Questões Praticas de Arithmetica, 1895.

r

{ DE

ARITHMETI

AO ALCANCE DE TODOS, SEGUIDAS DE UMA TABELLA DE CAMBIO _{DE DIVERSOS PAIZES, DESDE 8 ATÉ 27 DINHEIROS}

POR MIL REIS.

1'011

0.

J/1.

Jl.

Maranhão-1895. é) 5

~5

QUESTOES PRATICAS DE ARITHMETICA.

AO ALCANCE m: TODOS, SEGUIDAS DE UMA TADELLA DE CMIIHO DE DIVERSOS PAIZES, DESDE 8 ATÍ: 27 Dt:\IIEIHOS

POR

! '.

llegrn de t1•ez.

. llfgra de lrez é uma operação que tem poi;

fim

;

·

dados trez lermos de unu, proporção, .de.terminar um quarto que se chama .incognita ou termo desconhecido.

Tc11hamos, por exemplo, a proporção: 24.: G

=

12: X que se lú :H está para 6; como 12 pam X..

O primeiro, e segundo termos chamam se primein.1. ra:ão; o tereciro e quarto termos, sfg1u1d.n razão; o pri-meiro e terceiro termos, antecedentes; o segundo e quarto termos, consequentes; o primeirn e ultimo lermos, e.1·trP

-1nJs; o segundo e terceiro termos, meios.

A regra de Ire= poele ser simples 011 cQmposta, dir1'cta, ou 111rersa.

Simples quando se resolve por uma só prr porçào. Composta qnan<lo se resolrn po1· mai.; <le uma pro-. porr<io.

f)i1·ecta qu:rnt.lo. augm1~11la11do o principal, augmenla o relatú,o ou, diminuindo o principal, · diminue o rel a-lirn.

fm;rmu quando, augmentanilo o princi7)al, diminne o relalh'o ou, diminuindo o principal, augmenla o re-latfoo.

Chamam se principaes em uma proporção os dons termos conhecidos lia mesma cspecie e relativos os dous outros lermos, um dos quaes é desconhecillo .

. Para resolver.se uma (Jnestão qualquer, quando o termo 1lesconhrddo é p.1,·tre11w, multiplicam-se os meios entre si, dividinq.o-se essr 1n·od11clo pelo e:rtrnmo co nhe-cido.

Quando, porem, o lermo dcsco11heciclo é meio, multi-plicam-sP. os e.riremos, di11idi11d11 se depr,is u producto pelo

mein conltecit/o.

negra «t ... tr

e

z sh111ales dlrecta.

Si

8 operrtrio.~ fa::em, rm certo tempo, .'JO palmos de uma <.bra, 12 (IJ)f'rarios, 110 me.~m.o tempo, quantos palmos

farão ?.

E' uma regra tlirecla, pon1uc si 8 operarias fazem

::SO palmos de Óbra. 12 opcrarios, 110 mesmo tempo, d e-verão fazer maior numero de palmos. Cresc,) o numero ílc palmos, pois nugmcnta o n1fmcro de opcrnrios.

,.

a-Eis a colloc;H)o dos termos: 8: 12= :lll:Xd'ondc

X= '12X:30 + 8 = H5 palmos, tantos quantos l'azém os ·12 operarios.

Tamirnm se indica a operaç.ão por meio de fracç,ãu

1. . . , , y 11x:1n 1. _; • (' _

orcrnana, isto e,·'- -:- __ ,-=" .,a, poi::; nma rJri;~w or-, I;

dinaria uada mais exprime que a diYisão do numerador

pelo denominador..

Na ,regra d~ trez dircda. o J)l'inc{11al 1! o relativo co-nh.ecidos occ111iam os anteced,:ntes; o principal e o 1·dalivo desconltl'cido os conserptente~._ ~, . , ' x.1 ·

. • 1 ·~ f - ~ (t:.._

----

---

~ / ' /

[

\

UegNa (le tl•ez slm1Dlcs i11~e1•st1.

A 1'f)(la dianteira t.le um ca1To ll'ln 60 ce11til11.1•trn.~, ltu

passo que a tro:eira fl'm l 11w:ro de 1/iamerro. Quantas voltas dará l'sta, e111q11a11f.o aqueflét dcí ;; voltas ?

Na regra de trez inversa o pl'incipal e o relativo c o-nhecidos ocwpam os meios; o Jl1'incipal r o relativo desco-nhecido os e.riremos.

CiO centimetrns e I metro ou IOJ Cünlimetros são princ.ipaes, por serem termos <.:anheddos da mesma esp e-cie. üO renlimetros tem scn relatho conhecido que é 5

voltas.

f0.0

centímetros tem como relativo a incognita.

Temo,, portanto, esta collocação:

100: 60= 5: X

, (iOX5

X-=- - = 3 voltas.

!0,1

Jnfof'e-se do presente resulta1lo que, quanto maior

for o di:imetro ela roda, menor serú o numero de voltas

que dá. D'ahi :i imv'l'São ela regr,1.

Besolvamos m:iis :i seguinte qnestão:

Km wnct Pstrnda. estão plantadas 150 an,ores com in-lel'vallos de 6 zwlmos rle uma a n1ttl'a. Se trtPS i11tervallos {nssem apenas dt! 4 palmns, quantas arvores caberiam ?

1\lenor o inle;·,:allo, maior o numero de arvores. T

e-mos, pois:

4 : 6=-=150 : X

X= 1_{:,oxi; = 22;5 arvores}

-

,

,

Regra de t1•es composta

Süo weciso.~ 40 kilos de alimento 7wra uma equipagem compnsta de 10 pessons 7iam uma riagem de 6 dias. Si dita eq11ipogem se com.prnesse de 16 pess~ns e a viagem fnsse dP 9 dias, q1ta1w;s kilos serião precisas ?

-7-Abstenhamos-nos da questão de dias e proponhamos

a seguinte proporção:

10 pessnas se alimentam com 40 kilos: quantns kilo.<.

serão precisos para alimentar 16 pessoas?

Regra de tres directa, cnja colloc:ição seguinte ja é conhecida:

40Xt6

X - - - -'H kilos

10

Formemos agora nova proporção, isto é, si em 6 dias os marinheiros se alimenra,n com 64 kilos, rm .9 dias

quantos kilos serã.o precisos l'

6 : 9=--=64 : X f

IHX9

X= -(;-==96 kilos

Um outro meio existe, o methodo de reducção a uni -dade, para resolver a questão.

Exemplifiquemos:

Si 10 pessoas comem tlO kilos, t pessoa comerá liO+

to

ou ~ do rancho em seis dias.

Uma

só

pessôa,

em

' ·l'l

t,O nm <lia, comerá t,O ';" tOX6 ou

-WX6

rn

homeus eomcrão em um di,a 16 vezes mais ou

40X ·l6

i

o

x

rn

+ t0X6 011

rn

x

6

f6 homens, em 9 dias, comerão 9 vezes ma.is esta ultima íJuanlidade. Temos, portanto:

40X t6X9 .

-IOX G

=

flG k1los.

· São necessarios !)ü kilos de alime11lo para 16 ho -mens em !) dias.

" -

-Cambio.

A regra de cambio n:ida mais {• qne uma regra de trnz simples, tentl.o por fim a cnniwsão de qualquer mo e-da ele wn paiz em moeda de outro paiz.

O facto de dizer-se qw~ o eambio eslá. a 9, IO ou t G exprime que, em um saque que lenhamos de tomar, compraremos 9, JO on ,i:i dinheiros por 115000 rék E pois se diz fl dinheiros por mil rói:;,

rn

dinheiros por mil

réis ele.

.

-U

-taxa cambial, mais preearia nns será a Lrot:a monelaria, porque melhor será, snpponlnmos, 11 clinheiros por

{;$000 réis do que !J ou

rn.

Antes comprar, t:om a mes-ma importancia m.a.is do r111c 111enns.

Tratemos do t:amllio inglez por mais usual entre nós.

A rnneda principal ingfoza é a Libra ( f:) que tein 20

shilings •(sh) ou soldos e o soldo doz,i pe11crs ou dinJu,iros.

,

\ f:

1cm. po1:tanto, tlO pc11t·cs.

Pnss11imós 6

2

"

q1teri'lltfls re,ln:ir essa impnrtm,cia a dinheiro bm;ileil'o 110 c,11111Jio ,fo 2-J.

Si a ;E tem :tW p,·ncf's, li

E

tem 2wx 1., 011

r

u

o

prncrs

Si ':.H wnresvalr.m 1000 reis I.Jrazildr,1s, 14 W •1uanto valcr:íl)?

negra de Lres dircda

~1 : H'i0= '000: X t Hl)><tOOO .

X==:c:

---9, · - -diühOOO reis (dinheiro brazileiro ) - ~ 1 Outro exemplo: !I

f:

a ramhio de 12 3

/

i

.

3 /, reduzidos a fnw;.ão rlecimal. p:1ra fadlidade do calculo, dão O,

rn

qne :-e lê 75 Ct>11lesimos. Si 1'2 pcnces e i;j centedmos (12.irí) valem 1,5000 reis, 9

f',

blo

1

\

2 IGO pencf's quanto valerão ?

Regra direc.t:i:

12,75: 2160= !000: X 2rnox1000 2rnoooooo ;

X-

-19 ... , , . , ;:;:- ou h!r i) = l6fl1H tt reis

Ainda outro exemplo, porem contrario aos que te· mos feito, isto é, tratemos de reduzir agQra moeda nacio

-nal a dinheiro inglez. 100~000 reis a cambio de 12 para moeda ingleza.

Si 1000 valem 1'2 pences, 1000CO deverão valer mais

10110: 100000= 12 : X

12X 100000 1_12x 100

X=-=~ ~ ·011, simplifü:anrlo ,

1 = 1200 pences

Tendo a ~ 2m penccs e dividindo-se 1200 por 240 ou, o que é o mesmo, 120 por 2í, teremos como resul -todo 5 .f'.

.Jau·os.

O.í-se o nome de juros ao ,lucro que aufere qualquer

individuo ou estabeleômentu bancaria de 11111a q1u111tia que

mnpreslou. E' rnmo (]lle o alnguel da qu~ntia emprest:i~la, aluguel que varia conforme a ta:m e o tempo.

-11-coosas: capital, juros, trmpo e taxa que representaremos

pelas lettras C, J, T e 1.

A regra de juros, corno a de cambio, em nada

dilTe-re da regra de tres, podendo-se fazei-a por meio de

pro-porções. Ha, porem, um meio pratico, certas formulas,

por meio das quaes chega-se a um resultado certo e com mais prestesa.

Taes formulas são as seguintes:

cx1

x

T

J (juros)

-1 (1 0

A irnportancia dos juros r. igiwl ao capital multiplica-do pela taxa, mulli71licadn pelo tempo, dividido por 100.

toOJ

e

(capital)= Ix T

O capital é igual a 100 11ezes ns juros, dividido pela

taxa, multiplicado pelo u,mpo.

, . 100

.r

l (LaxaJ-=-=Cx T

A taxa é igual a 100 ve.zes os juros, dividido pelo ca-. pital multiplicad.o ,pelo tempo. ·

100 .J

T (tern110)= -

-c

x

1

O tempo é igual a 100 vezes os juros, d-ividido pnlo capital multiplicado pela to;rçi .

Dadas as formula:;, fat:il é l'csolver as qucsLões, como

vamos ver.

Primeira quesrã1: pro,:ul'ar jnros.

Emprestou-se 8408000 reis a 9

%

.(quer dizer 9 por

cento) pelo praso de 2 annos e. 6 mezPs. Perle-se os juros. Sendo J CX IXT 8 '10.00!JX 9X 2, 5

100 tcmosJ= 100 -=l8ü.000

Segunda questâo: procurar o capital.

Que cap{lal. rendm 4,>500 reis f'.m 15 mezes a 4 º/ 0 ? 100 J M:iPOX 100

Sendo C= IXT , temos

t,

.

x

f,

t:""i -=90.000 reis. Teiceira (JUl'Slào: procmar a taxa'.

A que ta.r.a se e111presto11 2:J0.000 para., · em anno e meio (1,5) produzfr 20.62:5 ro'is ?

mo

J 20.62?íX IOll

Sendo I= CX T, lemos 250.000X i ,G -'-5,5 A taxa

e,

portanto, cinco P. ·meio.

Quarta questiío: procurar o tempo.

Durante que tempo eslecc a juros o capital C4 000

reis pam, a. 8' % elevar-se a 104:960 ?

Elevando-se o capital G LOOO reis, com :i taxa· de

8

%,

a 10'dlGO reis, scgne-se que o lucro foi de 40 !)60 reis.

mo

J !~0.9GOX 100

{

Desco11to.

f

Desrnnto é o abatimento feito 1w iinporta11cia de uma

\ lellra rpncivrl 1?111 certo praso, mas cujo pagamento se

rea-lisa antes do vMciniento.

Ha duas formas de dest:ontos: desconto 7ior fora e desconto por dentro. ·

[)psconto por fora é o juro rlo valor nominal de uma

leura durante o tc,n,po do seu rencimertto.

Desconto por 1fontro é o juro do rnlor actual ela lrllra.

Valor nominal de ·1t11w, lef.lra é a quantia nella cons ig-11ada. Valnr actual é uma quantia tJI que, a juros

du-rante o tempo do rcndmcnto. protluz quantia igual ao

Yalor nominal.

No desconto JJ:Jr fom confunde-se a taxa 1,;om a de

juros e, comquanlo sPja pouro r:icional essa forma de

dei,t:onto, é a geralmP.11te seguida na praç:i.

U1110, lellra pr1gr11;el dentro rll' 1 annn e ü mezes é hoje

descontada a .9

°lo

7,or fiira e 11or dPJ1tro Q11al é o de

s-camo? POII l'Oll.\ ' C><.IXT 800.0fiOxfJX 1,:> D=·-· -- - ou-- ~ - - -- -108

oo

:

o

reis. 100 too CX IXT lJ=---= - --- · nu D fOO+ IXT · 1'011 OE\TIIO 800.000XHX 1.5 1uo_;_nx t,5

Das formulas dadas se deduz que o deJconto por fc,r<i

é igual ao capital multiplicado pela taxa, multiplicaM

pelo tempo, dividido por 100.

Das mesmas formulas se concltte que o desconto 11or

dentro é igual ao capital multiplicado pela taxa,

multipli-cado pelo tempo, dfoidülo por cem mais a' ta:m

múltipli-cada pelo tempo.

Pode-se igualmenle achar o \'alor actual Ja lettra, mediante as duas seguintes formulas:.

C (tOO---lXT) 800.000XI00-9X·l ,5

Por fora: too ou toO

on,

800.000X86,5 .

Simplificando,

too

= 69tOOO reis.

tOOXC 80UOOOXtOO

Por dentro:IOO+IXT ou IOO+!)Xl,ü- 704.8'i6

Differença entre os descontos: P"r /i>ra: t118.000

Por dentro: 95.tM

1 t.8l6 excesso do desconto por fora. Differença entre o5 ~apitacs dest:ont.ados:

Por fora: ü92.000

Por dentro: 70L84H

!

--ln-Para se procurar um capital descontado por fora, { _pelmultiplica_{o tempo} -se o _{e divi}ca_dpital p_{e se esse} or _r100 _{esultado p}menos _or a. _100. taxa multiplicada Para se procurar um capiL:il qesconta<lo por dentro,

toma-se 100 'l:l'zes o cariital e divide-se o resultado por 100 sormiw.dcs a laxa mulliJ)licada pelo tempo.

Reg1•a tle (.'01111,aultla.

negra de Companhia é a questão que tem par fim de

-ter11tinar o gwlw ou perda entre membros de 11,na firma

comml:'rcial.

Pode ser simples ou composta.

A regra 6 simples quando ou só os tempos ou sú as ent.ra1l:1s ~fio ig-11:ies: c?mpnsto si tanto os tempos eomo as enlrauas silo diff,:rcntes.

Temro' ig11aes e entradas differentes:

Bento, JnãrJ e Francisco constit1tiram uma sucie<iade dw anre certo lPmpo, findo o qual houve um lucro liquido de 601;.000. O primeiro entro1t com 200.000, o segundo com, .']OU.000 1· o terceiro com 500.000. PPrgiàtta-se qual dece ser o ga11hn rfe cada um ?

Descobre-se o lucro cte cada um tios associados multiplicanAo·se a sna entrada 1ielo lucro total e di'vid'ind1J -se o prod11cro pela s01m1ut de todas as entradas.

foi de ô00.000 e a somma das e11trada3 l .00~1.000. Logo o primeiro ganhou:

2ro OOOX UllO.llúO

I.OUll.UllU t:W.000 () , 1 300.000XGOO.OOO Sf:g1111uO. t UOU.OOO - 180.000 O . 500.000XGOO.Ot 1₀ ler.:eiro. - - - =-= :300.000 I.OU11.00U

_-

-

~-Lucro lotal-600.000 reis. Entradas iguaes, tempos dilTcrentes:

. Associarão-se Henlo, João e Francisco, n,trando cada

um com 800.000. O primeiro periuanPcett nn sociedade apena.~ 1 1{2 me:; (1,úJ o Sff)t11ufo /J u,e:;es e finalmente o

Mwiru continuou c11m o negocio até o o,taco 111ez.

Vt•ri{tcou-se um prPjur;o de 1.600.000. Qual deve sPr

o perda d.e cada um '!

Eucontra se o prpjnizo parcial dioidindo-i;e o prl'jui;:;o

lotai ,,ela son,ma dos tr1111w P 111ultiplicando-se o rpwcin,te

prlo te111pr, de cada m11.

Pn•.i11izo do primeiro

Jl!i.:m do segnudo ... Idem do terreiro

1.600.(H 10+ 12,5X 1 )i=s1 fl::?.000 l.600.000di,5X3 -= 38í.ü00 t .600.000+t 2,5X 8= l .ü•;H.000

-17

-.\wcsentcmos 1)utra qnr.stão por demais simples: l)iridir o 111tm1'/'0 680 e111 11ariPs propnrrional!~ como 4:li: /() ,,,,,, .vi /,,1 4 _P.~lâ pora u _l'Slá parn 10.

. 680X 4 -,, + 6+ 10: f-i81)= ~-: X.. \ -=--2--:..=t3(i. , ll . 680XH '• + ü + •I O : ti80= li : \ . "X= :'!O -= 20!1. 4-+ü+ IO:'-í80==1ü:X.\ (180X IO ·- - -= :H(I, ':?U H8U.

)J11lli11lirn-.s1' 11 um1,i'1·0 dado por i;ada uma das partes

prnporcimia.es I' di'Cide SI' n 11ro1l11ctn p1'la smn 1_{1ia d' Pssa s} µartes.,

TABELLA

DE

-'f.\ '" / 111g-latcrra / F1·ançn 1 Allemanha I E Unidos 1 Port

ugal

1:-,;1.E,/J.: sferlma/ Franco _IReirhsma r/,

1

Dol/11r JOOOfortes

1 1

·--8 d.

:io.o

:

o

l. l!H! 1.172 li. li!l ti.67'1

'fa 2!1. :.i:)8 1 . 1 i 4 1 .. H!J fi. 081 fi.i_i71 1

1 í 2!1.0!JO l. l !ili I.Hi [i. !l!l'.2 ti 4i1

. I" 28.fi5fi 1 , 1:.1!1 1. HHi ;; !ltl2 6.:lii

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"Is 27 .821i 1.1111.i 1.

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Is 27.012 1. Oi r, t .:121; ã.570 6 018

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1~G1.1-:zA /C.1'll'1'ii11a: Franco l~P.id1~rnu,rkl _{/)ollar IIOOOforlts} - · - _ ______ I -

-12 20 000 794 98J i . 119 i. 151 1/H 19.793 786 971 4 077 4...405 1,1 19.591 778 961 i.035 1.360 :1/H 19.393 _{770 951} 3 991 .i.316 1,2 19.200 763 942 395,t, 4.27:-J "Is 19.009 755 932 3 9fõ 4.230 3/1 18. 823 748 923 3.877 .t.189 1 7 1s 18.MO 710 9H 3.839 i.'148 3 18.461 733 , !l05 3.802 4.108 1/s 18 28!i 72íi 897 3.766 4.069 1 11 18.113 719 888 3.731 4 031 3/s 17,913 713 880 3.696 3.993 1,2 17 .7n 706 87! 3.662 3.956 :,/R 17.r,U 700 86,i 3 628 3.!)20 3/ 4 17 .4!:U · 693 856 3 595 3.884 7 /8 _{f 7 297 li8i 848} 3. I.íii:l 3.849

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