Controle e vibrações e ruido por neutralizadores dinamicos tipo viga : metodo das grandezas generalizadas equivalentes

CONTROLE DE VIBRAÇÕES E RUlDO POR

NEUTRALIZADORES DINÂMICOS TIPO VIGA:

MÉTODO DAS GRANDEZAS GENERALIZADAS EQUIVALENTES

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

FERNANDO LUIZ FREITAS FILHO

CONTROLE DE VIBRAÇÕES E RUÍDO POR NEUTRALIZADORES DINÂMICOS T IP O VIGA: MÉTOEXD DAS GRANDEZAS GENERALIZADAS EQUIVALENTES

FERNANDO L U IZ'F R E IT A S FILHO

ESTA DISSERTAÇXO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇSO DO TÍTULO DE

MESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA ÂREA DE CONCENTRAÇÃO VIBRAÇÕES E RUÎEX)

E APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÕS-GRADUAÇXO

Prof. José João de Espíndo la, Ph. D Ori entador

BANCA EXAMINADORA:

Prof. José João de Espíndo la, P h.D. Presidente

Prof. Arcanjo Wenzi , Ph. D.

Aos meus pai s

AGRADECI MENTOS

Ao P r o f. José JoSo de Esp índ o la, pela o rien taçSo, p elo apoio e

p e la am izade;

Ao Eng. Eduardo Márcio de O l i v e i r a Lopes p>ela oportunidade de

e s t á g i o no Laboratório de VibraçSes e A cústica da UFSC;

Ao Eng. H ilt o n Penha S i l v a p ela v a lio s a ajuda durante o

tra n sc o rre r dos t ra b alh o s;

Ao P r o f. A rcanjo L e n z i , pelo apoio e pela am izade;

Aos demais professores do curso . Prof. Nelson Diógenes do V a lle ,

P r o f. Samir N. Y. Gerges e Prof. Arno B la s s , pelos ensinamentos

tra n sm itid o s em suas d i s c i p l i n a s ;

Aos P r o fesso re s Arno B lass e Berend Sno eijer pelo incansável

t r a b a lh o r e a l i z a d o como Coordenadores do Curso;

Aos c o le g a s do LVA, M areio, Buba, J o s e v a l , L u i z , G e rald o , A c ir ,

P a r u , C a r l o s , Paulo H enrique, Gustavo, Pacheco, M u rilo , A drian a,

Fu, P ar u , S t e l a , Guillerm o, F lá v io , Roberson e demais b o l s i s t a s ;

À todos os fu n c io n á rio s do LVA, do CPGEM e do DEM, pela

a t e n c io s a colaboraçSo;

Ao CNPq - programa RHAE, p elo apoio fin a n c e ir o no prim eiro

ano de t ra b a lh o ;

A C ap es, p elo apoio f in a n c e ir o no decorrer da últim a etapa deste

t r a b a lh o ;

Aos meus p a i s , p ela v a l io s a educaçSo re ceb ida e pelo total apoio

d u r a n t e todo o tra b alh o ;

A B r i g i t e , p elo amor e carinh o dedicados e p ela c e r t e z a de uma

1 - I NTRODUÇÃO...1

2 - NEUTRALIZADORES DINÂMICOS TIPO VIGA...4

2 . 1 - Obtenção das M atrizes das Grandezas Generalizadas Equivalentes em funçSo da M atriz de R igidez Dinâmica do Neutrali z a d o r ...4

2. 2 - Determinação da M atriz de Transferência do Neutral i za d o r ... 8

2. 3 - Obtenção da M atriz de R ig id e z Dinâmica para o Neutral izador Dinâmico tip o Viga Simples com Massa de Sin to n ização na Extrem idade...13

2. 4 - Determinação da Expressão das Freqüências Naturais do N eutralizador Dinâmico Tipo V ig a ... 14

3 - APLICAÇÃO DO NEUTRALI ZADOR TIPO VIGA. CASO PARTICULAR: FUNÇÃO DE TRANSMISSI BI LI DADE...17

3. 1 - Determinação da Transm issibi 1 id a d e para uma Viga em Balanço na qual São Acoplados Dois N eutra lizad o res Dinâmicos... 17

3. 2 - Otim ização da R ig id e z e Amortecimento do N eutralizador a Partir da Função de T r a n s m is s ib ilid a d e ...24

3 . 2 . 1 - Considerações I n i c i a i s ...24

3 . 2 . 2 - Otim ização da R i g i d e z ...25

3 . 2 . 3 - Otim ização do Amortecimento... 28

4 - NEUTRALI ZADORES DINÂMICOS T IP O VIGA SANDUÍCHE...45

4 .1 - Introdução...45

4. 2 - P ro jeto do Neutralizadòr Tip>o Viga Sim ples...46

4. 3 - P ro jeto do Neutralizador Tipo Viga Sanduíche...49

4 . 3 . 1 - Determinação das Freqüências Naturais e do Fator de Perda de Vigas Sanduíche...• • 49

4 . 3 . 2 - Comparação Entre os Resultados Teóricos e Experimentai s ...52

4 . 3 . 3 - Projeto da Viga Sanduíche Equiv alen te..., . 5 9 5 - CONCLUSSES E SUGESTCÍES PARA TRABALHOS FUTUROS... 63

APÊNDICE A - Teoria das Grandezas G eneralizadas Equivalentes. . . .6 6 APÊNDICE B - OBTENÇÃO DA MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA PARA A VIGA EM FLEXXO...77

APÊNDICE C - DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSMISSI BI LI DADE...82

SIMBOLOGIA

b = la r g u r a da viga

CO = c o e f i c i e n t e de amortecimento viscoso g eneralizado

equi vai ente

D = EI

Do = " r i g i d e z " EI do n e u t r a lizador quando a freqüência de

re sso n â n c ia do i-ésimo modo do n eu tra lizador for igual à

fr e q ü ê n c ia de re sso n â n c ia do modo J

e = e x c e n t r ic id a d e do centro de gravidade da massa de

s in t o n iz a ç ã o em re laçS o à extremidade da viga do

neut r a l i zador E = módulo de e l a s t i c i d a d e de Young f , F = e x c ita ç ã o f , F = fr e q ü ê n c ia EHz] h = a lt u r a da viga i = v í T

I = segundo momento de área da seção

Ia = momento de in é r c ia b a r ic ê n t r ic o da massa de sin ton izaçã o

K = r i g i d e z dinâmica

ktj = elem ento da m atriz de r ig i d e z dinâmica

t = comprimento da v ig a Csistema primárioD L = comprimento da vig a do n e u tra lizador

m = massa por unidade de comprimento da viga Csistema primárioD

me = massa g e n e r a liz a d a e q u iv ale n te

M = momento fle t o r

Mc = massa de s in t o n iz a ç ã o do n e u tr a lizador

to .= parâmetro de tempo

Tf = t r a n s m i s s ib i1 id a d e da força

Tm = t r a n s m i s s ib il i d a d e do momento

[ T3 = m atriz de t r a n s fe r ê n c ia

ti-j = elemento da m atriz de tran sferên cia

V = e s fo r ç o c o r ta n te

y = parâmetro geom étrico

0(j = Oci/Qj

cxij = D/Do

/9^ = fr e q ü ê n c ia adim ensional

y = razão e n tre a massa total do neutralizador e a massa da viga

fj = massa por u n idade de comprimento do neutral izador

Y) = fato r de perda e = rotação

p = d en sida d e

= função deslocam ento da viga em flexão

to = d e f 1 exão

O = fr e q ü ê n c ia c ir c u l a r

Oa = fr e q ü ê n c ia natural do neutralizador

Oj = fre q ü ê n c ia natural do modo j do sistema p rin cipal

CONVENÇÕES:

O símbolo sobre qualquer variável in d ic a q uantidade complexa;

O símbolo • sobre qualquer variável in d ic a derivad a em relação ao

tempo;

O símbolo ’ so b re qualquer variável in d ic a d eriva d a em relação à

p o siç ã o ;

o sím bolo < > in d ic a vetor;

O sím bolo I I in d ic a valor absoluto

O sím bolo Re< > s i g n i f i c a a parte real do termo entre chaves;

O sím bolo Im< > s i g n i f i c a a parte i/naginária do termo entre

chaves ;

O sím bolo ] s i g n i f i c a a transformada de Fourier do termo entre

A t e o r ia c l á s s ic a dos n eu tra liza d o r es dinâmicos

c o n s id e r a o sistem a a ser contro lad o , bem como o n e u t r a l iz a d o r ,

como tendo um único grau de lib e rd a d e . Uma nova t e o r ia ,

absolutam ente g e r a l , fo i d e sen v o lv id a para n e u tra liza d o res de um

grau de l ib e r d a d e acoplados a sistem as de m últiplos graus de

l ib e r d a d e , Esta t e o r ia baseia- se na su b s t itu iç ã o dos

n e u t r a liz a d o r e s por suas propriedades g e n e r a liza d a s e q u iv a le n te s ,

ou s e j a , massa g e n e r a liza d a e q u iv a le n te e c o e f ic i e n t e de

amortecimento v iscoso g e n e r a liza d o equ iv alen te.

Esta t e o r i a , a p lic a d a com sucesso para n eu tr a liza d o res

s im p le s , é agora expandida para n e u tr a liza d o r e s dinâmicos tip o v i g a , com dois graus de lib e r d a d e na r a i z , i s t o é, no ponto de

fixaçãío ao sistem a primário. Com o a u x í l i o do método das m atrizes

de t r a n s fe r ê n c ia , as m atrizes das grandezas g e n e r a liza d a s

e q u iv a le n te s sSo d e r iv a d a s , bem como as equaçSes g e r a is do sistema

composto, em termos das coordenadas do sistem a prim ário apenas.

Ê apresentado um exemplo que c o n s is t e numa vig a em

b alanço na qual são acoplados 2 n e u t r a liza d o r e s t ip o vig a e uma

fo r ç a fCtD.

Foi f e i t o um processo de otim ização dos n e u tra liza d o res

p ara o contro le dos prim eiros modos de vibração do sistema

p r i n c i p a l .

São plotadas as curvas da função de t r a n s m is s ib ilid a d e ,

d e f i n i d a , no domínio da fr e q ü ê n c ia , p elo módulo da razão entre a

ABSTRACT

The c la s s ic a l theory of dynamic n e u tr a lize r s considers

both the system to be c o n t r o lle d and the n e u t r a liz e r , as s in g le

d e g re e of freedom systems. A new theory, ab solutely g e n e r a l , was

d evelo ped for s in g l e degree of freedom n e u tr a lize r s attached upon

a multi degree of fredom system. This theory i s based on the

s u b s t i t u t i o n of the n e u t r a l iz e r s for their equivalent g e n e ra lize d

q u a n t i t i e s , i . e . , e q u iv a le n t mass and equivalent viscous damping.

This theory, a p p lie d with success to simple

n e u t r a l i z e r s , i s now expanded to beamlike dynamic n e u t r a l i z e r s ,

w ith two degrees of fredom on i t s b ase , i. e. , the point where the

n e u t r a l i z e r s are f i x e d to the main system. With the help of the

T r a n s fe r M atrix Method, the m atrices of the equivalent g e n e r alize d

q u a n t i t i e s and the general equations of the compound system are

d e r i v e d , as a fu n c tio n of o n ly the coordinates of the main system.

An example i s shownd, which co nsists in a can tilever

beam w ith two beam like n e u t r a l iz e r s and a fo rce fCtD. A

n e u t r a l iz e r o p tim iza tio n process i s done to control the f i r s t 3

modes o f the main system. The t r a n s m is s ib i1 i t y functio n is plotted

INTRODUÇÃO

Nos últimos anos, uma lin h a de pesquisa foi implantada

no Labo ratório de VibraçCes e A cú stica, sob orientaçSo do

P ro fesso r José JoSo de Espíndola, visando a aplicaçSo de

elastôm eros ao controle de vibraçSes e ruído.

Em uma prim eira etapa, as pesquisas se orientaram para a

mediçSo das propriedades dinâmicas de elastômeros. O conhecimento

p r e c is o destas propriedades é essencial para o projeto de d i s p o s i t i v o s para reduçSo de vibraçSes e ruído. A mediçSo destas

p ro p ried ad es e x ig iu uma infra- estrutura complexa e desenvolvimento

de "s o f t w a r e " e sp e c ífico . Deste trabalho resultou a d issertaçSo de

mestrado [15 ], A segunda etapa c o n s is t iu na an á lise de motores

aero náutico s montados em iso la d o re s elastoméricos. Foi

d e se n v o lv id a uma formulaçSo matemática p ertin e n te , bem como

algo ritm os computacionais para a n á lis e do desempenho de um motor

montado em isolado res v is c o e lá s tic o s. E finalm ente o te r c e ir o ramo

d e s sa pesquisa é o da aplicaçSo de n eu tra liza d o res dinâmicos de

v ib r a ç S e s para o controle de vibraçSes e ruído.

Quando sobre um sistem a, ou parte d e le , atua uma força

a lt e r n a d a de freqüência próxima de uma de suas freqüências

n a t u r a is i este pode apresentar vibraçSes e x c e s s iv a s , e /o u ir ra d ia r

ru íd o s desagradáveis. Para o co ntrole dessas vibraçSes pode-se

u t i l i z a r um dos seguintes recursos:

aD atuar sobre a exc ita çSo , ou s e j a , reduzir a amplitude

in t r o d u z ir amortecimento ao sistem a;

cD a p l ic a r um sistema mecânico secundário ao sistema

prim á rio , com o o b je t iv o de d is s ip a r a e nerg ia v ib r a tó ria e/o u

a p lic a r fo r ç a s de reaçSo ao sistema primário.

Ao sistem a secundário r e fe r id o acima dá-se o nome de

Neutral i zador Dinâmico de Vib raçSes, que nada mais é do que um

d i s p o s i t i v o mecânico acoplado ao sistem a p r i n c i p a l , com a

f i n a l i d a d e de r e d u zir ou controlar vibraçSes a n íveis aceitáveis.

A t e o r ia c l á s s ic a sobre n eu tra liza d o r es dinâmicos,

estu dad a in ic ia lm e n t e por Ormondroyd e Den Hartog e apresentada

por vá rio s a u t o r e s , Cll- CS], considera o sistema a ser controlado

como tendo um ún ico grau de lib erd ad e. Esta te o ria é lim itada em

seu escopo é , obviam ente, inadequeda para a ap lic a ç S o a sistemas

complexos com d e n sid a d e modal considerável.

Uma t e o r i a geral para o co ntro le modal de estruturas

complexas fo i d e se n v o lv id a , graças aos conceitos de massa

g e n e r a l i z a d a e q u iv a le n t e e amortecimento viscoso generalizado

e q u iv a le n t e . Por essa te o r ia o controle é f e i t o modo a modo e,

in d e p e n de n te do número de n e u tra liza d o res ou de quantos graus de

lib e r d a d e possuem. As equaçSes g e rais Cno domínio da freqüênciaD

sSo e s c r i t a s nas coordenadas g e n e r a liza d a s do sistema primário

apenas. E sta t e o r i a foi apresentada nas r e fe r ê n c ia s [6D-C93 para

n e u t r a l iz a d o r e s de i grau. de lib e r d a d e e a p lic a d a a um exemplo,

c u jo s r e s u lt a d o s numéricos foram comparados com material publicado

de 2 çfraus de lib e r d a d e do tip o v ig a , que consistem numa viga em

b a la n ç o com uma massa de sin to n izaç ã o na extremidade [ 5 ] , Eli 3.

No c a p ítu lo 2 é apresentada a formulação matemática para

a d eterm in açã o das m atrizes das grandezas g eneralizadas

e q u i v a l e n t e s . Para tanto u tilizo u - se como recurso o método das

m a t r iz e s de t r a n s fe r ê n c ia [12]- tl33. Além d is s o , neste cap itulo é

d e te rm in ad a a expressão para cálculo das freqüências naturais do

n e u t r a li zador .

No c a p ítu lo 3 é d is c u t id a a aplicação do neutralizador

din âm ico num caso p artic u la r das r e fe rê n c ias [ 8 3 -Cl 0 3 , que

c o n s i s t e na determinação da função de t r a n sm is s ib i1 id ade de uma

fo r ç a a p l i c a d a em uma viga em balanço quando 1 ou 2

n e u t r a l i z a d ô r e s dinâmicos são acoplados à mesma. É f e it o o

c o n t r o l e p ara o 12, 22 e 3^ modos. Ê f e i t o , também, um processo de

o t im iz á ç S o da r i g i d e z e amortecimento do n e u t r a l iz a d o r , bem como

são ap r e se n ta d o s os resultados comparativos entre o presente

t r a b a l h o e o da r e fe r ê n c ia CS3.

No c a p ítu lo 4 apresenta-se um método para obtenção de

uma v ig a s a n d u íc h e, com c a r a c te r ís tic a s equivalentes às da viga

sim p le s o b t id a no cap ítu lo an terio r. Este trabalho foi

d e s e n v o lv id o por Raò [143 e c o n s iste no projeto de uma viga

sa n d u íc h e e q u iv a le n t e , com as mesmas freqüências naturais e o

mesmo amortecimento de uma vig a simples.

No c a p ítu lo 5 são apresentadas as conclusSes a respeito

d e s t e t r a b a l h o , bem como sugestSes para trabalhos que possam ser

NEUTRALIZADORES DINÂMICOS TIPO VIGA

2 . 1 . ObtençSo das M atrizes das Grandezas Generalizadas

E q u iv a le n te s em FunçSo da Matriz de R ig id e z Dinâmica do

Neutr a l i zador

S e ja a v ig a uniform e da fig u r a abaixo:

Mo

Vo $

í |

^ ectD

íoCtD

FIGURA 2 . 1 - Forças e Deslocamentos de uma Viga em Balanço.

Na f ig u r a 2 . 1 é representada uma viga em balanço com os

r e s p e c t iv o s e sforços e deslocamentos na extremidade engastada. Mo

e Vo s S o , respectivam ente, momento fle to r e esforço cortante no

ponto O. Observa—se que neste ponto existem apenas dois

movimentos, o de t ra n sla ç ã o w e o de rotação 6 . Ao acoplarmos esta

v ig a a um sistem a prim ário com o o b jetiv o de d is sip a r energia

s in t o n i z a ç ã o na extrem idade liv r e . Essa massa, como o próprio nome

d i z , tem por o b j e t iv o s in t o n iz a r o neutralizador para a condição

ótim a de operação. S e ja o veto r. <Z>1 = <*>i e i Mt Vu C2. ID

que r e p re se n ta os e sfo rços e os deslocamentos no ponto i da

v i g a . A e s t e vetor dá-se o nome de vetor de estado [ 1 2 ] -ti33.

S e ja o operador [ T3 que, aplicado ao vetor <Z>o

r e p r o d u za o vetor <Z>i, ou s e j a ,

<Z>i = [T3 <Z>o C2. 2D

A e ste operador dá-se o nome de Matriz de Transferência.

No p re s e n te t ra b a lh o , apenas por questão de conveniência, será

c o n s id e r a d o o s e g u in t e vetor de estado:

<Z>i =

—coi Mi Vv

Considerando um deslocamento u n itá r io na translação

0 t31 t32 t33 t34 Mo

0 t41 t42 t*3 t44 Vo

Tomando-se as duas últi mas

vetor <22>i , chega-se a:

{

Mo Vo r K

21

'

1

t4* -tS4 ' l A -t43 t33 ' t31 ^ t4i j C2. 4:> onde; A = taa t-*4 - t34 t'43

Considerando um deslocamento u n itá r io na rotação C fig ura

2. 3:> , tem-se que;

'

Mo \

_

r K

2 2 1

1

t*4

-t34

r t32 '

Vo J

X

12

j

A

-t43

t33

^ t42

C2. 5D

Tem-se, entSío, que a Matriz de R ig id e z Dinâmica para a

viga da f ig u r a 2 . 1 , em função dos termos da Matriz de

T r a n s fe r ê n c ia , pode ser o b tida por:

Kii Ki2

Kzi K

22

C2. 61)

Kii = Ki2 = Kzi = K

22

= t33 t ^ l - 1 31 Í43 t33 t-44 - t-43 t34 t43 t32 - t33 t42 t33 t-4< - t43 tS4 t*.* t31 - tS4 t41 tS3 t * * - t «3 tS4 t34 t * 2 - t * 4 tS2 t33 t 4 4 - t43 tS4 Mo Vo

(

kzi k

11

kii = Vo k

21

= Mo

FIGURA 2 . 2 - Deslocamento U nitário na Translação

3

kiz

ki

2

= Vo

kz

2

= Mo

Convém observar que a matriz de r ig id e z dinâmica é

complexa e funçSo da freqüên cia. Is t o ocorre pelo fato de que os

termos da matriz de t ra n sfe r ê n c ia para uma viga são função da

fr e q ü ê n c ia . Além d is s o , em se tratando de um neutralizador

dinâm ico t ip o v ig a , deve-se considerar que a vig a s e ja amortecida

e , p o rtan to , o módulo de Young é complexo. Estas consideraçSes

serão apresentadas no próximo item quando se determinará a matriz

de t r a n s fe r ê n c ia para o n eutralizador dinâmico.

Finalm ente, as matrizes do c o e f ic ie n t e de amortecimento

v is c o so g e n e r a liz a d o e q u iv ale n te tcoCÍX)] e de massa gene raliza da

e q u iv a le n t e CmeCODl, segundo Espíndola [75 e [9 3 , são dadas por;

, Im<CKCfD3> [c®CCD3 = [ moC 02) 3 = -O _ ca. 7:) Re<[KCO:>3>

No apên dice A a teo ria das grandezas gene raliza da s

e q u iv a le n te s é apresentad a, bem como, a dedução das expressSes

ca. 72).

a. a. Eteterininação da M atriz de T ran sferênc ia do Neutralizador

S e ja a vig a em fle xã o da fig u r a 2 . 4 , na qual está representad o o sistem a de coordenadas a ser adotado, bem como a

convenção de s i n a i s . Os dois deslocamentos são a deflexão co e a

rotação ©, e as fo rças correspondentes são o esforço cortante V e

S e j a , a g o ra , a v ig a em balanço da f ig u r a 2. 5 , que

r e p r e s e n t a o n e u t r a liz a d o r dinâmico tip o viga.

I

EÇ CD . I . fj

Mc , Ia

FIGURA 2 . 5 - N e u t r a liz a d o r Dinâmico Tipo Viga

Na f i g u r a a n t e r i o r , as grandezas representadas têm o

s e g u in t e s i g n i f i c a d o :

ECOD é o módulo complexo de Young em funçSo da fr e q ü ê n c ia Q;

I é o momento de ârea da seção transversal ; fj é massa d i s t r i b u í d a ;

e é a e x c e n t r ic id a d e do centro de gravidade da massa de

s in t o n i z a ç S o erp r e laç S o à extremidade do neu tralizador ;

L é o comprimento do n e u t r a l1 z a d o r ;

Mc é a massa de s in t o n iz a ç S o na extremidade do n e u t r a l iz a d o r ;

Ia é o momento de i n é r c i a b aricên tric o da massa da extremidade.

O módulo complexo de Young é dado pela expressão.

ECfD ,= E [ 1 + i r)CCD 0 ,

ca. 85

onde E é o módulo de Young e r)CQ5 é o fator de perda do material

do n e u t r a l!z a d o r em função da freqüência.

A r ig o r , o fator de perda rjCCD é também função da tem peratura, ou s e j á , r )C C i,T ). No presente trabalho não será c o n s id e r a d a a variação com a temperatura. Porém, deve-se lembrar

que na a p lic a ç ã o do n e u t r a l i z a d o r , o mesmo deve ser u t i l i z a d o em

uma tem peratura adequada.

Segundo E spíndo la [ 1 2 3 , a matriz de t ra n sfe r ê n c ia para

uma v ig a de comprimento L, obedecendo as convençBes assumidas

an terio rm e n te , é dada por Cver apêndice B2):

[T]oi = onde: Cl C2 C 3 / D C 4 / D c 4 1 C 1 C 2 / D C 3 / D c D X * 3 1 c 4 D X *1 C 1 C2 C2 D X * 1 C3 D X * 1 C4 X * 1 C 1 C2. 9D

Xi = XiCOD = D = DCo:) = E c r ú I Cl = ciCOD = C2 = c zC C D = C3 = C3CŒ) = o* = c *C CD = cosh X L + 1 cos X L 1 2 senh X L + 1 sen X L 1 2 X 1 cosh X L - 1 cos X L 1 2 X “ 1 z senh X L - 1 sen X L 1 2 X

Para a massa de sin to n iza ç ã o , de acordo com a fig u r a

2 . 6 , pode-se obter a s e g u in t e matriz de transferência:

[T]12 = 1 O O e 1 Io 2 Mc Q Mc e n O 0 1 O

o

o

C 2.

io:>

Ml Vi M2 ^ 1 ^ Î V2 Mc C OH - e 0iD 9 • Ôt ) Io êi

A matriz de t r a n s f e r ê n c ia total [TJoz do n eu tra liza d o r,

ou s e j a , a matriz de tr a n sf er ênci a para a viga mais a massa da

extrem id ad e é obtida por:

tT3oz = [ T ]i2 CTloi C2 . I I D

Tem-se. então f que a matriz de tra n sfe r ê n c ia , para o

n e u t r a li zador di nâ/ni co t ip o v ig a , com massa de sin ton ização na

extrem id ad e, é dada por :

tii 1 12

tl3

1

14

t21 t22

t23

t24

[TD02 =

ca. ia:>

tsi ts2

t33

ts* t*i t * 2

t<3

t44

onde: tii = tl2 = tl3 = tl4 = Cl + c À e 1 C

2

+ Cl e Cc3 + C2 eD D Cc4 + C3 eD D t21 t22 t23 t24 tsi = C4 X* 1 = Cl = C2 / D = C3 / D = X"* C-C4 I a + C3 D 1 + C

2

e D2)

t32 t33 = t34 = = -Cl Io + C4 D X * + C3 e D X 1 1 -C2 n Io 4 --- + Cl + C4 e X D 1 -C3 n Io + C2 + Cl e

t 4 i = C l O* Mc + C4

e

O* Mc X * + C2

D

X

t * 2 = C2

Mc

+ Cl e

O* Mc

+ C3 D X * 1 = C4

Mc

^ C3 e

Mc

D D + Cl

Lembrando que t , = t. .COD , i.,j = 1 , 4 VJ VJ

2 . 3 . Obtenção da M atriz de R ig id e z Dinâmica para o Neutralizador

Dinâmico tip o Viga Simples com Massa de Sin to n ização na

Extremidade.

Para obter a matriz de r ig i d e z dinâmica do

n e u t r a l i z a d o r , basta s u b s t it u ir a expressão C2. 12D em C2.6I).

Então, [ KC fD 3 = Kii Ki2 K21 K22 C2. 13I> onde:

Kii = CctsCai-as^ + cvCaz as + as asD - cio a4 D + 2ca as as] / ó

Kzi = [ -C12 a i - e i l a s + c ö a4 D c i o aa D - c a asC aa + a2D ] / 6

K22 = C c e C a i - asD - c i o DCa2 + aaD - c ? a4 D] / «5 ^

<5 = + c<sCa

₂

+ aa e) + c7 aa + ce a4 - c p X* + ci^ D 1 c s = ca^ - C2 C4 . 4 CÖ = c a C4 \ - Cl C2 1 2 . 4 2 C7 = C4 X - C2 1 CB = Cl C4 - C2 C3 Ci> = C2 C4 2 . 4 2 CIO = C3 X - Cl 1 eil = C2^ - Cl C3 2 V * G12 = C4 X - Cl C3 1 ai =

0

"* Mc la / D a3 = e Mc / D a4 = Mc / D

S u b s t it u in d o as expressSes acima nos termos K

12

e K

21

e

fa ze n d o as d evidas operaçSes matemá.ti c a s , chega-se a conclusão que

Ki

2

é ig u al a K

21

. Portanto, a matriz de r ig i d e z dinâmica é

si métri ca.

2 . 4 . Determinação da Expressão das Freqüências N aturais do

N e u tra lizad o r Dinâmico Tipo Viga.

Da r e fe r ê n c ia C153 sabe-se que a expressão para o

V< xD = Al sen X x + Az cos X x + Aa senh X x + A4 cosh X x C2. 14D

1 1 1 1

S u b stitu in d o as condiçSes de contorno conforme a fig u r a

2 . 7 ’, tem-se que:

o'* Mc I a X Ccos X L cosh X L - ID +

I a X * D Csen X L cosh X L + cos X L senh X LZ) +

2 ^ 2 * * * * C2. 1 5:>

o Mc D X Csen X L cosh X L - cos X L senh X LD -

1 1 1 1 1

X ° Cl + cos X L cosh X LD = O

1 1 1

Da expressão anterior pode-se obter os valores das

fr e q ü ê n c ia s n atu rais da vig a em questão.

Supondo que <*>m s e ja a freqüência natural do modo que se

quer- controlar as vibraçSes do sistema p r in c ip a l, aplicando-o na

e xp re ssã o anterior e fixando- se os demais parâmetros, obter-se-á

os v a lo re s de ** D ** para os quais a freqüência de ressonância do

n e u t r a liz a d o r co in c id a com a do sistema p r in c ip a l. Nota-se que

e x i s t i r ã o i n f i n i t o s valores de " D '* em que i s t o ocorre, pois

haverá um valor de " D " onde a freqüência natural do primeiro

mbdo do n eu tra liza d o r será igual a a>m; haverá outro valor de " D "

onde a fre q ü ê n c ia natural do segundo modo do neutralizador será

ig u a l a o>m; e assim por d ia n te . Is t o pode ser melhor observado na

f i g u r a 2 . 8 , onde é plotado o g r á fic o log jF| x O. F é a função

c u j a s r a í z e s são freqü ên cias naturais do neutralizador e,

p o rt a n t o , os pontos em que ocorrem os vértices nas curvas

representam as freqü ên cias n atu rais do n eu tra liza d o r. Verifica- se

q u e , para o maior valor de D = EI , o 1® modo do neutralizador

I

M = D \í/’ ' C L 5 C V = D v'’ ’ ’ C LD

fi* V<L5 M

c fi* V^’ C LD I . V < O D = O y/’ C O D = O E l y/" C L 5 - fi* y /'C U > l a = O E l v / * » * C L 5 + fi* v<L:> Mc = o

FIGURA 2 . 7 — GondiçSes de Contorno

CAPITULO 3

A PLICAÇÃO DO NEUTRALIZADOR T IP O VIGA

CASO PARTICULAR: FUNÇÃO DE T R A N S M ISSIB ILID A D E

3 . 1 . Determinação da T r a n s m is s ib ilid a d e para uma Viga em Balanço

na qual S3o A plicados D ois N eutralizad o res Dinâmicos.

Se ja a vig a em b alanço da fig u r a 3 . 1 , sobre a qual

encontram-se dois n e u t r a liz a d o r e s dinâmicos tip o viga e uma força

fC tD . Considera-se nesta f i g u r a x < x e x < x < x . Tal

NI N2 NI F N2

c o n d iç S o s a t i s f a z todos os casos apresentados nas re fe r ê n c ia s

[83- E 103.

I

NI

N2

fCtD m, E , I

N e u tr. 1 Neutr. 2

onde m - massa por unidade de comprimento, E — módulo de e l a s t i c i d a d e

I - segundo momento de ârea da seçSo transversal

FIGURA 3. 1 - Viga em Balanço com d o is N eutralizadores Dinâmicos

A fig u r a 3 . 2 representa o mesmo sistema da fig u ra 3 . 1 ,

onde os dois n eu tra liza d o r es fora-m su b stitu id o s por suas

p ro p r ie d a d e s e q u iv a le n te s, ou s e j a , c o e fic ie n t e de amortecimento

v is c o s o g e n e r a liza d o e q u iv a le n te e massa g e n e raliza d a equivalente.

N2

I

NI FCOD [ meC fD ]

1

[ceCfDJi NNN\ -I [meCCD]2 f~p [ c e C r D D z N\\\

O

FIGURA 3. 2 - RepresentaçSo E q uiv alen te do Sistema da Figura 3 .1

A fo rça ap lic a d a FCOD pode ser representada de forma

v e t o r ia l da se g u in te maneira: <FCfD> =

O

O

O

Fco:> C3. i:>

A cada trecho da vig a corresponde uma matriz de

dinâm ico e s ta m atriz é complexa devido ao fato de que o mesmo é

f e i t o com material vi scoel ásti co. Já para a viga em questSo, a

m atriz de t r a n s f e r ê n c ia é r e a l, uma vez que não é considerado o

amortecimento do sistem a p rin c ip a l. Para o neutralizador dinâmico,

c o n sid era n d o suas seçSes Imediatamente à esquerda e imediatamente

à d i r e i t a C fig u ra 3.32), pode-se obter a seg uin te matriz de

t r a n s f e r ê n c ia : [T3

N

1

O

o

Ã

0

1 B

O

O

0

1

o

o

o

0

1 onde: A = O m© — i f i e © 1 1 11 B = — O* m® + i O c o 22 22

C

m© Ô 22

c

. c

ce

Ô ^ 22 m© Oi

11

1

)

V» Ce CO 1 1

FIGURA 3 . 3 - Esforços que Atuam nas SeçSes Imediatamente à

E>eve-se observar que os termos f ora da diagonal

p rin c ip a l das m atrizes Cm©C02>] e Cc®C02)3, ou s e j a , ^ ^ ^2' ’

c » e Ce , nSo foram considerados na determinação de [TJn. Foi

12

21

v e r i f i c a d o através de um exemplo numérico que o erro que esta

co nsideração a c a rre ta é d e sp re zív e l. No apêndice C é apresentado o

desenvolvim ento do c á lc u lo da t ra n s m is s ib ilid a d e considerando

esses termos.

Sabendo—se que o vetor de estado no ponto O da viga é.

<Z>o =

O

Mo

Vo

C3. a:)

pode-se o b t e r , sucessivam ente, para cada ponto a d i r e i t a deste:

<Z>^

1

CTD

01

<Z> o

<Z>“ = CT3 <Z>^ = CT3 ET] <Z>

1 NI 1 NI 0 1 O

= ET] = ET] ET] ET] <Z>

2 12 1 12 NI Oi O

<Z>® = - <F> = ET] ET] ET] <Z> - <F>

2 2 12 NI 0 1 o

= ET] = ET] ET] ET] ET] <Z> - ET] <F>

3 23 2 23 12 NI 01 O 23

= ET] ET] ET] - ET] <F>

13 NI OI O 23

<Z>*^ = ET] <Z>^ = ET]

3 N2 3 N2 ET] 13 ET] NI ET] OI <Z> O - ET] 23<F>

<Z> = ET] <Z>® 34 3

<Z> = ET] ET]

S a b e -se que no p o n to 4 o v e to r de e s ta d o

é: -OJ 4 0 4 O

o

C 3 .

5D

S u b s titu in d o C3. 3D e C3.5D em C3. 45,

fa z e n d o -s e as

o p e ra çS e s g e n é ric a s das m a tr iz e s e v e to r e s , e to m and o-se a 3^ e 4S

equaçSes d a i o b tid a s , p o d e -se e s c re v e r:

Cíí

Mo + G i

2

Vo = d l F

C

21

Mo + C

22

Vo = d

2

F

C3. 6D

onde:

C ii

t"^ Ã t "*

31

2 34

«»

34

32

B 2

33

t"^

C

12

=

r t^-^

₃₁

à t^*

_{2 34}

1

b +

₂

t^ “* + B t^ “*

32

2 33

d l = r t^ * -H Ã t^-^ '

₃₁

_{2 34}

₁₄

₃₂

₂

₃₃

C

2

I = t^* + Ã t^*

41

2 44

t^^ + B

42

2 43

t^^

b + t^^ b + t^ “* b

3 33 5 34 7

b + t^ “* b + t^ “* b

₄

₃₃

_<S

₃₄

₈

24

33 34

34 44

b + t^ “* b + t^ “ b

₃

_{43 5}

_{44 7}

C

22

= t^^ + Ã t^*

41

2 44

b +

t"^ -H B t^^

42

2 43

d2 = r t^^

₄₁

à t^ *

_{2 44}

1

t^^ -K

₁₄

t^ “* + B t^ “*

42

2 43

b + t^ “* b + t^'* b

4 4 3

<S

44 8

t23 ^ ^34 ^23 ^ ^34 ^23

24

43 34

44 44

b = b = b = b = 11 1 3 11 Í *

21

13

21 14 12 23 12 24 22 23 22 24 13 13 + t13 13 + t

_'23

13 + t13 23 + B 33 1 23 t ° ‘ + B 34 1 24 + B t ° ‘ 33 1 23 + B 34 1 24

+

i.

+ t 13 14 19 14 + t13 24 + t13 24 43 1 1 3 + A 44 1 1 4 + A 43 1 13 44 1 1 4 b = b = t b = 31 13 13 . 01 '31 14 b = t 41 41 14 32 23 32 24 t + t 13 42 + t13 33 + t13 33 B 33 1 23 -H B 34 1 24 + t + t 13 34 13 13 ^01 23 42 24 + t 13 43 t ° ‘ B 33 1 23 t ° ‘ + B 34 1 24 + t + t 34 13 44 13 44 + A 43 1 1 3

à t ° ‘

44 1 1 4

^ Ã

43 1 1 3

^ Ã

]

44 1 14 j

Os termos da forma genérica t^^ acima representam o xy

termo xy da matriz de t r a n s fe r ê n c ia re la tiv a ao trecho ab da viga.

A t r a n s m is s ib il id a d e da força é d e f in id a , no domínio da

fr e q ü ê n c ia , através do módulo da razão entre a fo rça transm itida

no e n g a ste e a fo rça a p lic a d a sobre a estrutura:

T CCD = F V COD o FCrD

C3. 7D

Caso a fo rça de excitação tenha um espectro u n itá r io no

domínio da fre q ü ê n c ia , a t r a n s m is s ib i1idade se reduz a:

T CrD =

I

V CCD

I

A t r a n s m i s s ib il i d a d e da força aplicada a viga pode entSo

ser o b t id a das equaçSes C 3 .6 D :

T COD -F C d - C d 11 2______21 1

c

c

- c

c

11 2 2 . 12 21 C3. 9:>

Da mesma maneira que se d e f in iu a t ra n sm is sib ilid a d e da

fo r ç a a p l i c a d a , pode-se d e f i n i r a tra n sm is s ib ilid a d e do momento

d e v id o à fo rça: T crû = M M CCD o X Fcro F C3. lOD

Para um espectro u n it á r io da força PCOD:

T

_M

CC£) =

M CCD o

C3. i í:>

A t r a n s m i s s ib il i d a d e do momento pode então ser obtida:

T CCD = M C d - C d 22 1 12 1 x C C C - C C 5 F 11 22 12 21 C3. 12:>

3 . 2 . O tim ização da R ig id e z e Amortecimento do Neutralizador a

P a r t ir da Função de T r a n s m is s ib i1 idade

3 . 2 . 1 . ConsideraçSes I n i c i a i s

Se duas curvas de transmi s s i b i 1 idade forem plotadas

Cequação 3 . 9 5 , uma para = O e outra para alto amortecimento do

n e u t r a liz a d o r C r? tendendo para i n f i n i t o D, dois pontos chamados

pontos f i x o s serão produzidos p ela intersecção das duas curvas.

Para qualquer valor de amortecimento, as curvas de

t r a n s m i s s ib i1 id a d e passarão por esse pontos.

D e f i n i ndo-se o parâmetro.

cxj = ^ , C3. 15D

onde Oa é a fre q ü ên c ia natural do n eutralizador e Oj é a

fr e q ü ê n c ia natural do modo em questão do sistema p r i n c i p a l ,

pode-se afirm ar que os pontos fix o s são função apenas desse

parâmetro.

Na f ig u r a 3 . 4 podem ser observadas as curvas de

t r a n s m i s s ib il i d a d e para d if e r e n t e s valores de amortecimento,

destacando-se os do is pontos f ix o s A e B. A ab sc issa do g r á fic o é

a fr e q ü ê n c ia a d im e n sio n a l, que é d e f in id a como:

m EI

FIGURA 3 . 4 - Curva de T r a n s m is s ib ilid a d e - Pontos Fixos.

3 . 2 . 2 . Otim ização da R ig id e z

Como foi v is t o no item a n terio r, existem os chamados

pontos f ix o s nas curvas de t ra n sm is sib ilid ad e para d ife r e n t e s

v a lo r e s de amortecimento e que s3o função do parâmetro aj.

Alterando- se o valor de aj, as posiç3es dos pontos fix o s também se

alteram . E x is t e um valor de otj em que os pontos fix o s possuem a

mesma am plitude, ou s e j a , a tr a n s m is s ib ilid a d e é igual em ambos os

pontos. A e ste valor de aj dá-se o nome de aot C alf a ótimo5. Para

a determ inação de aot, fo i desenvolvido um procedimento it e r a t iv o

numérico [ 8] em que, primeiramente se determinam as freqüências

C Oa e risD em que os pontos f i x o s ocorrem para um valor i n i c i a l de

T CfD

F

7}=0

- T CCDF = O C3. 172)

7)= 00

c u ja s r a í z e s sSo Oa e Ob. A seguir é v e r ific a d o se os valores da

transmi ssi b i l i dade sSo ig u a i s . Se forem i g u a i s , aot = aj. Se forem

d i f e r e n t e s , dá-se incrementos nos valores de aj até que se

determ ine otot.

No p resen te trab alh o o processo i t e r a t iv o teve outro

parâmetro de c á lc u lo , ou s e j a .

avj = C a . l S D

onde:

D é a " r i g i d e z " EI do n e u t r a l i z a d o r ;

Do é a " r i g i d e z " EI do n eu tra liza d o r quando a fre q ü ên c ia de

resso nân cia do i-ésimo modo do n eu tra liza d o r for igual à

fr e q ü ê n c ia de resso nâ n cia do modo de in t e r e s s e da vig a

i é o modo do neutral i zador que ir á controlar as vibrações do

sistem a primário.

A f ig u r a 3 . 5 apresenta o fluxograma da subrotina

d e sen v o lv id a para determinação de a ’ oi, que é o valor otim izado de

oãj. A p a r tir d este valor pode-se determinar D e a freqüên cia

^ INICIO ^

DeterMiin ar D«

< =

D eterfiina r o i n t e r v a l o de fre q u e n c ia s para pesquisa de r a i2es C a l c u l a r as r a iz e s 0^ e Qj da equacao: T,(0) _{« ■} = 0 t ■ _n=«x) < - < ♦ ú< à< - lú<l DeterMinar o i n t e r v a l o de fre q u e n c ia s para pesquisa de r a iz e s C a lc u la r as r a iz e s e ú , da equacao: T,<0)| , - I r ( ú ) = 0 f h = 0 ^ , »l=CD <0T = < : Û , S ú< = Ú</2 MI = HI ♦ 1

ò

^STOP ^ — ► Ualor i n i c i a l de < ú< — ► Increnento de < <01 -► Ualor Otino de < NI NuMero de it e r a ç õ e s Nin -► NI Maxirto

FIGURA 3. 5 - Fluxograma do procedimento de otim ização da r ig id e z

3 . 2 . 3 . Otim ização do Amortecimento

Uma vez determinados os pontos fix o s de igual amplitude,

será. determinado o valor do amortecimento ótimo Cr)oi'>. Este valor

é tal que o máximo valor da t r a n s m is s ib ilid a d e é aproximadamente

igual ao valor desta nos pontos f i x o s , ou s e j a , a sua derivada nas

fr e q ü ê n c ia s Oa e Ob é aproximadamente igual a zero.

A fig u r a 3 . 6 mostra o comportamento de vá rias curvas de

t r a n s m i s s i b i 1 id ade com amortecimento d ife r e n t e .

O fluxograma da s u b r o tin a que c a lc u la rjot é apresentado

na f i gur a 3. 7.

3 . 3 . Resultados Obtidos

A viga Csistema p r i n c i p a l 5 do presente exemplo é a mesma

apresentada nas r e f e r ê n c ia s [8D-C10] e possui as seguintes

c a r a c te r ís tic a s :

/ = 3. 81 m

E = a.O X 10** N/m^

I = 8 . 9 8 2 X 10"°. m“*

m = 46. 4 3 kg/m

Para e f e i t o de comparação entre os resultados obtidos

com o uso de n e u t r a liz a d o r e s dinâmicos tip o viga e os da

r e fe r ê n c ia [83 C neutral i zadores dinâmicos MCKD, aTnbos os casos

serão plotados nos g r á fic o s a serem apresentados neste capítulo.

Além d is s o é p lotada a curva da t r a n sm is s ib i1 id a d e sem

n eu tra liza d o r . Serão consid erad os todos os casos ilu s t r a d o s nas

fig u r as 3. 8 e 3 . 9 . Na f i g u r a 3. 8 a força encontra-se a p lic a d a na

extremidade da v ig a , enquanto que na fig u r a 3 . 9 a força

encontra-se no ponto c entral da vig a. Para o controle do prim eiro

modo de vibração do sistem a p r i n c i p a l , o n eutralizador é ap licad o

na extremidade da v ig a , e para o controle do segundo modo, no

centro. Já para o c o n tro le do t e r c e ir o modo, o n eu tra liza d o r é

ap licado a uma d is t â n c ia de 1 . 2 7 m a p artir da extrem idade

I

Ca5

CbD

CcD

FIGURA 3 . 8 - Viga em balanço com n eu tra liza d o res dinâmicos tip o

v ig a , força a p lic a d a na extremidade l i v r e da viga.

fCtD

FIGURA 3 . 9 - Viga em balanço com n eu tra liza d o res dinâmicos tip o

Como parâmetro i n i c i a l para o processo de otim ização,

u t i l i z a - s e a massa do n eu tralizad o r ou, em termos a d im e n sio n a is, a

r a zã o entre a massa total do neu tralizador e a massa da viga

Uma vez d e f in id a a massa total do n e u t r a liz a d o r , todos os

parâmetros são d e f in id o s , com excessão de E I , que é u t il i z a d o como

parâmetro de otimização.

As dimens3es dos n eu tra liza d o res são as seguintes Cver

f i gura a. 5D : aD C on trole do is modo: r = o. as fj = 34. aa kg/m

Mc =

lO kg L = 1 m I o = O. 1 5 kg. m* e = O. 0 6 m bD C on trole do a2 modo;

^ = O. l O

= 13. 7 0 kg/m

Mc

=

4

kg L = 1 m Io = O. 06 kg. m* e = O. 0 6 m

Apesar do neutr al i zador dinâmico tip o viga possuir

i n f i n i t o s modos de vibração, será u t i l i z a d o apenas o prim eiro modo

d e v id o à. maior eficiênciai se comparada aos modos subsequentes C22,

3 2

, e t c .D . Na tab e la 3 .1 são apresentados os resultados obtidos

n e s t e t r a b a lh o , lembrando que oi’ ot e aot são os valores otimizados

de D /D o Cequação 3 .1 8 D e Oa/Oj Cequação 3. 15D, respectivamente.

FIGURAS Modo _r a* ot aot i7ot EI CN.m*]

3 .8 a 3 .

10

, 3 .1 1 1 0. 25 0. 385 0. 625 0. 95 5 . 46E4 3 . 8 a 3 .1 2 3 .1 3 2

0

. 25 0. 018 0. 890

0

. 45 9 . 90E4 3 .8 b 3 . 1 •* 3 . 1 5 1 0. 10 1. 014 0. 998 0. 27 5. 58E4 3 .8 b 3 . 1<S 3 .1 7 2

0

.

10

0

.

820

0

. 905 0. 41 1 . 80E6 3 .8 c 3 .1 8 3 . IP 1

0

. 2 5

0

. 373 0. 616 0. 97 5 . 30E4 2

0

.

10

0

. 705

0

. 840 0. 42 1 . 55E6 3 . S> 3 . 2 0 3 .2 1 1

0

.

10

0

. 642

0

. 794 0. 66 3. 53E4 2

0

.

10

0

. 723

0

. 850 0. 52 1 . 59E6 3 .2 2 3 .2 3 3 0. 10 0. 905

0

. 948 0. 35 1. 55E7 3 . 2 4 3 . 2 5 3 0. 25

0

. 714 0. 835 0. 35 3 . 00E7

TABELA 3 . 1 - Resultados da otimização dos neu tralizadores

dinâmicos ap licados a uma viga em balanço.

As fig u r a s 3 . 1 0 a 3 . 2 5 apresentam os gráficos da

FIGURA 3 . 1 0 - N eutralizad or dinâmico na extremidade da v ig a , força

na extrem idade, controle do modo 1.

FIGURA 3 .1 1 - N eutralizad o r dinâmico na extremidade da v ig a , força

FIGURA 3 . 1 2 - N eutra lizad o r dinâmico na extremidade da v ig a, força

na extrem idade, controle do modo 2.

FIGURA 3. 13 - N eutralizad o r dinâmico na extremidade da v ig a , força

FIGURA 3 . 1 4 - N e u tra lizad o r dinâmico no meio da v ig a , força na

extrem idade, co ntro le do modo 1.

FIGURA 3. I S - N e u tra lizad o r dinâmico no meio da v ig a , força na

FIGURA 3 . 1 6 - N e u tra lizad o r dinâmico no meio da v ig a , força na

extrem idade, co ntro le do modo 2.

FIGURA 3 . 1 7 - N e u tra lizad o r dinâmico no meio da v ig a , força na

FIGURA 3 . 1 8 - Neutralizador dinâmico na extremidade e no meio da

v ig a , força na ext. , controle dos modos 1 e 2.

FIGURA 3 . 1 9 - N eutralizador dinâmico na extremidade e no meio da

(St

FIGURA 3 . 2 0 — N e u tra liza d o r dinâmico na extrem idade e no meio da

v i g a , fo r ç a no meio, controle dos modos

1

e

2

.

(3t

FIGURA 3 . 2 1 - N e u tra lizad o r dinâmico na extrem idade e no meio da

F (H z)

FIGURA 3 . 2 2 - Neutral i zador dinâmico a 1 . 2 7 m da extremidade

engastada da v ig a , fo rça na e x t r . , contr. do modo 3.

F (H z)

FIGURA 3 . 2 3 - N eutralizad o r dinâmico a 1 . 2 7 m da extremidade

F (H z)

FIGURA 3 . 2 4 — N eutralizad o r dinâmico a 1 . 2 7 m da extremidade

engastada da vig a, força na e x t r . , contr. do modo 3.

F (H z)

FIGURA 3 . 2 5 - N eutralizad o r dinâmico a 1 . 2 7 m da extremidade

Como pode ser v isto nas fig u ras 3 . 1 0 e 3 . 1 1 , a

t r a n s m i s s ib l id a d e no

12

modo, o btida devido a u tild za ç S o do

n e u t r a liz a d o r t ip o v ig a , é lig eiram ente maior qüe a obtida em C

8

],

que u t i l i z a o n e u t r a liz a d o r MCK. Já para os modos p o ste rio re s, a

e f i c i ê n c i a do n e u tr a liza d o r tip o viga é maior, uma vez que um

menor valor de t r a n s m i s s ib i

1

id ade foi obtido em relaçSo ao da

r e f e r ê n c i a [

8

].

As f ig u r a s 3 . 1 2 e 3 . 1 3 apresentam os resultados obtidos da

u t i l i z a ç ã o de um n e u tra liza d o r dinâmico tip o v ig a , acoplado na

extrem id ad e da vig a em balanço, com o o b jetiv o de controlar o

segundo modo. Neste modo, a t r a n sm is s ib i1idade foi maior que a

o b t id a em [83. Para os modos posteriores foi o b tida uma curva

sem elhante, com uma ten d ê n c ia da tra n sm issib i

1

id ade dim inuir em

r e la ç ã o a da r e f e r ê n c ia [83. Observa-se, também, que o primeiro

modo fo i co ntro lad o , apesar de não se ter uma curva otim izada.

As fig u r a s 3 . 1 4 e 3 . 1 5 apresentam as curvas que

representam a transmi s s i bi

1

i dade para o caso em que o

n e u t r a liz a d o r ê acoplado no centro da vig a, com o b je tiv o de

c o n tro lar o prim eiro modo. Como esta não é a posição ideal de p o s ic i onamento do n e u tr a liza d o r Ca posição ideal s e r ia no ponto de

maior deslocam ento, ou s e j a , na extr emi dadeD , a transmi ssi bi

1

i dade

fo i grande se comparada com a das fig u ras 3 . 1 0 e 3 . 1 1 , onde o

n e u t r a liz a d o r ê acoplado na extremidade.

Nas f ig u r a s 3 . 1 6 e 3 . 1 7 observa-se um comportamento

sem elhante ao o b tid o nas fig u r a s 3 . 1 0 e 3 . 1 1 , onde a

t r a n s m i s s i b i

1

id ade para o modo em questão é lig e ira m e n te maior e

para os modos p o st e r io r e s é menor, se comparados com [83. Para o

mesmo comportamento é v e r ific a d o .

Nas fig u r a s 3 . 2 2 a 3 . 2 5 são apresentadas as curvas da

t r a n s m is s ib il id a d e em dB para o controle do te r c e ir o modo. Nos

g r á fic o s das f ig u r a s 3 . 2 2 e 3 . 2 3 a relação de massa Ct'2> é igual a

0 . 1 0 e nos g r á fic o s das fig u r a s 3 .2 4 e 3 . 2 5 , é igual a 0 . 2 5 .

I s t o quer d ize r que nos dois últimos grá fic o s a massa do

n e u tr a liza d o r é m aior, ou s e j a , 255í da massa total da viga. Verifican d o - se os g r á f ic o s , observa-se que os modos p o steriores ao

t e r c e ir o também são controlados. Além d is s o v e rific a - s e que a

e f i c i ê n c i a do n e u tr a liza d o r de maior massa Cj' = O. 25D é maior em

re laç ã o ao de menor massa C y = 0 .1 0 5 .

Em resumo, dos g ráfico s das fig u r a s C 3 . 105 a C 3 .2 5 5 ,

v e r ific a - s e que a t ra n s m is s ib ilid a d e o btida neste tra b alh o ,

considerando os modos de in t e r e s s e , é praticamente igual á obtida

no exemplo da r e fe r ê n c ia [

8

]. Já a t r a n s m is s ib ilid a d e para os

modos sup eriores ao modo que se está controlando é menor. Este

f a t o pode ser ú t il para o controle do rui do ir r a d ia d o de uma

e s t r u t u r a , pois controlando-se um modo de b a ixa fr e q ü ê n c ia ,

pode-se atenuar as v ib raçSes dos modos se g uin tes que geram ruído.

Deve-se s a lie n t a r que o exemplo da re fe r ê n c ia [83 é o mesmo deste

tra b a lh o , mudando apenas o neutralizador dinâmico, que é do tip o

MCK, ou s e j a , de um grau de lib erd ad e. A massa total dos

n e u t r a liz a d o r e s , em ambos os casos, é a mesma.

V e r ific a n d o o exemplo apresentado neste tra b alh o ,

observa-se que o material do neutralizador deve ter o se g u in te

comportamento:

a5 A lto amortecimento, pois os valores de r)oi obtidos

bD Densidade e le v a d a , pois quanto maior for a densidade

do m a t e r ia l, menor serSo as dimensSes de neutralizador ;

cD Elevada r i g i d e z , pois o valor de EI para alguns casos

f ic o u na mesma ordem de gran deza do sistem a primário, ou s e j a , em

7 2

torno de l O N.m .

Caso nSo s e ja possível se obter um material para o

n e u tr a liza d o r tip o vig a que atenda a todas as c a r a c t e r í s t i c a s ,

existem duas a lt e r n a tiv a s para e s t e problema:

aD Construir vários n eu tralizad o res menores,

acoplando-os no mesmo ponto e /o u distribuindo- os de maneira

conv eniente sobre o sistem a prim ário;

bD Projetar uma v ig a sanduíche equ ivalente que tenha as

mesmas c a r a c t e r ís t ic a s da v ig a sim ples.

O prim eiro c a s o , onde vários n eu tra liza d o res de menor

massa foram acoplados ao sistem a prim ário em vez de um só de maior

massa. Já foi apresentado por S i l v a , [ 6 3 , com sucesso.

No caso do p ro je to da vig a sanduíche e q u iv a le n te , o que

se d e s e ja é obter as c a r a c t e r í s t ic a s de dois m ateriais d ife r e n t e s

na mesma viga. Por exemplo, combinando aço com elastômero. O aço

possui r ig i d e z e d e n sid a d e elevadas e o elastômero a lto

amorteci mento.

No próximo c a p ít u lo será abordado o problema da viga

sanduíche: determinaçSo das fre q ü ê n c ia s n a t u r a is , do amortecimento

CAPITULO

4-NEUTRALIZADOR DINÂMICO TIPO VIGA SANDUlCHE

4 . 1 . IntroduçSo.

No c ap ítu lo anterior foram d efin id o s os parâmetros

i n i c i a i s para o p ro jeto ótimo de neutralizadores dinâmicos tip o

v i g a , acoplados a uma vig a em balanço. Neste capítulo será f e i t o ,

prim eiram ente, o p ro jeto de um neutralizador dinâmico tip o viga

sim p les que s a t is f a ç a e stes parâmetros. A seg u ir, será apresentada

a m etodologia do p ro jeto para um neutralizador dinâmico tip o viga

san d u íc h e C fig u r a 4 .1 D , com c ara c te rístic as equivalentes as do

n e u t r a liza d o r t ip o vig a sim ples. Para tanto, será u t il i z a d o o

método apresentado por Rao 1 1 4 3 , que consiste na determinação de

uma vig a sanduíche com as mesmas freqüências naturais e o mesmo

amorteci mento de uma v ig a sim ples. Além d is so , será f e i t o uma

comparação entre os valores obtidos por este método com valores

o b tid o s experimentalmente.

I

1

2

3

L

_{t 1}

* 1

4 . 2 . P r o je t o do N eutrali zador Tipo Viga Simples.

Tomar-se-á como exemplo o n eu tralizad o r dinâmico com

Y = 0 . 2 5 u t i l i z a d o para o controle do iS modo do sistema principal

Cver t a b e la 3 . 1 5 . Sabe-se que as c a r a c t e r í s t i cas da viga deste

n e u t r a liz a d o r são as s eg uin tes:

^ = 34. 2 2 kg/m

L = 1 m

EI = 5. 4 6 X 1 o'* N. m*

r) = O. 9 5

A p artir destes dados será projetada a viga do

n e u t r a l i z a d o r . Assumindo que a mesma s e ja de um material

0 2

e lasto m éric o com módulo de e l a s t ic i d a d e E = 1 . 0 x 10 N/m e que a

seçSo transversal da viga s e ja r e ta n g u la r , tem-se que.

I = - = 5. 4 6 X 10~® m“*, C 4.15

1 2

onde b é a base e h é a a lt u r a da seção transversal da viga.

Para que a condição de massa por unidade de comprimento

s e j a s a t i s f e i t a , deve-se obedecer a expressão,

AJ L = p L b h, C4. 25

p é a d e n s id a d e do m aterial da viga [kg/m^].

Assumindo que e s t e valor se ja 1 5 00 kg/m^, que é um valor

t í p i c o para d e n sid a d e dos elastôm eros, Cl 6 3 , de C4.1> e C 4 .25

chega-se ao s e g u in t e sistem a de equaçSes,

b h® = 1 2 C5. 4 6 X 10~®5 m“*

^ ^ 34. 2 2

2

b h = --- m 1 5 0 0

que fo r n e c e os se g u in te s valo res para b e h:

b = O. 1 3 5 m

h = O. 1 7 0 m

Resumindo, uma possível viga do neutralizador tip o viga

sim ples pode ser observada na fig u r a 4 .2 .

I

E, 77, p I h b = 0 . 1 3 5 m p = 1 50 0 kg/m® h = O. 1 7 0 m r? = O. 95 L = 1 . 0 m 1 = 5 . 46E-5 m“* E = 1 . 0 E 9 N/m ^ = 3 4 . 2 2 kg/m

Segundo a r e fe r ê n c ia C 15], as freqüências naturais nSo

am ortecidas desta v ig a , para os 3 primeiros modos de vibração,

c o nsid eran do que a vig a s e ja de Bernoui 11 i- E u ie r, podem ser

o b tid a s p ela expressão.

Oi. = a i onde: ai = 1. 87 5 a

2

= 4. 694 aa = 7 . 8 5 5 Portanto, 01 = 1 4 0 . 4 rad ---»■ fi = 2 2 . 4 Hz

02

= 8 8 0 .1 rad ---► f

2

= 14 0. 1 Hz 03 = 24 6 4.

6

rad ---»■ f

3

= 39 2 . 3 Hz

Caso não s e ja possivel de se conseguir um material com

as c a r a c t e r í s t ic a s apresentadas na fig u ra 4 . 2 , uma das soluçSes é

o uso da viga sanduíche, que une as c a r a c te r ís tic a s de dois

4 . 3 . P r o je t o do N e u t r a liz a d o r Tipo Viga Sanduíche.

No item an t e r io r foi projetado o neutralizador dinâmico

t ip o v ig a sim ples. N este item serâ f e i t o o projeto do

n e u tr a liza d o r dinâm ico tip o viga sanduíche equ iv alen te,

u t iliza n d o - se do método apresentado por Rao [141. Neste método é

o b tid a uma v ig a san d uích e com o mesmo amortecimento e as mesmas

fre q ü ên c ia s n a t u r a is de uma viga simples. Primeiramente será f e i t a

a d e s c r iç S o do método e valores obtidos pelo mesmo serSo

comparados com v a lo r e s medidos experimentalmente, para se obter

seu grau de c o n f i a b i l i d a d e . A seguir será f e i t o o projeto do

n e u tr a liza d o r dinâm ico t ip o viga sanduíche propriamente d ito .

4 . 3 . 1 . D e t e r m in a ç ã o das Freqüências Naturais e do Fator de Perda

de V ig as Sanduíche.

As e xp re ssS e s a serem apresentadas a seguir foram

d e riva d as p elo P r in c í p i o de Hamilton, [1 4 3 , e obedecem às

s e g u in tes c o n s id e r a ç S e s :

a5 E5eflexSes pequenas e uniformes em cada seção da v ig a;

bZ) deslocamentos a x i a i s contínuos;

cD as v ig as e xterna s obedecem as hipóteses de Eu le r;

dD as deformaçSes da viga central são devidas principalm ente

ao cisalham ento e

eZ) são desprezados os e f e it o s de in é r c ia rot acionai e

As v a riá v e is que representam as dimensSes

c a r a c t e r í s t i c a s da v ig a podem ser observadas na fig u r a 4 . 3 .

h . - -t h2Í h3

FIGURA 4. 3 - Viga sanduíche.

Na f ig u r a a n t e r i o r , as grandezas representadas tém o

s e g u in t e s ig n if i c a d o :

El, Ea - Módulo de e l a s t i c i d a d e ;

I i , l

3

- segundo momento de área da seçSo tran sv ersal;

pi., p z , p 3 - d en sida d e; ,

GzCCD - módulo de cisalham ento complexo; r)2CC£> - fator de perda.

A área da seção transversal para cada camada da viga é

dada por ;

Ai = hi b , i = 1 ,3 C4. 35

onde:

A r ig id e z d is t r ib u í d a da viga pode ser obtida pela

expressão:

D = El Ii + E3 l9 C4. 45

Os demais parâmetros u t iliza d o s para a determinação das

fre q ü ê n c ia s naturais e do fator de perda da viga sanduíche são:

a5 Parâmetro de cisalham ento

—^ ^ G

2

C 02) Az CEi Al + Ea AaD ^ rA

gCOD = --- = gCO) [1 i r?CO>] C4. 55 4 hz^ El Al Ea Aa b5 Parâmetro geométrico Y = e ! El Al Ea Aa D CEi Al + Ea Aa5 c5 Parâmetro de tempo to = / C4. 75 D onde: ^ = p i A i + p z A z + p a A a

Para uma viga engastada-1 i vre, as express3es para

CO*5k-de acordo com a r e fe r ê n c ia [143 , poCO*5k-dem ser obtidas das expressc5es

a

segui

r ,

Modo 1

11 = 0.142675 X 1.76507* x 0.381063*’ x 0.958039*’ x 1.06549*' x 5.78986'

x0.539055^ x 1.08780*' x 1.08745**' x 0.976757**' x 0.586965'*

xl.02241*'’ X 1.15050*’'" X0.970210*’' ’ x 0583707**'’

xti

?

C4.

8

D

Q* = 3.97720+0.593861x + 0.151641x* - 0.061331x’ - 0.022252x^

+>;(0.154016 + 0.553244x + 0.144153x* -0.075502x’ -0.014758x^)

+ /(2.4 2584 + 2.142 46X + 0.29 4 4 01x^ - 0.194389x’ - 0.048345x^)

Modo 2

11 = 0.045809 X 5.23955*

x

0.660211*’

x

0.897479*’

x

0.992201**

x

9.96967'

X 0.708600^ x 0.737315*’' X 1.01858*’' x 1.04428**' x 0.632614'’

xO.782958^’ X 1.16677*’' ’ x 1.03702*’' ’ x 0.976208**'’

x

112

Q* = 22.6437+ 1.53915X + 1.16909X* + 0.088024x’ -0.096522x^

+>-(-137115+ 0330011X + 1.61566X* + 0.233375x’ - 0.169197x")

+ /(6 .2 4 9 4 6 + 8.70502X + 3.57741x^ - 0.22708x^ - 0.306308x")

C4. 95

C4. l OD Modo 3

r\ = 0.018430 x 8.13049* x 0.803410*' x 0.890123*’ x 0.976944*' x 1.09134'

x0.90008^ X 0.789523*’' X 0.964562*’' X 1.02404*"' x 0.763190'’

xO.730160'^’

X

0.974320*’'’

x

1.05259*’' ’

x

1.00884*'’

x

tii

Q* = 62.2273+I.82075x+1.96034x^

+ 0.598420x^ ~ 0.000547x*

+^^(-3.00169 - 2.56321X + 1.23125x^ + 1.22688x’ + 0.158933x^)

+>^'(8.08929+ 16.5705a: + 10.5650x^ + 0.634568x’ - 0.768191a:'')

onde; '«i X = lo g g y = log y

Para c alcu lar a fre q ü ê n c ia natural em Hertz C fD, basta

s u b s t it u ir o valor de O* na expressão.

f = — --- C4. 115

2 n to

4 . 3 . 2 . Comparação Entre os R esultados Teóricos e Experim entais.

Neste item, será f e i t o uma comparação entre dados

o b tid o s experimentalmente com os obtidos pelo método

apresentado por Rao [143. Este procedimento será f e i t o a t í t u l o de

v e r i f i c a r o grau de co n fiab i 1 id a d e deste método. Para tan to , será

u t i l i z a d o um conjunto de vigas usadas anteriorm ente no P ro je t o de