Lista de Exercícios da Unidade VIII

EXERCÍCIO – UNIDADE 8

1. A tabela abaixo é referente ao número de crianças nascidas vivas (X) e o número de crianças que morreram (Y), no mesmo período, em um município do interior do país.

Período Nascidas Vivas

Morte por todos os tipos e causas 1985 1100 540 1986 840 720 1987 480 640 1988 2200 380 1989 1840 560 1990 1790 120

Com base na tabela, calcule o coeficiente de correlação. a) r= -0,6713

b) r= -0,7893 c) r= 0,6713 d) r=0,7893 e) r= 0,8764

2. Com base no r calculado da questão 1, qual o tipo de correlação?

a) Forte relação positiva. b) Fraca relação positiva. c) Fraca relação negativa. d) Ausência de relação. e) Relação linear perfeita.

3. Nos casos abaixo, que tipo de correlação se espera: correlação positiva, correlação negativa ou não existe correlação?

1o _{Número do calçado e QI;}

2o _{Renda e Educação.}

a) 1o _{não há correlação e 2}o _{não há correlação.}

b) 1o _{não há correlação e 2}o _{correlação positiva.}

c) 1o _{correlação positiva e 2}o _{não há correlação.}

d) 1o correlação negativa e 2o não há correlação. e) 1o correlação positiva e 2o correlação positiva.

4. Um estudante de estatística calculou a correlação entre altura e peso de um grande grupo de alunos do curso de enfermagem de sua faculdade, obtendo r=0,32, mas não conseguiu decidir se é a altura que faz com que os alunos pesem mais ou se é o excesso de peso que faz com que os alunos sejam mais altos. O que você poderia dizer para ele que está desconsolado por não conseguir decidir quem influencia quem?

a) Ele não tem como saber se o peso influencia a altura ou se a altura influencia o peso, pois a correlação permite-nos apenas mostrar a associação entre as variáveis. b) Ele informa que o peso influencia a altura, pois pessoas com peso elevado tendem a ser mais baixas.

c) Ele informa que a altura influencia o peso, pois pessoas com estatura elevada tendem a ter baixo peso.

d) Ele informa que o peso influencia a altura, pois pessoas com peso elevado tendem a ser mais altas.

e) Ele informa que a altura influencia o peso, pois pessoas de estatura elevada tendem a ter peso também elevado.

5. A tabela a seguir mostra a quantidade de carros que cada um dos 5 funcionários vistoriou, em um posto do Detran, entre 16 e 18 horas, em determinado dia. Número de semanas trabalhadas (X) Número de carros inspecionados (Y) 2 13 7 20 9 22 5 15 12 20 Com base na tabela, estabeleça a equação da reta dos mínimos quadrados que permite estimarmos y em termos de x. (Equação da reta → y=a+bx

^ ). a) ŷ=10,10+0,974x b) ŷ=12,09+0,844x c) ŷ=15,34+1,163x d) ŷ=18,34+0,884x e) ŷ=18,87+1,234x

6. Com a equação da reta do problema 5, estime quantos carros um funcionário trabalhando 8 semanas poderá inspecionar no mesmo período.

a) Aproximadamente 19 carros. b) Aproximadamente 20 carros. c) Aproximadamente 21 carros. d) Aproximadamente 22 carros. e) Aproximadamente 23 carros.

7. Considere o quadro abaixo:

x y 90 90 140 150 180 ?

Observamos que um dos valores de y não foi colocado na tabela. Sabendo que a equação de mínimos quadros é ŷ=28+0,5x, determine o valor de y que falta.

a) 49 b) 58 c) 67 d) 110 e) 120

8. Na análise de regressão as variáveis são classificadas de que forma? a) X – variável independente Y – variável independente.

b) X – variável independente Y – variável dependente. c) X – variável dependente Y – variável independente. d) X – variável dependente Y – variável dependente. e) X – variável pendente Y – variável independente.

9. Seja a tabela abaixo composta pelo peso (kg) e altura (cm) de crianças com 10 meses de idade. Altura (cm) Peso (kg) 75 9,0 70 9,2 73 8,9 78 8,5 80 9,5 69 9,6 71 9,1 72 10,0 74 8,7 77 9,4

Determine o coeficiente de correlação de Pearson e verifique que tipo de correlação existe entre as variáveis peso e altura.

10. Vamos considerar os mesmos dados do exercício anterior. Altura é a variável Independente e Peso a variável dependente. O objetivo é estimar qual o peso de uma criança que tem altura de 85 cm. Desenvolva os cálculos necessários e através da equação da reta ŷ = a + bx e diga qual é o valor.

GABARITOS COMENTADOS

1. A tabela abaixo é referente ao número de crianças nascidas vivas (X) e o número de crianças que morreram (Y), no mesmo período, em um município do interior do país.

Período Nascidas Vivas Morte por todos os tipos e causas

1985 1100 540 1986 840 720 1987 480 640 1988 2200 380 1989 1840 560 1990 1790 120

Com base na tabela, calcule o coeficiente de correlação. a) r= -0,6713 b) r= -0,7893 c) r= 0,6713 d) r=0,7893 e) r= 0,8764 Desenvolvimento:

• Precisamos calcular os somatórios. Feito isso, substituimos os valores na fórmula para o cálculo de correlação r.

Período Nascidas Vivas Morte por todos os tipos e causas X2 _Y2 _XY

1985 1100 540 1210000 291600 594000 1986 840 720 705600 518400 604800 1987 480 640 230400 409600 307200 1988 2200 380 4840000 144400 836000 1989 1840 560 3385600 313600 1030400 1990 1790 120 3204100 14400 214800 Total 8250 2960 13575700 1692000 3587200

• Para o cálculo do coeficiente de correlação r, precisamos dos somatórios de: ∑x, ∑y, ∑x2_{, ∑y}2 _{e ∑xy. O ideal é utilizarmos uma planilha eletrônica por facilitar o}

cálculo de valores, mas, independente de possuir ou não recurso de informática, podemos calcular o valor de r utilizando apenas a calculadora.

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡_{Σ −} Σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡_{Σ −} Σ Σ Σ − Σ = n y y n x x n y x xy r 2 2 2 2 ( ) . ) ( ) ).( ( r= 0,6713 15 , 178 . 719 800 . 482 6 ) 960 . 2 ( 000 . 692 . 1 6 ) 250 . 8 ( 700 . 575 . 13 6 2960 8250 200 . 587 . 3 2 2 =− − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × −

2. Com base no r calculado da questão 1, qual o tipo de correlação? a) Forte relação positiva.

b) Fraca relação positiva. c) Fraca relação negativa. d) Ausência de relação. e) Relação linear perfeita.

Comentário:

• Somente com o valor do r calculado já poderíamos dizer que a série possui uma relação negativa.

• Outra forma seria construindo o gráfico de dispersão com a linha de tendência. Ele demonstra claramente que a relação é negativa.

Gráfico de Tendência 0 200 400 600 800 0 500 1000 1500 2000 2500

3. Nos casos abaixo, que tipo de correlação se espera: correlação positiva, correlação negativa ou não existe correlação?

1o _{Número do calçado e QI;}

2o Renda e Educação.

a) 1o _{não há correlação e 2}o _{não há correlação.}

b) 1o não há correlação e 2o correlação positiva. c) 1o correlação positiva e 2o não há correlação. d) 1o correlação negativa e 2o não há correlação.

e) 1o correlação positiva e 2o correlação positiva. Desenvolvimento:

• Buscamos analisar a relação existente entre as variáveis, pois o objetivo da correlação é verificar a associação existente entre elas. Número do calçado e QI são duas variáveis que dispensam qualquer tipo de cálculo, pois elas não se relacionam, ou seja, não há nenhuma associação entre elas.

• No caso de Renda e Educação, são duas variáveis que possuem associação, pois, por exemplo, se um indivíduo possui baixa escolaridade, provavelmente a renda dele também é baixa; se um indivíduo possui uma graduação, por exemplo, provavelmente a renda dele é superior ao caso anterior, e assim sucessivamente. A questão “educação” leva o indivíduo, normalmente, a obter uma alavancagem cultural, social e financeira, por isso, são variáveis que se correlacionam. 4. Um estudante de estatística calculou a correlação entre altura e peso de um grande grupo de alunos do curso de enfermagem de sua faculdade, obtendo r=0,32, mas não conseguiu decidir se é a altura que faz com que os alunos pesem mais ou se é o excesso de peso que faz com que os alunos sejam mais altos. O que você poderia dizer para ele que está desconsolado por não conseguir decidir quem influencia quem? a) Ele não tem como saber se o peso influencia a altura ou se a altura influencia o peso, pois a correlação permite-nos apenas mostrar a associação entre as variáveis.

b) Ele informa que o peso influencia a altura, pois pessoas com peso elevado tendem a ser mais baixas.

c) Ele informa que a altura influencia o peso, pois pessoas com estatura elevada tendem a ter baixo peso.

d) Ele informa que o peso influencia a altura, pois pessoas com peso elevado tendem a ser mais altas.

e) Ele informa que a altura influencia o peso, pois pessoas de estatura elevada tendem a ter peso também elevado.

5. A tabela a seguir mostra a quantidade de carros que cada um dos 5 funcionários vistoriou, em um posto do Detran, entre 16 e 18 horas, em determinado dia.

Número de semanas trabalhadas (X) Número de carros inspecionados (Y) 2 13 7 20 9 22 5 15 12 20

Com base na tabela, estabeleça a equação da reta dos mínimos quadrados que permite estimarmos y em termos de x. (Equação da reta →

bx a y= + ^ ). a) ŷ=10,10+0,974x b) ŷ=12,09+0,844x c) ŷ=15,34+1,163x d) ŷ=18,34+0,884x e) ŷ=18,87+1,234x

Para estimarmos a reta, iremos trabalhar com as equações normais: -Equações normais:

Σy = na + b(Σx)

Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx2)

Vamos calcular os somatórios e encontrar os valores de a e b: Número de semanas trabalhadas (X) Número de carros inspecionados (Y) X 2 _XY 2 13 4 26 7 20 49 140 9 22 81 198 5 15 25 75 12 20 144 240 35 90 303 679 ∑x=35 ∑y=90 ∑x2=303 ∑xy=679 Σy = na + b(Σx) Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx2)

Substituindo os valores temos: ⎩ ⎨ ⎧ + = + = ) 303 ( ) 35 ( 679 ) 35 ( 5 90 b a b a

Precisamos eliminar uma das variáveis a ou b. Vamos multiplicar a 1a linha do sistema por (-7); após a multiplicação somar a 1a _{do sistema com a 2}a _{linha do}

sistema. Assim eliminamos a e encontramos o valor de b. Em seguida, substituindo o valor de b em qualquer uma das linhas, encontramos o valor de a. ⎩ ⎨ ⎧ + = − × → + = ) 303 ( ) 35 ( 679 ) 7 ( ) 35 ( 5 90 b a b a 844 , 0 58 49 49 58 58 49 303 35 679 245 35 630 = = = = + ⎩ ⎨ ⎧ + = − − = − b b b b a b a b=0,844

Substituindo o valor de b na 1a ou 2a equação do início do problema, temos:

09 , 12 5 46 , 60 46 , 60 5 5 46 , 60 5 54 , 29 90 54 , 29 5 90 35 844 , 0 5 90 = = = = = − + = × + = a a a a a a a=12,09

Logo a equação da reta será: y 12,09 0,844x

^

+ =

6. Com a equação da reta do problema 5, estime quantos carros um funcionário trabalhando 8 semanas poderá inspecionar no mesmo período. a) Aproximadamente 19 carros. b) Aproximadamente 20 carros. c) Aproximadamente 21 carros. d) Aproximadamente 22 carros. e) Aproximadamente 23 carros.

Utilizando a equação da reta calculada no exercício 5, y 12,09 0,844x

^

+

= , iremos estimar quantos carros um funcionário trabalhando 8 semanas irá inspecionar:

carros y y y 19 842 , 18 752 , 6 09 , 12 8 844 , 0 09 , 12 ^ ^ ^ ≅ = + = × + =

7. Considere o quadro abaixo:

x y 90 90 140 150 180 ?

Observamos que um dos valores de y não foi colocado na tabela. Sabendo que a equação de mínimos quadros é ŷ=28+0,5x, determine o valor de y que falta.

a) 49 b) 58 c) 67 d) 110 e) 120

Para o cálculo do valor de x utilizamos uma das equações normais que nos permite o cálculo do valor de y. Através do problema, temos as seguintes informações:

∑

∑

∑

∑

∑

Se o somatório de y é igual a 289, não podemos esquecer de subtrair os valores já existentes na tabela. Logo: Y =289−90−150 →Y =49.

8. Na análise de regressão as variáveis são classificadas de que forma? a) X – variável independente Y – variável independente.

b) X – variável independente Y – variável dependente. c) X – variável dependente Y – variável independente. d) X – variável dependente Y – variável dependente. e) X – variável pendente Y – variável independente.

9. Seja a tabela abaixo composta pelo peso (kg) e altura (cm) de crianças com 10 meses de idade.

Altura (cm) Peso (kg) 75 9,0 70 9,2 73 8,9 78 8,5 80 9,5 69 9,6 71 9,1 72 10,0 74 8,7 77 9,4

Determine o coeficiente de correlação de Pearson e verifique que tipo de correlação existe entre as variáveis peso e altura.

Solução:

Crianças Altura (cm) - X Peso (kg) - Y XY X2 Y2

1 75 9 675 5625 81 2 70 9,2 644 4900 84,64 3 73 8,9 649,7 5329 79,21 4 78 8,5 663 6084 72,25 5 80 9,5 760 6400 90,25 6 69 9,6 662,4 4761 92,16 7 71 9,1 646,1 5041 82,81 8 72 10 720 5184 100 9 74 8,7 643,8 5476 75,69 10 77 9,4 723,8 5929 88,36 Total 739 91,9 6787,8 54729 846,37 Vamos calcular o valor de r

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Σ − Σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Σ − Σ Σ Σ − Σ = n y y n x x n y x xy r 2 2 2 2 ( ) . ) ( ) ).( ( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − × ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × − = 10 ) 9 , 91 ( 37 , 846 10 ) 739 ( 54729 10 9 , 91 739 8 , 6787 2 2 r 2482 , 0 5421 , 14 61 , 3 4721 , 211 61 , 3 809 , 1 90 , 116 41 , 6791 8 , 6787 ₌ − ₌ − ₌₋ × − = r r= -0,2482

O valor de r indica que a relação é negativa mais é fraca. Isso não significa não haver correlação nenhuma entre as variáveis. Para uma análise mais aprofundada seria necessário o domínio de diversas informações que não estão sendo levadas em consideração. Por exemplo: aos 10 meses as crianças, normalmente, já ingerem diversos tipos de alimentos. Será que todas as crianças têm o mesmo tipo de alimentação? Será que todas as crianças ainda bebem leite materno, ou seja, mamam no peito? Vale lembrar que é muito importante o domínio da informação acerca de um grupo que estamos analisando para evitar erros grosseiros de análise.

10. Vamos considerar os mesmos dados do exercício anterior. Altura é a variável Independente e Peso a variável dependente. O objetivo é estimar qual o peso de uma criança que tem altura de 85 cm. Desenvolva os cálculos necessários e através da equação da reta ŷ = a + bx e diga qual é o valor.

Solução:

Crianças Altura (cm) - X Peso (kg) - Y XY X2

1 75 9 675 5625 2 70 9,2 644 4900 3 73 8,9 649,7 5329 4 78 8,5 663 6084 5 80 9,5 760 6400 6 69 9,6 662,4 4761 7 71 9,1 646,1 5041 8 72 10 720 5184 9 74 8,7 643,8 5476 10 77 9,4 723,8 5929 Total 739 91,9 6787,8 54729

Para o cálculo da equação da reta, que permitirá a estimativa do peso de crianças com 85 cm de altura, vamos utilizar as equações normais e encontrar os valores de a e b, como já desenvolvido em exercício anterior.

Σy = na + b(Σx) Σ(xy) = a (Σx) + b (Σx2) ⎩ ⎨ ⎧ + = − × → + = b b a 54729 739 8 , 6787 ) 9 , 73 ( 739 10 9 , 91 b b a b a 90 , 116 61 , 3 54729 739 8 , 6787 10 , 54612 739 41 , 6791 = − ⎩ ⎨ ⎧ + = − − = − 0309 , 0 90 , 116 61 , 3 61 , 3 90 , 116 − = − = − = b b

47351 , 11 10 7351 , 114 7351 , 114 10 10 8351 , 22 9 , 91 8351 , 22 10 9 , 91 ) 0309 , 0 ( 739 10 9 , 91 = = = = + − = − × + = a a a a a a= 11,47 b= -0,03 ŷ = a + bx= 11,47 - 0,03 x 85 = 8,92 ≅ 9 kg