Contribuições para o desenvolvimento de uma metodologia para avaliação de sistemas de aterramento em alta freqüência empregando TLM tridimensional

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(1)Universidade Federal de Pernambuco Centro de Tecnologia e Geociências Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica. Fabio Nepomuceno Fraga. Contribuições para o Desenvolvimento de uma Metodologia para Avaliação de Sistemas de Aterramento em Alta Freqüência Empregando TLM Tridimensional. Recife, Abril de 2008..

(2) Fabio Nepomuceno Fraga. Contribuições para o Desenvolvimento de uma Metodologia para Avaliação de Sistemas de Aterramento em Alta Freqüência Empregando TLM Tridimensional Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Pernambuco como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Luiz Henrique Alves de Medeiros, Docteur. Recife, Abril de 2008.. c Fabio Nepomuceno Fraga, 2008 °. ii.

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(4) Esta dissertação é dedicada a vocês, meus avós Lourdes e Riwalter, meus pais Rivânia e Romero e a minha esposa Marialice Sem o apoio que recebi de vocês, não teria atingido minha atual posição.. iv.

(5) Agradecimentos A Companhia Hidroelétrica do São Francisco - Chesf, cuja a valiosa iniciativa viabilizou a realização deste curso de Mestrado. Ao Professor Luiz Henrique Alves de Medeiros cujas orientações, sugestões e conança foram de vital importância para a realização deste trabalho. Aos Engenheiros e amigos Edjalma Rocha Lima, Ricardo de Oliveira Melo e Antônio Varejão de Godoy, pelo incentivo e apoio decisivo dado durante toda a elaboração deste trabalho. Aos Engenheiros e amigos Methódio Varejão de Godoy e Antônio Roseval Ferreira Freire, por sempre terem se colocado à disposição para debates e por suas sugestões que contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho. A todos os colegas da Divisão de Projetos de Subestações (DEPS/CHESF) que, de forma direta ou indireta, contribuíram com o desenvolvimento deste trabalho.. Fabio Nepomuceno Fraga. Universidade Federal de Pernambuco 25 de Abril de 2008. v.

(6) Não basta ensinar ao homem uma especialidade, porque se tornará assim uma máquina utilizável e não uma personalidade. É necessário que adquira um sentimento, senso prático daquilo que vale a pena ser empreendido, daquilo que é belo, do que é moralmente correto.. Albert Einstein vi.

(7) Resumo da Dissertação apresentada à UFPE como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Elétrica. Contribuições para o Desenvolvimento de uma Metodologia para Avaliação de Sistemas de Aterramento em Alta Freqüência Empregando TLM Tridimensional. Fabio Nepomuceno Fraga Abril/2008. Orientador: Prof. Luiz Henrique Alves de Medeiros, Docteur Área de Concentração: Processamento de Energia Palavras-chaves: Aterramento, Transitórios Eletromagnéticos, TLM Número de páginas: 94 Este trabalho apresenta um estudo do comportamento de sistemas de aterramento submetidos a fenômenos transitórios.. Busca apresentar contribuições para o. desenvolvimento de uma metodologia capaz de avaliar grandes sistemas de aterramento empregando o método TLM (Transmission-Line Modeling) tridimensional para simulação. Com o objetivo de determinar a inuência de parâmetros geométricos no comportamento de sistemas de aterramento várias congurações são simuladas. São apresentados os conceitos de Área Sensível e Zona de Inuência que constituem uma importante contribuição para análise de sistemas de aterramento em alta freqüência. Um uxograma de ações para avaliação destes sistemas é apresentado. É realizado um estudo de caso aplicando a metodologia proposta em uma malha de terra de uma subestação de 230 kV da Chesf onde soluções mitigadoras para os problemas de sobretensões são estudadas e propostas. Entre as soluções estudadas a escolha do ponto de conexão mais adequado para um elemento à malha de terra constitui um importante fator a ser observado.. vii.

(8) Abstract of Dissertation presented to UFPE as a partial fulllment of the requirements for the degree of Master in Electrical Engineering. Contributions for the Development of a Methodology for Evaluating Grounding Systems in High Frequency Using Three-Dimensional TLM. Fabio Nepomuceno Fraga April/2008. Supervisor: Prof. Luiz Henrique Alves de Medeiros, Docteur Area of Concentration: Energy processing Keywords: Grounding, Electromagnetic Transients, TLM Number of pages: 94 This work presents the behavior of grounding systems submitted to transitory phenomena. It aims to present contributions for the development of a methodology for evaluating big grounding systems using the three-dimensional TLM (Transmission-Line Modeling) method for simualtions. With the objective of determining the inuence of geometric parameters in the behavior of grounding systems many congurations are simulated and compared. The concepts of Sensitive Area and Area of Inuence are presented and constitute an important contribution for analysis of grounding systems in high frequency. A owchart with specic procedures is presented to evaluate the grounding systems.. A case study using the owchart proposed was applied in a. grounding system of a Chesf substation in 230 kV, and solutions to reduce the problems of overvoltage in this system were studied and suggestions were proposed. Among the studied solutions the choice of the more appropriate connection point for an element in the grounding mesh constitutes an important factor to be observed.. viii.

(9) Sumário 1 Considerações Iniciais 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Objetivos da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 2 Formulação do Método TLM Tridimensional 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formulação Matemática Bidimensional do TLM . . . . . . . . .. 5. 2.2.1 Formulação do Nó Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Formulação do Nó Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.3 Formulação Matemática Tridimensional do TLM . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.3.11 2.3.12 2.3.13. Nó Condensado Simétrico (SCN) . . . . . . . . Matriz de Espalhamento do SCN . . . . . . . Conexão com o Instante de Tempo Seguinte . . Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . Determinação do Tempo de Propagação . . . . Excitação no TLM . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de Campos . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de Correntes . . . . . . . . . . . . . . Modelagem de Materiais Condutores . . . . . . Modelagem de Casos Não-Homogêneos . . . . Cálculo de Campos em Meios Não-Homogêneos Modelagem de Meios com Perdas . . . . . . . . Erro de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 2.4 Conclusões do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Simulações Iniciais: Desenvolvimento, Validação e Estudo de Configurações. 1 3 3. 5 5 6 8 9 10 11 16 17 19 19 20 21 22 23 26 27 28 28. 30. 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Algoritmo do Método TLM 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Pré-Processamento dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Processamento dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Pós-Processamento dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix. 31 32 34.

(10) 3.3 Validação do Algoritmo Adaptado . . . . . . . . . 3.4 Fenômenos de Alta Freqüência e os Valores de Envolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Modelagem de Descargas Atmosféricas . . . . . . . 3.6 Análise de Congurações: Inuência das Modeladas no Comportamento Transitório de um Aterramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4. Variação Variação Variação Variação. com o Volume de Solo Modelado com Camada de Ar Modelada . com o Tamanho da Malha . . . do Ponto de Injeção do Surto . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . Freqüência . . . . . . . . . . . . . . Dimensões Sistema de . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . 34 . 36 . 36 . 37. . . . .. 3.7 Conclusões do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Apresentação da Proposta para Avaliação de Sistemas de Aterramento em Alta Freqüência. 38 41 45 50 52. 54. 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Os Grandes Sistemas de Aterramento e os Problemas Relacionados a Simulações de Fenômenos Rápidos . . . . . . . . 55 4.3 Uma Proposta para Avaliação de Sistemas de Aterramento em Alta Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.1 Etapas para Avaliação de um Sistema de Aterramento . . . . . 4.3.2 Avaliação do Sistema de Aterramento para Altas Freqüências . 4.3.2.1 Dados do Projeto de Baixa Freqüência . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.2 Dados da Instalação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.3 Surtos a Serem Avaliados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.4 Critérios de Avaliação e Aceitação . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.5 Determinação e Classicação dos Pontos de Injeção de Surtos 4.3.2.6 Denição de Áreas Sensíveis e Zonas de Inuência . . . . . . . 4.3.2.7 Procedimentos de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 4.4 Estudo de Caso: Subestação de Tauá . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6. Descrição da Subestação . . . . . . . . . . . . . . . Projeto de Aterramento para 60 Hz da Subestação . Surto a ser estudado . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos de Injeção de Surtos . . . . . . . . . . . . . . Critérios de Avaliação e Aceitação . . . . . . . . . . Determinação da Área Sensível: Denição do Trecho Ser Simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.7 Determinação da Zona de Inuência do Ponto D . . 4.4.8 Adequação da Área Sensível do Ponto D . . . . . . . 4.4.9 Vericação do Projeto de 60 Hz . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . da Malha a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.5 Conclusões do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. x. 56 58 58 59 59 60 61 62 63 64 64 65 67 67 70 70 71 73 76 77.

(11) 5 Conclusões e Recomendações 78 5.1 Conclusões Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Sugestões de Desenvolvimentos Futuros . . . . . . . . . . . . . . 80 82. Referências Bibliográficas. Apêndice A Definições, Critérios e Parâmetros para Projetos. de Aterramento em Baixa Freqüência 86 A.1 Finalidades do Sistema de Aterramento . . . . . . . . . . . . . . 86 A.2 Denições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. A.2.1 Aterramento Elétrico . . . . . . . . A.2.2 Eletrodo de Aterramento . . . . . . A.2.3 Malha de Terra . . . . . . . . . . . A.2.4 Sistema de Aterramento . . . . . . . A.2.5 Potenciais Perigosos . . . . . . . . . A.2.6 Tensão de Passo . . . . . . . . . . . A.2.7 Tensão de Toque . . . . . . . . . . . A.2.8 Tensão de Transferência . . . . . . . A.2.9 Tensão de Toque Metal-Metal . . . A.2.10 Resistência de Aterramento . . . . . A.2.11 Resistividade . . . . . . . . . . . . . A.2.12 Resistividade Aparente . . . . . . . A.2.13 Método de Wenner para Medição da A.2.14 Corrente de Malha . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resistividade do Solo . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. A.3 Critérios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Parâmetros do Corpo Humano e da Camada de Brita Equações de Tensões Máximas Admissíveis . . . . . . . A.3.2 Tempo de Duração do Curto-circuito . . . . . . . . . . A.3.3 Temperatura Máximas das Conexões . . . . . . . . . . . A.3.4 Profundidade da Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.5 Evolução do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.6 Ampliação de Malhas Existentes . . . . . . . . . . . . . A.3.7 Interação com Malhas Existentes . . . . . . . . . . . . . A.3.8 Tensões de Passo e Toque Máximas Admissíveis . . . .. para . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. as . . . . . . . . . . . . . . . .. A.4.1 Máxima Corrente de Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2 Tempo de Duração da Corrente de Curto-Circuito e Tempo Duração do Choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.3 Resistividade do Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.4 Resistividade da Camada Supercial de Brita . . . . . . . . . A.4.5 Geometria da Malha de Terra . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . de . . . . . . . .. A.4 Parâmetros Críticos dos Sistemas de Aterramento . . . . . . . .. xi. 87 87 87 87 87 88 88 88 88 88 89 89 89 89 90 90 90 91 91 91 91 92 92 93 93 93 93 93 94.

(12) Lista de Figuras 1.1. Representação de uma malha de aterramento utilizado os nós 3D do método TLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1 2.2 2.3 2.4. Nó bidimensional série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha bidimensional - Nós série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nó bidimensional palarelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Decomposição do SCN em nós série: (a)Plano xy; (b)Plano yz; (c)Plano xz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Representação do Nó Condensado Simétrico (SCN). . . . . . . . . . . . 2.6 Portas do SCN:(a)Campo Elétrico; (b)Campo Magnético. . . . . . . . . 2.7 Conexão entre portas dos nós SCN adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Portas dos Nós SCN adjacentes à fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Determinação da corrente através da lei de Ampère. . . . . . . . . . . . 2.10 Nó de Curto-Circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Stub indutivo aplicado ao plano "xy" do SCN. . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Conexão das portas 4 e 8 considerando perdas. . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3. Fluxograma do algoritmo adaptado de [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . Volume modelado - 3 hastes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensão de pico no solo em 20, 30, 40 e 50 microsegundos após o inicio da excitação - resultados do algoritmo adaptado. . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tensão de pico no solo em 20, 30, 40 e 50 microsegundos após o inicio da excitação - resultados da referência [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Corrente de impulso atmosférico 1,2/50µs. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Tensão de pico para cada profundidade de solo abaixo da malha - malha 10×10 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Tensão de pico para cada profundidade de solo abaixo da malha - malha 20×20 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Tensão de pico para cada camada de ar acima do solo - malha 10×10 m. 3.9 Tensão de pico para cada camada de ar acima do solo - malha 20×20 m. 3.10 Malhas simuladas - 10×10 (vermelha), 20×20 (Azul), 30×30(Verde), 40×40(cinza) e 50×50 (preta). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Tensão de pico para cada malha simulada - 0,1, 0,5 e 1µs. . . . . . . . . 3.12 Tensão de pico para cada malha simulada - 5 e 10µs. . . . . . . . . . . xii. 2 6 7 8 10 11 12 16 18 22 23 25 27 33 34 35 35 37 39 40 43 44 46 48 49.

(13) 3.13 Malhas 30×30 - variação do ponto de injeção de surtos. . . . . . . . . . 3.14 Malhas 30×30 - variação do ponto de injeção de surtos. . . . . . . . . .. 50 51. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6. 57 58 62 66 68. 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13. Fluxograma das etapas de avaliação de um sistema de aterramento. . . Fluxograma de avaliação dos sistemas de aterramento para alta freqüência. Áreas sensíveis e zonas de inuências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Malha de terra - Subestação de Tauá - projeto de 60 Hz. . . . . . . . . Pontos de injeção de surto na malha de terra - Subestação de Tauá. . . Corte A - entrada de linha 230 kV - pontos A,B e C (indicados na Figura 4.5) - Subestação de Tauá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corte B - conexão do transformador em 69 kV e casa de relés de 69 kV - pontos D, E e F (indicados na Figura 4.5) - Subestação de Tauá. . . . Área sensível do ponto D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores de pico da tensão e zonas de inuência do ponto D. . . . . . . . Zonas de inuência - ponto D - azul: 2 kV e vermelho: 4 kV. . . . . . . Valores de pico da tensão e zonas de inuência - Casos A, B e C. . . . . Valores de pico da tensão e zonas de inuência - ponto K e casos A e B. Zonas de inuência - ponto K - azul: 2 kV e vermelho: 4 kV. . . . . . .. A.1 Potenciais Perigosos - Figura Adaptada do IEEE Std 80 - 2000 [24] . .. xiii. 69 69 71 72 72 74 75 76 90.

(14) Lista de Tabelas 2.1. Mapeamento das Portas e Campos Elétricos e Magnéticos do SCN. . .. 11. 3.1 3.2. 36. 3.6 3.7. Parâmetros da onda de impulso 1,2/50µs. . . . . . . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV para as profundidades de 1, 3 e 5 m - malha 10×10 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV para as profundidades de 1, 3 e 5 m - malha 20×20 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV para as camadas de ar de 0,5, 1 e 1,5 m - malha 10×10 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV para as camadas de ar de 0,5, 1 e 1,5 m - malha 20×20 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV para cada malha simulada. . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV - variação do ponto de injeção de surtos. . . . .. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5. Classicação dos equipamentos quanto ao ambiente. . . . . Suportabilidade dos equipamentos. . . . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV na área sensível. . . . . . . . . . . . Picos de tensão em kV - surto no ponto D - comparação de Picos de tensão em kV - surto no ponto K - comparação de. 61 61 71 73 75. 3.3 3.4 3.5. xiv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . soluções. . soluções. .. . . . . .. 41 41 45 45 47 50.

(15) Lista de Símbolos Vi i k Vp r k Vp i k+1 Vn r k Vn Vi VR Ii A Ei Hi Y0n Y0 Zˆ Z0n Zb ZLT Yˆ R Ln Cn µo µr εo εr ∆l ∆t Γ λ υ α, β ∆%. Tensão na porta "i" do nó condensado simétrico Tensão incidente na porta "p" em um instante de tempo "k" Tensão reetida na porta "p" em um instante de tempo "k" Tensão incidente na porta "n" num instante de tempo "k+1" Tensão reetida na porta "n" num instante de tempo "k" Tensão na direção "i" Tensão no elemento dissipativo de um meio com perdas Corrente na direção "i" Amplitude da corrente de descarga (modelo IEEE) Campo elétrico na direção "i" Campo magnético na direção "i" Admitância característica do espaço aberto Admitância (inverso da impedância característica) Impedância normalizada do "stub"indutivo Impedância característica do espaço aberto Impedância da fronteira da região modelada pelos nós SCN Impedância do volume modelado pelos nós SCN Admitância normalizada do "stub"capacitivo Elemento dissipativo (meio com perdas) Indutância associada com cada linha de transmissão Capacitância associada à linha de transmissão Permeabilidade magnética do vácuo Permeabilidade magnética relativa do meio Permissividade elétrica do vácuo Permissividade elétrica relativa do meio Espaço nodal (para o SCN cúbico) Passo de tempo Coeciente de reexão Comprimento de onda Velocidade de propagação da onda no meio Constantes de decaimento da descarga atmosférica Variação percentual de uma grandeza. xv. volts volts volts volts volts volts volts ampère ampère volts/metro ampère/metro mho mho ohms ohms ohms ohms henry farad henry/metro farad/metro metros segundos metros metros/segundo segundo− 1 -.

(16) 1. Considerações Iniciais. O conhecimento torna a alma jovem e diminui a amargura da velhice. Colhe, pois, a sabedoria. Armazena suavidade para o amanhã.. Leonardo da Vinci. 1.1 Introdução O crescente processo de automação e digitalização do sistema elétrico é uma tendência irreversível apesar do ambiente eletromagnético hostil com os quais se deparam os equipamentos eletrônicos sensíveis que compõem estes processos. O nível de interferência eletromagnética intrínseco ao sistema elétrico pode causar operação indevida destes equipamentos sobretudo quando de situações de funcionamento anormal do sistema elétrico, quando são provocadas condições eletromagnéticas mais severas. Nestas situações devemos garantir que a operação destes equipamentos seja a mais conável possível. A interação destes equipamentos eletrônicos mais sensíveis com este ambiente eletromagnético tem sido motivo de estudos realizados por organizações técnicas internacionais tais como o CIGRÊ (Conseil International des Grands Réseaux Électriques) e o IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) e motivo de preocupação das diversas empresas de energia elétrica do país e do mundo. Dentro deste quadro o estudo de transitórios elétricos em sistemas de aterramento e o desenvolvimento de metodologias para avaliação destes fenômenos de alta freqüência tornam-se importantes e necessárias para viabilizar a operação dos sistemas elétricos.

(17) 2. de maneira mais eciente e conável. Atualmente, com o progressivo aumento da capacidade de processamento dos computadores, houve um rápido desenvolvimento de métodos numéricos de modelagem de sistemas de aterramento capazes de simular fenômenos de alta freqüência. Destacam-se entre os principais métodos numéricos, o Método dos Elementos Finitos (FEM), o Método dos Momentos (MoM), o método da Diferenças Finitas (FD) e o Método TLM (Transmission-Line Modeling). O método TLM, tomado como base para o desenvolvimento deste trabalho, teve como pioneiros os estudos desenvolvidos por P.B. Johns e R.L Beurle [1]. É um método de modelagem numérica de discretização no domínio do tempo que se baseia nas equações diferencias das linhas de transmissão onde obtemos tensões e correntes em determinados pontos chamados de nós. A Figura 1.1 apresenta uma modelagem de um sistema de aterramento utilizando á metodologia tridimensional do TLM.. Figura 1.1: Representação de uma malha de aterramento utilizado os nós 3D do método TLM.

(18) 3. Instalações de um sistema elétrico tais como subestações e usinas podem apresentar grandes dimensões e por conseguinte grandes sistemas de aterramento. A simulação destes sistemas pode levar a problemas relacionados com o tempo de simulação e a capacidade de processamento e de memória de computadores. Neste sentido, tornase necessária a investigação de metodologias capazes de avaliar grandes sistemas de aterramento de forma compatível com tempos de projeto e capacidade de computadores.. 1.2 Objetivos da Dissertação A presente dissertação tem como objetivo principal fornecer contribuições para o desenvolvimento de uma metodologia capaz de avaliar grandes sistemas de aterramento quando submetidos a fenômenos de alta freqüência. Neste sentido, o presente objetivo pode ser caracterizado através das seguintes etapas:. X Estudo e apresentação da metodologia de análise numérica TLM tridimensional através de sua formulação matemática;. X Adaptação e validação de um algoritmo capaz de simular sistemas de aterramento frente a fenômenos de alta freqüência a partir do apresentado em [2];. X Determinação da inuência de parâmetros geométricos nos valores de tensão transitória que surge em um sistema de aterramento excitado por fenômenos de alta freqüência;. X Apresentar um uxograma de ações capazes de contribuir para avaliação de um grande sistema de aterramento;. X Realizar estudo de caso onde este uxograma de ações seja empregado e soluções para possíveis problemas sejam discutidas.. 1.3 Estrutura da Dissertação Esta dissertação está dividida em cinco capítulos e é complementada por um apêndice..

(19) 4. O Capítulo 1 apresenta uma introdução ao tema, fornecendo comentários gerais sobre o contexto no qual o mesmo se insere e enumera os objetivos que se desejam alcançar. O Capítulo 2 apresenta uma descrição do método TLM (Transmission-Line Modeling) tridimensional, onde é tratada a formulação matemática tridimensional do TLM. O Capítulo 3 apresenta o algoritmo utilizado para aplicação do método TLM tridimensional e sua validação. São realizadas simulações com o objetivo de estudar algumas congurações e o impacto destas na representação dos fenômenos transitórios que ocorrem em sistemas de aterramento. O Capítulo 4 apresenta contribuições para o desenvolvimento de uma metodologia capaz de avaliar um grande sistema de aterramento e faz uma aplicação destas contribuições em um estudo de caso. No Capítulo 5 são apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos futuros. O Apêndice A apresenta uma coletânea de denições, critérios e parâmetros para projetos de aterramento em baixa freqüência..

(20) 2. Formulação do Método TLM Tridimensional Para dizer o que vai acontecer é preciso entender o que já aconteceu.. Nicolau Maquiavel. 2.1 Introdução O desenvolvimento do método TLM (Transmission-Line Modeling) tridimensional teve grande importância para o estudo de problemas de eletromagnetismo. Vários modelos de nós tridimensionais foram desenvolvidos até o surgimento do nó SCN. (Symmetrical Condensed Node) [3]. Este Capítulo apresenta a formulação matemática tridimensional do TLM. Entretanto, antes de apresentar o nó tridimensional, será apresentado de maneira sucinta a formulação do TLM bidimensional uma vez que o elemento básico tridimensional originou-se das células básicas utilizadas no modelo bidimensional.. 2.2 Formulação Matemática Bidimensional do TLM A discretização do espaço bidimensional, no método TLM, é realizada através da utilização de dois tipos básicos de células: o nó série e o nó paralelo. Estes nós são aplicados em classes de problemas distintas, entretanto, em ambos os casos, os materiais presentes são modelados através de impedâncias [4, 5]..

(21) 6. 2.2.1 Formulação do Nó Série O nó série resulta da conexão de dois segmentos de linha de transmissão a 90o . É apresentado na Figura 2.1 o nó série como o resultado da conexão de capacitâncias paralelas e indutâncias séries distribuídas igualmente nos quatro braços do nó.. Figura 2.1: Nó bidimensional série.. Nesta apresentação do nó série são desconsideradas as perdas. Sendo assim, a resistência série e a condutância paralela não aparecem neste modelo. Esta conguração é utilizada para representar as dimensões cartesianas "x" e "y" e suas características elétricas são simétricas em ambas direções. O nó série possui as tensões (denominadas freqüentemente de "portas")V1 , V2 , V3 e. V4 localizadas nas suas quatro extremidades e a corrente I, que circula no nó. Com estes valores é possível determinar o campo elétrico na direção "x" e "y" (através das tensões) e o campo magnético na direção "z" (através da corrente). No diagrama apresentado na Figura 2.1 podemos obter com as portas 1 e 3 o valor do campo elétrico. Ex , com as portas 2 e 4 o valor do campo elétrico Ey e a corrente I dene o campo magnético Hz . A conexão de uma rede de nós série através de suas portas produz a modelagem do.

(22) 7. espaço bidimensional. A malha de nós toma uma forma semelhante a apresentada na Figura 2.2.. Figura 2.2: Malha bidimensional - Nós série.. A partir desta conguração podemos denir equações que simulam como as tensões que incidem nas quatro portas do nó são transformadas em tensões reetidas para fora dele, em um determinado instante de tempo "k". Estas equações podem ser representadas por um sistema matricial que origina a "Matriz de Espalhamento" [4]. São representados na Equação 2.1 os vetores de tensão incidentes e reetidas e a matriz de espalhamento para o nó série.. . r k V1.   Vr  k 2   kV r  3 r k V4. . .  1. 1. 1.     1 1 −1    = 0, 5 ×    1 −1 1   −1 1 1. −1. . i k V1. .     i  1    k V2   ×  kV i  1    3  i 1 k V4. (2.1). Onde:. X k Vpi é a tensão incidente na porta "p" em um instante de tempo "k" ; X k Vpr é a tensão reetida na porta "p" em um instante de tempo "k". Para cada iteração são determinados os valores de campo, tensão ou corrente em cada nó a partir das tensões incidentes. As tensões reetidas para os nós adjacentes.

(23) 8. são determinadas através da Equação 2.1. A iteração é nalizada através do processo de conexão, onde é garantido que a tensão reetida por uma porta do nó (em um passo de tempo) passará a ser a tensão incidente na porta do nó adjacente, no próximo passo de tempo. O processo de conexão é apresentado na Equação 2.2. i k+1 V1. (x, y) = k V3r (x, y − 1). i k+1 V2. (x, y) = k V4r (x − 1, y). i k+1 V3. (x, y) = k V1r (x, y + 1). i k+1 V4. (x, y) = k V2r (x + 1, y). (2.2). Onde:. X. i k+1 Vn. é a tensão incidente na porta "n" num instante de tempo "k+1" ;. X k Vnr é a tensão reetida na porta "n" num instante de tempo "k". 2.2.2 Formulação do Nó Paralelo Apresentamos o nó paralelo na Figura 2.3 e este representa outro modelo que pode ser utilizado para realização de análises bidimensionais com o TLM.. Figura 2.3: Nó bidimensional palarelo.. Neste modelo, as correntes que circulam em cada uma das quatro portas e a tensão sobre o capacitor, no centro do nó, determinam duas componentes de campo magnético e uma de campo elétrico. O campo magnético na direção "x" é determinado através das.

(24) 9. correntes nas portas 1 e 3, o campo magnético da direção "y" é determinado através da corrente nas portas 2 e 4 e o campo elétrico na direção "z" é determinado através da tensão no capacitor. São representados na Equação 2.3 os vetores de tensão incidentes e reetidas e a matriz de espalhamento para o nó paralelo.. . r k V1.   Vr  k 2   kV r  3 r k V4. . .  −1.    1     = 0, 5 ×   1    1. 1 −1 1 1. 1. 1. . i k V1. .     Vi  1    k 2   ×  kV i  −1 1  3    i 1 −1 k V4 1. (2.3). Como as topologias dos nós série e paralelo são duais, a rotina de conexão do nó paralelo é idêntica a apresentada na Equação 2.2. 2.3 Formulação Matemática Tridimensional do TLM O modelo TLM tridimensional teve o início do seu desenvolvimento em 1974, com a criação do Nó Expandido [6], que utilizava a junção de três nós série e três nós paralelo. Esta estrutura foi utilizada durante vários anos para estudos de problemas de propagação eletromagnética, porém era uma estrutura bastante complexa [5]. Uma versão mais evoluída foi descrita em 1980, recebendo o nome de Nó Condensado Assimétrico. Teve como principal vantagem trazer todas as componentes de campo para o centro do nó. Entretanto, por ser assimétrico, ainda apresentava diculdades nas conexões dos nós [7]. No início da década de 80 outros modelos foram propostos destacando-se o "Nó. de Yoshida, Funkai e Fukuoka" [8] e o "Nó Escalar" [9], que embora seja bastante eciente computacionalmente, é aplicável apenas a problemas escalares. Atualmente, a estrutura mais utilizada em problemas com TLM tridimensional é o Nó Condensado Simétrico (SCN - Symmetrical Condensed Node) que foi descrito por Johns em 1986 [10, 11]. O SCN é essencialmente um objeto algébrico, uma representação física das equações discretizadas de Maxwell [12], representando assim um avanço signicativo para o método TLM..

(25) 10. 2.3.1 Nó Condensado Simétrico (SCN) A estrutura do SCN é composta de um segmento tridimensional, onde o espaço é modelado por linhas de transmissão nas três direções do sistema de coordenadas, conforme mostrado na Figura 2.4. Estas linhas de transmissão funcionam como o nó série do modelo bidimensional (seção 2.2.1), onde cada linha possui uma corrente e quatro tensões (portas).. Figura 2.4: Decomposição do SCN em nós série: (a)Plano xy; (b)Plano yz; (c)Plano xz.. Quando consideramos os três nós bidimensionais, simultaneamente em um único elemento tridimensional, originamos o SCN. É mostrado na Figura 2.5 o Nó Condensado Simétrico (SCN). As doze tensões, referentes as doze "portas" nas extremidades do SCN, denem o campo elétrico e o campo magnético presente em cada nó, nas direções do espaço cartesiano (x,y,z). Para exemplicar, tomemos as portas 4 e 8: são responsáveis pela determinação das tensões incidentes e reetidas na direção "y", estando assim, associadas ao campo elétrico na direção "y" e ao campo magnético na direção "x"..

(26) 11. Figura 2.5: Representação do Nó Condensado Simétrico (SCN).. Apresentamos na Tabela 2.1 o mapeamento das portas e componentes de campo para o Nó Condensado Simétrico (SCN) mostrado na Figura 2.5. Tabela 2.1: Mapeamento das Portas e Campos Elétricos e Magnéticos do SCN.. Porta. Campos Associados. 1. Ex e Hz. 2. Ex e Hy. 3. E y e Hz. 4. Ey e Hx. 5. Ez e Hx. 6. E z e Hy. 7. Ez e Hx. 8. Ey e Hx. 9. Ex e Hy. 10. E z e Hy. 11. E y e Hz. 12. Ex e Hz. 2.3.2 Matriz de Espalhamento do SCN Na formulação tridimensional, a metodologia para se obter a matriz de espalhamento, segue a mesma losoa da mostrada na Seção 2.2.1 para o nó bidimensional série. Uma matriz de espalhamento que converte as tensões incidentes em tensões reetidas é obtida para o SCN. Entretanto, esta matriz de espalhamento.

(27) 12. não pode ser obtida como no caso bidimensional, através do equivalente de Thévenin, uma vez que o SCN é essencialmente um objeto algébrico, uma representação física das equações discretizadas de Maxwell. A matriz de espalhamento do nó foi primeiramente obtida por P.B. Johns através das equações de Maxwell em conjunto com as leis de conservação da carga energia [2, 4]. J. L. Herring descreve um procedimento alternativo para obtenção da matriz de espalhamento do nó SCN [13]. Este procedimento tem como base a continuidade dos campos elétricos e magnéticos e a conservação da carga e do uxo magnético. A seguir apresentaremos uma descrição conforme J. L. Herring. A partir das linhas que contribuem para a direção "x" do campo elétrico, como mostrado na Figura 2.6(a), e aplicando o princípio da conservação da carga teremos:. Figura 2.6: Portas do SCN:(a)Campo Elétrico; (b)Campo Magnético.. ∆t. X¡. X ¢ Y0n Vni =∆t (Y0n Vnr ). n. (2.4). n. Sabendo que:. ∆t Z0n. (2.5). X¡ ¢ X ¢ X Cn Vni = (Cn Vnr ) → Vni = (Vnr ). (2.6). Cn = Teremos:. X¡ n. n. n. n.

(28) 13. Onde:. X Y0n é a admitância característica do espaço aberto; X Cn é a capacitância associada à linha de transmissão. Sendo assim:. V1i + V2i + V9i + V12i = V1r + V2r + V9r + V12r. (2.7). Da mesma forma, podemos obter as equações para os outros eixos cartesianos "y" e. "z" :. V3i + V4i + V8i + V11i = V3r + V4r + V8r + V11r. (2.8). V5i + V6i + V7i + V10i = V5r + V6r + V7r + V10r. (2.9). Agora, com linhas que contribuem para a direção "x" do campo magnético, como mostrado na Figura 2.6(b), e aplicando o principio da conservação do uxo magnético teremos:. X. Ln Ini =. n. X n. Ln Inr →. X. Ini =. n. X. Inr. (2.10). n. Onde: Ln é a indutância associada com cada linha de transmissão. Então, podemos escrever:. I5i + I8i − I7i − I4i = I5r + I8r − I7r − I4r. (2.11). Sabendo que:.   Ii = Y × V i 0  I r = −Y0 × V r. (2.12). Onde: Y0 é a admitância, igual ao inverso da impedância característica do espaço aberto..

(29) 14. A Equação 2.11 pode ser reescrita da seguinte maneira:. V5i + V8i − V7i − V4i = − (V5r + V8r − V7r − V4r ). (2.13). Da mesma forma, podemos obter as equações para os outros eixos cartesianos "y" e. "z" :. V2i + V10i − V9i − V6i = − (V2r + V10r − V9r − V6r ). (2.14). V3i + V12i − V11i − V1i = − (V3r + V12r − V11r − V1r ). (2.15). Como o campo elétrico deve ser continuo através dos ramos de linha paralelos e tomando os ramos paralelos aos eixos "y" e "z" teremos:. V1 + V12 = V2 + V9. (2.16). Temos que a tensão total em cada porta é dada por V = V i + V r , logo:. ¡. ¢ ¡ ¢ V1i + V12i − V2i + V9i = − (V1r + V12r ) + (V2r + V9r ). (2.17). Da mesma forma, podemos obter as equações para os outros eixos cartesianos "y" e. "z" :. ¡. ¢ ¡ ¢ V4i + V8i − V3i + V11i = − (V4r + V8r ) + (V3r + V11r ) ¡ i ¢ ¡ ¢ V6 + V10i − V5i + V7i = − (V6r + V10r ) + (V5r + V7r ). (2.18) (2.19). Considerando a continuidade do campo magnético e igualando-os sobre os ramos paralelos ao eixo "y" como os paralelos ao eixo "z", teremos:. I5i − I7i = I8i − I4i. (2.20).

(30) 15. Temos que a corrente em cada porta é dada por I = Y0 (V i − V r ), logo:. ¡. ¢ ¡ ¢ V5i − V7i − V8i − V4i = (V5r − V7r ) − (V8r − V4r ). (2.21). Da mesma forma, podemos obter as equações para os outros eixos cartesianos "y" e. "z" :. ¢ ¡ ¢ V2i − V9i − V10i − V6i = (V2r − V9r ) − (V10r − V6r ) ¡ i ¢ ¡ ¢ V3 − V11i − V12i − V1i = (V3r − V11r ) − (V12r − V1r ) ¡. (2.22) (2.23). As igualdades apresentadas nas Equações 2.7, 2.8, 2.8, 2.13, 2.14, 2.15, 2.17, 2.18, 2.19, 2.21, 2.22 e 2.23 são linearmente independentes e formam um conjunto de equações que resolvido, dá origem à matriz de espalhamento do nó SCN apresentada a seguir (Equação 2.24).. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ [H] ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. V1r V2r V3r V4r V5r V6r V7r V8r V9r V10r V11r V12r. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V1 ¯ ¯ 1 1 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ 1 −1 1 ¯ ¯ V2 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 −1 ¯¯ ¯¯ V3i ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Vi ¯ ¯ 1 1 −1 1 ¯ ¯ ¯ 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V5 ¯ ¯ 1 1 −1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r ¯ ¯ ¯ 1¯ ¯ ¯ V6 ¯ 1 1 1 −1 ¯= ¯ ¯·¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ ¯ i ¯ −1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ V7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Vi ¯ ¯ 1 −1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 8 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ Vi ¯ −1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V10 ¯ −1 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ ¯ −1 1 1 1 ¯¯ ¯¯ V11 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V12 ¯ 1 −1 1 1 (2.24).

(31) 16. 2.3.3 Conexão com o Instante de Tempo Seguinte Um ponto importante no modelo do nó SCN é determinar o processo de propagação das ondas eletromagnéticas fora do SCN. A modelagem do espaço através do nó SCN implica na junção das extremidades dos nós adjacentes. Com isso é possível o acoplamento entre as tensões reetidas por um nó em um dado instante e as tensões incidentes nos nós adjacentes, no instante seguinte. Uma fração do espaço modelado através de nós SCN é mostrada na Figura 2.7.. Figura 2.7: Conexão entre portas dos nós SCN adjacentes.. Observando-se a Figura 2.7, vemos que a tensão reetida pela porta 4 do nó localizado na posição (x,y,z), no instante de tempo "k", corresponderá à tensão incidente na porta 8 do nó adjacente localizado em (x,y,z-1), no instante de tempo. "k+1". De maneira análoga, podemos observar que a tensão reetida pela porta 8 do nó da posição (x,y,z-1), no instante "k", coresponderá à tensão incidente na porta 4 do nó em (x,y,z), no instante "k+1". Sendo assim, podemos escrever: i k+1 V8 (x, y, z. − 1) = k V4r (x, y, z). i k+1 V4 (x, y, z). Onde:. = k V8r (x, y, z − 1). (2.25).

(32) 17. X. i k+1 V8 (x, y, z − 1). é a tensão incidente na porta 8 do nó (x,y,z-1), no instante "k+1" ;. X k V4r (x, y, z) é a tensão reetida na porta 4 do nó (x,y,z), no instante "k" ; X. i k+1 V4 (x, y, z). é a tensão incidente na porta 4 do nó (x,y,z), no instante "k+1".. X k V8r (x, y, z − 1) é a tensão reetida na porta 8 do nó (x,y,z-1), no instante "k" ; O processo descrito ocorre em todas as outras portas do SCN, sendo assim possível determinar expressões como a Equação 2.25 para cada extremidade do nó. Em cada passo de iteração no tempo devem ser realizadas duas etapas importantes. A primeira etapa calcula as tensões reetidas no interior de cada nó através das tensões incidentes e da matriz de espalhamento. A segunda etapa aplica as tensões reetidas calculadas na primeira etapa para determinar o valor das novas tensões incidentes (através de Equações como a 2.25), usadas para reiniciar um novo instante de tempo. Nestas etapas descritas, os nós que estão na fronteira do domínio de simulação não são contemplados. Estes nós não apresentam contato com nós adjacentes em todas as suas extremidades e assim, não permitem que algumas portas façam a conexão com o momento seguinte, conforme descrito anteriormente. Portanto, se faz necessário determinar as condições de contorno para estes nós especícos. 2.3.4 Condições de Contorno Conforme descrito na Seção 2.3.3, existem nós que estão nos limites do volume de simulação (fronteira) e estes, dependendo de sua posição, apresentam de uma até três extremidades sem contato com outros nós. Como a etapa de espalhamento deve ser realizada igualmente para todos os nós, uma nova etapa deve ser acrescentada para simulação dos nós de fronteira. Uma vez identicados os nós pertencentes às fronteiras do volume modelado, aplicase as etapas conforme mostradas na seção 2.3.3 para as portas que possuem nós adjacentes. Para as portas que não possuem este contato utiliza-se um coeciente de reexão para denir as novas tensões incidentes do próximo passo de iteração. O coeciente de reexão é calculado de acordo com os parâmetros físicos dos materiais de preenchimento do volume modelado e do volume encontrado além da fronteira. A Figura 2.8 mostra um determinado nó onde a extremidade direita está no limite do volume simulado. Neste caso, as portas 10 e 11 não possuem contato com outros.

(33) 18. Figura 2.8: Portas dos Nós SCN adjacentes à fronteira.. nós e as equações de conexão com o momento seguinte, levando em conta o coeciente de reexão, passam a ser: i k+1 V10 (x, y, z). = Γ × k V10r (x, y, z). i k+1 V11 (x, y, z). = Γ × k V11r (x, y, z). (2.26). Onde: Γ é o coeciente de reexão dado por:. µ Γ=. Zb − ZLT Zb + ZLT. ¶ (2.27). Onde:. X Zb é a impedância da fronteira; X ZLT é a impedância do volume modelado. O TLM não permite considerar, de forma direta, o conceito de coeciente de reexão complexo uma vez que é um método no domínio do tempo. Isto limita o uso desta técnica aos casos de fronteiras não-dispersivas e aos casos de incidência normal. É importante frisar que, por questão de sincronismo, a fronteira deve se achar necessariamente a uma distância de "∆l/2" do último nó do volume simulado, já que as tensões reetidas pelas portas limítrofes tem um tempo "∆t" para retornarem ao nó como tensões incidentes [2]..

(34) 19. Com objetivo de estabelecer uma relação entre o tamanho do nó e o passo de tempo a ser utilizado em cada simulação, é preciso determinar como ocorre a propagação de ondas no interior de um volume modelado com o SCN. 2.3.5 Determinação do Tempo de Propagação Considere uma onda plana com campo elétrico polarizado na direção "y" e propagando-se na direção "x". A onda deverá incidir perpendicularmente sobre a face esquerda de um volume modelado com o SCN. Neste caso, verica-se que todos os nós desta face receberão tensões incidentes apenas em sua porta 3 (ver Figura 2.5). No primeiro passo de iteração, após o espalhamento, as portas 1, 4, 8 e 12 de todos os nós desta face receberão tensões reetidas, conforme estabelece a Equação de Espalhamento (2.24). A propagação da onda na direção "x" não pode ainda ser vericada, pois a tensão na porta 11 de cada nó (correspondente ao campo elétrico polarizado na direção "y" ) ainda é zero. No segundo passo de iteração, os nós da face esquerda receberão tensões incidentes nas portas 1, 4, 8 e 12, de acordo com o processo de conexão com o instante de tempo seguinte, exemplicado nas Equações 2.25 e 2.26. Só depois de aplicada a matriz de espalhamento neste segundo passo de iteração é que a porta 11 receberá tensões reetidas. Assim, é possível vericar que a propagação da onda incidente na porta 3 e depois reetida na porta 11, gastou dois passos de iteração. Considerando que o SCN é cúbico de dimensão "∆l", a velocidade de propagação de uma onda plana incidindo perpendicularmente no volume modelado, será [2]:. υ=. ∆l 2 · ∆t. (2.28). Onde: υ é a velocidade de propagação da onda no meio. 2.3.6 Excitação no TLM A excitação de qualquer componente de campo elétrico ou magnético em um nó SCN, ocorre através da injeção de pulsos de tensão em portas especicas. As equações para os componentes de campo elétrico, são [2]:.

(35) 20.  E0 ×∆l i i i i    Ex → V1 = V2 = V9 = V12 = − 2   . Ey → V3i = V4i = V8i = V11i = − E0 ×∆l 2. (2.29). Ez → V5i = V6i = V7i = V10i = − E0 ×∆l 2. E as equações para os componentes de campo magnético são [2]:.  i i i i    Hx → V4 = −V8 = V7 = −V5 =   . Hy → Hz →. H0 ×∆l×Z0 2 H0 ×∆l×Z0 i i i i V9 = −V2 = V6 = −V10 = 2 H0 ×∆l×Z0 i i i i V11 = −V3 = V1 = −V12 = 2. (2.30). A excitação também pode se dar por corrente, bastando para isso, injetar tensões nos nós adjacentes ao material condutor, de forma a criar um campo magnético ao seu redor e satisfazer a lei de Ampère. Na seção 2.3.8, este procedimento será mostrado com maiores detalhes. No TLM a forma de excitação pode ser representada por qualquer forma de onda cuja equação seja conhecida, como tensões senoidais, surtos atmosféricos ou de manobra, ondas quadradas, etc. Para utilizar estas formas de onda é preciso apenas modicar os valores de E0 e H0 (nas Equações 2.29 e 2.30) de acordo com a equação da forma de onda desejada, a cada passo de iteração. 2.3.7 Cálculo de Campos O valor de tensão em uma determinada direção é calculado através da média das tensões que estão nesta direção [2]. Em um instante de tempo "k", temos que a tensão em cada porta é determinada pela soma algébrica das tensões incidentes e reetidas (ver Figura 2.5). Sendo assim, podemos calcular as tensões nas direções "x,y,z", conforme mostrado a seguir:.  1 r i r i r i r i    Vx = 4 [(V1 + V1 ) + (V2 + V2 ) + (V9 + V9 ) + (V12 + V12 )]   . Vy = 14 [(V3i + V3r ) + (V4i + V4r ) + (V8i + V8r ) + (V11i + V11r )]. (2.31). Vz = 14 [(V5i + V5r ) + (V6i + V6r ) + (V7i + V7r ) + (V10i + V10r )]. Temos que, de acordo com a Lei da Conservação das Cargas, a soma das tensões incidentes ao nó é igual a soma das tensões reetidas por ele. Então as Equações 2.31.

(36) 21. podem ser re-escritas como:.  1 i i i i    Vx = 2 (V1 + V2 + V9 + V12 ) Vy = 12 (V3i + V4i + V8i + V11i )    Vz = 12 (V5i + V6i + V7i + V10i ). (2.32). As componentes dos campos elétrico e magnético se relacionam com os parâmetros do circuito através das seguintes equações:.  Vx    Ex = − ∆x e Hx = Vy Ey = − ∆x e Hy =    Vz Ez = − ∆x e Hz =. Ix ∆x Iy ∆x Iz ∆x. (2.33). Para uma malha uniforme, formada por nós SCN de espaçamento ∆l, teremos:.  1 i i i i    Ex = − 2×∆l (V1 + V2 + V9 + V12 )   . 1 (V3i + V4i + V8i + V11i ) Ey = − 2×∆l. (2.34). 1 (V5i + V6i + V7i + V10i ) Ez = − 2×∆l. Para determinar as equações para o campo magnético, torna-se necessário encontrar o valor das correntes que circulam pelo o nó. Estas correntes podem ser determinadas utilizando o modelo equivalente de Thevenin, conforme mostrado em [14]. Sendo assim, o valor do campo magnético aplicado é determinado através das equações a seguir:.     Hx = Hy =    Hz =. 1 2×Z0 ×∆l 1 2×Z0 ×∆l 1 2×Z0 ×∆l. (V4i − V8i + V7i − V5i ) (V9i − V2i + V6i − V10i ). (2.35). (V11i − V3i + V1i − V12i ). 2.3.8 Cálculo de Correntes No método TLM as correntes podem ser calculadas através da equação obtida a partir da Lei de Ampère (Equação 2.36).. I I= L. → − → H · dl. (2.36).

(37) 22. Figura 2.9: Determinação da corrente através da lei de Ampère.. → − Para " H " igual ao campo magnético nos nós adjacentes e "L" o caminho ao redor do nó onde se deseja calcular a corrente, conforme mostrado na Figura 2.9, podemos calcular a corrente na direção "Z" do nó central situado na coordenada (x,y) através da Equação 2.37. A Equação 2.37 pode ser expandida para calcular correntes ao redor de mais de um nó de acordo com a região de interesse. Entretanto, deve-se ter em mente, que esta equação deveria também inclui alguma componente de corrente de deslocamento [4].. Iz =. ∆l 2 ∆l 2 ∆l 2 ∆l 2. · Hx(x−1,y−1,z) + ∆l · Hx(x,y−1,z) + · Hy(x+1,y−1,z) + ∆l · Hy(x+1,y,z) + · Hx(x+1,y+1,z) − ∆l · Hx(x,y+1,z) − · Hy(x−1,y+1,z) − ∆l · Hy(x−1,y,z) −. ∆l 2 ∆l 2 ∆l 2 ∆l 2. · Hx(x+1,y−1,z) + · Hy(x+1,y+1,z) − · Hx(x−1,y+1,z) −. (2.37). · Hy(x−1,y−1,z). 2.3.9 Modelagem de Materiais Condutores Os materiais condutores apresentam certas características que os diferenciam dos demais tipos de materiais. Em especial, os condutores considerados ideais apresentam.

(38) 23. a capacidade de reetir completamente todas as tensões incidentes, não apresentando resistência elétrica nem, portanto, perdas por efeito Joule. Baseado no Nó Condensado Simétrico, o nó de curto-circuito, apresenta nesse princípio, isto é, a reexão de todas as tensões incidentes no nó. A Figura 2.10 mostra o nó de curto-circuito.. Figura 2.10: Nó de Curto-Circuito.. A matriz de espalhamento deste nó apresenta modicações em relação àquela mostrada para o SCN na Equação 2.24. Para garantir a reexão total de todas as tensões incidentes, é preciso que os elementos da diagonal principal da matriz de espalhamento sejam iguais a −1, como mostra a Equação 2.38.. . r k V1.   Vr  k 2  .  ..  r k V12. . .       =    .  . −1 −1. i k V1.     Vi   k 2 · . ..   .. .   i −1 k V12.       . (2.38). 2.3.10 Modelagem de Casos Não-Homogêneos O modelo TLM tridimensional para meios homogêneos é baseado na matriz de espalhamento como denida na seção 2.3.2. Nestes casos homogêneos, considera-se que todo o volume modelado é preenchido por apenas um tipo de material de impedância característica "Z0 ". Podemos também modelar materiais condutores perfeitos, pois não.

(39) 24. implica em modicações substanciais na dimensão da matriz de espalhamento original ou ainda nos parâmetros de simulação (∆l, ∆t e υ). Entretanto, existe a necessidade de modelar, em certos casos, dois ou mais materiais com características elétricas e/ou magnéticas diferentes do material de preenchimento básico (normalmente o ar). Sendo assim, é preciso realizar algumas modicações no modelo. Basicamente existem duas maneiras de implementar a introdução de diferentes materiais em um meio:. • Através da modicação da velocidade de propagação no meio; • Inserindo trechos de linha do tipo stub. Quando a modicação é realizada variando a velocidade de propagação no meio, esta modicação pode ser feita variando-se ∆l ou ∆t, contudo, ambos os procedimentos acarretam em perda do sincronismo. Por esse motivo, opta-se por um modelo estendido do SCN, que passa a ter trechos de linhas com impedâncias extras chamados stub [4]. Os stubs funcionam como portas adicionais que realizam o trabalho de defasagem do sinal, devendo ser aplicado apenas na modelagem de materiais que possuam permissividade elétrica ε e permeabilidade magnética µ diferentes do material de preenchimento básico. A Figura 2.11 mostra a inserção de um stub indutivo na linha que representa o plano "xy" do SCN. O stub adicionado é um segmento de linha de transmissão com terminação curto-circuitada que possui uma impedância "Zˆ ", normalizada em relação à impedância característica do meio. Este stub é chamado do tipo indutivo, pois modela a inserção de uma indutância adicional variando a permeabilidade do meio.. A inclusão desta indutância causa. defasagens na corrente que circula no plano "xy", inuenciando o cálculo do campo magnético na direção "z". A relação entre a impedância "Zˆ " e a permeabilidade relativa do novo material µr é expressa como [2]:. Zˆ = 4 × (µr − 1). (2.39). Um stub do tipo capacitivo com a terminação em circuito aberto, adiciona uma capacitância ao nó e inuencia no cálculo do campo elétrico. O stub capacitivo modela.

(40) 25. Figura 2.11: Stub indutivo aplicado ao plano "xy" do SCN.. a alteração de permissividade através de sua admitância normalizada "Yˆ ". A relação entre a admitância "Yˆ " (normalizada em relação à Y = 1/Z0 ) e a permissividade relativa do novo material εr é expressa como [2]:. Yˆ = 4 × (εr − 1). (2.40). Supondo que os materiais podem apresentar os dois tipos de não-homogeneidade simultaneamente e que isto pode ocorrer nas três dimensões, será preciso adicionar seis stubs em cada SCN, de modo a permitir a modelagem de qualquer nãohomogeneidade. A matriz de espalhamento cará, então, acrescida de mais seis linhas e colunas, passando a possuir a ordem 18x18. Por convenção, os stubs capacitivos são representados pelas linhas e colunas (portas) 13 a 15 e os stubs indutivos pelas linhas e colunas (portas) 16 a 18. Para garantir o sincronismo, os pulsos incidentes nos stubs são reetidos por suas terminações (circuito aberto ou curto-circuito) em um tempo de ∆t/2. Conforme apresentada por Silveira, J.L [2] a nova matriz de espalhamento é mostrada na Equação 2.41..

(41) 26. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. V1r ¯¯ V2r V3r V4r V5r V6r V7r V8r V9r r V10 r V11 r V12 r V13 r V14 r V15 r V16 r V17 r V18. ¯¯. a. b. b. a. d. d. b d b. b. a. d. −d. c. d. a. b. c. −d. b. a. b. −d. c. b. a. d. c. −d. d. a. b c. b c. c. b. e. e. c. b. b. b. g. c. −d. −d. g. b. g b. a. d. d. a. b. f. −f. −f. d. d. a. g. e. h. f. i −i i −i. g. h. e. h. −f. f. i. g. a. e. e. −i. g. e e. g. j f. −f. j. −f. f. −f. i ¯¯ ¯¯ V1i ¯¯ i ¯ ¯ V2. ¯¯. −i ¯¯ ¯¯ V3i ¯¯ i ¯ ¯ V4. i. c. e e. g g. b e. −i g. b. b. −d e. f. g. b −d. −d. −d −d. c. b. d. b. c. a. −d. ¯¯ i ¯ ¯ V5 ¯¯ ¯ ¯ Vi ¯¯ 6 ¯¯ i ¯ ¯ V7 ¯¯ i ¯ ¯ V8 ¯¯ ¯ ¯ Vi ¯¯ 9 ¯· ¯ i ¯ ¯ V10 ¯¯ i i ¯¯ ¯¯ V11 ¯¯ i −i ¯ ¯ V12 ¯¯ i ¯ ¯ V13 ¯¯ ¯ ¯ Vi ¯ ¯ 14 ¯¯ i ¯ ¯ V15 ¯¯ i ¯ ¯ V16 ¯¯ ¯¯ i ¯ ¯ V17 ¯¯ i j ¯ ¯ V18 (2.41). Os coecientes de "a" até "j", para um material isotrópico estão apresentados na Equação 2.42, conforme [2]..   a=           c=           . −Yˆ 2(4+Yˆ ). b=. +. ˆ Z ˆ) 2(4+Z. 4 2(4+Yˆ ). −Yˆ 2(4+Yˆ ). −. ˆ Z ˆ) 2(4+Z. f= g=. ˆ 4Z ˆ) 2(4+Z ˆ 4Y 2(4+Yˆ ). h=. d=. 4 ˆ) 2(4+Z. i=. e=. 4 2(4+Yˆ ). j. Yˆ −4 Yˆ +4. (2.42). 4 ˆ) 2(4+Z ˆ Z = 4− ˆ 4+Z. 2.3.11 Cálculo de Campos em Meios Não-Homogêneos Em meios não-homogêneos isotrópicos, o cálculo de campos elétricos e magnéticos devem levar em consideração a presença dos stubs, com suas portas adicionais. Sendo assim, as Equações 2.34 e 2.35 são modicadas, conforme mostrado nas equações a seguir:. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯.

(42) 27.  ³ ´ 2 i i i i i  ˆ E = − V + V + V + V + Y V  x 1 2 9 12 13  ∆l×(4+Yˆ )  ³ ´  Ey = − ∆l× 24+Yˆ V3i + V4i + V8i + V11i + Yˆ V14i ( )³  ´   2  i i i i i ˆ  Ez = − V + V + V + V + Y V 5 6 7 10 15 ∆l×(4+Yˆ ). (2.43).   Hx = − Z ×∆l×2 4+Zˆ (V4i − V8i + V7i − V5i − V16i )   ( ) 0   2 Hy = − Z ×∆l× 4+Zˆ (V9i − V2i + V6i − V10i − V17i ) ( ) 0    2  i i i i i  Hz = − ˆ ) (V11 − V3 + V1 − V12 − V18 ) Z0 ×∆l×(4+Z. (2.44). A corrente é calculada através da Lei de Ampère, como no SCN sem stubs, calculando os campos magnéticos nos nós ao redor da região de interesse. 2.3.12 Modelagem de Meios com Perdas Os meios com perdas são modelados através da adição de stubs dissipativos. Estes elementos representam linhas innitas, de forma que a energia é absorvida e nenhuma reexão é observada em sua porta [15]. O modelo de perdas exige a adição de dois stubs (perdas elétricas e magnéticas) para cada direção do espaço cartesiano, o que resultaria na adição de mais seis linhas e colunas à matriz de espalhamento. Sendo assim, em princípio, seria necessária uma matriz de espalhamento de ordem 24x24. A presença de um nó com estas características representaria um grande esfoço computacional. Uma alternativa é a introdução de um elemento dissipativo (R) no processo de conexão [16]. Neste caso, parte da energia que seria transmitida para a porta do nó adjacente é escoada para o elemento dissipativo. A Figura 2.12 apresenta o modelo para a conexão das portas 4 e 8 de dois nós adjacentes (x,y,z) e (x,y,z-1), respectivamente.. Figura 2.12: Conexão das portas 4 e 8 considerando perdas..

(43) 28. A tensão no elemento dissipativo pode ser determinada usando o teorema de Millman e é apresentada na Equação 2.45.. VR =. 2×V4r Z0 2 Z0. 2×V8r Z0 + R1. +. (2.45). A conexão com o momento seguinte para o nó com perdas, considerando a Equação 2.45, ca sendo:.   . i k+1 V8. (x, y, z − 1) = VR − k V8i (x, y, z − 1). i k+1 V4. (x, y, z) = VR − k V4i (x, y, z). (2.46). 2.3.13 Erro de Dispersão Quando discretizamos o espaço, surge um problema que consiste em que o modelo deixa de ser válido para todo o espectro de freqüências. Isto ocorre porque, em modelos discretos, a hipótese de que a velocidade de propagação da onda é a mesma em todas as direções só é válida se o passo de discretização espacial "∆l" for muito menor que o comprimento de onda "λ". Nestes casos, a propagação é dita isotrópica e velocidade dada pela Equação 2.28. Nos casos em que as dimensões do nó são da ordem do comprimento de onda, a simulação passa a apresentar modos espúrios, resultantes da dispersão numérica [5, 17]. Assim, é necessário limitar a área de atuação do modelo, de forma que possamos determinar para que freqüências as respostas obtidas são válidas.. Uma restrição. bastante comum na literatura é a de limitar o valor do passo de discretização espacial a um décimo do valor do menor comprimento de onda desejado (Equação 2.47). Para o caso especíco do nó SCN, esta restrição garante erros menores que 1% [4].. ∆l ≤. λ 10. (2.47). 2.4 Conclusões do Capítulo Neste Capítulo foi apresentada a formulação matemática para o modelo tridimensional do método TLM. Foram abordados tópicos relevantes para a aplicação do TLM em problemas de aterramento de sistemas elétricos, tais como modelagem.

(44) 29. de meios não-homogêneos e com perdas. Modelos de materiais condutores, com a apresentação do nó curto-circuito, também foram apresentados. A principal contribuição deste capitulo consiste na apresentação de um modelo matemático capaz de simular o comportamento de várias congurações de sistemas de aterramento e que apresenta implementação computacional relativamente simples. Nos próximos capítulos, serão abordados os tópicos relativos ao objetivo principal de estudo desta dissertação que é o comportamento de sistemas de aterramento frente a surtos de alta freqüência utilizando o modelo TLM tridimensional e as contribuições para desenvolvimento de uma metodologia para avaliação destes sistemas..