X n L n L X C X C ct

(1)

4.3. Equação de Onda

Seja uma corda fixa nas extremidades, y(0,t)=0 e y(L,t)=0, deslocada de sua posição de equilíbrio, e em t=0 é liberada e entra em vibrações. Então no elemento x, a segunda lei de Newton fornece para o deslocamento y(x,t):

Se as amplitudes de oscilação forem pequenas então, com o auxílio da figura, podemos escrever as seguintes equações de equilíbrio:

Te1 cosα=Te2cosβ=Te=constante

velocidade c

T c x

y c t

y

t y T x

y x

x y e

x y

t y T

x T

sen T T

sen T

t y x sen

T sen T

x x

x

x x x

e e e

e

e e

= =

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ ∂ =       ∂ ∂ −      

∂ ∂ ∆

      ∂ ∂ = 

    

∂ ∂ =

∂ ∂ ∆ = −

= −

∂ ∂ ∆ = −

∆ +

; ;

] [

1

tan .. , tan

tan tan

cos cos

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1

2 2

1 2

ρ

β

α

ρ

α

β

α

β

ρ

α

β

No caso da existência de uma força externa por unidade de massa f(x,t): tt

xx f x t y y

c2 + ( , )=

Esta equação aparece em fenômenos mecânicos, como o ilustrado acima ( vibração de uma corda), em fenômenos eletro magnéticos (ondas eletro magnéticas), e é muito importante na Engenharia, sendo portanto estuda-la. Inicialmente seja a equação de oda homogênea,

) ( ) 0 , ( ); ( ) 0 , ( .

0 ) , ( ) , 0 ( . .

0 , 0

;

2

x g x u x h x u I C

t L u t u C C

t L x u

c u

t xx

tt

= =

→

= =

→

> < < =

(2)

{

) ( )] ( ) cos( [ ) , ( : ) ( ) cos( ) ( ,... 3 , 2 , 1 , 0 ) ( ; 0 0 ) 0 ( : . . ) ( ) cos( 0 ) ( ´´ cos 0 ´´ ; ´´ 1 ´´ ´´ ´´ 1 1 4 3 2 2 1 2 2 2 x L n sen t L cn sen B t L cn A t x u solução t L cn sen E t L cn D T L x n sen C X n L n L X C X C C ct sen C ct C T T c T e x sen C x C X X X T T c X X T X c XT n n n n n n n n n

π

λ

+ = + = = ∴ = = → = = → = + = → = + + = → = + − = = → =

∑

∞ =

n=2

) ( ) ( 2 ) ( ) ( )) cos( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 0 , ( . . 0 1 0 1 0 0 1

∫

∑

∫

∑

= = =       + = = ∂ ∂ = = = ∞ = = ∞ = = ∞ = L n n n t n n n t L n n n L x n sen x g cn B x g L x n sen B L cn L x n sen L t cn L cn B L t cn sen L cn A t u dx L x n sen x f L A x f L x n sen A x u C C

π

(3)

)} (

) ( { 2 1 )]} (

[ )] (

[ { 2

1 ) , (

)]} (

[ )] (

[ { 2 1 ) ( ) cos( ,

) ( ) cos( )

, (

1 1

ct x F ct x F ct

x L n sen ct

x L n sen A t

x u

ct x L n sen ct

x L n sen L

x n sen L

ct n mas

L x n sen L

ct n A t

x u

n n n

n

+ + − =

+ +

− =

+ +

− =

=

∑

∞

= ∞

=

π

Exemplo 1: Determinar a solução da equação de onda que corresponde a deflexão inicial triangular:

     

< < −

< < =

L x L x L L

k

L x x L

k

x f

2 ), ( 2

2 0

, 2

) (

Sendo a velocidade inicial ut(t=0)=0.

Da solução anterior podemos mostrar que:

...] ) 3 cos( ) 3 ( 3

1 ) cos( ) ( 1

1 [ 8 ) ,

( = ₂ − ₂ +−

L ct L

x sen L

ct L

x sen k

t x

u π π π π

π ,

Ou em forma gráfica,

Exemplo 2: (Vibrações forçadas) As vibrações forçadas de uma corda elástica sob a ação de uma força externa por unidade de comprimento f(x,t)(F/L), pode ser escrita como: utt= c2uxx+f/ρ. Solucione este problema através do método de expansão em auto funções para as C.C. u(0,t)=u(L,t)=0, e as C.I. u(x,0)=h(x), ut(x,0)=0. Se a força externa é periódica, f=A senωt, encontrar a solução.(discutir o fenômeno de ressonância.)

Exemplo 3. (Vibrações de uma Viga) Pode ser demonstrado que as pequenas vibrações verticais livres de uma viga em balanço uniforme são governadas pela equação de quarta ordem:

t=0

(4)

0

4 4 2 2 2

= ∂ ∂ + ∂ ∂

x u c t

u

Onde c2=EI/ρA(E=modulo de elasticidade de Young, I= momento de Inércia da secção transversal , ρ a massa especifica , e A área transversal da Viga. Através de Separação de Variáveis, u(x,t)=X(x)T(t) mostre que:

, 1

1 4

2 2

2 4

4

λ = −

=

dx T d T c dx

X d

X e portanto:usando as equações características: X(x)=C1cosλx+C2senλx+C3coshλx+C4senhλx

G(t)=C5cos(cλ2t)+C6sen(cλ2t)

Determinar as auto funções un(x,t) correspondentes a velocidade inicial nula e que satisfazem às condições de contorno:

u(0,t)=u(L,t)=0(extremidades fixas)

uxx(0,t)=uxx(L,t)=0( momentos nulos, e então curvaturas nula nas extremidades), e entao determinar a solução com a condição inicial u(x,0)=x(L-x), 0<x<L(parábola)

Exemplo 3: O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas por ε0 e 0 (desprezando pequenas não-linearidades devido a efeitos quânticos). Caso não haja presença de correntes ou cargas elétricas, obtêm-se as equações de Maxwell no vácuo:

x

(5)

Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e com os dois campos em fase:

Mas:

O que permite obter a equação da onda eletromagnetica:

De onde se obtem a velocidade da onda eletromagnetica (c):

Então seja a propagação de uma onda eletromagnética polarizada, com campos elétrico e magnético Ey e Bx, propagando na direção z,

Então as equações de onda do campo eletromagnético são dadas por: Ey

Bx

(6)

0 )´ ( / ) ( ) ( ) 0 , ( . . . . 0 , , ) , ( 0 , , ) , ( 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = > +∞ < < −∞ ∂ ∂ = ∂ ∂ > +∞ < < −∞ ∂ ∂ = ∂ ∂ B E y x sen B E y EouB I C finitos eB E C C t x t B y t y B c t y t E y t y E c x y x x y y

ω

Para a solução da propagação de ondas eletromagnéticas o chamado método de DÁlembert é muito conveniente. Para tal seja o problema:

ηη ξη ξξ η ξ ξ ξ ξ ξ η ξ

ξ

η

ξ

u u u c u u c u u c c u u u c t u t u t u u ct x ct x roduzindo finito t x u C C t x u c u tt t xx tt + − = − − − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = − = + = > ∞ < < −∞ = 2 [ ] ) ( ) ( [ ) ( ; , int ), , ( , . 0 , , 2 2

De maneira similar, uxx=uςς-2uςη+uηη. Portanto nas variáveis (ς,η),a equação de onda torna-se:

Utt-c2uxx=c2(-4uςη)=0→ uςη=0,

Escrevendo uςη=α(ς)+β(η), ou em termos de (x,t), u(x,t)=α(x+ct)+β(x-ct), e as condições

iniciais tornam-se: h(x)=α(x)+β(x), g(x)=c[α´(x)+β´(x)].

Diferenciando-se a primeira equação, e multiplicando-se por c e somando as duas,equações: 2α´(x)=h´(x)+g(x)/c, e portanto a solução é:

∫

+ − − − + + = ∴ − = + = ct x ct x x x dx x g c ct x h ct x h t x ú dx x g c x h x dx x g c x h x ´ ´) ( 2 1 ) ( ) ( [ 2 1 ) , ( ´) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ´( ´) ( 2 1 ) ( 2 1 ) (

β

α

A qual é conhecida como solução de D´Lambert. Quando g(x)=0, i.e., as velocidades iniciais são nulas, então:

)] ( ) ( [ 2 1 ) ,

(x t h x ct h x ct

u = + + −

Desta forma a solução de propagação da onda eletro magnética, pode ser escrita, por::

(7)

Exemplo 4: Considere uma membrana circular (tambor) de raio R0, encontre as vibrações desta membrana, sujeita inicialmente a uma batida.

Então em coordenadas polares com simetria angular, a equação de onda pode ser escrita:

,... 2 , 1 , ) ( ) ( ) ( 2

), ( ) cos

( ) , (

) ( ) ( ) , ( : var

.

0 , ) ( ) 0 , (

) ( ) 0 , ( . .

0 , ), , (

0 , 0 ) , ( . .

] 1 [

0

0 0

2 1 0

0

0 0

2 1 2 0

0 0

0 1

0 0 0

2 2 2 2 2 2 2

0 0

= =

= +

=

= < < 

 

= = 

 

< < > =

∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = ∂ ∂

∫

∑

∞

=

n dr R

r J r rg J

R c B

n dr R

r J r rf J

R A

R c R

r J t sen B t A

t r u

t T r R t r u iaveis de

separacao

R r r g r u

r f r u I C

R r finita t

r u

t t R u C C

r u r r

u c u c t

u

n R

n n

n

n R

n n

n n n n

n n n

n t

µ

λ

µ

λ

u

y

x r

(8)

4.4. Equação de Laplace (Potencial)

A equação de Laplace ou do Potencial aparece na descrição do potencial elétrico ou gravitacional. devido a uma distribuição de cargas ou de massa. Para exemplificar, sejam uma carga, ou uma massa, localizada numa posição do espaço (x1,x2,x3), então o potencial induzido por esta carga(massa) num ponto (x,y,z), é dado por:

V(x,y,z)=C/r, com r=√(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2, e C=GMxM1 no caso gravitacional, e C=(QxQ1)/4πε, no caso eletrostático. Se ao invés de uma carga, ou massa pontual, tivermos uma distribuição de carga, ou massa, determinada por uma densidade dada por ρ(x1,x2,x3), então o potencial num ponto (x,y,z)devido a esta distribuição pode ser dado, por::

dV r k z y x V

V

∫∫∫

=

ρ

) , , (

Mas, 1/r , satisfaz 2(1/ ) 0( !) demonstre r =

∇ , e portanto,

∫∫∫

∇ =

= ∇

V r dV

k

V 2(1/ ) 0

2

_ρ

_{, ou seja o potencial devido a uma distribuição de carga}

ou massa, satisfaz a equação de Laplace, ou seja:

) ](

1 ) (

1 (

[ 1

) (

: 0

2 2

2 2 2 2

esféricas sen

sen sen

r r r r

cartesiana z

y x onde

V

φ

θ

∂

∂ +

∂ ∂ ∂

∂ +

∂ ∂ ∂

∂ = ∇

∂ ∂ + ∂

∂ + ∂

∂ = ∇

= ∇

Para a ilustração da solução de Laplace, seja uma esfera de raio R0 mantida por uma distribuição fixa de potencial V(R0,θ)=f(θ). O problema consiste na determinação V em todos os pontos equipotenciais( note que as curvas equipotenciais determinam a distribuição de campo, uma vez que a distribuição de campo ´são linhas perpendiculares às de potencial). Então,

      

= − + →

=

   

 

= Θ +

   



 Θ

∴

=

   



 Θ

Θ − =

Θ =

=

= ∂ ∂ ∂

∂ +

∂ ∂ ∂

∂

∞ →

) 2 ( , 0 ´

2 ´´ 1

) 1 ( , 0 1

1 )

( 1

) ( ) ( ) , (

0 ) , ( lim

0 ) (

1 ) (

2 2

kR rR R r k dr dR r dr

d R

k d d sen d

d sen

k d d sen d

d sen dr

dR r dr

d R

r R r

V r V

V sen sen

V r r r

r

θ

A equação (2) é a Equação de Cauchy, discutida anteriormente, e sabemos que R=rα é solução desta equação. Para obter a solução geral( L.I), substituímos n(n+1) no lugar de k, e a equação transforma-se em r2R´´+2rR-n(n+1)R=0, com n arbitrário.. Substituindo R=rα, obtemos:[α(α-1)+2 α-n(n+1)]=0→ α1=n, e α2=-n-1, e portanto as soluções L.I. são:

(9)

Para obter a solução de (2), fazemos =cosθ(sen2θ=1- 2), e a equação (2) torna-se:

0 ) 1 ( 2

´´ ) 1 ( 0 ) 1 ( )

1

( 2 ₊ ₊ _Θ₌ _→ ₋ 2 _Θ ₋ _Θ₊ ₊ _Θ₌

  

 Θ

− n n n n

d d d

d

µ µ

θ µ µ

Esta é a equação de Legendre, e para valores inteiros de n, a solução são os polinômios de Legendre, Pn( ), e portanto obtemos as auto funções da equação de Laplace:

) (cos )

, ( ), (cos )

,

( θ = θ * θ = n₊₁ n₊₁ θ

n n

n n n

n P

r B r

V P

r A r

V

A solução associada com Vn, não satisfaz a condição do potencial (lim =0 ∞ →

r V ), e Portanto, as soluções que fornecem as curvas equipotenciais, são dadas por:

) ( ),

(cos )

, (

) ( );

(cos )

, (

0

0 1

0 0

II R r P

r B r

V

I R r P

r A r

V

n n

n n n

n

> =

< =

∑

∞

= + ∞

=

θ

Para a determinação das constantes, usamos a ortogonalidade dos polinômios de Legendre, e portanto:

∫

− + −

+ =

1

1 1 0 1

1

) ( ) ( 2

1 2 :

) ( ) ( 2

1 2 :

µ

d P f R

n B casoII

d P f n

A casoI

n n

: