apostila[1] mat fin

UNIP – CAMPUS ASSIS

ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS/CIÊNCIAS CONTÁBEIS Matemática Financeira

Adriana Henschel Bertolino Rodrigues Apostila 1

A importância da Matemática Financeira

A Matemática Financeira é o nome dado ao conjunto de conceitos matemáticos elementares utilizados para análise e operacionalização de operações financeiras. Sendo que a operação financeira pode ser definida como a operação realizada entre duas partes envolvendo a transferência de valores em dinheiro do agente provedor dos recursos ao agente tomador dos recursos, o qual transferirá algum bem tangível ou garantia de pagamento futuro dos recursos, segundo critério definido de comum acordo entre as partes.

De uma forma mais simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo (time value money). As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o capital e o tempo. Sendo assim, podemos dizer que aA Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro no tempo.

Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"?

Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$ 4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. Pois, levando em conta a inflação acumulada neste ano, o poder de compra de $4.000,00 não será o mesmo que daqui a 1 ano. A princípio, isso nos parece muito simples, porém, poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre.

É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a um ano porque esse capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render juros que seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior que esse capital.

Por exemplo: Suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu aplique esses R$ 4.000,00 hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o valor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais.

Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui a um ano, e não os mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seu valor. Os juros de R$ 400,00 referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa por termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje.

É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, seja equivalente a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje e R$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00.

Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a 0.

A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua vez está ligado à existência da taxa de juros.

Muitos conceitos envolvem a Matemática Financeira, como por exemplo: capital, taxa de juros, montante, entre outros. Todos esses conceitos serão vistos ao longo do curso.

 CAPITAL (C) ou VALOR PRESENTE (VP)

Capital (C) ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal: P) em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor à vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com desconto" dado como opção às compras a prazo.

É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento.  JUROS (J)

Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou por prazos concedidos. Podem ser também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga.

A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:

 Inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo.  Risco: os juros produzidos, de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento.  Aspectos intrínsecos da natureza humana: os seres humanos adoram ganhar dinheiro!

Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente).

Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.

Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido, pois, enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – crescimento linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função exponencial.

Exemplo: Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que:

1 , 0 00 , 000 . 4 $ 00 , 400 $ _ ou 10%

Algumas notações utilizadas: - forma percentual

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

- forma unitária: dividida a forma percentual por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)  PRAZO ou PERÍODOS (n)

Uma transação financeira é feita tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, cinco meses, dois bimestres, ...) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo. O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade. Pode ser unitário ou fracionário.

No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o "n" expressa o número de pagamentos ou recebimentos efetuados do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já nos deparamos com uma situação como, por exemplo, comprar um televisor em 5 prestações mensais. Essas 5 prestações representam o "n", ou seja, o número de pagamentos que serão efetuados durante toda a operação.

Vale lembrar que na Matemática Financeira utilizamos o ano comercial, ou seja, o mês tem 30 dias e o ano 360 dias.

 MONTANTE (M) ou VALOR FUTURO (VF)

Montante (M) ou Valor Futuro (VF) é o valor obtido no final da transação, somando-se ao capital inicial os juros incorridos no período de aplicação.

 JUROS SIMPLES

Uma vez vistos esses conceitos, podemos partir para a parte mais prática da Matemática Financeira. Somente para relembrar, o regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal (capital). Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros

Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), dos Juros (J) e da Taxa de Juros (i). Com estas três fórmulas é possível resolver diversos problemas que pareciam complicados.

M = C + J





J = C. i . n, onde











n C J i n i C J . . .   

A partir dessas fórmulas vamos verificar como resolver alguns problemas.

Exemplo 1: Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Calcule o juro e o montante produzidos no final do terceiro mês utilizando o regime de juros simples.

Solução: C = 1.000,00 i = 12% a.m. = 0,12 n = 3 meses J = ? M = ? J = C.i.n J = 1.000 x 0,12 x 3 J = 360,00 M = C + J M = 1.000,00+ 360,00 M = 1360,00

Exemplo 2: Temos uma dívida de R$2.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Calcule o montante que deverá ser pago.

Solução: C = 2.000,00 i = 8% a.m. = 0,08 n = 2 meses M = ? M = C.(1 + i.n) M = 2.000 x (1 + 0,08 x 2) M = 2000 x (1 + 0,16) M = 2000 x 1,16 M = 2320,00

Exemplo 3: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 3% a.b. (ao bimestre) durante 8 meses. Solução: C = 70.000,00 i = 3% a.b. = 0,03 n = 8 meses = 4 bim. M = ? M = C.(1 + i.n) M = 70.000 x (1 + 0,03 x 4) M = 70.000 x (1 + 0,12) M = 70.000 x 1,12 M = 78.400,00

Exemplo 4 : Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. (ao ano), durante 125 dias.

Solução: C = 40.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 i = 0,36



Exemplo 5: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Solução: C = C M = 2C i = 150% a.a. =1,5 n = ? M = C.(1 + i.n) 2C = C x (1 + 1,5 x n) C C 2 = 1 + 1,5 x n 2 = 1 + 1,5 x n 2 – 1 = 1,5 x n 1 = 1,5 x n 5 , 1 1 = n n = 0,67 ano (x 12 meses) n = 8 meses

Entendemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o aumento médio de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um índice expresso como uma taxa percentual relativa a este mesmo período.

Numa economia, um processo inflacionário pode ser caracterizado pelo fato de que grande parte dos preços dos fatores de produção e de mercadorias esteja sofrendo elevação num dado período de tempo. Isto quer dizer uma elevação continuada e persistente.

Dentre os principais problemas que a inflação ocasiona a uma economia estão o crescimento diferenciado dos preços, o qual beneficia uns e prejudica outros, e o aumento dos custos de transação determinado pelas distorções que o processo inflacionário ocasiona ao sistema de preços.

Com a inflação não esperada, sofrem perdas aqueles que têm menor poder de negociação, como os assalariados não sindicalizados e aquelas empresas que operam com matérias-primas fornecidas por setores monopolizados (com um único ofertante, como é o caso do petróleo no Brasil) ou oligopolizados (com poucos ofertantes, como é o caso do cimento como fornecedor). Ou seja, se o fornecedor ou o comprador tiverem um grande poder de negociação, ele imporá ao outro parceiro ou ao consumidor uma perda. A inflação provoca então um conflito distributivo, atuando como se houvesse um verdadeiro imposto invisível capaz de mascarar os erros de gestão e as ineficiências na economia.

Mede-se a inflação através de indicadores ou índices que tentam refletir o aumento de preços de um setor em particular ou de um segmento de consumidores. Efetivamente, existem diversos índices que são calculados para o atendimento a várias finalidades.

Abaixo, destacaremos os três principais índices utilizados no país e como são calculados. ÍNDICE GERAL DE PREÇOS - IGP (Fundação Getúlio Vargas - FGV)

O IGP-DI/FGV foi instituído em 1.944 com a finalidade de medir o comportamento de preços em geral da economia brasileira. É uma média aritmética, ponderada dos seguintes índices:

 IPA que é o Índice de Preços no Atacado e mede a variação de preços no mercado atacadista. O IPA ponderada em 60% o IGP-DI/FGV.

 IPC que é o Índice de Preços ao Consumidor e mede a variação de preços entre as famílias que percebem renda de 1 a 33 salários mínimos nas cidades de São Paulo e Rio de Janeiro. O IPC pondera em 30% o IGP-DI/FGV.

 INCC que é o Índice Nacional da Construção Civil e mede a variação de preços no setor da construção civil, considerando no caso tanto materiais como também a mão de obra empregada no setor. O INCC pondera em 10% o IGP-DI/FGV.

O objetivo do IGP-DI ou Disponibilidade Interna é a consideração das variações de preços que afetam diretamente as atividades econômicas localizadas no território brasileiro. Não se considera as variações de preços dos produtos exportados, medindo a variação dos preços conforme acima descrito no período do primeiro ao último dia de cada mês.

ÍNDICE DE PREÇOS AO CONSUMIDOR – IPC (Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas – FIPE)

O IPC/FIPE é calculado mensalmente pela USP/FIPE e mede a variação de preços para o consumidor na cidade de São Paulo para quem ganha de dois a seis salários mínimos. Os grupos de despesas estão compostos de acordo com o POF (Pesquisas de Orçamentos Familiares) em constante atualização.

O período de pesquisa das variações de preços ocorre a partir do primeiro ao último dia de cada mês. A FIPE divulga também as variações de preços das últimas quatro semanas imediatamente anteriores. Deste modo este índice "evita" sustos e indica tendências fortes das variações de preços principalmente da camada de renda da população analisada. A FIPE divulga o IPC desde Fevereiro de 1939.

ÍNDICE DO CUSTO DE VIDA - ICV

(Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Sócio-Econômicos) - DIEESE

Elaborado pelo DIEESE - Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Sócio-Econômicos, mede a variação do custo de vida das famílias com renda de 1 a 30 salários mínimos do município de São Paulo. O índice é calculado em três extratos distintos:

 Extrato 1 -Famílias com menor renda, 1 a 3 salários mínimos (1/3);  Extrato 2 -Famílias com renda intermediária, 1 a 5 salários mínimos (1/3);  Extrato 3 -Famílias de maior poder aquisitivo, 1 a 30 salários mínimos (1/3);

O Índice Geral engloba todas as famílias e o cálculo começou a ser efetuado pelo DIEESE em Janeiro de 1959.

Inflações elevadas e hiperinflação

Quanto mais elevada é a taxa de inflação, maior é a necessidade de indicadores que permitam fazer a correção da perda do valor da moeda.

As forças econômicas que causam inflações elevadas num país (da ordem de 20% a 30% ao ano) tendem a ser instáveis. Como resultado, podemos ter uma taxa de inflação em elevação constante ou,

então, uma taxa oscilante. Neste último caso, a taxa de inflação pode ser de 30% aa num dado ano e passar para 100% no ano seguinte, para cair a 50% no terceiro ano.

Nestas condições, é impossível fazer previsões, o que torna necessário usar o julgamento ou apelar para indicadores físicos, como a quantidade de insumos requerida para a produção de um dado bem, por exemplo.

Quando a taxa de inflação passa a crescer de modo explosivo, diz-se que existe uma hiperinflação.

Diz-se que um país está em hiperinflação quando a taxa de inflação ultrapassa a marca dos 50% num mês e fica acima deste percentual por vários meses seguidos.

Na hiperinflação, o valor da moeda cai rapidamente porque a população perde a confiança na mesma. Isto pode ocorrer, por exemplo, se o governo gasta mais do que arrecada e passa a emitir moeda para financiar o seu déficit orçamentário. Pode ser também que o governo esteja se financiando com títulos, porém estes títulos perderam a credibilidade e a população só aceita ficar com os títulos por um prazo muito curto. DEFLAÇÃO

Por deflação entende-se um processo de queda nos preços dos fatores e das mercadorias num dado intervalo de tempo. Um processo deflacionário pode ser tanto ou mais danoso que um processo inflacionário, como ficou evidenciado durante a Grande Depressão que ocorreu nos Estado Unidos a partir de 1929.

EXERCÍCIOS – Considere sempre o regime de capitalização simples

1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 450,00, aplicado a uma taxa de 6,4% ao mês, durante 4 meses? (R$ 565,20)

2. Que juro receberá uma pessoa que aplica $1.500,00 a uma taxa de 2% a.m. durante 1 ano? ($360,00)

3. Quanto tempo um capital de R$ 210,00 precisa permanecer depositado em um Banco, a uma taxa de 12% ao mês, para gerar um montante de R$ 840,00? (25 meses)

4. A aplicação de R$ 285,00, pelo prazo de 125 dias, proporcionou um rendimento de R$ 41,04. Determine a taxa mensal de juros dessa operação? (3,456% ao mês)

5. Quanto devo aplicar para obter, no final de 92 dias, a uma taxa de 9,6% ao mês, o montante de R$ 906,08? (R$ 700,00)

6. Calcule o valor dos juros referentes a um empréstimo de R$ 640,00, com vencimento em 75 dias, contratado a uma taxa de 90% ao ano. (R$ 120,00)

7. Calcule o montante resultante da aplicação de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a., durante 145 dias. ($72.960,42)

8. Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. ($234,00)

9. Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. (R$5000,00)

10. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? (R$116.666,67)

11. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? (2/3 ano = 8 meses)

12. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000,00. Qual é a taxa anual de juros simples ganha na operação? (52,94% a.a. )

13. Um capital aplicado transformou-se em $13.000,00. Considerando uma taxa de juros simples de 42% a.a. e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. (13 meses )

14. Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800 ou então a prazo mediante $ 500 de entrada e mais uma parcela de $ 1.436,50 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? (3,5% a.m. )

15. O capital de R$ 2.500,00 foi investido a taxa de juros simples de 6% a. a., durante 4 meses. Quanto foi recebido de juros no término do prazo? (R$ 50,00)

16. O capital de R$ 1.650,00 foi aplicado em período de 10 meses e recebidos R$ 55,00 de juros. Quanto foi a taxa anual de juros simples utilizada? (4% a.a.)

17. O capital de R$ 900,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% a.a., tendo sido obtidos juros de R$ 15,00. Qual foi o tempo da operação? (4 meses)

18. Um capital foi aplicado a uma taxa de juros simples de 6% a. a., durante um período de 8 meses, rendendo um juro de R$ 48,00. Qual foi o capital empregado? (R$ 1.200,00)

19. À taxa de juros simples de 10% ao trimestre, em quanto tempo um capital triplica de valor? (5 anos)

1. Um capital qualquer aplicado a juros simples de 10% a.m. deverá dobrar em:

a. 5 meses b. 1 ano c. 10 meses d. 6 meses e. 1 ano e meio

2. Um contador, especialista em tributos, precisa estabelecer os preços de venda dos artigos de uma empresa, baseados no preço de custo dos mesmos. Se um artigo custar $100,00 e o lucro desejado for de 20% sobre o preço de custo, deverá ser vendido por::

a. $120,00 b. $115,00 c. $125,00 d. $110,00 e. $122,00

3. A charutaria “Fumo Bom” vende um isqueiro por $100,00. Sabendo que a margem de lucro desse artigo é de 15% do custo, concluímos que o mesmo custou:

a. $85,40 b. $95,40 c. $85,00 d. $86,96 e. $75,20

4. Certo professor de Matemática Financeira avalia seus alunos através de prova bimestral e, de acordo com o comportamento do aluno nas aulas, um percentual da média bimestral como “nota de conceito”. Como exemplo, se o percentual de conceito for 10%, um aluno de média bimestral 8,0 teria obtido 7,2 na avaliação bimestral e 0,8 (10% da média 8,0) como conceito. De acordo com esse sistema, um aluno de média bimestral 6,0, com nota de conceito de 10%, teria obtido na prova bimestral: a. 5,0 b. 5,5 c. 5,4 d. 5,6 e. 5,7

5. Uma calculadora financeira custou $500,00 ao revendedor e foi vendida por $600,00. Nesse caso, podemos afirmar que a taxa de lucro sobre o preço de custo foi de:

a. 20% b. 19% c. 19,5% d. 21% e. 20,5%

6. Se desejo um lucro de 12% sobre o preço de custo de um bem pelo qual paguei $420,00, devo vendê-lo por:

a. $475040 b. $469,40 c. $470,00 d. $470,40 e. $440,70

7. Se uma aplicação rende, a juros simples, a metade do principal em 10 meses, podemos garantir que a taxa de juros mensal dessa aplicação será: a. 4,5% b. 5,5% c. 5,0% d. 10,0% e. 6,0% Gabarito: 1. c 2. a 3. d 4. c 5. a 6. d 7. c