aula3 ice002

Laborat´

orio de Ciˆ

encias - Aula 3

Departamento de Estat´ıstica

Universidade Federal de Juiz de Fora

Introdu¸c˜

ao

Suponha que dispomos de um conjunto de dados, por exemplo, n´umero de gols (ou n´umero de impedimentos, chutes a gol, passes errados, faltas cometidas) por equipe, por partida, para todos os jogos de um campeonato de futebol entre 2004 e 2013

Pretendemos responder algumas quest˜oes, tais como:

Introdu¸c˜

ao

Qu˜ao incomum ´e um jogador que n˜ao chuta bolas ao gol ou n˜ao comete faltas em um jogo de futebol?

Com que frequˆencia uma equipe consegue fazer mais do que 1, 2 ou 3 gols?

Dados

Um (ou mais) conjunto de valores, num´ericos ou n˜ao Os dados resultam da observa¸c˜ao de uma vari´avel ou mais vari´aveis simultaneamente

Vari´

avel

Vari´avel ´e uma caracter´ıstica qualquer de uma pessoa, elemento, fenˆomeno ou evento

O valor de uma vari´avel pode mudar Exemplos:

N´umero de acertos por jogo Cor dos olhos

Altura

Descrever e Explorar os Dados

O que fazemos com as observa¸c˜oes que coletamos?

Resumo dos Dados com Estat´ıstica Descritiva

Algumas T´

ecnicas Estat´ısticas

Uma das formas de organizar e resumir a informa¸c˜ao contida em dados observados ´e atrav´es da tabela de frequˆencias (distribui¸c˜ao de frequˆencias) e gr´aficos

T´ecnicas que ajudam na visualiza¸c˜ao das caracter´ısticas dos dados

Algumas T´

ecnicas Estat´ısticas

As t´ecnicas estat´ısticas diferem em fun¸c˜ao do tipo de vari´avel que est´a sendo analisada

Vari´aveis

Qualitativas Quantitativas

Sexo Idade

Etnia Peso

Estado Civil Distˆancia Gravidade de Doen¸ca Sal´ario

Tipos de Vari´

aveis

Discreta N´umero de filhos N´umero de medi¸c˜oes Cont´ınua Altura

Dados Qualitativos

Como organizar os dados qualitativos? Tabela de frequˆencias

Gr´afico de barras ou de pizza

Grau de Instru¸c˜

ao dos Funcion´

arios da Empresa

Funcion´ario Instru¸c˜ao Funcion´ario Instru¸c˜ao

1 Fundamental 11 M´edio 2 M´edio 12 M´edio 3 M´edio 13 Superior 4 Superior 14 Superior 5 M´edio 15 Fundamental 6 M´edio 16 M´edio 7 Fundamental 17 Superior 8 Fundamental 18 Superior 9 M´edio 19 Superior 10 M´edio 20 M´edio

Observa¸c˜

oes

Vari´avel de interesse: grau de instru¸c˜ao

Classifica¸c˜ao da vari´avel: vari´avel qualitativa ordinal Poss´ıveis valores: fundamental, m´edio ou superior N´umero pequeno de valores distintos

Frequˆ

encias

n: tamanho da amostra (n´umero de observa¸c˜oes)

fi: frequˆencia absoluta da categoria i (n´umero de observa¸c˜oes

que pertencem `a categoria i ) fri =

fi

n: frequˆencia relativa da categoria i f_ri%= fri × 100%: porcentagem da categoria i

Tabela de Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias

Instru¸c˜ao Frequˆencia Frequˆencia Porcentagem Absoluta (fi) Relativa (fri) (fri%)

Fundamental 4 0,20 20

M´edio 10 0,50 50

Superior 6 0,30 30

Total 20 1,00 100

N˜ao temos perda de informa¸c˜ao a respeito dos dados originais

Tabela de Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias

Instru¸c˜ao Frequˆencia Frequˆencia Porcentagem Absoluta (fi) Relativa (fri) (fri%)

Fundamental 4 0,20 20

M´edio 10 0,50 50

Superior 6 0,30 30

Total 20 1,00 100

Gr´

afico de barras: Grau de Instru¸c˜

ao dos Funcion´

arios da

Empresa

Gr´

afico de barras: Grau de Instru¸c˜

ao dos Funcion´

arios da

Empresa

Gr´

afico de pizza (ou setor): Grau de Instru¸c˜

ao dos

Funcion´

arios da Empresa

Importante

Na compara¸c˜ao da distribui¸c˜ao de frequˆencias de uma vari´avel entre dois ou mais grupos de tamanhos (n´umero de

observa¸c˜oes) diferentes, devemos usar as porcentagens (frequˆencias relativas) na constru¸c˜ao do gr´afico de barras Deve-se, tamb´em usar a mesma escala em todos os gr´aficos de barra

Outro Exemplo - Vari´

avel Qualitativa Nominal

Distribui¸c˜ao de frequˆencias do sexo dos rec´em-nascidos em um hospital

Sexo Frequˆencia Frequˆencia Porcentagem Absoluta (fi) Relativa (fri) (fri%)

M 207 0,4539 45,39

F 249 0,5461 54,61

Total 456 1,0000 100,00

Gr´

afico de barras: Sexo dos Rec´

em-Nascidos em um

Hospital

Gr´

afico de setor: Sexo dos Rec´

em-Nascidos em um

Hospital

Resumo

Gr´afico de barras: ´util para a compara¸c˜ao entre categorias Gr´afico de pizza: ´util na representa¸c˜ao de uma parcela com rela¸c˜ao ao todo

Dados Quantitativos

Como organizar dados quantitativos?

Tabela de frequˆencias Histograma

Dados Quantitativos

Como organizar dados quantitativos? Tabela de frequˆencias

N´

umero de Filhos dos Funcion´

arios da Empresa

Funcion´ario No de Filhos Funcion´ario No de Filhos

1 2 11 1 2 2 12 4 3 1 13 2 4 0 14 3 5 1 15 0 6 3 16 5 7 2 17 2 8 2 18 3 9 2 19 4 10 3 20 3 24 / 50

N´

umero de Filhos dos Funcion´

arios da Empresa

Vari´avel de interesse: n´umero de filhos

Classifica¸c˜ao da vari´avel: vari´avel quantitativa discreta Poss´ıveis valores: 0, 1, 2, 3, 4 e 5

Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias da Vari´

avel N´

umero de Filhos

N´umero de Frequˆencia Frequˆencia Porcentagem Filhos Absoluta (fi) Relativa (fri) (fri%)

0 2 0,10 10 1 3 0,15 15 2 7 0,35 35 3 5 0,25 25 4 2 0,10 10 5 1 0,05 5 Total 20 1,00 100 26 / 50

Observa¸c˜

oes

N˜ao temos perda de informa¸c˜ao dos dados originais

Percebemos que as fam´ılias mais frequentes s˜ao as de 2 e 3 filhos, com 35% e 25% dos resultados, respectivamente. Ainda 10% das fam´ılias n˜ao tem filhos ou tem 4 filhos e, al´em disso, s˜ao mais comuns que as fam´ılias com 5 filhos

Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias da Vari´

avel N´

umero de Filhos

Resultados de Testes de QI

Sujeito Pontua¸c˜ao Sujeito Pontua¸c˜ao

1 102 11 117 2 93 12 93 3 93 13 89 4 107 14 92 5 90 15 76 6 78 16 82 7 109 · · · · 8 85 98 103 9 100 99 110 10 86 100 100

Observa¸c˜

oes

Vari´avel de interesse: Pontua¸c˜ao de QI

Classifica¸c˜ao da vari´avel: vari´avel quantitativa cont´ınua Poss´ıveis valores: 102; 93; 107; · · ·

Muitos valores distintos

Observa¸c˜

oes

Solu¸c˜ao: agrupar os valores em classes (intervalos) para montar a distribui¸c˜ao de frequˆencias

Quantas classes consideramos?

Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias para Vari´

aveis Cont´ınuas

Encontre o menor e o maior valor das observa¸c˜oes:

Valor m´ınimo: 67 Valor m´aximo: 138

Amplitude (R): Valor m´aximo - Valor m´ınimo = 138 - 67 = 71

Determina¸c˜

ao de Classes para Vari´

aveis Cont´ınuas

Determinar o n´umero de classes k

k =√n = 10 (no m´aximo 10 classes)

Determinar o tamanho das classes h

h = R k =

71

Determina¸c˜

ao de Classes para Vari´

aveis Cont´ınuas

Primeira classe: [60; 70) Segunda classe: [70; 80) Terceira classe: [80; 90) E assim por diante

Determina¸c˜

ao de Classes para Vari´

aveis Cont´ınuas

a: limite inferior da classe b: limite superior da classe

Determina¸c˜

ao de Classes para Vari´

aveis Cont´ınuas

Frequˆencias absolutas de cada classe

Frequˆencias relativas de cada classe

Porcentagem de cada classe

Classes [60; 70) [70; 80) [80; 90) [90; 100) [100; 110) [110; 120) [120; 130) [130; 140) 36 / 50

Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias da Vari´

avel Pontua¸c˜

ao de QI

Classes Frequˆencia Frequˆencia Porcentagem Absoluta (fi) Relativa (fri) (fri%) [60; 70) 1 0,01 1 [70; 80) 5 0,05 5 [80; 90) 23 0,23 23 [90; 100) 30 0,30 30 [100; 110) 20 0,20 20 [110; 120) 11 0,11 11 [120; 130) 7 0,07 7 [130; 140) 3 0,03 3

Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias da Vari´

avel Pontua¸c˜

ao de QI

Observa¸c˜

oes

Para o caso de termos dados discretos com muitos valores distintos ´e usual fazer o agrupamento dos dados em classes Por exemplo, quando lidamos com n´umero de casos de uma doen¸ca, n´umero de acidentes etc.

Aspectos Gerais da Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias

Ao estudarmos a distribui¸c˜ao de frequˆencias de uma vari´avel quantitativa, devemos verificar basicamente trˆes caracter´ısticas: 1. Posi¸c˜ao central

2. Variabilidade 3. Forma

Aspectos Gerais da Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias

O histograma permite a visualiza¸c˜ao destas caracter´ısticas da distribui¸c˜ao de frequˆencias, como veremos a seguir

Al´em disso, elas podem ser quantificadas atrav´es de medidas resumo como, por exemplo, a variˆancia

Posi¸c˜

ao Central

A posi¸c˜ao central da distribui¸c˜ao de frequˆencias de uma vari´avel ´e caracterizada pelo valor (ou faixa de valores) t´ıpico da vari´avel

O valor ou classe de maior frequˆencia ´e chamado moda No histograma, esta classe corresponde `aquela com a barra mais alta

Distribui¸c˜

ao de Frequˆ

encias

Unimodal: apenas uma moda Bimodal: duas modas

Multimodal: v´arias modas

Amodal: todos os valores s˜ao igualmente frequentes

Forma

A distribui¸c˜ao de uma vari´avel pode ter v´arias formas, mas existem duas que s˜ao b´asicas:

Sim´etrica Assim´etrica

Distribui¸c˜

ao Sim´

etrica

Quando uma distribui¸c˜ao ´e sim´etrica em torno de um valor (o mais frequente), significa que as observa¸c˜oes est˜ao igualmente

distribu´ıdas em torno desse valor (i.e., metade acima e metade abaixo).

Exemplos - Forma

Exerc´ıcio

Vari´avel qualitativa - Instrumento de medi¸c˜ao do comprimento do objeto

Exerc´ıcio

Vari´avel quantitativa - Peso do indiv´ıduo Distribui¸c˜ao de frequˆencia e gr´afico