁLISE DINÂMICA DOS CONTROLADORES 19

8.4.1. ACÇÃO PROPORCIONAL 19

8.4.2. ACÇÃO INTEGRAL 23

8.4.3. ACÇÃO DERIVATIVA 25

8.5. AJUSTE ÓPTIMO DE PARÂMETROS DE CONTROLADORES 27

8.5.1. MÉTODO BASEADO NA SENSIBILIDADE CRÍTICA (2º MÉTODO) 27

8.6. APLICAÇÕES ESPECIAIS DE CONTROLADORES 29

8.6.1. CONTROLO DE ACÇÃO DUPLA 29

8.6.2. CONTROLO EM CASCATA 30

8.6.3. CONTROLO DE RELAÇÃO DE CAUDAIS (RATIO CONTROL) 33 8.7. ANÁLISE DINÂMICA DE CONTROLADORES ANALÓGICOS ATRAVÉS DO

MATLAB/SIMULINK 34

8.8. PROBLEMAS RESOLVIDOS 45

8.9. PROBLEMAS NÃO RESOLVIDOS 52

REFERÊNCIAS DO CAPÍTULO 54

(3)

8. CONTROLADORES ANALÓGICOS 8.1. INTRODUÇÃO

Um controlador automático tem como função produzir um sinal de controlo que anule o erro (desvio), ou que o reduza a um valor muito pequeno. O controlador compara o valor real da saída do processo com o valor desejado (set-point), determina o erro ou desvio, e produz o respectivo sinal de comando para o actuador. Os controladores podem ser classificados de acordo com o tipo de tecnologia utilizada na sua construção. Deste modo, poderemos ter:

• Controladores pneumáticos

• Controladores óleo-hidráulicos

• Controladores electrónicos (analógicos e digitais)

A selecção do tipo de controlador deve ser estudada caso a caso, visto que irá depender da natureza do processo, energia disponível, condições de segurança, custo, precisão, fiabilidade, peso e dimensões do equipamento.

8.2. ACÇÕES DE CONTROLO BÁSICAS

A realização do sinal de comando pelo controlador, pode ser obtida de diversas formas, designadas por "acções de controlo ou de regulação", o que nos permite classificar os controladores da seguinte forma:

• Controlador de duas posições ou Tudo ou Nada (ON-OFF)

• Controlador Proporcionais (P)

• Controlador do tipo Integral (I)

• Controlador do tipo Proporcional+Integral (P+I)

• Controlador do tipo Proporcional+Derivativo (P+D)

• Controlador do tipo Proporcional+Integral+Derivativo (P+I+D)

O controlador executa diversas funções que poderemos descrever da seguinte forma: em primeiro lugar é detectado o sinal de erro, normalmente de baixo nível de potência, pelo que o controlador deve possuir um órgão que permita amplifica-lo a um nível suficiente elevado. A saída de um controlador é ligada a um dispositivo de potência, como por exemplo uma válvula pneumática, motor hidráulico ou eléctrico.

Na Fig.8.1 podemos observar um diagrama de blocos de um controlador industrial, bem como o elemento de medida (sensor). O controlador é formado por um detector de erro (ponto de soma) e um algoritmo de controlo+amplificador. O elemento de medida, converte a variável de saída numa outra variável, como seja um deslocamento, pressão ou sinal eléctrico que é utilizado para comparar a saída em relação ao sinal de entrada de referência. Este elemento constitui o ramo de realimentação do sistema em anel fechado. O ponto de ajuste do controlador deve ser convertido numa entrada de referência com as mesmas unidades do sinal de realimentação do elemento de medida. O amplificador tem como função amplificar a potência do sinal de saída do controlador, de modo a poder operar o actuador. O actuador tem como função alterar a entrada do processo de acordo com o sinal de controlo, de modo a que a saída do processo seja igual ou o mais próxima possível do valor de referência (set-point).

(4)

Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM 8.3 Referência

Erro

Transdutor medida +

_

Algoritmo de controlo

Saída Processo

Actuador Controlador automático

Fig. 8.1. Diagrama de blocos de um sistema de controlo automático.

8.2.1. ACÇÃO DE CONTROLO DE DUAS POSIÇÕES (ON-OFF)

Este sistema de controlo apresenta a vantagem de ser simples e barato, o que se traduz na sua grande aplicação, tanto em sistemas industriais como domésticos. Neste sistema, o elemento possui apenas duas posições fixas, que são as de ligado ou desligado. Considerando o sinal de saída do controlador u(t) e o sinal de erro e(t), num controlo deste tipo, o sinal u(t) permanece ou num valor máximo ou num valor mínimo, dependendo do sinal de erro ser positivo ou negativo.

Assim:

1 2

M e>0 u(t)=

M e<0

⎧⎨

⎩ M1, M2 = constantes

O valor mínimo M2 é normalmente nulo ou –M1. Os controladores deste tipo são geralmente dispositivos eléctricos, onde é bastante utilizada uma válvula operada por um solenoide eléctrico (Ex: termóstato eléctrico de temperatura).

Podemos ter controladores proporcionais pneumáticos/electrónicos a funcionar como controladores de duas posições denominadas controladores Tudo ou Nada ou ON-OFF. Isto pode suceder, se tivermos um controlador proporcional a funcionar com um ganho muito elevado. Na Fig.8.2, podemos observar os diagramas de blocos destes dois controladores.

a) b)

Fig. 8.2.a) Diagrama de blocos de um controlador ON-OFF (liga-desliga); b) Diagrama de blocos de um controlador “ON-OFF” com histerese diferencial.

Designa-se por "intervalo diferencial ou histerese diferencial" ao intervalo através do qual o sinal de erro deve variar antes de ocorrer a comutação. Este intervalo diferencial faz com que a saída do controlador u(t), mantenha o seu valor actual até que o sinal de erro se tenha alterado ligeiramente, para além do valor zero. Normalmente, este intervalo, é colocado intencionalmente de modo a evitar um funcionamento demasiado frequente do sistema.

(5)

Considere-se o sistema de controlo de nível de líquido indicado na Fig.8.3. Com o controlo de duas posições, a válvula ou está aberta ou fechada o que implica que o caudal de entrada de água ou é positivo ou nulo. Conforme se pode ver na Fig.8.3, o sinal de saída varia continuamente entre os dois limites exigidos de modo a fazer com que o elemento se mova de uma posição fixa para outra. De notar que a curva do nível (saída) segue uma de duas curvas exponenciais, uma que corresponde á curva de enchimento e a outra á curva de esvaziamento. Esta oscilação da saída entre os dois limites é uma característica da resposta típica deste tipo de sistemas. Pode-se concluir através da análise da Fig.8.3, que a amplitude da oscilação de saída pode ser reduzida, se diminuirmos o intervalo diferencial. Esta acção tem como desvantagem o aumento do número de operações da válvula, reduzindo-se assim, a vida útil do actuador. O intervalo diferencial, deve ser ajustado, tendo em consideração a precisão exigida e a vida útil do actuador.

Fig.8.3a) Sistema de controlo de nível de liquido. b) Curva do nível h(t) em função do tempo [1].

8.2.2. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL (P)

Neste caso a relação entre a saída u(t) e o sinal de erro e(t), é dada pela expressão:

) t ( K e ) t (

m = _p

Aplicando a transformada de Laplace, obtém-se Kp

) s ( E

) s (

U =

em que Kp é designado por sensibilidade ou ganho proporcional. Um controlador deste tipo consiste basicamente de um amplificador de ganho ajustável. O diagrama de blocos deste controlador está indicado na Fig.8.4.

Fig.8.4. Diagrama de blocos de um controlador proporcional.

(6)

Nos reguladores industriais, é muitas vezes utilizado o parâmetro designado por Banda Proporcional - B.P. (Proportional Band – P.B.), que é definida como o inverso de Kp em percentagem (%). A B.P (%) pode igualmente ser definida da seguinte forma (ver tabela 8.1):

% r 100 transduto do

escala da total Variação

controlada variável

da total Variação .

P .

B ⎟⎟⎠×

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

O inverso da B.P. é obviamente o ganho proporcional (valor adimensional). Para tornarmos o valor de Kp dimensional, teremos que multiplicá-lo pelas escalas das variáveis da saída controlada e da saída do controlador. Assim, tem-se:

r transduto -

processo do

saída de variável da

Escala

r controlado do

saída de variável da

Escala .

P . B

K_p 1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

O ganho proporcional Kp pode deste modo vir expresso em diversas unidades, de que são exemplo as seguintes: psi/ºC, V/mA, mA/V, etc.

TABELA 8.1

Ganho do controlador (Kp)

Banda Proporcional (BP) BP=100%/ Kp

0.1 1000 0.2 500 0.5 200 1 100 2 50 5 20 10 10

a)

b)

Fig.8.4-a) Relação entre BP (ou PB em língua inglesa) e Kp. b) Evolução da saída do controlador em função do erro (a acção de controlo aumenta se o erro aumentar, e vice-versa).

(7)

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Num sistema de controlo industrial, pretende-se controlar a temperatura da água à saída de um permutador, com escala do transdutor de medida [0 ; 100] ºC. Admita que o valor desejado para controlo é 50ºC, e que o sistema de medida fornece um valor de 40ºC quando a válvula de controlo pneumática está toda aberta (Pressão = 3 psi na saída do controlador) e que para 60ºC está toda fechada (Pressão = 15 psi na saída do controlador). Deste modo, determine a B.P. do controlador.

vapor

Controlador Set-point

Sinal do processo

Sinal de controlo

válvula Conversor I/P

Aquecedor

dreno água fria

água quente Transdutor de

temperatura

Fig.8.4-c). Sistema de controlo de temperatura de um permutador de calor.

Cálculo da Banda Proporcional

Diz-se no enunciado que a válvula é do tipo ar para fechar. Isto significa que vai fechando à medida que aumenta a pressão de controlo. Assim, a Banda Proporcional, será dada por:

20%

100 100%

40 100% 60

medida de

sonda da Escala

controlada grandeza

da total Variação

BP(%)= × = − × =

Se por exemplo quiséssemos ter uma B.P.=100%, então teríamos a seguinte variação total da temperatura controlada de ± 50 ºC em torno do set-point (50 ºC), ou seja:

100% 100%

100 0 100 100

0) 5 (50 50)

BP(%) (50 − × =

− =

−

= +

Na Fig.8.4-d), estão representadas as rectas correspondentes às B.P. de 0%, 0%, 20% e 100%.

Da análise destas rectas, podemos verificar o seguinte:

• B.P de 0%: a variação de erro é nula em torno da variável controlada (T=50 ºC), pelo que teremos uma recta vertical. Este ajuste deve ser evitado, pois introduz instabilidade no regulador

• B.P de 10%: neste caso a variação total de temperatura em torno do set-point (50ºC) é de 10ºC (variação de 45ºC a 55ºC). Podemos considerar um ajuste aceitável – erro pequeno;

• B.P de 20%: neste caso a variação total de temperatura em torno do set-point (50ºC) é de 20ºC (variação de 40ºC a 60ºC). Neste caso, a variação de temperatura admissível duplica;

• B.P de 100%: neste caso a variação total de temperatura em torno do set-point (50ºC) é de 100ºC (variação de 0ºC a 100ºC). Este valor de ajuste deve ser evitado, pois torna o controlador muito pouco sensível, ou seja a acção de regulação é muito lenta.

(8)

NOTA:

No caso específico da BP=0%, como o ganho proporcional Kp, é o inverso da B.P., este teria que ser infinito, o que não é possível de obter na prática. Deste modo, terá sempre que existir um erro em regime estacionário com controlo de acção proporcional. Este erro designa-se por erro estático (na língua inglesa - “offset”).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

4 6 8 10 12 14 16 18 20

Escala da sonda de temperatura [ºC]

Saida do controlador [mA]

BP=0%

BP=10%

BP=20%

BP=100%

Fig.8.4-d). Gráficos de evolução das B.P. de 0%, 20% e 100%, para o sistema de controlo de temperatura.

Cálculo do ganho proporcional

O ganho proporcional Kp é o inverso da B.P., sendo neste caso dado por:

C mA/º 100 0.8

4 - 20 0.2

1 medida

de sonda da Escala

r controlado do

saída de Escala B.P.

K_p 1 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

Podíamos obter igualmente este valor a partir das escalas de saída do controlador (mA) e de entrada da sonda de temperatura (ºC). Assim, teríamos:

C mA/º 40 0.8 60

4 20 C) (º controlada ra

temperatu da

Variação

(mA) r controlado do

saída de Escala

K_p =

−

= −

=

Modo de funcionamento do controlador com acção directa ou inversa

Da análise do gráfico da Fig.8.6, pode verificar-se que o erro é negativo para valores superiores a 50ºC, ou seja:

(9)

C 5º 55 - 50 e C 55º T para : Ex

C 50º T

0 e

C 5º 45 - 50 e C 45º T para : Ex

C 50º T

0 e

C 50º T

fluido fluido point set

−

=

⇒

=

>

⇒

<

+

=

⇒

=

<

⇒

>

− =

No entanto, como a válvula é de ar para fechar, o sinal de controlo aumenta para valores de erro negativos, ou seja para valores superiores a T=50ºC (set-point). Como os valores de erro e acção de controlo estão a variar de forma inversa, diz-se que o controlador está a funcionar com acção inversa.

O controlo de temperatura é um exemplo típico de controlo com acção inversa (Em inglês

“Reverse Action”).

Quando os sinais de erro e de acção de controlo funcionam de forma directa, diz-se que o controlador está a funcionar com acção directa (“Direct Action”).

8.2.3. ACÇÃO DE CONTROLO INTEGRAL (I)

Na acção integral, o valor de saída u(t) varia com uma taxa proporcional ao sinal de erro e(t).

Assim, teremos:

) t ( K e dt

) t ( du

= i ou = ∫^t

0 i e(t)dt ) K

t ( u

em que Ki é uma constante de ganho ajustável (Ganho integral). A função de transferência do controlador integral é:

s K ) s ( E

) s (

U = _i (Ki - ganho integral)

Se o valor de e(t) duplicar então u(t) irá variar duas vezes mais rapidamente. Para e(t)=0, o valor de u(t) irá manter-se num valor constante ou estacionário. O diagrama de blocos deste tipo de controlador, está representado na Fig.8.5.

Sum3

1 s Integral

Ki Ganho integral

Fig.8.5. Diagrama de blocos de um controlador integral.

8.2.4. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL+INTEGRAL (PI) Esta acção de controlo é definida pela seguinte equação:

(10)

+ ∫

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + ∫

= ^t

i0 p

t i0

p e(t)dt K e(t) K e(t)dt

T ) 1 t ( K e ) t ( u

e a respectiva função de transferência, é dada por:

i p i i

p i

p T

K K que em s) T 1 1 ( s K

K K ) s ( E

) s (

U = + = + =

em que Kp é a sensibilidade ou ganho proporcional e Ti é o tempo integral. Tanto Kp como Ti são ganhos ajustáveis. Ti tem como função ajustar a acção de controlo integral, enquanto Kp tem acção sobre a parte proporcional e também sobre a integral. O tempo integral aparece em muitos controladores com a escala de minutos por repetição (m.p.r). O inverso do tempo integral ou ganho integral Ki, designa-se por taxa de restabelecimento ("reset time"), ou seja é o número de vezes por minuto em que a acção proporcional duplica para uma entrada de erro em degrau, sendo definida por repetições por minuto (r.p.m.). A Fig.8.6 representa o diagrama de blocos dum controlador P+I. Se o sinal de erro e(t) for uma função degrau unitário, conforme representado na Fig.8.6-b), então a saída u(t) será a indicada na Fig.8.6-c).

Sum3 Sum1

1 s Integral

Kp Ganho proporcional

Ki Ganho integral

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2

erro - e(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 2 4 6

tempo (seg.)

Acções P,I e PI

b)

Fig.8.6-a) Diagrama de blocos de um controlador proporcional+integral (PI). b) Diagramas indicando a entrada degrau unitário e(t) e a saída do controlador u(t). (NOTA: Kp=1 ; Ti=1 seg.).

P+I I

P

(11)

Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM 8.10 c)

TABELA 8.2

Tempo Integral (Ti) Ganho Integral (Ki)

Minutos Segundos Rep./minuto Rep./segundo 0.05 3 20 0.333

0.1 6 10 0.167 0.2 12 5 0.0833 0.5 30 2 0.0333 1 60 1 0.0167 2 120 0.5 0.00833 5 300 0.2 0.00333 10 600 0.1 0.00167 20 1200 0.05 0.00083

d)

Fig.8.d-c). Gráfico de evolução da saída do controlador integral em função do valor de Ti.

d) Escalas de valores de Ti mais usuais nos controladores industriais.

8.2.5. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL+DERIVATIVA (PD) Esta acção de controlo é definida pela seguinte equação:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= dt

) t ( K de ) t ( K e dt

) t ( T de ) t ( K e ) t (

u _p _d _p _d

Aplicando a transformada de Laplace:

d p d d

p d

p K s K (1 Ts) em que K K T ) K

s ( E

) s (

U = + = + =

em que Td é o tempo derivativo definido em segundos ou minutos. Tanto Kp como Td são grandezas ajustáveis. A acção de controlo derivativa é proporcional á taxa de variação do sinal de erro. O tempo derivativo Td é o intervalo de tempo durante o qual a acção derivativa antecipa o valor da acção de controlo proporcional. A Fig.8.7a) representa o diagrama de blocos de um

erro

tempo

Ti elevado Acção de

controlo integral

Ti baixo

tempo

Ti aumenta

(12)

controlador PD. Se e(t) é uma função rampa unitária, então a saída u(t) será a indicada na Fig.8.7c). Como se pode concluir da observação da Fig.8.7c), a acção de controlo derivativa tem um carácter "antecipatório". Obviamente, a acção de controlo derivativa nunca poderá antecipar uma acção que ainda não tenha ocorrido. Esta acção tem como desvantagem, amplificar os sinais de ruído e causar um efeito de saturação no actuador.

NOTA IMPORTANTE: A acção de controlo derivativa nunca deve ser utilizada isoladamente, porque esta acção somente actua quando o erro varia no tempo, ou seja durante os períodos transitórios.

Sum3 Sum1

Kd Ganho derivativo du/dt

Derivada

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

erro - e(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2

tempo (seg.)

Acções P,D e PD

b)

Fig.8.7-a) Diagrama de blocos de um controlador proporcional + derivativo (PD); b), c) Diagramas indicando a entrada em rampa unitária e a saída do controlador. (NOTA: Kp=1 ; Td=1 seg.).

8.2.6. ACÇÃO DE CONTROLO PROPORCIONAL+INTEGRAL+DERIVATIVA (PID)

Esta acção resulta da combinação de três acções, que são: a proporcional, a derivativa e a integral (PID). A equação respeitante a esta acção mista, é dada por:

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ + ∫

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + ∫ +

= dt

) t ( K de dt ) t ( e K ) t ( K e dt

) t ( T de dt ) t ( T e ) 1 t ( K e ) t (

u ^t _d

i0 d p

t i 0 p

Aplicando a transformada de Laplace:

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= T s

s T 1 1 ) K

s ( E

) s ( U

d i p

P+D P D

(13)

A equação anterior é também conhecida em controlo industrial por algoritmo ou equação ideal.

O diagrama de blocos do algoritmo ideal pode ser observado na Fig.8.8a). Se e(t) for uma função do tipo rampa unitária, então a saída u(t) terá o aspecto representado na Fig.8.8b).

Sum3 Sum1

1 s Integral

Ki Ganho integral

Kd Ganho derivativo du/dt

Derivada

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

erro - e(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1 2 3 4

tempo (seg.)

Acções P,I, D e PID

b)

Fig.8.8a) Diagrama de blocos de um controlador proporcional+integral+derivativo (PID).

b) Diagramas indicando a entrada em rampa unitária e a saída do controlador.

(NOTA: Kp=1 ; Ti= 1 seg. ; Td=1 seg.).

Na indústria, existem diversas variantes à equação do controlador PID ideal. As mais usuais são:

1. Algoritmo PID paralelo

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

∫ + ⎛ +

= dt

) t ( T de dt ) t ( T e ) 1 t ( K e ) t (

u ^t _d

i 0 p

2. Algoritmo PID série (ou com interacção)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + ∫

= dt

) t ( T de 1 dt ) t ( T e ) 1 t ( K e ) t (

u ^t _d

i 0 p

PID I P D

(14)

Na Fig.8.9, podem-se analisar a evolução da variável controlada (processo) e a acção de controlo (gráfico inferior) para uma perturbação na saída do sistema controlado.

Da análise da Fig.8.9, pode-se verificar que estando o sistema estabilizado no valor de 40%, sofre uma perturbação para t=5 segundos, o que faz aumentar a saída até cerca de 46 % no caso do sistema que utiliza um controlador proporcional. Como é óbvio, todos os controladores estabilizam o sistema, verificando-se que para t=40 segundos, o processo entrou definitivamente em regime estacionário. Deste modo, é possível concluir que:

1. Controlador P: obtém-se uma variação máxima da variável controlada (46%) e estabiliza-se o sistema com um erro em regime estacionário de 4% (offset) ao fim de 30 segundos. A precisão é baixa, embora a estabilização da saída controlada seja relativamente rápida.

Fig.8.9. Evolução da saída do processo controlado através das variáveis de regulação P, PI e PID. De notar o erro em regime estacionário (“offset”), evidenciado pela acção proporcional.

2. Controlador PI: obtém-se uma variação máxima da variável controlada (46%) e estabiliza-se o sistema sem erro em regime estacionário (offset) ao fim de 40 segundos, com oscilações. A precisão é boa, embora a estabilização da saída seja obtida ao fim de bastante tempo.

3. Controlador PID: obtém-se uma variação máxima da variável controlada (45%) inferior ao dos controladores P e PI. A saída do sistema estabiliza sem erro em regime estacionário (offset) para um valor de t=30 segundos, e com oscilações de menor amplitude que as obtidas com acção PI. Portanto, este controlador permite obter uma estabilização mais rápida e com erro em regime estacionário nulo.

NOTA: Deve notar-se que, embora em geral o controlador PID permita obter os melhores resultados, na prática existem processos que devido às suas características dinâmicas, desaconselham a utilização da acção derivativa (D), devido fundamentalmente a problemas de ruído. É o caso por exemplo do controlo de nível e de caudal. (NOTA: ver mais detalhes na Tabela 8.3).

(15)

Diagramas de blocos de sistemas de controlo automáticos - A Fig.8.9 representa um diagrama de blocos de um sistema de controlo automático, no qual está incluída a variável de perturbação na saída (distúrbio) ou N(s).

R(s) E(s) U(s)

N(s)

B(s) _

+ +

Gr(s) Gp(s)

H(s)

C(s)

Fig.8.10. Diagrama de blocos do sistema de controlo completo, com a inclusão da variável de perturbação N(s).

A função de transferência do sistema completo que relaciona a variável de saída C(s) com a entrada de referência R(s) e a variável de perturbação (distúrbio) N(s), pode ser obtida da seguinte forma:

) s ( )N s ( H ) s ( G ) s ( G 1 ) 1 s ( )R s ( H ) s ( G ) s ( G 1

) s ( G ) s ( ) G

s ( C

p r p

r p r

+ +

= +

Em sistemas de controlo de processos como por exemplo o controlo de nível, temperatura e pressão, o interesse principal reside obviamente no estudo da variável de perturbação N(s), visto que a referência R(s), em geral é constante. Pode referir-se como exemplo de distúrbio, num sistema de controlo de temperatura de um permutador, a água do mar usada como fluido arrefecedor, que se baixar por um determinado motivo (correntes, por exemplo), introduz uma perturbação térmica no permutador, que não é provocada pela acção do controlador.

Em sistemas de posicionamento mecânico (Ex: sistema de comando da máquina do leme, estabilizadores laterais de um navio, sistema de comando do hélice de passo variável, etc..), o interesse principal reside no estudo da evolução da saída C(s) relativamente a uma alteração na referência (set-point - R(s)), que em geral varia contínuamente ao longo do tempo.

8.3. TECNOLOGIAS DOS CONTROLADORES ANALÓGICOS 8.3.1. INTRODUÇÃO

Ao longo deste século, foram surgindo diversos tipos de controladores analógicos cada vez mais sofisticados, com especial destaque para os pneumáticos numa primeira fase e que de certa forma, inauguraram a era moderna do controlo automático industrial (Ver Ref. [3, 4] da Bibliografia). Para além dos controladores pneumáticos, que eram geralmente utilizados no controlo de processos industriais (nível, temperatura, caudal, etc.), os controladores óleo- hidráulicos foram também ganhando destaque especialmente no controlo de posição e velocidade (Ex: controlo do ângulo do leme dos navios, velocidade de rotação de motores Diesel - Fig.8.11), etc.).

(16)

C o m b u s t i v e l

P a r a

m á q u i n a d i e s e l

Ê m b o l o p r i n c i p a l

Fig. 8.11. Regulador mecânico de velocidade de um motor Diesel, no qual é utilizado um actuador óleo-hidráulico.

No entanto, com o avanço da tecnologia electrónica, numa primeira fase analógica e mais recentemente digital, esta tecnologia ganhou uma tal dimensão que hoje em dia a grande maioria das aplicações industriais, recorre quase que exclusivamente a controladores electrónicos do tipo digital.

Deste modo, vamos referir a título de exemplo, apenas as realizações práticas simplificadas dos controladores pneumáticos e electrónicos do tipo analógico. Para mais detalhes relativos aos controladores óleo-hidráulicos equivalentes, ver referências [1, 2] da Bibliografia do capítulo. A análise dos controladores digitais, irá ser efectuada no Capítulo 10.

8.3.2. CONTROLADORES PNEUMÁTICOS

Controlador proporcional - Os controladores pneumáticos têm sido apresentados ao longo dos tempos através de diferentes configurações consoante o tipo de fabricantes. Deste modo, vamos apresentar apenas uma das suas realizações possíveis, representada na Fig.8.12-a), e que se designa por controlador proporcional com referência (set-point) remoto. Este controlador, conforme apresentado no Capítulo 7 – Controlo Final, baseia-se no dispositivo bocal-palheta, e possui uma barra articulada no ponto X (fulcro). Os foles X e Y encontram-se respectivamente ligados às linhas de pressão de referência pr e pressão de saída do transdutor py. O fole O encontra-se ligado à saída do relé pneumático (booster).

Fig.8.12-a) Controlador proporcional pneumático [4].

(17)

Designando por:

S – Área dos foles (admite-se que são todos iguais) py – Pressão de saída do transmissor (sinal medido) pr – Pressão de referência (set – point)

po – Pressão de saída do controlador A condição de equilíbrio de forças na barra será:

2 y 2 r 1

0l Sp l Sp l

Sp = −

Pelo que

(

_r _y

)

1

0 2 p p

l

p = l −

Este controlador é do tipo proporcional visto que é sensível à diferença entre as pressões de referência e da medida. A constante de proporcionalidade é dada pela relação entre os comprimentos da barra, pelo que o seu ajuste é obtido através da variação da posição do fulcro X.

Controlador proporcional + integral – A acção integral obtém-se através da adição de mais um fole (fole da acção integral - I) ao dispositivo de forças do controlador proporcional, conforme representado na Fig.8.12-b). Este fole encontra-se em oposição ao fole de saída (O). A alimentação de ar ao fole I efectua-se através da pressão da saída, mas não é directa, pois o ar tem que atravessar uma válvula (restrição) designada por “a”.

O caudal de ar Q que atravessa a restrição efectua-se em regime laminar, pelo que é proporcional à diferença de pressões, ou seja:

Q R p p_o − _i = _p

Em que Rp representa a resistência da válvula à passagem do fluido. A abertura desta válvula pode ser ajustada manualmente pelo operador. Num intervalo de tempo elementar dt, o caudal de ar introduz no fole um volume de ar dado por Q*dt, que irá fazer variar a pressão pi de um valor dado por:

i f

C dp =Q dt

Em que Cf é a capacidade do fole. Substituindo esta expressão na anterior, e designando Ti=Rp*Cf, obtém-se:

dt T dp p

p₀ = _i + _i ⁱ

Fig.8.12-b) Controlador pneumático P+I. [4].

(18)

O equilíbrio de forças, conduz a:

( ) ( ) (

r y

)

i

1 0 2 2 y r 1 i

0 p p p

l p l l p p l p

p − × = − × ⇒ = − +

dt Q C_f dpⁱ =

Substituindo nesta expressão a variável po, obtêm-se:

(

_r _y

)

1 2 i

i p p

l l dt

T dp = −

Integrando esta expressão, obtém-se:

(

^p ^p

)

^dt

T 1 l

p l ^t

0 r y

i 1

i 2 ⎟⎟∫ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Substituindo pi na expressão de po e l2/l1 por kp, obtém-se finalmente:

( ) ( )

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟∫ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

−

= p p dt

T p 1

p k

p ^t

0 r y

i y r p o

Esta é a expressão típica de um controlador proporcional + integral (P+I).

NOTA: Por razões de tempo, não se apresentam os desenvolvimentos relativos aos controladores pneumáticos P+D e P+I+D. Estes elementos poderão ser obtidos consultando a bibliografia do capítulo, nomeadamente [1], [2] e [4].

8.3.3. CONTROLADORES ELECTRÓNICOS

Os controladores electrónicos analógicos actuais utilizam em larga escala um componente activo designado por "Amplificador Operacional". As possibilidades de efectuar montagens com estes componentes são bastante elevadas devido à sua versatilidade de aplicação. No campo específico do controlo industrial, são muito utilizadas (entre outras), as seguintes montagens típicas:

- Amplificador diferencial (ponto de soma) - Amplificador inversor (acção proporcional) - Amplificador integrador (acção integral) - Amplificador diferenciador (acção derivativa)

- Amplificador somador (soma de várias acções de controlo)

Controlador proporcional - A montagem típica do controlador proporcional está representada na Fig.8.13-a). De acordo com o esquema, teremos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + =

=

erro de sinal (t)

V

R K R

) 0 ( V ) t ( R V (t) R V

E

1 2 p s

E 1 out 2

em que Vs(0), corresponde à tensão à saída do controlador para t=0. O ajuste de Kp é efectuado através do potenciómetro R1. O circuito inversor, é utilizado para inverter o sinal de saída do amplificador inversor, de modo a que Vout seja positivo quando a tensão de erro VE for positiva (VE>0).

(19)

Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM 8.18 Fig.8.13-a) Controlador electrónico proporcional.

Controlador electrónico PI - A montagem típica deste controlador, baseia-se essencialmente num amplificador de ganho, amplificador integrador e amplificador somador para efectuar a soma das acções P e I. O esquema típico deste controlador, está representado na Fig.8.13b).

Deste modo, a função de transferência relativa ao controlador PI electrónico, será dada por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

∫ + =

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

I I i

1 2 p s

E I I 1 2 E

1 2 out

C R T

R K R ) 0 ( V dt ) t ( C V R

1 R ) R t ( R V ) R t ( V

NOTA: Para obter Vout positivo, teríamos que introduzir um inversor na saída do controlador.

Fig.8.13-b). Esquema simplificado de um controlador electrónico PI.

Controlador electrónico PID - A montagem típica deste controlador, baseia-se essencialmente em: amplificador de ganho, amplificador integrador, amplificador diferenciador e amplificador somador para efectuar a soma das acções P, I e D. O esquema típico deste controlador, está representado na Fig.8.13c). Deste modo, a função de transferência do controlador PID electrónico, será dada por:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

∫ ⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

−

D D d

I I i

1 2 p

s E

D D 1 2 E

I I 1 2 E

1 2 out

C R T

R K R ) 0 ( dt V

) t ( C dV R R

dt R ) t ( C V R

1 R ) R t ( R V ) R t ( V

NOTA: Para obter um Vout positivo, teríamos que introduzir um inversor na saída do controlador.

(20)

Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM 8.19 Fig.8.13-c). Esquema simplificado de um controlador electrónico analógico PID.

8.4. ANÁLISE DINÂMICA DOS CONTROLADORES 8.4.1. ACÇÃO PROPORCIONAL

Nesta secção, vamos apresentar através o exemplo de um sistema de controlo de nível com acção proporcional (P) de modo a estudar as características e o desempenho desta acção de controlo.

Deste modo, faz-se uma breve referência às características do actuador utilizado no exemplo (válvula pneumática), visto ser um elemento bastante utilizado neste tipo de sistemas.

Seguidamente, descreve-se o sistema de controlo e o seu desempenho para uma variação do set- point do tipo degrau.

Válvula de regulação pneumática - Uma válvula deste tipo pode fornecer uma grande potência de saída. Na prática, possuem características que podem ser não lineares, ou seja o caudal não é directamente proporcional á posição da palheta da válvula, ou ainda possuir outros efeitos não lineares, como histerese.

Considere o esquema de uma válvula indicado na Fig.8.14. Suponha que A é a área do diafragma, e que quando o erro é nulo, a pressão de controlo é igual a Pc e o deslocamento da válvula é igual a X.

Vamos considerar apenas pequenas variações das variáveis, e vamos linearizar a característica da válvula pneumática. Vamos definir pc e x como pequenas variações na pressão de controlo e deslocamento da válvula, respectivamente. Quando se aplica uma pequena variação de pressão ao diafragma, reposiciona-se a carga, que consiste numa mola, atrito viscoso e massa, pelo que a equação de balanço de forças, será dada por:

2 c 2

d x dx

p A m b kx

dt dt

= + +

(21)

Luis Filipe Baptista – ENIDH/MEMM 8.20 Fig.8.14. Diagrama esquemático de uma válvula de regulação pneumática

em que:

m - massa da válvula e haste da válvula b - Coeficiente de atrito viscoso

k - Constante da mola

Se as forças devidas á massa e ao atrito viscoso forem consideradas desprezáveis, pode-se simplificar a equação anterior de modo a obter:

p A kxc =

cuja função de transferência entre x e pc será dada por:

X s P s

A

k K

c

( )

( ) = = K_c=const.

Se considerarmos que a variação no caudal (qi) através da válvula pneumática é proporcional a x, a variação no deslocamento da palheta, será dada por:

i q

Q s X S( ) K

( ) = Kq=const.

A função transferência entre qi e pc será:

i c

c q v

Q s

P s( ) K K K

( ) = = Kv=const.

Análise de um sistema de controlo proporcional de nível de líquido - Considere-se o sistema de controlo de nível de líquido indicado na Fig.8.15, no qual se pretende manter o nível de líquido num valor constante, independentemente das variações na abertura na válvula de carga. Supondo que o controlador é proporcional do tipo pneumático, e que a válvula de controlo é a indicada na Fig.8.14, verifica-se que se o nível do líquido aumentar como resultado de uma variação na válvula de carga, a bóia move-se para cima, fazendo com que a pressão de controlo Pc aumente de modo a provocar um decréscimo na abertura da válvula, de modo a corrigir o aumento de nível. (NOTA: considera-se que a válvula é do tipo ar para fechar).

Da análise do sistema de líquido, podemos verificar que a função de transferência é:

1

1 H s

Q s

R

i RCs ( ) ( ) =

+

Se considerarmos que o ganho do controlador proporcional é Kp, a constante do sensor de nível (bóia) é Kb e que a constante da válvula de controlo é Kv, podemos construir o respectivo

pc

x q